1 BAB I PENDAHULUAN
Sebuah jaringan terdiri dari sekelompok node yang dihubungkan oleh busur atau cabang. Suatu jenis arus tertentu berkaitan dengan setiap busur. Notasi standart untuk menggambarkan sebuah jaringan G adalah G=(N,A), dimana N adalah himpunan node dan A adalah himpunan busur. Suatu jenis rute tertentu berkaitan dengan setiap jaringan. Pada umumnya, arus dalam sebuah busur dibatasi oleh kapasitasnya, yang dapat terbatas dan tidak terbatas. Sebuah busur dikatakan terarah dan terorientasi jika busur tersebut memungkinkan arus positif dalam satu arah dan arus nol dalam arah yang berlawanan. Karena itu, jaringan yang terarah adalah jaringan dengan semua busur yang terarah.
Jalur adalah urutan busur-busur tertentu yang menghubungkan dua node tanpa bergantung pada orientasi busur-busur tersebut secara individual. Jalur akan membentuk sebuah loop atau siklis jika jalur itu menghubungkan sebuah node dengan dirinya sendiri. Sebuah loop yang terarah (atau sebuah sirkuit) adalah sebuah loop di mana semua busur-busurnya memiliki arah atau orientasi yang sama.
Jaringan yang berhubungan adalah sebuah jaringan dimana setiap dua node dihubungkan dengan sebuah jalur. Masalah rute terdekat berkaitan dengan penentuan busur – busur yang dihubungkan dalam sebuah jaringan transportasi yang secara bersama – sama membentuk jarak terdekat di antara sumber dan tujuan. Suatu jaringan dikatakan bersifat asiklis jika tidak memiliki loop dan bersifat siklis jika memiliki loop.
2 BAB II PEMBAHASAN
Algoritma asiklis didasari oleh penggunaan perhitungan rekursif yang merupakan dasar dari penghitungan pemprograman dinamis. Langkah-langkah dari algoritma ini adalah :
Langkah 1 : Node 1 adalah node awal (sumber atau asal), u1 = 0. Nilai – nilai uj , j = 1, 2, … ,n dihitung secara rekursif dengan rumus di bawah ini
{
i ij}
i ij i j d u i sebelumnya node ke j ini saat node antara d jarak plus nya mendahului tepat yang i node satu ke u terdekat jarak u + = = minLangkah 2 : Mengidentifikasi node – node yang ditemui di sepanjang rute dengan menggunakan prosedur pelabelan yang mengaitkan label berikut ini dengan node j: label node j = [uj , n] di mana n adalah node j yang tepat mendahuluinya, yang mengarah pada jarak terdekat uj, yaitu :
{
}
nj n ij i i j d u d u u + = + =minRute optimum tersebut diperoleh dengan dimulai dari node akhir dan menelusuri ke belakang dengan menggunakan informasi label.
Contoh penerapan algoritma asiklis : 1. Teka – teki Tiga Tempayan
Diberi satu tempayan ukuran 8 galon yang diisi dengan cairan tertentu. Diberi pula dua tempayan kosong ukuran 5 galon dan 3 galon. Yang diperlukan adalah membagi cairan tersebut ke dalam dua bagian yang masing – masing berisi 4 galon dengan menuang di antara ketiga tempayan tersebut. Alat ukur lain tidak diijinkan.
Kita menggunakan representasi jaringan untuk membuat model situasi ini. Sebuah node didefinisikan untuk mewakili jumlah cairan dalam tempayan 8 galon, 5 galon, dan 3 galon secara berturut – turut. Kita menggunakan notasi (a, b, c) untuk meringkas definisi node tersebut. Contohnya, node (8, 0, 0) berarti bahwa
3
tempayan 8 galon adalah penuh, tempat 5 galon dan 3 galon kosong. Jika kita menuang dari tempayan 8 galon untuk mengisi tempat 5 galon, kita tiba di node (3, 5, 0). Node (8, 0, 0) sebenarnya mewakili keadaan awal dari sistem ini sebelum pembagian dilakukan, sementara node (3, 5, 0) mewakili satu node yang mungkin di sepanjang jalur yang pada akhirnya mengarahkan kita ke pemecahan yang diinginkan (4, 4, 0). Tujuan kita adalah menemukan jalur (urutan node) yang akan membawa kita dari keadaan awal ini, node (8, 0, 0), ke pemecahan akhir (4, 4, 0). Amati bahwa tidak ada kombinasi selain (4, 4, 0) yang memberikan pemecahan akhir yang diinginkan, karena tempayan ketiga hanya memiliki kapasitas 3 galon.
