BAB II
LANDASAN TEORI
A. Graf
Teori graf merupakan pokok bahasan yang sudah tua usianya namun memiliki banyak terapan sampai saat ini. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek yang dinyatakan sebagai noktah, bulatan, atau titik, sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan garis (Munir. 2007: 353).
1. Definisi graf
2. Jenis-jenis graf
Graf dapat digolongkan menjadi beberapa jenis graf yang spesifik. Jenis-jenis graf ini akan dijelaskan seperlunya untuk membatasi graf dan menyamakan pengertian mengenai graf yang akan dipakai dan dibahas pada penelitian ini.
Graf dapat dikelompokan menjadi beberapa kategori (jenis) bergantung pada sudut pandang pengelompokannya. Pengelompokan graf dapat dipandang berdasarkan ada tidaknya sisi ganda atau sisi kalang, berdasarkan orientasi arah pada sisi atau berdasarkan jumlah simpul.
Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf, maka secara umum graf dapat digolongkan menjadi dua jenis yaitu:
a. Graf sederhana
Gambar 1. Graf sederhana b. Graf tidak sederhana
Graf tak sederhana adalah graf yang mengandung sisi ganda atau gelang. Ada dua macam graf tak sederhana yaitu graf ganda (multigraph) dan graf semu (pseudograph). Graf ganda adalah graf yang mengandung sisi ganda. Sisi ganda yang menghubungkan sepasang simpul bisa lebih dari dua buah. Dapat juga didefinisikan, graf ganda G = (V, E) terdiri dari himpunan tak kosong simpul-simpul dan E adalah himpunan ganda (multiset) yang mengandung sisi ganda. Contoh graf tak sederhana:
Gambar 2. Graf ganda
Sedangkan graf semu adalah graf yang mengandung gelang (loop). Graf semu lebih umum daripada graf ganda, karena sisi pada graf
2 3
4 1 1
2 3
semu dapat terhubung ke dirinya sendiri. Contoh graf semu dengan e adalah simbol edge atau busur;
Gambar 3. Graf semu
Sisi pada graf mempunyai orientasi arah. Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf dibedakan atas dua jenis, yaitu:
a. Graf tak-berarah (undirected graph)
Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak-berarah. Pada graf tak berarah, urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan. Jadi, (u, v) = (v, u) adalah sisi yang sama.
Contoh graf tak berarah.
Gambar 4. Graf tak berarah b. Graf berarah (direct graph atau digraph)
Graf yang tiap sisinya diberikan orientasi arah disebut sebagai graf berarah. Sisi berarah dapat disebut busur (arc). Pada graf berarah, (u,
1
2
4
3
e 1
e 3
e 4
e5
e 7
e 8
3 1
v) dan (v, u) menyatakan dua buah busur yang berbeda, dengan kata lain (u,v) ≠ (v,u). Simpul u dinamakan simpul asal (initial vertex) dan simpul v dinamakan simpul terminal (terminal vertex) (Munir. 2007).
Sebuah graf berarah G terdiri dari:
i. Sebuah himpunan V = V(G) yang elemen-elemennya disebut vertex, titik atau node.
ii. Suatu koleksi E = E(G) dari pasangan-pasangan vertex terurut yang disebut busur atau edge berarah.
Dinotasikan G (V, E) bilamana ingin menegaskan dua bagian dari G (Lipschuts. 2002: 97).
Definisi graf dapat diperluas sehingga mencakup graf ganda berarah (directed multigraph). Pada graf ganda berarah, gelang dan sisi ganda diperbolehkan ada (Munir. 2007).
Gambar 5. Graf berarah
Berdasarkan jumlah simpul pada suatu graf, maka secara umum graf dapat digolongkan menjadi dua jenis:
a. Graf berhingga (limited graph)
Graf berhingga adalah graf yang jumlah simpulnya mencapai n berhingga. Sebuah graf berarah G yang dinotasikan G (V, E)
3 1
dikatakan berhingga jika himpunan V dari verteks-verteksnya dan himpunan E dari busurnya (edge berarahnya) berhingga (Lipschuts. 2002: 97). Salah satu contoh graf berhingga antara lain pada Gambar 2 berupa graf ganda dimana jumlah simpulnya berhingga.
b. Graf tak-berhingga (unlimited graph)
Graf yang jumlah simpulnya n tidak berhingga banyaknya disebut graf tak-berhingga.
