MATEMATIKA WAJIB MATERI DAN PENJELASAN TENTANG TRIGONOMETRI

(1)

MATEMATIKA WAJIB

MATERI DAN PENJELASAN

TENTANG TRIGONOMETRI

DISUSUN OLEH : 1. Jaka kanu 2. Nada putri 3. fahzlin 4. Anastasia 5. Lutfiah 6. Febi ferdiansyah

PEMERINTAH KABUPATEN BANGKA BARAT

DINAS PENDIDIKAN, PEMUDA DAN OLAHRAGA

SMA NEGERI 1 MUNTOK

Jl. Jend Sudirman no. 190 Muntok Bangka Barat 33351

Telp. 0716 – 21350 email : sma1_muntok@yahoo.com

(2)

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena berkat rahmat dan hidayah-Nya, penulis dapat menyelesaikan makalah yang berjudul “Materi Dan Penjelasan

Tentang Trigonometri” sebagaimana mestinya.

Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas mata pelajaran matematika peminatan. Dalam penyusunan makalah ini, banyak kendala yang penulis temukan. Namun, berkat bantuan dari berbagai pihak, makalah ini dapat diselesaikan tepat pada waktunya. Untuk itu, pada

kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada guru pengajar yang telah memberi masukan dalam mengerjakan makalah ini dan pihak terkait yang telah membantu

penulis dalam penyusunan makalah ini.

Penulis menyadari sepenuhnya bahwa makalah ini masih jauh dari kesempurnaan. Untuk itu kritik dan saran yang bersifat membangun sangat penulis harapkan dari para pembaca.

Semoga makalah ini bermanfaat bagi kita semua.

Muntok,11 April 2015

(3)

BAB 1

ISI

Trigonometri

PENGERTIAN Trigonometri

Trigonometri (dari bahasa Yunanitrigo non = tiga sudut danme tro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsiTrigonometri seperti sinus, cosinus, dan tangen. Ada banyak aplikasi trigonometri salah satunya adalah teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintangterdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistemnavigasi satelit.

Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi (dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik, akustik,optik, analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi,pencitraan medis/medical imaging farmasi, kimia, teori angka seismologi,meteorologi, oseanografi, berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei darat dangeodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik listrik, teknik mekanik, tekniksipil, grafik komputer, kartografi, kristalografi.Fungsi trigonometri adalah hal yang sangat penting dalam sains, teknik,arsitektur dan bahkan farmasi.

Ukuran Sudut

Sudut adalah ukuran jumlah rotasi antar dua potongan garis. Kedua potongan garis (sinar) ini dinamakan sisi awal dan sisi terminal.Bila rotasinya bersifat berlawanan arah jarum jam, sudutnya positif. Jika searah jarum jam, sudutnya negatif.

Sudut sering diukur dalam derajat atau radian. Ada satuan ukur sudut lain yang disebut gradian. Sudut siku-siku dibagi menjadi 100 gradian. Gradian digunakan oleh surveyor, namun tidak umum dipakai dalam matematika. Kamu bisa menemukan tombolnya, grad, di kalkulator ilmiah.

Ukuran Sudut 1 putaran = 360 derajat (360°) = 2π radian

(4)

Catatan:  Sin = sinus  Cos = cosinus  Tan/Tg = tangens  Sec = secans  Cosec/Csc = cosecans  Cot/Ctg = cotangens

Dari gambar tersebut dapat diperoleh:

(sec merupakan kebalikan dari cos, csc merupakan kebalikan dari sin, dan cot merupakan kebalikan dari tan)

Contoh:

Dari segitiga berikut ini:

Diketahui panjang AB = 12 cm, AC = 13 cm. Hitung semua nilai perbandingan trigonometri untuk sudut A!

