PEMODELAN DAN PERANCANGAN
APLIKASI SIMULASI MODEL
SUSCEPTIBLE-INFECTED-RECOVERED
PADA PENYEBARAN PENYAKIT CAMPAK
Vandi Surya
Universitas Bina Nusantara, Jl. Kebon Jeruk Raya No. 27, (021) 5345830, vandi.rustandi@gmail.com
Pembimbing:
Viska Noviantri
Universitas Bina Nusantara, Jl. Kebon Jeruk Raya No. 27, (021) 5345830, viskanoviantri@yahoo.com
Nilo Legowo
Universitas Bina Nusantara, Jl. Kebon Jeruk Raya No. 27, (021) 5345830, nilo_legowo@yahoo.com
ABSTRAK
This study discusses about the pattern of spread of infectious diseases. Measles is one example of an infectios disease that is familiar to the human society. Spread of measles can be illustrated into the form of mathematical models, namely dynamic system. The model of dynamic system used in this study
was a basic SIR (Susceptible-Infected-Recovered) model that was modified by considering various aspects such as births, deaths, and vaccinations. The mathematical model was then implemented into
the software engineering by using Java programming language. This study was completed with simulations for several examples of different cases. The simulations were executed to look at the factors that can affect the pattern of spread of measles. Through the software, readers and/or users are expected to have an overview in predicting the pattern of spread of the disease and to take actions
of epidemic control.
Kata kunci: Sistem Dinamik, Penyebaran Penyakit, Model SIR.
Pendahuluan
Penyakit merupakan sesuatu yang sangat berhubungan dengan makhluk hidup, baik itu manusia, hewan, maupun tumbuhan. Penyakit dapat mempengaruhi kehidupan makhluk hidup secara luas, seperti lamanya kehidupan, keutuhan bagian tubuh, serta kesehatan jasmani dan rohani suatu makhluk hidup. Oleh karena itu, penyakit merupakan masalah serius yang perlu dipelajari dan dicari solusi terbaiknya.
Dinilai dari tingkat berbahaya pada umumnya, penyakit tidak menular lebih berbahaya atau lebih mematikan dibandingkan dengan penyakit menular. Namun, penyakit menular tidak dapat diabaikan karena penyakit menular dapat menyebabkan wabah yang mengganggu ekosistem.
Dalam beberapa tahun terakhir, penyebaran penyakit-penyakit menular, seperti cacar air, flu, kolera, pes, tuberkulosis, dsb telah diteliti. Seperti yang dilakukan oleh Teri Johnson pada tahun 2009 dalam jurnalnya yang berjudul “Mathematical Modeling of Diseases: Susceptible-Infected-Recovered
(SIR) Model.” Jurnal ini membahas model SIR pada penyebaran penyakit cacar air. Hasil yang didapat
dari penelitian ini menunjukkan bahwa penyebaran penyakit cacar air sangat tinggi yang menyebabkan wabah dapat terjadi dengan sangat cepat, perbedaan nilai parameter penyebaran penyakit menentukan lamanya suatu wabah, dan vaksinasi dengan tingkat tertentu dapat mencegah terjadinya wabah.
Selain itu, ada pula penelitian yang dilakukan oleh Ashley Takahashi, Jacqueline Spreadbury, dan John Scotti pada tahun 2010 dalam jurnalnya yang berjudul “Modeling the Spread of Tuberculosis
in a Closed Population.” Jurnal ini membahas tentang model SIR dasar dan pengembangannya
terhadap karakteristik penyakit tuberkulosis. Hasil yang didapat dari penelitian ini menunjukkan bahwa model SIR dasar dapat dimodifikasi menjadi model lain sesuai dengan karakteristik penyebaran penyakit yang ingin dimodelkan dan perbedaan nilai parameter penyebaran penyakit menentukan lamanya suatu wabah.