3. Terminologi dasar
a. Bertetangga (Adjacent)
Pada graf berarah, sisi di (u, v) adalah busur maka u dikatakan bertetangga dengan v dan v dikatakan tetangga dari u. Pada Gambar 5, simpul 1 bertetangga dengan simpul 2 dan simpul 2 dikatakan tetangga dari simpul 1.
b. Bersisian
Untuk sembarang sisi e = (u, v), sisi e dikatakan bersisian dengan simpul u dan simpul v. Pada Gambar 1, sisi (2, 3) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 3, sisi (2, 4) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 4, tetapi sisi (1, 2) tidak bersisian dengan simpul 4.
c. Graf kosong (Null graph atau Empty graph)
Gambar 6. Graf kosong N5
d. Derajat (Degree)
Pada graf berarah, derajat suatu simpul dibedakan menjadi dua macam untuk mencerminkan jumlah busur dengan simpul tersebut sebagai simpul asal dan jumlah busur dengan simpul tersebut sebagai simpul terminal. Simpul yang berderajat satu disebut anting-anting (pendant vertex). Pada Gambar 6, d(4) = 1, karena itu simpul 4 adalah anting-anting.
Derajat siatu simpul pada graf berarah dinyatakan dengan din (v)
dan dout (v) yang dalam hal ini,
din (v) = derajat-masuk (in-dergee) = jumlah busur yang masuk ke
simpul v, sedangkan
dout (v) = derajat-keluar (out-dergee) = jumlah busur yang keluar dari
simpul v. Dan d(v) = din (v) + dout (v).
Dan sisi gelang pada graf berarah menyumbangkan 1 untuk derajat-masuk dan satu untuk derajat-keluar. Contoh pada Gambar 5, dapat diketahui:
1
2
3
din (1) = 2; dout (1) = 1
din (2) = 2; dout (2) = 3
din (3) = 1; dout (3) = 2
din (4) = 2; dout (4) = 1
Pada graf berarah G = (V, E) selalu berlaku hubungan
∑
∑
Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal v0 ke simpul tujuan
vn di dalam graf G ialah barisan berselang-seling simpul-simpul dan
sisi-sisi yang berbentuk vo, e1, v1, e2,,,, vn-1, en, vn sedemikian sehingga
e1 = (vo, v1,), e2 = (v1, v2,),,,, en = (vn-1, vn,) adalah sisi-sisi dari graf G.
Simpul dan sisi yang dilalui di dalam lintasan boleh berulang. Dan sebuah lintasan dikatakan lintasan sederhana (simple path) jika semua simpulnya berbeda (setiap sisi yang dilalui hanya satu kali). Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut lintasan tertutup (closed path), sedangkan lintasan yang tidak berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut lintasan terbuka (open path). Contoh pada Gambar 1,
lintasan 1, 2, 4, 3, 2 bukan merupakan lintasan sederhana, tetapi termasuk lintasan terbuka.
Panjang lintasan adalah jumlah sisi pada lintasan tersebut. Lintasan 1, 2, 4, 3 pada Gambar 1 memiliki panjang lintasan 3.
f. Siklus (Cycle) atau sirkuit (circuit)
Sirkuit atau siklus adalah lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama. Panjang sirkuit adalah jumlah sisi yang ada di dalam sirkuit tersebut. Sebuah sirkuit dikatakan sirkuit sederhana (simple circuit) jika setiap sisi yang dilalui berbeda. Contoh pada Gambar 1, sirkuit sederhana ditunjukan oleh 1, 2, 3, 1, sedangkan 1, 2, 4, 3, 2, 1 bukan merupakan sirkuit sederhana, karena sisi (1, 2) dilalui dua kali.
g. Terhubung (Connected)
Keterhubungan dua buah simpul adalah penting dalam graf. Dua buah simpul u dan simpul v dikatakan terhubung jika terdapat lintasan dari u ke v. Jika dua buah simpul terhubung maka pasti simpul yang pertama dapat dicapai dari simpul yang kedua (Munir. 2007). Suatu graf G dikatakan terhubung bila untuk setiap pasang simpul misalkan vi dan vj di dalam himpunan V terdapat lintasan dari vi ke vj
(Lipschutz. 2002).
simpul u dan v di dalam himpunan V terdapat lintasan dari u ke v (yang juga harus berarti ada lintasan dari u ke v). Jika tidak, maka G disebut graf tak-terhubung (disconnected graph) (Munir. 2007: 371).
