ANALISIS GERAK HARMONIK TEREDAM (DAMPED HARMONIC MOTION) DENGAN SPREADSHEET EXCEL

Q<RCBITJ{ Vol. 7 No.2 Juli 2011: 318-322

ANALISIS GERAK HARMONIK TEREDAM

(DAMPED

HARMONIC MOTION) DENGAN SPREADSHEET EXCEL

Oleh : Ahmad Fauzi

StafPengajar Program Pendidikan Fisika FKlP Universitas Sebelas Maret

Rn. Ir. Sutarnj No. 36 A Kentingan Surakarta

Abstrak

Gerak harmonik merupakan satu topik penting dalam Fisika dan ilmu teknik. Pada umumnya untuk mempermudah memahami karalcteristik gerak harmonik dengan asumsi kondisi ideal yakni tidak ada gesekan. Namun demikian pada kenyataannya asumsi tersebut horus diperhitungkan lag; karena adanya gesekan sangat berpengaruh terhadap gerak harmonik. Karalcteristik gerak harmonik teredam biasanya dinyatakan dalam persamaan differensial yang secara umum diselesaikan menurut anal isis analitik. Namun demikian untuk menyelesaikan persamaan dif.ferensial gerak harmonik teredam tidaklah mudah. Salah satu cara yang dapat digunakan untuk mengatasi masalah ini adalah dengan menggunakan analisis numerik. Dengan pendekatan numerik dengan menggunakan metode Euler-Cromer dengan bantuan Spreadsheet Excel gerak harmonik teredam lebih mudah dipahami karalcteristiknya. Dengan Spreadsheet Excel pengaruh perubahan nilai konstanta redaman dan konstata pegas sangat mudah divisualisasikan dalambentuk graftk. Berdasarkan hasil yang diperoleh disimpulkan bahwa hasH anal isis gerak harmonik teredam yang diperoleh dengan anal isis numerik hasilnya hampir soma dengan hasil yang dipeoleh dengan analisis analitik.

Kata kUDCi: gerak harmonik teredam, redaman, Euler-Cromer

1. Pendahuluan 2. Pembahasan

a. Analisis Gerak Harmonik Teredam Pada umumnya pembahasan gerak dengan Pendekatan Analitik

hamlonik selalu diasumsikan adanya keadaan ideal yaitu tidak ada gesekan yang bekerja pada osilator. Namun pada kenyataannya tidaklah demikian) sebagai contoh dalam kasus ayunan sederhana apabila diberikan suatu simpangan maka semakin lama amplitudonya semakin kecil sehingga akhimya berhenti. Hal tersebut menunjukkan adanya gesekan. Dengan demikian jelas bahwa adanya gesekan sangat mempengaruhi amplitudo ayunan. Gaya gesek ini dapat berupa gaya gesek yang ditimbulkan udara ataupun dalam sistem ayunan sistem itu sendiri (gesekan antara ujung tali dan dinding).

Gambar 1. Osilator Harmonik Teredam

Gambar 1 di atas menunjukkan sebuah silinder yang dihubungkan beban kemudian dimasukkan dalam suatu fluida

dx

dengan gaya redaman -b dt dan gaya pemulih pegas -kx. Jika silinder diberi simpangan kemudian dilepaskan maka silinder akan berosilasi dalam fluida

OCRCBlfJ!}{ Vol. 7 No.2 Juli 2011: 318-322

dengan amplitudo yang semakin lama semakin berkurang. Berkurangnya amplitudo gerak harmonik karena adanya gesekan lnl sering disebut sebagai redaman. Biasanya besarnya gesekan ini sebanding dengan kecepatan akan tetapi berlawanan arahnya. Untuk mempermudah dalam menganalisis digunakan pendekatan bahwa besarnya gesekan sebanding dengan kecepatan beban yang berosilasi. Gejala adanya redaman dalam gerak harmonik ini dapat ditemui pada shock absorber sepeda motor atau mobil.

