2.MET0DE FINITE STRIP Pendahuluan.

(1)

S K R IP S ! / T U G A S A K H I R

FTSP JU RUSAN T E K N IK SIPIL Halaman :3

2.MET0DE FINITE STRIP

2.1. Pendahuluan.

Metode Finite Element dapat d i g unakan u n t u k me n y e l e s a i k a n masa- l ah-m a s a l a h yang k o m p l e k karena itu sangat berguna u n t u k m e n y e lesaikan berbagai analisa struktur, sedangkan metode Finite Strip dianggap sebagai b e ntuk khusus dari Metode Finite Element yang juga m e n ggunakan Teori Enerji Potensial Total Minimum u n tuk mend a p a t k a n parame t e r - p a r a m e t e r displacement yang tidak diketahui dengan beban yang bekerja.

Ti d a k seperti Metode Finite Element yang meng g u n a k a n b e n t u k pola lendutannya sebagai fungsi polinomial 2 variabel (x,y), t e t ^ pi pada Metode Finite Strip digunakan fungsi polinomial 1 v a r i abel dalam arah transversal (arah x) yang d igabung dengan f u n g si harmonis pada arah longitudinal (arah y).

Pemilihan fungsi harmonis di dalam Metode Finite Strip h a r u s l a h sedemikian rupa sehingga fungsi tersebut dapat memenuhi syarat- syarat batas (boundary conditions) dari kedua p e r l e t a k a n n y a .

B e ntuk umum fungsi displacement dari Metode Finite Strip diper- oleh dengan m engalikan kedua fungsi tersebut, sehingga persoal- an plat yang biasanya merupakan problema dua dimensi diub a h men jadi problema satu dimensi.

Perk e m b a n g a n Metode Finite Strip sangat pesat karena:

- Derajat k e b e basannya (Degree of fredom) lebih kecil.

- Orde matriksnya lebih kecil sehingga dapat dipakai komputer dengan kapasitas yang relatif kecil dan w a k t u pengg u n a a n kom- puternya menjadi lebih kecil.

2.2. Teori Enerji Potensial Total Minimum.

2.2.1. Analisa Pada Balok Sederhana.

Berikut ini akan d i t unjukkan penggu n a a n Teori Enerji Potensial total minimum pada p e r soalan mekanika teknik, seperti pada ba-.' lok sederhana pada gb. 2.1,

(2)

SKRIPSl / TUGAS A K H IR

FTSP JURUSAN TEKNIK SIPIL Halaman :4

Te l a h kita ketahui bahwa syarat batas dari kedua p e r l e t a k a n (p^

da y=0 dan y=a), adalah :

w ( y)

H 'O ) = 0

M(y) = = 0

dy

g a m b a r . 2 . l B a l o k t e r l e n t u r

(2 .1 )

A k ibat pembe b a n a n beban terpusat P pada t e n g a h - t e n g a h bentang, balok yang terlentur me m b e n t u k suatu kurva yang halus. U n t u k m e n d a p a t k a n p e r s amaan kurva ini dap a t l a h kita anggap bahwa k u r va tersebut b e r b e n t u k fungsi sinus h gelombang, jadi : '

w(y) = 5 sin ^

dimana 6 = koef. yang belum diketahui.

(2.2)

Karena sifat dari fungsi sinus sendiri, maka syarat batas pada pe r s a m a a n (2.1) menjadi terpenuhi.

Jadi pe r s a m a a n (2.2) m e r upakan p e n y e l e s a i a n yang benar, maka system energi yang dihasi l k a n harus minimum.

U n t u k b a l o k pada gb. 2.1., Enerji Potensial Totalnya adalah : El f°- / d ^ w V

Ut = Us + Up =

JQ/ dy ■

dy - Pw ( 2 . 3 )

dimana Us = Enerji Regangan.