(5)

Nilai perbandingan trigonometri beberapa sudut istimewa

* tambahan: sin 37° = cos 53° = 0,6

Identitas Trigonometri

Dari nilai fungsi trigonometri tersebut kemudian diperoleh identitas trigonometri. Identitas trigonometri adalah suatu persamaan dari fungsi trigonometri yang bernilai benar untuk setiap sudutnya dengan kedua sisi ruasnya terdefinisi. Identitas trigonometri terbagi 3, yaitu Identitas Kebalikan, Identitas Perbandingan dan Identitas Phytagoras yang masing-masing memiliki fungsi dasar, yaitu:

Identitas Kebalikan Identitas Perbandingan Identitas Phytagoras Cosec A = 1/ sin A

Sec A = 1/cos A Cot A = 1/ tan A

Tan A = Sin A/ Cos A Cot A = Cos A / Sin A

Cos2 A + Sin2 A = 1 1 + tan2 A = Sec2 A 1 + Cot2 A = Cosec2 A

Kuadran

Kuadran adalah pembagian daerah pada sistem koordinat kartesius → dibagi dalam 4 daerah.Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran memenuhi aturan seperti pada gambar:

(6)

Untuk sudut b > 360° → b = (k . 360 + a) → b = a (k = bilangan bulat > 0)

Mengubah fungsi trigonometri suatu sudut ke sudut lancip

 Jika menggunakan 90 ± a atau 270 ± a maka fungsi berubah: sin ↔ cos

tan ↔ cot sec ↔ csc

 Jika menggunakan 180 ± a atau 360 ± a maka fungsi tetap

Sudut dengan nilai negatif

Nilai negatif diperoleh karena sudut dibuat dari sumbu x, diputar searah jarum jam

Untuk sudut dengan nilai negatif, sama artinya dengan sudut yang berada di kuadran IV

Contoh:

 Cos 120º = cos (180 – 60)º = – cos 60º = – 1/2 (120º ada di kuadran II sehingga nilai cos-nya negatif)

(7)

 Tan 1305º = tan (3.360 + 225)º = tan 225º = tan (180 + 45)º = tan 45º = 1 (225º ada di kuadran III sehingga nilai tan-nya positif)

 Sin –315º = – sin 315º = – sin (360 – 45)º = –(– sin 45)º = sin 45º = 1/2 √2

Identitas Trigonometri

Sehingga, secara umum, berlaku: sin2_{a + cos}2_{a = 1}

1 + tan2a = sec2a 1 + cot2a = csc2a

Grafik fungsi trigonometri

(8)

y = cos x

y = tan x

(9)

y = sec x

y = csc x

Menggambar Grafik fungsi y = A sin/cos/tan/cot/sec/csc (kx ± b) ± c

1. Periode fungsi untuk sin/cos/sec/csc = 2π/k → artinya: grafik akan berulang setiap kelipatan 2π/k, Periode fungsi untuk tan/cot = π/k → artinya: grafik akan berulang setiap kelipatan π/k

2. Nilai maksimum = c + |A|, nilai minimum = c – |A| 3. Amplitudo = ½ (ymax – ymin)

(10)

1. Gambar grafik fungsi dasarnya seperti pada gambar di atas

2. Hitung periode fungsi, dan gambarkan grafik sesuai dengan periode fungsinya 3. Jika A ≠ 1, kalikan semua nilai y pada grafik fungsi dasar dengan A

4. Untuk kx + b → grafik digeser ke kiri sejauh b/k 5. Untuk + c → grafik digeser ke atas sejauh c

Aturan-Aturan pada Segitiga ABC

Aturan Sinus

Dari segitiga ABC di atas:

Sehingga, secara umum, dalam segitiga ABC berlaku rumus:

Aturan Cosinus

Dari segitiga ABC di atas:

Sehingga, secara umum:

(11)

Luas Segitiga

Dari segitiga ABC di atas diperoleh:

Sehingga, secara umum:

Rumus Jumlah dan Selisih Sudut

Dari gambar segitiga ABC berikut:

AD = b.sin α BD = a.sin β

(12)

Untuk mencari cos(α+β) = sin (90 – (α+β))°

(13)

Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh adalah:

(14)

Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh adalah:

Penurunan dari rumus cos2α:

Rumus Perkalian Fungsi Sinus dan Kosinus

Dari rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut dapat diturunkan rumus-rumus baru sebagai berikut:

(15)

Rumus Jumlah dan Selisih Fungsi Sinus dan Kosinus

Dari rumus perkalian fungsi sinus dan kosinus dapat diturunkan rumus jumlah dan selisih fungsi sinus dan kosinus.

MATEMATIKA WAJIB MATERI DAN PENJELASAN TENTANG TRIGONOMETRI