MEMBANDINGKAN KEMANGKUSAN ALGORITMA DINIC DAN ALGORITMA PELABELAN FORD-FULKERSON UNTUK
MASALAH ARUS MAKSIMUM
Oleh :
Katrin Jenny Sirait NIM 408211024 Program Studi Matematika
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sain
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
iv
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas segala
berkat dan rahmatNya yang memberikan kesehatan dan hikmat kepada penulis
sehingga penelitian skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik. Skripsi ini berjudul “Membandingkan Kemangkusan Algoritma Dinic dan Algoritma Pelabelan Ford-Fulkerson untuk Masalah Arus Maksimum”. Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sain di Universitas
Negeri Medan.
Keberhasilan penulis dalam praktik dan penyelesaian laporan ini, tidak
terlepas dari dukungan ibunda tercinta yang selalu memberikan dukungan doa dan
dana kepada penulis serta masukan yang sangat berguna dari berbagai pihak. Oleh
karena itu, pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada :
1. Bapak Prof. Dr. Ibnu Hajar, M.Si., selaku Rektor Universitas Negeri
Medan.
2. Bapak Prof. Drs. Motlan, M.Sc., Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam.
3. Bapak Drs. P. Maulim Silitonga, M.Si., selaku Pembantu Dekan I Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
4. Bapak Prof. Dr. Mukhtar, M.Pd., selaku Ketua Jurusan Matematika.
5. Bapak Drs. Yasifati Hia, M.Si., selaku Sekretaris Jurusan Matematika.
6. Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si., selaku Ketua Program Studi Matematika,
Dosen Pembimbing Akademik, dan Pembimbing Skripsi yang telah banyak
membimbing penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
7. Bapak Mulyono, S.Si., M.Si., selaku Dosen Penguji.
8. Bapak Dr. Edy Surya, M.Si., selaku Dosen Penguji.
9. Bapak Drs. J. Ambarita, M.Pd., selaku Dosen Penguji.
10.Seluruh dosen dan pegawai di lingkungan Fakultas Matematika dan Ilmu
v
11.Bapak Drs. Jonner Hasugian, M.Si., selaku Kepala Perpustakaan Umum
Universitas Sumatera Utara.
12.Seluruh staf pegawai di Perpustakaan Umum Universitas Sumatera Utara.
13.Keluarga Abang Rony Silvestre Sirait, Amd. dan Yoise Pangumbalerang,
S.Si., Apt. yang banyak memberikan dukungan kepada penulis.
14.Keluarga Abang Elson Sirait, Amd. dan Maria Elizabeth, Amd. Keb. yang
banyak memberikan dukungan kepada penulis.
15.Bapak Agung Yudhianto, S.Si. yang banyak memberikan masukan dalam
penulisan skripsi ini.
16.Teman-teman terkasih Tiurma Tambunan, S.Si., Marshinta Sinaga, S.Si.,
Evy Simarmata, Rumondang Meyria Simangunsong, Efril Maemunah,
S.Si., Riadi Setiawan, Santi Sinaga, yang selalu memberi motivasi kepada
penulis.
17.Teman-teman seperjuangan di kelas Matematika Non Kependidikan 2008
yang selalu memberikan semangat kepada penulis.
18.Semua pihak yang turut membantu dalam penyelesaian skripsi ini yang
tidak dapat disebutkan satu per satu.
Semoga skripsi ini bermanfaat dan menambah wawasan bagi kita semua.
Akhir kata, penulis mengucapkan terima kasih.
.