Demikian pula penelitian yang dilakukan oleh Samuel Bowong, Jean Jules Tewa, dan Jean Claude Kamgang pada tahun 2011 dalam jurnalnya yang berjudul “Stability analysis of the
transmission dynamics of tuberculosis models.” Jurnal ini membahas tentang analisis kestabilan dari
model dasar dan model resistensi obat dari penyebaran penyakit tuberkulosis. Hasil yang didapat dari penelitian ini menunjukkan bahwa model SIR dasar dapat dimodifikasi menjadi model lain berdasarkan asumsi yang telah ditetapkan dan sistem penyebaran suatu penyakit dapat dianalisa kestabilannya.
Penulis pun berkehendak untuk melakukan penelitian tentang penularan penyakit campak dengan menggunakan model SIR dasar yang telah dimodifikasi dan melakukan perancangan aplikasi simulasi terhadap model tersebut.
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk membuat model penyebaran penyakit campak yang dapat digunakan untuk mengestimasi waktu terjadinya wabah dan untuk merancang program aplikasi yang dapat digunakan untuk melakukan simulasi penyebaran penyakit dengan kasus-kasus tertentu.
Metode Penelitian
Dalam melakukan penelitian ini, peneliti menggunakan pendekatan model air terjun (waterfall model) pada rekayasa piranti lunak. Tahapan-tahapan yang dilakukan peneliti adalah analisis masalah, studi pustaka dan pemodelan, perancangan perangkat lunak, pembuatan perangkat lunak, serta pengujian dan evaluasi.
Analisis masalah
Dalam melakukan tahapan analisis masalah, peneliti mengidentifikasi, merumuskan, dan mengusulkan pemecahan masalah. Hasil yang didapat adalah bahwa penyakit merupakan salah satu masalah serius yang umum dihadapi oleh manusia. Penyebaran penyakit menular bukanlah hal yang dapat dianggap remeh karena hal tersebut dapat menyebabkan wabah yang mengganggu ekosistem. Peneliti berkehendak untuk melakukan penelitian yang serupa dengan penelitian-penelitian tentang penyebaran penyakit menular yang telah dilakukan oleh ilmuwan lain dan mengembangkannya lebih baik lagi. Dengan demikian, ditetapkan bahwa peneliti akan mengkonstruksi model penyebaran penyakit menular dan merancang program untuk membantu pihak-pihak yang memiliki wewenang dalam meningkatkan kualitas hidup makhluk hidup.
Studi literatur dan pemodelan
Dalam melakukan tahapan studi literatur dan pemodelan, peneliti melakukan pembelajaran tentang karakteristik penyebaran penyakit, model matematis, serta perancangan dan pembuatan perangkat lunak. Hasil yang didapat adalah peneliti menetapkan untuk mengkonstruksi model penyebaran penyakit campak dengan menggunakan model SIR dasar yang dimodifikasi serta
merancang dan membuat perangkat lunak dari model tersebut dengan menggunakan bahasa pemrograman Java.
Berikut merupakan langkah-langkah umum yang digunakan dalam melakukan pemodelan matematis dengan menggunakan model kompartemen pada penyebaran penyakit (model SIR):
1. Menentukan jumlah kompartemen atau bagian yang unik dari model yang akan dibuat. 2. Menentukan parameter-parameter yang mempengaruhi jumlah individu dan
perpindahannya pada setiap kompartemen.
3. Menentukan arus-arus perpindahan yang mungkin terjadi. 4. Merumuskan formula untuk setiap kompartemen.
Hasil pemodelan penyebaran penyakit campak dengan menggunakan model SIR akan ditampilkan dan dibahas pada bagian hasil dan bahasan.
Perancangan perangkat lunak
Dalam melakukan tahapan perancangan perangkat lunak, peneliti menetapkan cara kerja sistem yang akan diterapkan pada pembuatan perangkat lunak. Cara kerja tersebut dapat dilihat pada gambar di bawah ini.