Pada Gambar 1 merupakan contoh graf terhubung, sedang untuk contoh graf tak-terhubung antara lain:
Gambar 7. Graf tak-terhubung
Graf yang hanya terdiri atas satu simpul saja (tidak ada sisi) tetap dikatakan terhubung, karena simpul tunggalnya terhubung dengan dirinya sendiri. Pada graf berarah G dikatakan terhubung jika graf tak berarahnya terhubung (graf tak berarah dari G diperoleh dengan menghilangkan arahnya). Keterhubungan dua buah simpul pada graf berarah dibedakan menjadi terhubung kuat dan terhubung lemah.
Dua simpul, u dan v pada graf berarah G disebut terhubung kuat (strongly connected) jika terdapat lintasan berarah dari u ke v dan juga sebaliknya lintasan berarah dari v ke u. Pada Gambar 8 (a), simpul 1 dan simpul 3 terhubung kuat karena terdapat lintasan dari 1 ke 3 (yaitu 1, 2, 3), begitu jug terdapat lintasan dari 3 ke 1 (yaitu 3, 4, 5, 1).
1
2 3
Jika u dan v tidak terhubung kuat tetapi terhubung pada graf tak berarahnya, maka u dan v dikatakan terhubung lemah (weakly connected). Pada Gambar 8 (b), simpul 1 dan simpul 3 terhubung lemah karena hanya terdapat lintasan dari 3 ke 1 (yaitu 3, 5, 4, 1), tetapi tidak ada lintasan dari 1 ke 3 (Munir. 2007: 372).
(a) (b)
Gambar 8. (a) Graf terhubung kuat, (b) Graf terhubung lemah
4. Lintasan dan Sirkuit Euler
Lintasan Euler adalah lintasan yang melalui setiap sisi di dalam graf tepat satu kali. Bila lintasan tersebut kembali ke simpul asal, membentuk lintasan tertutup (sirkuit), maka lintasan tertutup tersebut dinamakan sirkuit Euler. Maka sirkuit Euler adalah sirkuit yang melewati masing-masing sisi tepat satu kali.
Graf yang mempunyai sirkuit Euler disebut graf Euler (Eulerian graph). Graf yang mempunyai lintasan Euler dinamakan juga graf semi Euler (semi-Eulerian graph).
5
4 3
2 1
5
4 3
Syarat cukup dan perlu mengenai keberadaan lintasan Euler maupun sirkuit Euler di dalam suatu graf ternyata sangat sederhana. Euler menemukan syarat tersebut ketika memecahkan masalah jembatan Konigsberg. Graf yang memiliki sirkuit Euler pasti mempunyai lintasan Euler, tetapi tidak sebaliknya.
Lintasan dan sirkuit Euler juga terdapat pada graf berarah. Teorema yang menyatakan syarat keberadaan lintasan dan sirkuit Euler pada graf berarah dinyatakan dengan teorema berikut:
“Graf terhubung berarah G memiliki sirkuit Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajat-masuk dan derajat-keluar sama. G memiliki lintasan Euler jika dan hanya jika G terhubung dan tiap simpul memiliki derajat-masuk dan derajat-keluar sama kecuali dua simpul, yang pertama memiliki keluar satu lebih besar derajat-masuk, dan yang kedua memiliki derajat-masuk satu lebih besar dari derajat-keluar”.
(Munir. 2007: 404 - 406)
Contoh graf yang menggambarkan lintasan dan sirkuit Euler.
Gambar 9. Graf yang memiliki lintasan Euler dan Sirkuit Euler Contoh lintasan Euler pada graf (a) adalah c, b, a, e, d.
Contoh sirkuit Euler pada graf (b) adalah a, d, j, l, k, I, h, g, f, e, c, b.