Medan, Juli 2013
Penulis
iii
MEMBANDINGKAN KEMANGKUSAN ALGORITMA DINIC DAN ALGORITMA PELABELAN FORD-FULKERSON UNTUK
MASALAH ARUS MAKSIMUM KATRIN JENNY SIRAIT (408211024)
ABSTRAK
Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang paling banyak aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu bentuk dari graf adalah jaringan (network), yaitu graf berarah berbobot sederhana yang memiliki simpul sumber (source), simpul tujuan (sink), dan tiap sisinya mempunyai kapasitas tertentu. Algoritma Dinic dan algoritma Pelabelan Ford-Fulkerson merupakan algoritma yang digunakan dalam pemecahan masalah arus maksimum. Algoritma Dinic memanfaatkan jaringan sisa. Pada jaringan sisa ini diidentifikasi
f-augmenting path terpendek melalui layered network, kemudian dikonstruksi
suatu blocking flow yang dapat digunakan untuk menentukan arus maksimum. Algoritma pelabelan Ford-Fulkerson berisi 2 fase. Fase pertama melakukan pelabelan untuk memeriksa apakah terdapat augmenting path. Jika terdapat
f-augmenting path, maka menentukan dan menambahkan f-f-augmenting path pada
arus f. Algoritma Dinic dan algoritma pelabelan Ford-Fulkerson memberikan solusi arus maksimum yang sama yaitu sebanyak 7. Algoritma pelabelan Ford-Fulkerson lebih mangkus dibandingkan dengan algoritma Dinic karena algoritma pelabelan Ford-Fulkerson membutuhkan waktu dan ruang memori yang lebih sedikit dalam mencari solusi dari masalah arus maksimum.
vi
2.1.2 Definisi Graf Terhubung 7
2.1.3 Definisi Graf Berarah 7
2.1.4 Definisi Berbobot 8
2.1.5 Definisi Graf Lengkap 8
2.1.6 Definisi Graf Komplemen 8
2.2. Terminology Graf 9
2.2.1 Definisi Loop 9
2.2.2 Definisi Walk 9
2.2.3 Definisi Path 10
2.2.4 Definisi Sirkuit 10
vii
2.2.6 Defenisi Subgraf 10
2.3. Jaringan 11
2.3.1 Definisi Jaringan 11
2.3.2 Definisi Jaringan Transportasi 13
2.3.3 Definisi Arus 13
2.3.4 Definisi Kapasitas Sisa 14
2.3.5 Definisi Nilai Arus 14
2.3.6 Definisi f-saturated dan f-unsaturated 14
2.3.7 Definisi Arus Maksimum 14
2.3.8 Definisi Cut 15
2.3.9 Definisi Cut s-t 15
2.3.10 Definisi Cut Minimum 16
2.3.11 Definisi Sisi Maju dan Sisi Mundur 18
2.3.12 Definisi f-unsaturated Path 18
2.3.13 Definisi f-augmenting Path 19
2.4. Algoritma Dinic 20
2.4.1 Jaringan Sisa 21
2.4.2 Layered Network 22
2.4.3.Konstruksi Arus Baru 23
2.5. Algoritma Pelabelan Ford-Fulkerson 24
2.5.1 Aturan Pelabelan 24
2.6. Kemangkusan Algoritma 25
BAB III METODE PENELITIAN 26
3.1. Waktu dan Tempat Penelitian 26
3.2. Jenis Penelitian 26
3.3. Prosedur Penelitian 26
BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 28
4.1. Algoritma Dinic 28
4.1.1 Konstruksi Jaringan Sisa 28
viii
4.1.3.Konstruksi Arus Baru 35
4.2. Algoritma Pelabelan Ford-Fulkerson 46
4.3. Membandingkan Algoritma Dinic dengan Algoritma Pelabelan
Ford-Fulkerson 50
BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN 52
5.1. Kesimpulan 52
5.2. Saran 52
ix
Gambar 4.4. Jaringan Transportasi N dengan kapasitas jalur 35
Gambar 4.5. Jaringan transportasi untuk langkah 1 36
x
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
Lampiran 1 Foto Dokumentasi 56
Lampiran 2 Surat Kesediaan Dosen Pembimbing Skripsi 59
Lampiran 3 Surat Permohonan Izin Penelitian 60
Lampiran 4 Surat Izin Penelitian 61
Lampiran 5 Surat Izin Melakukan Penelitian 62
1 BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang paling banyak
aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu bentuk dari graf adalah flow
network, yaitu graf berarah yang tiap sisinya mempunyai kapasitas tertentu.