MULAI PILIH MENU SIMULASI MASUKKAN DATA/ PARAMETER HITUNG JUMLAH S, I, R, DAN D HITUNG ALPHA ATAU BETA DAN BR
TAMPILKAN S, I, R, DAN D PADA TABEL 1 TAMPILKAN ALPHA ATAU BETA DAN BR PADA TABEL 2 ULANG SIMULASI PILIH MENU KELUAR SELESAI TAMPILKAN INFORMASI MENU YANG DIPILIH YA YA YA TIDAK TIDAK TIDAK VALIDASI DATA/ PARAMETER VALID YA PILIH TAMPILKAN GRAFIK TAMPILKAN GRAFIK YA TIDAK PILIH MENU LAIN TIDAK SELESAI TIDAK YA
Pembuatan perangkat lunak
Dalam melakukan tahapan pembuatan perangkat lunak, peneliti melakukan konstruksi kode dari sistem menggunakan bahasa pemrograman Java. Hasil pembuatan perangkat lunak akan ditampilkan dan dibahas pada bagian hasil dan bahasan.
Pengujian dan evaluasi
Dalam melakukan tahapan pengujian dan evaluasi, peneliti melakukan pengujian menggunakan model-V, yaitu unit testing, integration testing, system testing, dan acceptance testing. Jika pengujian perangkat lunak telah selesai dan hasil pengujian masih belum sesuai dengan rancangan perangkat lunak, maka akan dilakukan evaluasi dan perbaikan terhadap ketidaksesuaian tersebut. Kemudian kode-kode tersebut di-compile dan dijalankan untuk diuji kembali. Hal ini dilakukan berulang-ulang sampai hasil pengujian telah sesuai dengan rancangan perangkat lunak.
Hasil dan Bahasan
Model SIRD dengan beberapa aspek
Model SIR dasar dapat dimodifikasi menjadi model SIRD dengan beberapa aspek, yaitu aspek kelahiran, aspek kematian alami, vaksinasi, dan aspek kematian akibat penyakit. Model SIRD ini digunakan dalam epidemiologi untuk membagi dan mengelompokkan suatu populasi individu, baik yang hidup maupun meninggal, ke dalam empat bagian yang masing-masing bagiannya memiliki atau melambangkan karakteristik tertentu yang dapat diamati dan umumnya diwakilkan dengan huruf inisial dari karakteristik utamanya. Empat bagian tersebut adalah S (Susceptible) yang melambangkan kelompok individu-individu yang rentan terjangkit penyakit, I (Infected) yang melambangkan kelompok individu-individu yang terjangkit suatu penyakit tertentu dan umumnya dapat menularkannya ke individu lain, R (Recovered) yang melambangkan kelompok individu-individu yang sudah sembuh dari suatu penyakit tertentu dan memiliki imunitas terhadap penyakit tersebut di sisa hidupnya, dan D (Dead) yang melambangkan kelompok individu-individu yang telah meninggal, baik secara alami maupun karena penyakit.
Model SIRD ini tepat digunakan untuk sistem dinamik penyebaran penyakit yang memiliki asumsi-asumsi berikut:
1. Setiap individu yang lahir adalah individu yang sehat dan bebas dari penyakit, namun rentan terjangkit penyakit. Oleh karena itu, kelahiran hanya berpengaruh pada pertambahan jumlah individu pada kelompok S. Kelahiran individu baru dipengaruhi oleh jumlah individu yang hidup, yaitu individu yang berada pada kelompok S, I, dan R. 2. Setiap individu yang mati adalah individu yang mati secara alami dan yang mati akibat
dari penyakit. Oleh karena itu, kematian secara alami berpengaruh pada pengurangan jumlah individu pada kelompok S, I, dan R, serta pertambahan jumlah individu pada kelompok D. Sedangkan kematian akibat penyakit berpengaruh pada pengurangan jumlah individu pada kelompok I dan pertambahan jumlah individu pada kelompok D. 3. Kelahiran dan kematian, masing-masing memiliki probabilitas tertentu yang konstan
terhadap jumlah populasi individu yang hidup dan waktu.