Misalkan besarnya gaya gesek adalah Fx = - b Vx dimana Vx menyatakan kecepatan

gerak osilasinya. Tanda negatif muncul karena gaya gesek ini berlawanan arab. dengan arah gerak osilasinya. Dengan menggunakan hukum kedua Newton maka gaya total yang bekerja pada beban yang berosilasi dinyatakan dengan

l:Fx

=

-bvx - kx ... (1)

d2 _{x dx}

m - = - b - - k x

dt2 _dt

apabila kedua ruas persamaan dibagi dengan m akan diperoleh

d2 _{x -bdx k}

dt2

= -;;;:

dt - ;: X ... (2)

persamaan (2) dapat pula disusun kembali menjadi persamaan berikut

d2 _{x b dx k}

dt2

+;:

dt

+

m X

=

0 ... (3)

Persamaan (3) adalah persamaan differensial gerak osilator harmonik dengan redaman. solusi analitik persamaan (3) adalah

x

=

Ae

-(2~)tcoS

(w't

+

cfJ)

...

(4)

frekuensi sudut w' didefinisikan sebagai

w' =

J:-

C~)2

... (5)

Kita dapat mengecek kebenaran bahwa persamaan (4) merupakan solusi persamaan (3) dengan menghitung turunan pertama dan kedua dari x kemudian mensubstitusikan kedalam persamaan (2) lalu mengecek bahwa suku kiri dan kanan adalah sama.

Berdasarkan persamaan ( 4) dapat disimpulkan bahwa amplitudo getaran

Ae

-(2~)t

tidaklah konstan akan tetapi berkurang menurut faktor e

-(2~)t

sehingga amplitudo getarannya dapat berfluktuasi hingga menjadi nol. Dengan memperhatikan persamaan (5) kita ketahui bahwa nilai w' tidak tetap tetapi tergantung pada nilai b dengan uraian sebagai berikut.

• Jika

~

=

(~)2

maka akan teIjadi

m 2m

redaman kritis (Critical Damped). Pada keadaan redaman kritis ini sistem tidak akan berosilasi lagi akan tetapi akan kembali pada posisi kesetimbangan tanpa berosilasi ketika diberi simpangan kemudian dilepaskan.

• Jika

~

>

(~)2

maka akan teIjadi

m 2m

redaman kurang (Under Damped) pada kondisi ini maka sistem akan berosilasi namun dengan amplitudo yang akan semakin berkurang dengan bertambahnya waktu.

• Jika

!!..

<

(~)2

maka akan teIjadi

m 2m

redaman lebih (Over Damped). Pada keadaan lnl sistem tidak akan berosilasi lagi, namun sistem akan kembali pada posisi kesetimbangan lebih lambat jika dibandingkan dalam kasus teredam kritis.

b. Analisis Gerak Harmonik Teredam dengan Pendekatan N umerik

Untuk menganalisis gerak harmonk teredam dengan pendekatan numerik dapat digunakan metode Euler-Cromer dengan uraian sebagai berikut. Persamaan (3) dapat diuraikan sebagai berikut

d2 _{x -bdx k}

dt2

= -;;;:

dt - mX ... (6)

berdasarkan definisi bahwa

~::

= :;

maka persamaan ( 6) dapat dituliskan menjadi

dv = -b dx _ ~X ... (7)

dt m dt m

dx

Analisis GerakHarmonik Teredam ... n . . . . . . Ahmad Fauzi

Solusi numerik dengan metode Euler­

Cromer persamaan (7) dan (8) adalah

Vi+l = Vi - -b Vi llt - -k Xi llt ... (9)

m m

dan

Xi+l = Xi

+

Vi+l llt ...(10) Berdasarkan persamaan (9) dan (10) jelas dapat disimpulkan bahwa solusi dengan

analisis numerik lebih mudah

dibandingkan solusi eksaknya.