B. Rantai RNA (Ribonucleic acid)
1. Pengertian RNA
RNA merupakan singkatan dari Ribonucleic acid atau asam ribonukleat. RNA dibentuk oleh DNA (Deoxyribonucleic acid) melalui proses transkripsi (Syamsuri. 2004: 66). RNA merupakan rantai tunggal polinukleotida (Aryulina. 2005: 66).
RNA adalah suatu polimer asam nukleotida dari empat ribonukleotida. Tiap ribonukleotida terdiri dari gula pentose (D-ribose), molekul gugusan pospat dan sebuah basa nitrogen (Suryo. 1994: 78).
Ada tiga macam RNA, yaitu RNA duta (RNA-d) atau RNA messenger (mRNA), RNA ribosom (RNA-r) dan RNA transfer (RNA-t). Semua RNA tersebut dihasilkan oleh DNA melalui proses transkripsi. Sifat RNA adalah mudah terurai sehingga sel akan terus memproduksinya (Sartini Bayu. 2008). Pada penelitian ini, rantai RNA yang dibahas adalah jenis RNA duta (RNA-d) atau RNA messenger (mRNA).
2. Struktur RNA dan perbedaannya dengan DNA
gula ribosa, fosfat dan basa. Basa purin RNA terdiri dari Adenin (A) dan Guanin (G), sedangkan basa pirimidin terdiri dari Sitosin (C) dan Urasil (U) (Syamsuri. 2004).
Purin dan pirimidin yang berikatan dengan ribose membentuk suatu molekul yang dinamakan ribonukleosida. RNA merupakan hasil transkripsi dari DNA, sehingga RNA merupakan polimer yang jauh lebih pendek dibanding DNA (Aryulina. 2005: 67).
Perbedaan antara RNA dengan DNA antara lain: a. Mengenai ukuran dan bentuk
Pada umumnya molekul RNA lebih pendek daripada molekul DNA. DNA terbentuk double helix (rantai ganda) dan merupakan rantai panjang sedangkan RNA berbentuk single strand (rantai tunggal) dan merupakan rantai pendek.
b. Mengenai susunan kimia
Molekul RNA juga merupakan polimer nukleotida, perbedaannya dengan DNA antara lain: (1). Gula yang menyusun RNA bukan dioksiribosa, melainkan ribose. (2). Basa pirimidin yang menyusun RNA bukan timin melainkan Urasil (U), sedangkan basa purin antara keduanya sama yakni Adenin (A) dan Guanin (G).
c. Mengenai Lokasinya
1) RNA duta (RNAd), nama asingnya messenger RNA (mRNA) terdapat dalam nukleus. RNAd dicetak oleh salah satu pita DNA yang berlangsung di dalam nukleus.
2) RNA pemindah (RNAp), nama asingnya transfer RNA (tRNA), terdapat di dalam sitoplasma.
3) RNA ribosom (RNAr), nama asingnya ribosome RNA (rRNA), terdapat terutama di ribosoma. Molekulnya berupa pita tunggal, tidak bercabang.
d. Mengenai fungsinya
DNA berfungsi memberi informasi/keterangan genetika, sedangkan fungsi RNA umumnya adalah membawa pertangggung jawaban atas informasi/keterangan genetika.
(Suryo. 1994)
3. G-Enzyme dan U, C-Enzyme
Sesuatu yang digunakan untuk memotong baik itu rantai RNA maupun DNA adalah enzim. Enzim adalah katalisator di dalam sel makhluk hidup (Syamsuri. 2004: 26). Enzim lengkap yang dimaksudkan dalam rekonstruksi rantai RNA adalah enzim-enzim yang memutus mata rantai dari sebuah rantai RNA.
mata rantai RNA. Yang pertama disebut G-Enzyme. G-Enzyme ini berguna untuk memutus rantai RNA tiap setelah mata rantai G dalam rantai RNA. G-Enzyme ini akan memutus rantai RNA menjadi bagian-bagian yang disebut dengan G-fragment. Sebagai contoh, salah satu rantai RNA sebagai berikut:
UCGAGCUAGCGAAG
G-Enzyme akan memutusnya sehingga menjadi fragmen-fragmen yang disebut G-fragment berupa UCG, AG, CUAG, CG, AAG.