4. Jumlah awal populasi individu secara keseluruhan adalah tertentu. Jumlah populasi individu yang hidup secara keseluruhan dapat bertambah atau berkurang terhadap waktu, bergantung dari probabilitas kelahiran dan kematian. Jika probabilitas kelahiran lebih besar dari atau sama dengan probabilitas kematian, maka jumlah populasi individu yang hidup secara keseluruhan akan bertambah atau tetap terhadap waktu. Jika probabilitas kelahiran lebih kecil dari atau sama dengan probabilitas kematian, maka jumlah populasi individu yang hidup secara keseluruhan akan berkurang atau tetap terhadap waktu. 5. Satu-satunya cara satu individu baru masuk ke dalam populasi sistem dinamik
penyebaran penyakit adalah dengan kelahiran. Ada tiga cara satu individu dapat meninggalkan kelompok S, yaitu dengan berpindah ke kelompok I, dengan berpindah ke kelompok R, atau dengan berpindah ke kelompok D. Ada tiga cara satu individu dapat meninggalkan kelompok I, yaitu dengan berpindah ke kelompok R, dengan berpindah ke kelompok D akibat penyakit, atau dengan berpindah ke kelompok D akibat kematian
alami. Satu-satunya cara satu individu dapat meninggalkan kelompok R adalah dengan berpindah ke kelompok D. Mereka yang berada di kelompok D tidak dapat berpindah kelompok dan akan selalu berada di sana selama waktu pengamatan. Untuk lebih memahaminya, perhatikan gambar di bawah ini.
6. Usia, jenis kelamin, status sosial, dan SARA (Suku, Agama, Ras, dan Antargolongan) tidak mempengaruhi perbedaan probabilitas satu individu dapat berpindah kelompok. 7. Tidak ada imunitas yang diwariskan dari individu lain.
8. Semua anggota populasi yang hidup bercampur dan berbaur secara homogen serta memiliki tingkat interaksi yang sama antara satu dengan yang lainnya.
Berdasarkan asumsi-asumsi yang telah diuraikan, maka formula yang berlaku untuk menghitung laju pertumbuhan masing-masing kelompok terhadap waktu adalah sebagai berikut:
= σ(S(t) + I(t) + R(t)) – θφS(t) − βS(t)I(t) − µS(t)
= βS(t)I(t) – kI(t) – γI(t) – µI(t)
= θφS(t) + kI(t) – µR(t)
= γI(t) + µ(S(t) + I(t) + R(t))
Dengan S(t) merupakan jumlah individu yang rentan terjangkit suatu penyakit tertentu pada waktu t. I(t) merupakan jumlah individu yang terjangkit suatu penyakit tertentu pada waktu t. R(t) merupakan jumlah individu yang sudah sembuh dari suatu penyakit tertentu atau memiliki imunitas terhadap penyakit tersebut pada waktu t. D(t) merupakan jumlah individu yang meninggal, baik secara alami maupun karena penyakit pada waktu t. N(0) merupakan jumlah awal populasi individu yang hidup secara keseluruhan. N(t) merupakan jumlah populasi individu yang hidup secara keseluruhan pada waktu t. Notasi σ merupakan probabilitas kelahiran terjadi terhadap jumlah individu yang hidup (dengan 0 ≤ σ). Notasi µ merupakan probabilitas kematian terjadi terhadap jumlah individu yang hidup (dengan 0 ≤ µ ≤ 1). Notasi θ merupakan probabilitas satu individu yang rentan terjangkit penyakit melakukan atau mendapatkan vaksinasi penyakit tersebut (dengan 0 ≤ θ ≤ 1). Notasi φ merupakan probabilitas efektivitas atau kesuksesan satu individu dalam mendapatkan imunitas setelah vaksinasi (dengan 0 ≤ φ ≤ 1). β merupakan probabilitas penularan suatu penyakit tertentu dari sebuah kontak atau interaksi antara satu individu yang terinfeksi dan satu individu yang rentan terjangkit (dengan 0 ≤ β ≤ 1). k merupakan probabilitas satu individu yang terinfeksi suatu penyakit tertentu menjadi sembuh (dengan 0 ≤ k ≤ 1). Notasi γ merupakan probabilitas satu individu penderita penyakit meninggal akibat penyakit tersebut (dengan 0 ≤ γ ≤ 1).