“Panjang” busur yang menghubungkan berbagai busur akan dipandang sebagai jumlah operasi penuangan yang diperlukan untuk mencapai satu node dari node lainnya. Misalnya, panjang busur dari node (8, 0, 0) ke node (3, 5, 0) adalah 1 karena hanya satu operasi diperlukan untuk mengubah keadaan node tersebut. Tujuan kita tentu saja menemukan jalur terdekat dari node awal (8, 0, 0) ke node akhir (4, 4, 0). Jadi model ini termasuk dalam kategori algoritma rute terdekat.
Gambar 1-1 mewakili semua node yang menjanjikan yang dapat mengarah dari node (8, 0, 0) ke node akhir (4, 4, 0). Setiap busur dalam jaringan ini bersesuaian dengan tepat satu “operasi” penuangan; jadi masing – masing memiliki panjang nominal sebesar 1 unit.
8,0,0 4,1,3 7,1,0 7,0,1 2,5,1 2,3,3 5,3,0 5,0,3 4,4,0 3,5,0 3,2,3 6,2,0 6,0,2 1,5,2 1,4,3
4
Gambar 1-1. Jalur – jalur dari node awal (8, 0, 0) ke node akhir (4, 4, 0). Kemungkinan Penuangan:
(8, 0, 0) → (5, 0, 3) → (5, 3, 0) → (2, 3, 3) → (2, 5, 1) → (7, 0, 1) → (7, 1, 0) → (4, 1, 3) → (4, 4, 0) memerlukan 8 operasi penuangan.
(8, 0, 0) → (5, 0, 3) → (5, 3, 0) → (3, 5, 0) → (3, 2, 3) → (6, 2, 0) → (6, 0, 2) → (1, 5, 2) → (1, 4, 3) → (4, 4, 0) memerlukan 9 operasi penuangan
(8, 0, 0) → (5, 0, 3) → (5, 3, 0) → (2, 3, 3) → (2, 5, 1) → (3, 5, 0) → (3, 2, 3) →(6, 2, 0) → (6, 0, 2) → (1, 5, 2) → (1, 4, 3) → (4, 4, 0) memerlukan 11 operasi penuangan
(8, 0, 0) → (5, 0, 3) → (5, 3, 0) → (2, 3, 3) → (2, 5, 1) → (7, 0, 1) → (7, 1, 0) → (3, 5, 0) → (3, 2, 3) → (6, 2, 0) → (6, 0, 2) → (1, 5, 2) → (1, 4, 3)
→ (4, 4, 0) memerlukan 13 operasi penuangan
(8, 0, 0) → (3, 5, 0) → (3, 2, 3) → (5, 0, 3) → (5, 3, 0) → (2, 3, 3) → (2, 5, 1) → (7, 0, 1) → (7, 1, 0) →(4, 1, 3) → (4, 4, 0) memerlukan 10 operasi penuangan
(8, 0, 0) → (3, 5, 0) → (3, 2, 3) → (6, 2, 0) → (6, 0, 2) → (5, 0, 3) → (5, 3, 0) → (2, 3, 3) → (2, 5, 1) → (7, 0, 1) → (7, 1, 0) →(4, 1, 3) → (4, 4, 0) memerlukan 12 operasi penuangan
(8, 0, 0) → (3, 5, 0) → (3, 2, 3) → (6, 2, 0) → (6, 0, 2) → (1, 5, 2) → (1, 4, 3) → (5, 0, 3) → (5, 3, 0) → (2, 3, 3) → (2, 5, 1) → (7, 0, 1) → (7, 1, 0)
→(4, 1, 3) → (4, 4, 0) memerlukan 14 operasi penuangan
(8, 0, 0) → (3, 5, 0) → (3, 2, 3) → (6, 2, 0) → (6, 0, 2) → (1, 5, 2) → (1, 4, 3) → (4, 4, 0) memerlukan 7 operasi penuangan
Pemecahan optimal memerlukan tujuh operasi penuangan dan (jelas) diketahui berdasarkan urutan berikut ini :
(8, 0, 0) → (3, 5, 0) → (3, 2, 3) → (6, 2, 0) → (6, 0, 2) → (1, 5, 2) → (1, 4, 3) → (4, 4, 0)
2. Penggantian Peralatan
Sebuah perusahaan penyewaan mobil sedang mengembangkan sebuah rencana penggantian armadanya dalam 5 tahun mendatang. Sebuah mobil harus
5
dipergunakan setidaknya 1 tahun sebelum penggantian dapat dipertimbangkan. Tabel 1-1 meringkaskan biaya penggantian per mobil (dalam ribuan dollar) sebagai fungsi dari waktu dan jumlah tahun operasi. Biaya ini mencakup pembelian, nilai sisa, biaya operasi, dan perawatan.