Terdapat banyak aplikasi flow network dalam kehidupan sehari-hari. Flow
network sering digunakan untuk memodelkan jaringan yang sering menjadi
masalah dalam kehidupan seperti jaringan lalu lintas, masalah arus listrik, jaringan
komunikasi, masalah produksi, distribusi, perencanaan proyek, penentuan lokasi,
jaringan pipa air, dan lain-lain. Transportasi barang dari lokasi sumber ke lokasi
tujuan yang melewati beberapa lokasi-antara merupakan salah satu contoh
masalah optimasi yang dapat didefinisikan ke dalam bentuk graf atau jaringan.
Optimasi adalah salah satu disiplin ilmu dalam matematika yang fokus untuk
mendapatkan nilai minimum atau maksimum secara sistematis dalam berbagai
kasus. Optimasi sangat berguna di segala bidang untuk mencapai hasil yang
memuaskan. Hal ini sesuai dengan prinsip ekonomi yang berorientasi untuk
menekan pengeluaran demi menghasilkan keluaran (output) yang maksimal.
Masalah optimasi penting dikarenakan persaingan yang semakin ketat di berbagai
bidang.
Terdapat 5 algoritma yang bisa digunakan dalam menyelesaikan masalah
flow network. Kelima algoritma tersebut antara lain algoritma pelabelan
Ford-Fulkerson, algoritma pelabelan Edmonds dan Karp, algoritma Dinic, algoritma
MPM (Malhotra, Pramodh Kumar & Maheswari), dan algoritma Goldberg-Tarjan
(Thulasiraman & Swamy, 1992).
Menurut Moligane, Algoritma Dinic lebih baik dibandingkan algoritma
Pelabelan Ford-Fulkerson, maupun algoritma Pelabelan yang telah dimodifikasi
oleh Edmonds-Karp (Yudhianto, 2003). Algoritma Dinic diperkenalkan oleh
Dinic pada tahun 1970. Sedangkan algoritma Ford-Fulkerson merupakan
2
dan Fulkerson pada tahun 1956. Dalam metode ini mereka ingin memaparkan
suatu cara untuk mencari kapasitas maksimum suatu aliran di dalam jaringan.
Selain menghemat waktu dengan mengolah algoritma ini menjadi suatu program,
metode ini juga akan efektif untuk para penggunanya dalam melakukan suatu
proses, tindakan, atau pengambilan keputusan untuk tujuan tertentu dengan
mengetahui arus maksimum yang terdapat dalam suatu jaringan (Ahuja & Orlin,
1989).
Dalam penulisan ini akan dibahas algoritma Dinic dan Algoritma Pelabelan
Ford-Fulkerson dengan langkah per langkah hingga akhirnya ditemukan arus
maksimum. Setelah itu dibandingkan kemangkusan dari kedua algoritma diatas.
Penulis merasa terdorong mencoba membahas penggunaan algoritma Dinic dan
Algoritma Ford-Fulkerson karena saran dari Yudhianto dalam tugas akhirnya
yang berjudul Algoritma Dinic dalam Masalah Arus Maksimum, agar ditelitinya
algoritma selain algoritma dinic sehingga diketahui algoritma mana yang
benar-benar efektif sesuai masalah arus maksimum.
Dua simpul penting di graf G adalah simpul sumber s dan simpul tujuan t.
Setiap jalur di G telah terkait dengan angka positif yang disebut kapasitas. Sebuah
arus dalam jaringan adalah kumpulan arus rangkaian yang memiliki sifat bahwa
jumlah dari banyaknya semua arus rangkaian yang terkandung dalam jalur
manapun adalah tidak lebih besar dari kapasitas busur itu (Ford & Fulkerson,
1956).