Untuk menyelesaikan persamaan-persamaan diferensial di atas, dapat digunakan metode Euler. Solusi-solusi untuk persamaan diferensial tersebut adalah:
θφS
R
βSI
kI
S
I
D
µ I
σ(S+I+R)
µR
µS
γI
Dengan , , , dan merupakan jumlah individu pada kelompok S, I, R, dan D pada waktu (n+1). Notasi ∆t merupakan selang periode waktu yang menunjukkan lama waktu setiap pengamatan. Nilai ∆t yang digunakan dapat bervariasi, namun dalam suatu simulasi pengamatan nilai ∆t yang digunakan harus konstan untuk setiap langkah. Penting untuk dicatat bahwa sebelum melakukan simulasi sistem dinamik penyebaran penyakit ini, perlu ditentukan nilai awal untuk masing-masing kelompok. Maka dari itu, untuk melakukan simulasi ini pada kasus nyata, diperlukan data yang sebenarnya hasil dari pengamatan.
Rasio reproduksi dasar (Basic reproductive ratio)
Rasio Reproduksi Dasar atau Basic Reproductive Ratio, dinotasikan dengan , adalah nilai perbandingan antara probabilitas jumlah individu yang menjadi sakit (tertular penyakit) dengan probabilitas jumlah individu yang menjadi sembuh, dalam hal ini perbandingan antara probabilitas jumlah individu yang berpindah dari kelompok S ke kelompok I (β) dengan probabilitas jumlah individu yang berpindah dari kelompok I ke kelompok R (k). Basic Reproductive Ratio merupakan sesuatu komponen yang penting dalam sistem dinamik penyebaran penyakit karena Basic
Reproductive Ratio merupakan indikator yang mampu menunjukkan jika suatu populasi berada dalam
kondisi berisiko terkena wabah. Basic Reproductive Ratio diperoleh dari: = (βS(t) – k)I(t) ≥ 0
Apabila persamaan di atas disederhanakan, maka akan didapat persamaan berikut: = ≥ 0
Jika > 1, maka jumlah individu yang terjangkit penyakit akan meningkat dibandingkan dengan periode sebelumnya. Jika > 1 terjadi untuk waktu tertentu, maka populasi akan terancam wabah penyakit. Jika < 1, maka jumlah individu yang terjangkit penyakit akan menurun dibandingkan dengan periode sebelumnya. Jika < 1 terjadi untuk waktu tertentu, maka penyakit akan tereliminasi. Jika = 1, maka jumlah individu yang terjangkit penyakit akan sama dibandingkan dengan periode sebelumnya. Jika = 0, maka tidak ada individu baru yang akan terjangkit penyakit.
Penerapan model SIRD pada penyebaran penyakit campak
Berdasarkan hasil studi literatur tentang penyakit dari WHO (World Health Organization), CDC (Centers for Disease Control and Prevention), dan Kementrian Kesehatan Republik Indonesia, dapat diketahui bahwa karakteristik penyakit campak sesuai dengan asumsi-asumsi yang berlaku pada model SIRD di atas. Maka dari itu, model tersebut dapat diterapkan pada sistem dinamik penyebaran penyakit campak. Secara umum langkah-langkah yang perlu dilakukan untuk melakukan simulasi adalah:
1. Tentukan nilai awal dari kelompok S, I, R, dan D. Nilai awal ini diwakili dengan periode (t) = 0. Kemudian tentukan selang periode waktu setiap pengamatan (∆t).