Up = Enerji Potensial dari beban,

Supaya Ut minimum, maka : dUt

d6

= 0 (2.4)

De ngan substitusi p e r samaan (2.2) pada p e r s a m a a n (2.3),. didapat

(3)

S K R I P S l / T U G A S A K H I R

FTSP J U RUSAN T E K N IK SIPIL Halaman :s

Ut = — ^ I stn’ ~ d y ~

^r\ d

' P S

. 2a* ^0"" a~'' (2,5)

atau

2

,(

2 . 6 D e ngan m e m i n i m u m k a n pe r s a m a a n (2.5) didapat:

, 2Pa^

Sehingjga p e r s amaan (2.2) menjadi : 2Pa^ . ny

w ( y ) = s m— ( 2 . 7 )

Ti L I a

Dan pe r s a m a a n Momennya menjadi :

\ 2Pa Try

M ( j ’) = - E I ^ ^ = — s m - ( 2 . 8 )

c(y a

Tabel 2.1. m e m b a n d i n g k a n hasil l e ndutan dan moment d i t e n eah-te- ngah bentang, yang didapat dari p e n y e l e s a i a n dengan pende k a t a n Enerji dan peny e l e s a i a n yang sebenarnya. T a m p a k hasil lendutannya cukup berkolerasi baik.

2.2.2. Pengg u n a a n Deret Fourier U n t u k Fungsi Displacement.

U n t u k mend a p a t k a n hasil yang lebih teliti, kita dapat memisahkan fungsi lendutan dengan b e n t u k yang lebih rumit daripada b e ntuk fungsi sinus \ g e l ombang terdahulu, y a i t u Deret Fourier, sebagai berikut :

dimana 6m : K o e f f i s i e n h a r m o n i k ke m yang belum diketahui.

r : Bi l a n g a n bulat yang menen t u k a n banyaknya deret yang d i g u nakan dalam analisa.

(4)

S K R I P S I / T U G A S A K H I R

FTSP JURUSAN T E K N IK SIPIL H a la m a n :6

D e n g a n mener a p k a n pendekatan enerji seperti sebelumnya akan di d £ pat :

, ^ 2Pa^ ^ 1 m n inrty

^v(y) = L

7T Ay m = l tJi — 0

(2^.1 0⁾

IP a ^ 1 nin inny A / 0 ) = —r L - T sin — sin ---

n m=i m 2 a

Akibat beban simetri, maka suku genap dari deret menjadi nol, se hingga dapat d i s e d e r h a n a k a n menjadi :

2Pa^ ^ _ m n y

» ' 0 ) = 3 T 77 T. --- --- Sin--- n'* E l m - M . s . . . //»** «

(2.1 1)

= — Z --- i — —

Dalam Tabel 2.2. akan d i t u n j u k k a n hasil dari p e r samaan (2.11) &

hasil dari cara biasa. T a m p a k deret dalam fungsi lendutan cepat u n t u k konvergen, sedang untuk fungsi moment Lambat untuk konvergen, tetapi dengan hanya mengambil sembilan term, hasilnya hanya mengalami k e s a l a h a n 4 %.

Dari c o ntoh tersebut diatas, secara: singkat u r u t a n p e n g g u n a a n te ori Enerji Potensial Total Minimum adalah sebagai berikut :

1. M i s a l k a n suatu fungsi lendutan yang cocok, dengan k o e f f i s i e n - k o e f f i s i e n yang belum diketahui.

2. Rum u s k a n Enerji Potensial Totalnya dalam k o e f f i s i e n yang be_r . lum diketahui tersebut.

3. M i n i m u m k a n Enerji Potensial Total tersebut terhadap k o e f f i s i en yang belum diketahui.

4. D a p a t k a n k o e f f i s i e n parameter yang belum d i k e t a h u i , k e m u d i a n - d ap a t k a n p e n y e lesaian yang sebenarnya.

Pada p e m b a h a s a n berikut ini, akan d i t u n j u k k a n l a n g k a h - l a n g k a h di^

(5)

S K R IP S I / T U G A S A K H I R

FTSP JURUSAN T E K N IK SIPIL Halaman :7

dalam p enggunaan Metode Finite Strip dimana didalamnya telah te^

cakup penggunaan teori Enerji Potensial Total Minimum.