Salah satu cara memvisualisasikan

persamaan (4) maupun persamaan (9) dan (10) adalah dengan menggunakan alat bantu komputer dengan program tertentu. Pada makalah ini, akan digunakan program

Sprea~heet Excel untuk memvisualisasikan persamaan (4) maupun

persamaan (9) dan (10). Misalkan dalam

sistem gerak harmonik teredam terdiri atas

sebuah balok dengan massa 1 kg

dihubungkan dengan pegas dengan

konstanta pegas 8 N/m dan b=O,23. Balok

dimasukkan ke dalam fluida, balok ditarik sejauh 20 em kemudian dilepaskan,

dengan menggunakan Spreadsheet Excel,

persoalan tersebut dapat diselesaikan

dengan langkah berikut. Langkah awal

yang perlu kita lakukan untuk

menyelesaikan soal tersebut adalah dengan

mendeklarasikan variabel-variabel

persamaanya dalam Spreadsheet seperti

tabel berikut.

Tabell Variabel-Variabel dalam Gerak

t v X Numerik X Analitik 0 0 0.2 0.2 0.05 -0.08 0.196 0.19687136 0.1 -0.15748 0.188126 0.18987013= 0.15 -0.23092 0.17658003 0.1791796 0.2 -0.2989 0.16163524 0.16505417 0.25 -0.36011 0.14362961 0.14781355 0.3 -0.41342 0.12295845 0.12783561 0.35 -0.45785 0.10006584 0.10554827 0.4 -0.49261 0.07543518 0.0814204 0.45 -0.51712 0.04957907 0.05595201 0.5 -0.53101 0.02302872 0.02966406 0.55 -0.53411 -0.0036769 0.00308779 0.6 -0.5265 -0.0300018 -0.0232459 0.65 -0.50844 -0.055424 -0.048817 0.7 -0.48043 ·0.0794453 -0.0731266 0.75 -0.44312 ·0.1016015 -0.0957065 0.8 -0.39739 -0.1214709 -0.1161282 0.85 -0.34423 -0.1386823 -0.134011 0.9 -0.2848 -0.1529222 -0.1490289 0.95 -0.22035 -0.1639398 -0.1609165 1 -0.15224 -0.171552 -0.1694737 1.05 ·0.08187 -0.1756456 -0.1745685 1.1 ·0.01067 -0.1761792 -0.1761395 1.15 0.059922 -0.173183 -0.1741957 1.2 0.128507 -0.1667577 I -0.168816 1.25 0.193732 -0.1570711 -0.1601464 1.3 0.254332 ·0.1443545 -0.1483967 ... ." ... .. . Harmonik Teredam Variabel Nilai v 0 k 8 xo 0.2 b 0.23 dt m Satuan mls N/m m s kg

Langkah selanjutnya adalah membuat

grafik dengan Spreadsheet untuk

hubungan simpangan terhadap waktu seperti grafik berikut.

Langkah selanjutnya adalah mengadakan

komputasi dengan Spreadsheet untuk

menentukan posisi balok seperti dalam tabel berikut.

Tabel 2 Perbandingan Posisi Balok menurut Analisis Analitik dan Numerik

ClM3ITJ( Vol. 7 No.2 Juli 2011: 318-322 0.3

]:

0.2 c _0.1 ftI CIiI C ftI ₀ a. E -0.1 iii -0.2 Waktu (s) - x Numerik ----­ x Analitik

Grafik 1. Gerak Harmonik Teredam. Terhadap Waktu untuk

cp=o

Berdasarkan tabel (2) dan grafik (1) disimpulkan bahwa amplitudo gerak harmonik dengan redaman tidaklah tetap, akan tetapi amplitudonya menurun sebagai fungsi waktu. Berdasarkan tabel (2) dapat disimpulkan bahwa simpangan pada t = 0.05 s menurut analisis analitik adalah 0.197 m sedangkan menurut analisis numerik simpangannya adalah 0.196 m dengan demikian perhitungan dengan analsis numerik mengandung kesalahan 0.44%. Namun demikian kesalahan yang ditimbulkan perhitungan dengan analisis numerik tidaklah linear akan tetapi selalu berfluktuasi terhadap waktunya.