2. Jika nilai awal dari kelompok I = 0, maka tentukan jumlah inisial orang yang terinfeksi virus campak, kemudian kurangi jumlah orang di kelompok S dengan jumlah inisial orang yang terinfeksi dan masukkan jumlah tersebut ke kelompok I. Nilai R dan D akan sama dengan nilai sebelumnya. Nilai baru ini diwakili dengan periode (t) = 1. Jika nilai awal dari kelompok I ≠ 0, maka lanjutkan ke langkah berikutnya.
3. Tentukan nilai dari parameter-parameter yang digunakan, termasuk batas periode pengamatan.
4. Karena hasil perhitungan yang diinginkan dalam setiap periode pada masing-masing kelompok adalah bilangan bulat yang mewakili jumlah orang yang utuh, namun mungkin didapat hasil yang bukan merupakan bilangan bulat, maka sebelum melakukan perhitungan tentukan arah pembulatan (ke atas atau ke bawah) dan batasannya sebagai tambahan asumsi-asumsi yang berlaku.
5. Karena hasil perhitungan dari setiap bagian dari persamaan mungkin mempengaruhi bagian dari persamaan tersebut maupun persamaan lain (nilai , , , dan ), maka setiap persamaan dibagi menjadi persamaan-persamaan yang hanya berisi satu faktor transmisi. Kemudian tentukan prioritas urutan perhitungan persamaan-persamaan tersebut hingga memenuhi persamaan sebagai tambahan asumsi-asumsi yang berlaku. Penentuan prioritas urutan perhitungan penting untuk dilakukan karena perbedaan prioritas urutan perhitungan akan memberikan hasil akhir yang berbeda.
6. Hitung , , , , , dan , dengan mengikuti aturan prioritas urutan perhitungan, untuk periode (n+1) mulai dari 2 (jika nilai awal dari kelompok I = 0 atau 1 jika nilai awal dari kelompok I ≠ 0) sampai batas periode pengamatan.
Dengan α(0) = 0, α(1) = 0, (0) = 0, (1) = 0, dan dapat dihitung dari persamaan: atau
=
Jika µ(S(n) + I(n) + R(n)) ≠ µS(n) + µI(n) + µR(n), maka perlu dilakukan penyesuaian sebagai berikut:
D(n+1)* = D(n+1)* + 1 dan
S(n+1)* = S(n+1)* – 1 jika dec(µS(n)) > dec(µI(n)) dan dec(µS(n)) > dec(µR(n)) atau
I(n+1)* = I(n+1)* – 1 jika dec(µI(n)) > dec(µS(n)) dan dec(µI(n)) > dec(µR(n)) atau
R(n+1)* = R(n+1)* – 1 jika dec(µR(n)) > dec(µS(n)) dan dec(µR(n)) > dec(µI(n))
Dengan dec(x) adalah nilai pecahan selisih antara x dengan bilangan bulat x. Contoh:
x = 3,125, maka dec(x) = 3,125 – 3 = 0,125
7. Untuk mempermudah pengamatan hasil simulasi, buat dua tabel untuk menampilkan data perhitungan. Tabel yang pertama terdiri dari lima kolom, yaitu Periode, S (Susceptible), I (Infected), R (Recovered), dan D (Dead). Tabel yang kedua terdiri dari tiga kolom, yaitu Periode, Alpha (α) atau Beta (β), dan BR. Kemudian masukkan nilai-nilai S, I, R, dan D pada tabel pertama dan masukkan nilai-nilai Alpha (α) atau Beta (β), dan
pada tabel kedua, dimulai dari periode 0 sampai batas periode pengamatan. Terakhir, buat grafik garis untuk memetakan tabel SIRD.