2.2.3. L a n g k a h - l a n g k a h didalam pengg u n a a n Metode Finite Strip.

Diatas telah d ijelaskan tentang langk a h - l a n g k a h u n t u k menerapkan teori Potensial Enerji Minimum, maka dibawah ini adalah langkah- langkah didalam penggunaan Metode Finite Strip u n t u k menganalisa struktur dimana didalamnya sudah tercakup pengg u n a a n teori Poten sial Enerji Minimum.

L a n g k a h - l a n g k a h tersebut adalah :

1. P e m b agian sistim struktur oleh garis-garis fiktif menjadi strip-strip dimana ujung dari tiap strip merupakan tumpuan u- jung sistim.

2. Tiap strip dibatasi oleh 2 sisi yang disebut garis Nodal (No

dal line). S t r ip-strip satu sama lain d i h ubungkan sepanjang g aris-garis nodal tersebut.

3. Derajat k e b e b a s a n dari setiap garis nodal disebut Nodal Pis - p lacement P a r a m e t e r , yang berhu b u n g a n dengan fungsi polinominal (variable x) pada arah melintang.

4. Fungsi lendutan dipilih sehingga memenuhi syarat-syarat batas perle t a k a n sistim.

5. Dengan prinsip energi minimum dapat d i p ^ r o l e h matriks kekaku- an dan beban dari strip.

6. Matriks kek a k u a n dan beban dari strip-strip melalui transfor- masi koordinat dan proses A s semble dapat m e m b e n t u k k e k a k u a n &

beban dari struktur.

7. Setelah itu b e s a r a n - b e s a r a n seperti tegangan, regangan maupun lendutan dapat dicari.

2.3. Penurunan M a t r i k Ke k a k u a n dan M a t r i k Gaya.

2.3.1. Pemilihan Fungsi Displacement.

(6)

SKRIPSI / TUGAS A K H IR

Perhat i k a n gambar berikut

Gambar 2.2. Plat lantai jembatan yang mengalami p e m b e b a n a n len- t u r .

SIMPLE SUPPORT

/

NODAL LINES

I

STRIPS

w r

N

SIMPLE SUPPORT

G a mbar 2.3. P e m b agian plat menjadi s t rip-strip y a n g .ditu m p u pada kedua perlet a k a n pada ujungnya.

(7)

Gambar 2.4. Pola deformasi khas dari Finite Strip u n t u k pe r l e t a k an s e n d i - s e n d i .

De ngan m e m p e r h a t i k a n strip memanjang I (gb. 2.3.) dari plat dengan perle t a k a n sendi-sendi pada kedua ujungnya, maka fungsi len dutan yang dip i l i h merupakan k o m binasi antara deret fungsi sinus (arah bentang) dan fungsi p o linominal (arah m e l i ntang x-x) (lihat gb. 2.4.), sebagai berikut :

*‘'( ^ 1 >') “ X /m(-^)sin - = ^ {A + Dx + O r’ ,+ Dx^ + . . . )sin ( 2 . 1 2 )

ni'*i met

dimana A,B,C dan seterusnya m

r

fm (x)

k o e f f i s i e n yang belum diketahui.

fungsi h armonis ke tn

jumlah fungsi harmonis yang d i g u n ^ k a n .

fungsi polinominal.

Oleh karena suatu garis nodal mempunyai 2 derajat k e b e b a s a n yai- tu l e ndutan (arah z) dan putaran sudut (berputar terhadap sumbu y), maka u n t u k setiap strip, total ada 4 derajat kebebasan. Dan dengan m e m p e r h a t i k a n syarat k o m p a t i b i l i t i maka fungsi polinomi -

(8)

FTSP JURUSAN TEKNIK SIPIL Halaman : 10

nal di g u n a k a n tingkat tiga merupakan syarat minimum

= E (/I +B,x + Cx^ + Dx^

m = l a

f m ( x ) = A + B x + C x ^ + D x ^

Syarat k o m p a t i b i l i t i : (lihat gambar 2 - 5 ) . a/,„ (0)

di X = 0, /,„(0) =

3.V ⁼ ^Oir

dl X = b, fm(b) =

(2.13a)

(2.13b)

(2.14)

W,

/77777777T7 — X

w-,„I G

■r

Gambar 2.5. Dis p l a c e m e n t field u n t u k finite strip dengan perle - takan sendi-sendi.