Tabel 1-1 1 2 3 4 5 1 4,0 5,4 9,8 13,7 Tahun 2 4,3 6,2 8,1 3 4,8 7,1 4 4,9
Masalah ini dapat direpresentasikan dengan sebuah jaringan sebagai berikut. Setiap tahun diwakili dengan sebuah node. “Panjang” sebuah busur yang menghubungkan dua node sama dengan biaya penggantian yang bersangkutan seperti yang diberikan Tabel 1-1. Gambar 1-2 memperlihatkan jaringan ini. Masalahnya menjadi menemukan “rute” terdekat dari node 1 ke node 5.
Gambar 1-2. Jaringan dari node 1 ke node 5.
Berdasarkan definisi, label node 1 adalah [0,-], yang menunjukkan bahwa node 1 adalah sumber
Node j Perhitungan uj Label
1 u1 = 0 [0 ; -] 1 4 2 4.3 3 4 5 4.8 4.9 6.2 8.1 7.1 5.4 9.8 13.7 [0 ; -] [4 ; 1] [5.4 ; 1] [9.8 ; 1] [12.1 ; 2]
6 2 u2 = u1 + d12 = 0 + 4 = 4, dari 1 [4 ; 1] 3 u3 = min {u1 + d13 ; u2 + d23} = min {0 + 5.4 ; 4 + 4.3}=5.4, dari 1 [5.4 ; 1] 4 u4 = min { u1 + d14 ; u2 + d24 ; u3 + d34} = min {0 + 9.8 ; 4 + 6.2 ; 5.4 + 4.8} = 9.8, dari 1 [9.8 ; 1] 5 u5 = min { u1 + d15 ; u2 + d25 ; u3 + d35 ; u4 + d45} = min {0 + 13.7 ; 4 + 8.1 ; 5.4 + 7.1 ; 9.8 + 4.9} = 12.1, dari 2 [12.1 ; 2]
Rute optimum tersebut diperoleh dengan dimulai dari node 5 dan menelusuri ke belakang dengan menggunakan informasi label. Urutan berikut ini memperlihatkan prosedur tersebut: (5) → [12.1; 2] → (2) → [4 ; 1] → (1)
Pemecahan optimal akan menghasilkan rute 1→ 2 → 5 dengan biaya total 4 + 8,1 = 12,1 (ribuan dollar). Ini berarti bahwa setiap mobil akan diganti di tahun 2 dan disingkirkan di tahun 5.
3. Rute yang Paling Andal
I.Q. Smart harus mengendarai mobil setiap hari dari tempat kediamannya ke tempat kerja. Setelah baru saja mengikuti kuliah analisis jaringan, Smart mampu menentukan rute terdekat ke tempat kerja. Sayangnya, rute terdekat itu sangat dijaga oleh polisi.
Dengan semua denda yang dibayarkan karena pelanggaran terhadap batas kecepatan, rute terdekat itu jelas bukan merupakan pilihan yang baik. Smart karena itu memutuskan untuk memilih rute yang memaksimumkan probabilitas tidak dihentikan polisi. Setelah mengamati semua segmen jalan yang layak, probabilitas tersebut dikumpulkan seperti yang diberikan sebagai busur – busur yang berbeda (segmen jalan) dalam Gambar 1-3.
7
Gambar 1-3. Probabilitas tidak dihentikan polisi pada masing-masing jalan.