Simulasi model SIRD pada penyebaran penyakit campak
Untuk memperjelas penerapan model SIRD pada penyebaran penyakit campak, maka akan dilakukan beberapa simulasi contoh kasus. Pada simulasi contoh kasus ini, digunakan asumsi kasus terburuk (worst-case) yang menyebabkan setiap bilangan desimal yang muncul, akan dilakukan pembulatan ke bawah terhadap bilangan desimal tersebut jika perhitungan terjadi pada faktor yang positif dan akan dilakukan pembulatan ke atas terhadap bilangan desimal tersebut jika perhitungan terjadi pada faktor yang negatif. Faktor yang positif adalah kelahiran, vaksinasi, dan kesembuhan. Faktor yang negatif adalah kematian alami, kematian akibat penyakit, dan penularan.
Prioritas urutan perhitungan yang digunakan adalah: 1. Faktor kematian alami
2. Faktor kelahiran 3. Faktor vaksinasi
4. Faktor kematian akibat penyakit 5. Faktor kesembuhan
6. Faktor penularan
Jika perhitungan faktor tersebut menyebabkan perpindahan orang dari satu kelompok ke kelompok lain, kelompok yang jumlahnya akan bertambah (ditandai dengan ujung akhir anak panah
pada diagram transmisi) akan dihitung lebih dulu dibandingkan dengan kelompok yang jumlahnya akan berkurang (ditandai dengan ujung awal anak panah pada diagram transmisi).
Untuk perhitungan faktor penularan, nilai * yang digunakan pada bagian β * * adalah nilai * setelah perhitungan faktor kematian akibat penyakit.
Simulasi akan menggunakan nilai awal dan parameter sebagai berikut: • S(0) = 100, I(0) = 0, R(0) = 0, D(0) = 0, ∆t = 1.
• S(1) = 99, I(1) = 1, R(1) = 0, D(1) = 0.
• σ = 0,1; µ = 0,01; θ = 0,2; φ = 1; k = 1; γ = 0,05. • Batas periode pengamatan adalah lima.
Simulasi 1: Simulasi Perbandingan Kasus dengan Perbedaan Nilai Beta (β) Pada simulasi ini, nilai beta (β) yang akan digunakan adalah 0,9 dan 0,6.
Tabel SIRD dengan Beta (β) = 0,9
Periode S I R D 0 100 0 0 0 1 99 1 0 0 2 8 78 21 2 3 0 15 97 7 4 0 9 112 9 5 0 9 120 12
Tabel Alpha dan BR dengan Beta (β) = 0,9
Tabel SIRD dengan Beta (β) = 0,6
Periode S I R D 0 100 0 0 0 1 99 1 0 0 2 34 52 21 2 3 0 36 77 6 4 0 9 112 9 5 0 9 120 12 Periode Alpha (α) 0 0 0 1 0 0 2 0,90698 77,4 3 1 13,5 4 1 8,1 5 1 8,1
Tabel Alpha dan BR dengan Beta (β) = 0,6 Periode Alpha (α) 0 0 0 1 0 0 2 0,60465 51,6 3 1 21,6 4 1 5,4 5 1 5,4
Simulasi 2: Simulasi Perbandingan Kasus dengan Perbedaan Nilai Alpha (α)
Notasi alpha (α) merupakan probabilitas satu individu yang rentan tertular penyakit menjadi terjangkit penyakit. Perbedaan alpha (α) dengan beta (β) adalah alpha (α) merupakan probabilitas satu individu yang rentan tertular penyakit menjadi terjangkit penyakit tanpa melibatkan faktor interaksi yang terjadi, sedangkan beta (β) merupakan probabilitas satu individu yang rentan tertular penyakit menjadi terjangkit penyakit dengan melibatkan faktor interaksi yang terjadi.
Sementara persamaan alpha (α) dengan beta (β) adalah alpha (α) dan beta (β) sama-sama berlaku jika ada individu yang terjangkit penyakit, dengan kata lain dapat menularkan penyakit ke individu lain (I(t) > 0). Maka dari itu, faktor penularan βS(t)I(t) dapat dimodifikasi menjadi αS(t). Lalu, nilai beta (β) pada setiap periode pengamatan dapat dihitung dari persamaan yang telah dimodifikasi berikut:
=
Pada simulasi ini, nilai alpha (α) yang akan digunakan adalah 0,9 dan 0,6.