0.3

]:

0.2 c 0.1 ftI CIiI ₀ C ftI a. _-0.1 E iii _-0.2 -0.3 Waktu (s) - b= 0.25 ----­ b= 0.1

Grafik 2. Gerak Harmonik dengan Redaman untuk b yang Berbeda

Berdasarkan grafik (2) terlihat bahwa dengan semakin besar nilai b maka amplitudo getarannya semakin cepat

menurun apabila dibandingkan untuk nilai b yang lebih keeil akan tetapi jika nilai b semakin besar maka periodenya akan bertambah. 0.3

]:

0.2 c ftI 0.1 CIiI C ftI a. 0 E iii -0.1 -0.2 Waktu (s) - k = l ---k=8

Grafik 3. Gerak Harnlonik Dengan Redaman untuk k yang Berbeda

Berdasarkan grafik (3) dapat disimpulkan bahwa nilai k tidak berpengaruh terhadap laju penurunan amplitudonya, apabila k semakin keeil maka periodenya semakin besar.

3. Penutup

Berdasarkan ural an di atas dapat dikemukakan bahwa persamaan differensial gerak harmonik teredam lebih mudah dieari dengan pendekatan numerik dari pada dengan pendekata analitik. Dengan menggunakan Spreadsheet Excel dapat divisualisasikan solusi numerik persamaan differensial gerak harnlonik teredam.. Berdasarkan hasil analisis grafik yang diperoleh dari Spreadsheet Excel dapat disimpulkan seeara mudah bahwa pada gerak harmonik teredam, semakin besar nilai koefisien redam. (b) maka amplitudo getarannya semakin eepat menurun apabila dibandingkan untuk nilai b yang lebih keeil akan tetapi jika nilai b semakin besar maka periodenya akan bertambah. Selain itu dapat pula dikemukakan bahwa nilai konstanta pegas (k) tidak berpengaruh terhadap laju penurunan amplitudonya, apabila k

Analisis Gerak Harmonik Teredam ... ... ... Ahmad Fauzi

semakin kecil maka periodenya semakin besar

DAFTAR PUSTAKA

Bloch, S.C. 2005. Excel untuk Insinyur

dan Ilmuwan. Terjemahan Soni Astranto. Jakarta: Erlangga.

Chapra, S. dan Canale, R. 1998. Numerical

Methods for Engineers with

Programming and Software

Apllication. Singapura: McGraw­ HilL

Chapra, S. dan Canale, R. 1991. Metode

Numerik. TeIjemahan Nyoman

Susila. Jakarta: Erlangga.

Fauzi, A. 2010. Pemanfaatan Spreadsheet

Excel untuk Menyelesaikan Soal­ soal Fisika. Surakarta: UNS Press.

Giordano, N, 1997. Computational

Physics. New Jersey: Prentice Hall.

Halliday, D dan Resnick, R. 1997. FISlKA

JIUD 1. Terjemahan Pantur Silaban

dan Erwin Sucipto. Jakarta:

Erlangga.

Karris, S. 2007. Numerikal Analysis Using

MATLAB and Excel . ... : Orchad Publications.

Mittal, P dan Dev J. 1994. Waves And

Oscillations. New Delhi: HAR­ ANAND PUBLICATIONS.

Plybon, B. 1992. Apllied Numerikal

Analysis.USA: PWS-KENT.

Tipler, P. 1998. Fisika Untuk Sains dan

Teknik. Jakarta: Erlangga.

Young dan Freedman.2004.University

PhYSics. San Francisco: Pearson Addison Wesley.