Setelah meneliti informasi probabiltas ini, Smart menyadari bahwa probabilitas total untuk tidak dihentikan polisi dalam satu rute tertentu sama dengan hasil perkalian probabilitas yang berkaitan dengan segmen jalan yang membentuk rute tersebut. Misalnya, probabilitas yang berkaitan dengan rute 1→ 2
→ 3 → 5 → 7 adalah 0,2 x 0,6 x 0,3 x 0,25 = 0,009. Walaupun adalah mungkin
untuk menghitung semua probabilitas seperti ini (delapan rute dalam kasus ini), Kemungkinan rute yang terjadi adalah:
1→ 2 → 4 → 6 → 7 = 0.2 x 0.8 x 0.35 x 0.5 = 0.028 1→ 2 → 4 → 5 → 7 = 0.2 x 0.8 x 0.4 x 0.25 = 0.016 1→ 2 → 3 → 5 → 7 = 0.2 x 0.6 x 0.3 x 0.25 = 0.009 1→ 2 → 3 → 4 → 6 → 7 = 0.2 x 0.6 x 0.1 x 0.35 x 0.5 = 0.0021 1→ 2 → 3 → 4 → 5 → 7 = 0.2 x 0.6 x 0.1 x 0.4 x 0.25 = 0.0012 1→ 3 → 4 → 6 → 7 = 0.9 x 0.1 x 0.35 x 0.5 = 0.01575 1→ 3 → 4 → 5 → 7 = 0.9 x 0.1 x 0.4 x 0.25 = 0.009 1 → 3 → 5 → 7 = 0.9 x 0.3 x 0.25 = 0.0675
Smart memutuskan untuk mengkonversikan masalah ini menjadi sebuah model rute terdekat dengan menggunakan konversi berikut ini. Anggalah P1k = P1
x P2 x … x Pk adalah probabilitas tidak dihentikan polisi dalam satu rute tertentu
(1,k), maka
log P1k = log P1 + log P2 + … + log Pk 1 3 6 7 6 4 2 0.2 0.8 0.35 0.5 0.9 0.6 0.1 0.4 0.3 0.25
8
Maksimisasi P1k secara aljabar adalah setara dengan memaksimumkan log P1k dan, konsekuensinya, setara dengan memaksimumkan jumlah logaritma dari probabilitas individual di sepanjang rute yang dipilih. Karena log Pj ≤ 0, j = 1, 2,
…, k, memaksimumkan jumlah log Pj adalah setara dengan meminimumkan
jumlah (-log Pj). Tabel 1-2 meringkaskan probabilitas dalam Gambar 1-3 dan logaritmanya. Gambar 1-4 sekarang mengekspresikan masalah Smart sebagai model rute terdekat.
“Rute terdekat” dalam Gambar 1-4 didefinisikan dengan node 1→ 3 → 5
→ 7 dengan jarak yang bersesuaian 1,1707. Jadi log P7 = -1,1707, atau P7 = 0,0675. Ini berarti bahwa probabilitas maksimum untuk tidak dihentikan polisi hanyalah 0,0675.
Tabel 1-2 Segmen Jalan
(i,j) Pij log Pij -log Pij
(1,2) 0.2 -0.699 0.69897 (1,3) 0.9 -0.0458 0.04576 (2,3) 0.6 -0.2219 0.22185 (2,4) 0.8 -0.0969 0.09691 (3,4) 0.1 -1 1 (3,5) 0.3 -0.5229 0.52288 (4,5) 0.4 -0.3979 0.39794 (4,6) 0.35 -0.4559 0.45593 0.25 -0.6021 0.60206 (6,7) 0.5 -0.301 0.30103
9
Gambar 1-4. Masalah Smart sebagai rute terdekat. 1 3 6 7 6 4 2 0.69897 0.09691 0.45593 0.30103 0.04576 0.22185 1.0 0.39794 0.52288 0.60206
10 BAB III PENUTUP
Algoritma asiklis untuk menyelesaikan permasalahan rute terdekat pada suatu jaringan yang tidak memiliki loop (asiklis) dengan penggunaan perhitungan rekursif dengan rumus di bawah ini :
{
i ij}
i ij i j d u i sebelumnya node ke j ini saat node antara d jarak plus nya mendahului tepat yang i node satu ke u terdekat jarak u + = = minDengan u1 = 0, rute optimum tersebut diperoleh dengan dimulai dari node akhir dan menelusuri ke belakang dengan menggunakan informasi label.
11
DAFTAR PUSTAKA
Taha, Hamdy A.2007.Operations Research : an introduction.-8th ed. Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, New Jersey.