Gambar 10. Proses pembentukan G-fragment
Enzim yang kedua disebut U, C-Enzyme. Enzim ini berguna untuk memutus mata rantai RNA sedemikian sehingga rantai RNA tersebut akan diputus menjadi fragmen-fragmen setiap setelah mata rantai U dan setiap setelah mata rantai C. U, C-Enzyme ini akan memutus mata rantai RNA menjadi bagian-bagian yang disebut dengan U, C-fragment. Sebagai contoh untuk rantai RNA di atas, U, C-Enzyme akan memutusnya menjadi fragmen-fragmen berupa U, C, GAGC, U, AGC, GAAG.
UCGAGCUAGCGAAG
G-Enzyme
Gambar 11. Proses pembentukan U, C-fragment
C. Rekonstruksi Rantai RNA
Rekonstruksi adalah penyusunan ulang atau pembangunan kembali sesuatu yang sudah ada. Sehingga dapat didefinisikan rekonstruksi rantai RNA adalah penyusunan ulang atau pembangunan kembali rantai RNA yang terputus.
Metode rekonstruksi rantai RNA yang dulu digunakan adalah cara acak/manual yaitu dengan mencoba segala kemungkinan penyusunan yang mungkin dapat dilakukan dari fragmen-fragmen yang diketahui tersebut. Metode acak ini akan menghasilkan n! kemungkinan rantai RNA yang dicari, dengan n adalah jumlah fragmen dari rantai RNA yang diketahui (Noorzaman. 2008). Untuk menentukan satu rantai RNA dari sekian kemungkinan rantai RNA yang terjadi membutuhkan waktu yang cukup lama karena harus mendefinisi dari sekian n! kemungkinan rantai RNA yang terjadi. Sebagai contoh, diberikan beberapa G-fragment dan U, C-fragment berikut:
G-fragment : AG, UCG, CUAG, AAG, CG U, C-fragment : U, C, GAGC, U, AGC, GAAG
UCGAGCUAGCGAAG
U,C-Enzyme
GAGC U AGC GAAG
Perlu diketahui dalam metode rekonstruksi cara acak/manual, kedudukan antar fragmen dalam susunan fragmen adalah berbeda atau tidak sama karena urutan di sini sangat diperhatikan karena akan berhubungan dengan susunan/urutan basa pada rantai RNA yang nantinya akan memiliki arti kode genetik yang berbeda pula. Misalnya: AG, UCG, CUAG, AAG, CG ≠ AG, UCG, AAG, CUAG, CG ≠ AAG, UCG, CUAG, AG, CG dan bentuk lainnya.
Langkah pertama dalam metode rekonstruksi cara acak/manual adalah membuat n! dari salah satu fragmen dan diusahakan yang mempunyai jumlah fragmen yang lebih sedikit sehingga meminimalkan penyusunan kemungkinan. Langkah kedua adalah menyusun kemungkinan rantai RNA dari sekian banyak n! tersebut. Langkah terakhir adalah menemukan atau menentukan kemungkinan rantai RNA yang terjadi yang apabila dipecah dengan enzim yang lainnya akan menghasilkan fragmen yang sama dengan fragmen dari enzim yang satunya yang sudah diketahui.
Sebagai contoh untuk fragmen di atas adalah sebagai berikut:
3. Menemukan rantai RNA dari 120 daftar kemungkinan tersebut yang disusun oleh G-fragment, yang memiliki kesamaan urutan fragmen dengan U, C-fragment (seperti yang diketahui), jika rantai RNA tersebut dipecah oleh U, C-Enzyme. Dan ditemukan rantai RNA pada urutan ke- 26 (UCGAGCUAGCGAAG) yang mana rantai tersebut jika dipecah oleh U, C-Enzyme menjadi U, C-fragment yaitu U, C, GAGC, U, AGC, GAAG, seperti yang diketahui. Maka rantai RNA aslinya adalah
UCGAGCUAGCGAAG.
Rekonstruksi rantai RNA dengan cara acak/manual dapat dikatakan efektif tergantung dari jumlah fragmen (dalam hal ini adalah n) yang digunakan. Apabila semakin banyak jumlah fragmen yang akan digunakan pada langkah pertama yaitu pada pembuatan n!, maka akan semakin banyak pula penyusunan kemungkinan rantai RNA tersebut sehingga makna efektif sebelumnya dapat berubah menjadi kurang efektif.