D e n g a n m e m p e r h a t i k a n p e r samaan (2.13b) dan (2.14)

di X = 0, fm(0) = A Wim- Tfm (x)

TX fm' (0) = B = Oir

di X = b, fm(b) = A + Bb + Cb^ + Db^ = Wjm Tfm (x)

--- --- = f'm(b) = B + 2Cb + SDb^ =

(9)

XSgTllfc-'

FTSP JURUSAN TEKNIK SIPIL Halaman : 1 i

P e r s amaan diatas d i s e l esaikan sehingga didapat C =

D =

b

( 3Wjm + 3Wjm)

(2Wim - 2W-jtn) ^ (Qim O j m ) b^

D e n g a n diperolehnya k o e f f i s i e n - k o e f f i s i e n A, B, C, dan D p e r s a m a a n ( 2.13a) dapat dinyat a k a n sebagai :

maka

W = I +

2x^'< ( 2X^

Win, +

\ b b ]

( x ^ Wjm +

\ b ' i j djm

. niTTV s in ---

Jika ditulis dalam b e ntuk matriks menjadi :

( 1 - . 2x

b2

2 x 2 X-

( x^

b2 b )

U n t u k umum dari fungsi lendutan dapat ditulis

{ / } = Z [ l C i ] [ C t ] . . . ]

mvl {3*}

(2.15)

3x^ 3x b2 b3 ^{) ;}

(2.16)

(2.17a)

dimana : m

k

banyaknya deret harmonis.

fungsi polinominal.

banyaknya garis nodal,

parameter nodal perpindahan,

{ / } = £ mnl /c«l

= t

m—1

= [N]{&)

(2.17b)

(10)

FTSP JURUSAN TEKNIK SIPIL Halaman : 1 2

2.3.2. Regangan.

Set e l a h fungsi d i s p lacement diketahui, maka akan didapat hubung- an d i s p l acement dengan regangan sebagai berikut :

W = [5]{6)

= i [BUidU

m -X

= Z (2.18)

Dimana [B] disebut matrik regangan.

Pada p e r u m u s a n ini, begi t u d i k atakan regangan, sebenarnya meli- puti regangan normal dan regangan geser. Sebagai contoh, pada k ^ sus dari strip terlentur:

-d^w

{s} = Xy

dx^

— 0 V dy'‘'

(2.19a) maka

[ B ] =

-d^[N]

dx-

d f

. dxdy J

dimana [N] = Y [ C ] .

(2.19b)

2.3.3. Tegangan.

T e g a n g a n dihubung .dengan regangan oleh

{a} = [D]^{{£} =}[D] [5 ] {5}

= ID] t

m — l k»»l ( 2 . 2 0 )

dimana [D] disebut matrik elastisitas, u n t u k plat isotropic t e r lentur,

(11)

[D] =

-1 V 0 •

V I 0 l - v 0 0

2 J

(

₂

.

_{2 1}

)

dan u n t u k plat isotropic tegangan bidang,

[Z)] =

r i V 0 ■ p 1 0

l - r 0 0 , -

2

J

2.3.4. M e m l n i m u m k a n Enerji Potensial Total.

2.3.4.1. Enerji Regangan.

Enerji regangan dari benda elastis d i b e r i k a n oleh :

(2.22a) B e r d a s a r k a n (2.18) dan (2.20), (2.22a) dapat ditulis sebagai :

U = i { d } r [ B n D ] [ B ] I d ) d ( v o l . ) . (2.22b)

2.3.4.2. Enerji Potensial.

Enerji potensial diseb a b k a n beban luar q dapat ditulis sebagai

IV = - {/)Tlg)d(arca).