Tabel SIRD dengan Alpha (α) = 0,9
Periode S I R D 0 100 0 0 0 1 99 1 0 0 2 8 78 21 2 3 1 14 97 7 4 1 9 111 9 5 1 9 119 12
Tabel Beta dan BR dengan Alpha (α) = 0,9
Periode Beta (β) 0 0 0 1 0 0 2 0,90698 77,4 3 0,01197 0,17949 4 0,06429 0,6429
Tabel SIRD dengan Alpha (α) = 0,6 Periode S I R D 0 100 0 0 0 1 99 1 0 0 2 34 52 21 2 3 14 22 77 6 4 8 12 101 9 5 6 10 113 12
Tabel Beta dan BR dengan Alpha (α) = 0,6
Periode Beta (β) 0 0 0 1 0 0 2 0,60465 51,6 3 0,01175 0,42308 4 0,02727 0,54545 5 0,05208 0,83333
Tampilan Layar Aplikasi untuk Menampilkan Grafik SIRD
Tampilan Layar Aplikasi untuk Menampilkan Grafik S
Tampilan Layar Aplikasi untuk Menampilkan Grafik I
Tampilan Layar Aplikasi untuk Menampilkan Grafik D
Simpulan dan Saran
Model kompartemen SIRD dengan faktor kelahiran, faktor kematian alami, faktor vaksinasi, dan faktor kematian akibat penyakit dapat dikonstruksi untuk merepresentasikan sistem penyebaran penyakit campak. Model tersebut dapat digunakan untuk menghitung jumlah orang yang rentan terjangkit penyakit campak (Susceptible/S), jumlah orang yang terjangkit penyakit campak (Infected/I), jumlah orang yang memiliki imunitas terhadap penyakit campak (Recovered/R), dan jumlah orang yang meninggal (Dead/D) pada periode waktu tertentu. Perancangan dan pembuatan perangkat lunak simulasi dari model yang telah dikonstruksi tersebut menggunakan bahasa pemrograman Java dapat menghasilkan tampilan yang diinginkan serta dapat membantu pengguna untuk memprediksi pola penyebaran penyakit campak.
Referensi
Amen, S., Bilokon, P., Codd, A. B., Fofaria, M., Shah, T. (2004). Numerical Solutions of Differential
Equations.
Bowong, S., Tewa, J. J., Kamgang, J. C. (2011). Stability Analysis of the Transmission Dynamics of
Tuberculosis Models. 7 (2): 83-100
Centers for Disease Control and Prevention (CDC). (2013). Overview of Measles Diseases. Diakses 25 Mei 2014 dari http://www.cdc.gov/measles/about/overview.html
Johnson, T. (2009). Mathematical Modeling of Diseases: Susceptible-Infected-Recovered (SIR)
Model. 1-13
Kementrian Kesehatan Republik Indonesia. (2013). Profil Kesehatan 2012.
Takahashi, A., Spreadbury, J., Scotti, J. (2010). Modeling the Spread of Tuberculosis in a Closed
Population. 1-13
World Health Organization (WHO). (2014). Fact Sheets on Measles. Diakses 25 Mei 2014 dari http://www.who.int/mediacentre/factsheets/fs286/en/
Riwayat Penulis
Vandi Surya lahir di kota Jakarta pada tanggal 28 November 1990. Penulis menamatkan pendidikan S1 di Universitas Bina Nusantara dalam bidang Teknik Informatika dan Matematika pada tahun 2014. Saat ini bekerja sebagai Programmer di PT. Catur Paramitha Indonesia. Penulis sebelumnya aktif di Himpunan Mahasiswa Matematika (HIMMAT) sebagai Wakil Ketua Himpunan.