Pada jaringan asiklik berlapis. Untuk nilai arus maksimum, kedua fase
diulang sampai nilai arus maksimum dalam jaringan asli telah ditemukan.
Beberapa algoritma arus maksimum menggunakan pendekatan fase kedua untuk
memecahkan masalah nilai maksimum (Waissi, 1991).
Ahuja dan Orlin menunjukkan bahwa algoritma Dinic adalah sangat mirip
dengan algoritma jalur penambah terpendek. Memang algoritma jalur penambah
terpendek dapat dipandang sebagai algoritma Dinic di mana di tempat jaringan
berlapis, jarak label yang digunakan untuk mengidentifikasi jalur penambah
3
bahwa pada masalah yang sama mereka akan melakukan deretan penambahan
yang sama. Akibatnya, operasi yang dilakukan oleh algoritma Dinic adalah sama
seperti yang dilakukan oleh algoritma jalur penambah terpendek kecuali bahwa
jalur dipindai selama pelabelan ulang akan digantikan oleh jalur dipindai
sementara membangun jaringan berlapis (Ahuja, dkk., 1997).
Masalah arus maksimum, menemukan arus nilai maksimum pada jaringan
dari sumber ke tujuan, merupakan salah satu masalah yang paling mendasar
dengan berbagai aplikasi ilmiah dan teknik dan telah dipelajari secara intensif.
Masalahnya dirumuskan oleh Dantzig dan dipecahkan oleh Ford-Fulkerson
berdasarkan metode jalur penambah. Algoritma Ford-Fulkerson mengasumsikan
bahwa jaringan masukan memiliki kapasitas integral atau rasional dan
kadang-kadang gagal untuk benar menemukan arus maksimum atau untuk jaringan
dengan kapasitas rasional (Asano & Asano, 2000).
Berdasarkan hasil dari penelitian yang telah dilakukan oleh Yudhianto,
algoritma Dinic dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah arus maksimum
yang dimodelkan dalam suatu jaringan transportasi (Yudhianto, 2003). Penulis
akan mencoba menunjukkan penyelesaian masalah arus maksimum dengan
menggunakan algoritma pelabelan Ford-Fulkerson dalam suatu jaringan
transportasi. Kemudian hasil penelitian penulis nantinya akan dibandingkan
dengan hasil penelitian Yudhianto agar terlihat algoritma mana yang lebih baik
antara algoritma Dinic dan algoritma Ford-Fulkerson.
Dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia, kata dasar kemangkusan dan
keefektifan, mangkus dan efektif, sama-sama memiliki arti berhasil guna. Penulis
memilih kata kemangkusan dibanding keefektifan dikarenakan kata keefektifan
dalam bidang ilmu matematika mengandung makna ilmu statistik. Sedangkan
penulis tidak membahas ilmu statistik. Sehingga penulis tertarik untuk membahas
4 1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian latar belakang tersebut maka rumusan masalah yang akan diteliti adalah sebagai berikut :
1. Bagaimanakah menemukan solusi dari masalah arus maksimum dengan
menggunakan algoritma Dinic dan algoritma Pelabelan Ford-Fulkerson?
2. Manakah algoritma yang lebih mangkus untuk meyelesaikan masalah arus
maksimum antara algoritma Dinic dan algoritma Pelabelan
Ford-Fulkerson?
1.3 Batasan Masalah
Adapun batasan masalah dalam pembahasan ini adalah sebagai berikut :
1. Algoritma yang dibahas pada penulisan ini adalah algoritma Dinic dan
algoritma Pelabelan Ford Fulkerson.
2. Teori graf yang diuraikan dalam penulisan ini hanya menyangkut graf
berarah.
1.4 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Untuk mendapatkan solusi dari penggunaan algoritma Dinic dan algoritma
Pelabelan Ford-Fulkerson dalam masalah arus maksimum.