(2.23a) S ubstitusi p e r s amaan (2.17b) ke dalam (2.23a)

»" = - (2.23b)

2.3.4.3. Enerji Potensial Total.

Enerji potensial total adalah p e n j u m l a h a n enerji regangan yang terjadi dalam benda dengan enerji potensial dari b e b a n - b e b a n maka ;

(f> = [ / + IV

[ B r ID] [B] {5} ^f(vol.) - (<5}^ [ N f [q]_^(arca).

( 2 . 2 4 )

(12)

SKRIPSI / , TUGAS A K H IR

FTSP JURUSAN TEKNIK SlPlL Halaman : 13

Efi 12(1

r l K 0 ■

V 1 0

!->>

0 0

2

J

(2 .2 1)

dan u n t u k plat isotropic tegangan bidang, r i V 0 ■

V 1 0

0 0

2.3.A. M e m i n i m u m k a n Enerji Potensial Total.

2.3.4.1. Enerji Regangan.

Enerji regangan dari benda elastis d i b e r i k a n oleh : U =

(2.22a) B e r d a s a r k a n (2.18) dan (2.20), (2.22a) dapat ditulis sebagai :

(2.22b)

2.3.4.2. Enerji Potensial.

Enerji potensial d i s e b a b k a n beban luar <i dapat ditulis sebagai

W = - ~ (/}r(g}c/(arca).

(2.23a) Subst i t u s i p e r s amaan (2.17b) ke dalam (2.23a)

W = - (2.23b)

2.3.4.3. Enerji Potensial Total.

Enerji potensial total adalah penjurnlahan enerji regangan yang terjadi dalam benda dengan enerji potensial dari b e b a n - b e b a n maka :

( d y_[i?]^[D] [/?] {5} ^f(vol.) - (<5}^ [ N Y [q]_f/(arca)

(2.24)

(13)

2.3.4.4. Lang k a h M e m i n i m u m k a n .

Prinsip Enerji potensial total minimum adalah d(p = {0}.

SubstitusiI. (2.24) ke dalam (2.25) didapat d<}>

m

atau

IS] { 5 } - { F ) - {0},

[ B Y [D] [B] {5) J (v o l.) - [ N V {?} ^(area) = {0}

dimana

[5] = [5]^ [Z )][5 ]c /(v o l.)

[ [ 5 ] i [B]^ . . . [ B I Y [D] [ [ 5 ] i [ B ] , . . . [i?].] J(vol.)

■ [ 5 ] r [ /5 ] [ 5 L . [ B ] l [ D ] [ B l [ B ] n D ] { B ] i [B] l[D] [B] , . ^. [ B\ l [D] [ Bl

f/(vol.)

M J [ D ] [5 ]i [ B ] J[ D] [ Bh . . [B] J[ D] [Bl ^

(2.25)

(2.26)

(2.27

(2.28a)

atau

[■S’]!! [-Slia •

[ Shi ••

[ B ]l [ D] [^L^/(vol.)

(2.28b)

(2.29)

Pe r samaan (2.29) lebih lanjut dapat d itentukan dalam hubun g a n n y a dengan jumlah garis nodal = s sebagai :

r [ ^ ii] [Sn] . . . [SxsY [52i] [S22] . . . [^2,]

(2.30) l[Ssi] [5,2] . . . [SsA-

Blla ij menun j u k k a n garis nodal i dan j, maka dapat ditulis

(14)

[‘S'ylmn — (2.31)

Persamaan (2.31) merupakan matrik ke k a k u a n darl sebuah strip. Me lalui proS;es assemble akan d l p e r o l e h matrik k e kakuan struktur.

Matriks gaya d i p e r o l e h dari (2.26) dan (2.27) menjadi :

{F} = _d (area)

{?} d^(area) i m i -

atau u n t u k term ke m dari deret hanya,

{F)„. = f [N]r.{g}t^(area).

Selanjutnya dapat ditulis :

■ (^) ^ (area).

(2.32)

(2.33)

. = •( (2.34)

Oleh karena itu

= f c^(area).