2. Untuk mengetahui perbandingan hasil penyelesaian masalah arus
maksimum dengan menggunakan algoritma Dinic dan algoritma Pelabelan
Ford-Fulkerson.
1.5 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat penelitian yang diharapkan dari penelitian ini adalah
sebagai berikut :
1. Untuk mendapatkan wawasan dan pengetahuan tentang algoritma Dinic
5
2. Untuk mendapatkan wawasan dan pengetahuan tentang perbedaan antara
algoritma Dinic dan algoritma Pelabelan Ford Fulkerson dalam masalah
arus maksimum.
3. Dapat digunakan sebagai dasar untuk melakukan penelitian yang berkaitan
52 BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil-hasil yang diperoleh, maka dapat disimpulkan bahwa :
1. Algoritma Dinic dan algoritma pelabelan Ford-Fulkerson dapat digunakan
untuk menyelesaikan masalah arus maksimum yang dimodelkan dalam
suatu jaringan transportasi. Algoritma Dinic ini menggunakan konstruksi
jaringan sisa, layered network dan konstruksi arus baru (blocking flow).
Algoritma pelabelan Ford-Fulkerson menggunakan 2 Fase. Fase pertama
yaitu melabeli s dengan (-,∞) dan semua simpul lainnya. Fase kedua yaitu
menghitung arus yang mengalir pada jalur. Algoritma Dinic dan algoritma
pelabelan Ford-Fulkerson memberikan hasil arus maksimum yang sama
yaitu sebanyak 7.
2. Algoritma pelabelan Ford-Fulkerson lebih mangkus dibandingkan dengan
algoritma Dinic karena algoritma pelabelan Ford-Fulkerson membutuhkan
waktu yang lebih singkat dan ruang memori yang lebih sedikit dalam
mencari penyelesaian masalah arus maksimum dibandingkan dengan
algoritma Dinic.
5.2 Saran
Pada tulisan ini penulis membahas algoritma Dinic dan algoritma
pelabelan Ford-Fulkerson serta membandingkan kemangkusan kedua algoritma
tersebut. Penulis tidak membahas algoritma pelabelan Edmonds dan Karp,
algoritma MPM (Malhotra, Pramodh Kumar & Maheswari), algoritma
Goldberg-Tarjan untuk masalah arus maksimum. Maka disarankan adanya tindak lanjut
pengerjaan untuk masalah arus maksimum untuk algoritma yang tidak dibahas
53
ini dapat diterapkan kepada perusahaan-perusahaan ataupun badan usaha dalam
menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan arus maksimum seperti
ii
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Biak (Papua Barat), pada tanggal 27 Januari 1990. Ayahanda
bernama L. Sirait dan Ibunda bernama K. Manik, dan merupakan anak ketujuh
dari tujuh bersaudara. Pada tahun 1994, penulis masuk Sekolah Taman
Kanak-kanak Tunas Harapan Nusa Biak, dan lulus pada tahun 1995. Pada tahun 1996,
penulis masuk sekolah SD Inpres Samofa, Biak. Dikarenakan ikut orang tua,
penulis pindah ke SD Negeri Nomor 101899 Lubuk Pakam, dan lulus pada tahun
2002. Pada tahun 2002, penulis melanjutkan sekolah di SMP Negeri 1 Lubuk
Pakam, dan lulus pada tahun 2005. Pada tahun 2005, penulis melanjutkan sekolah
di SMA Negeri 1 Lubuk Pakam dan lulus pada tahun 2008. Pada tahun 2008,
penulis diterima di Program Studi Matematika Jurusan Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Medan, dan lulus
ujian pada bulan Juli 2013. Kegiatan ekstrakulikuler yang pernah diikuti oleh
penulis di Universitas Negeri Medan yaitu Unit Kegiatan Mahasiswa Kristen
Protestan (UKMKP-UP FMIPA), dan Ikatan Keluarga Besar Kristen Matematika
