BAB II LANDASAN TEORI. himpunan bilangan bulat dan diberi simbol dengan hurup besar B. Anggota

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Bilangan Bulat

Himpunan bilangan – bilangan {…..,-3,-2,-1,0,1,2,3,…..} disebut himpunan bilangan bulat dan diberi simbol dengan hurup besar B. Anggota – anggota dari {-1,-2,-3,…..} disebut bilangan – bilangan bulat negatif.

Definisi II.A.1

Sistem bilangan bulat terdiri atas himpunan

{

...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...

}

=

B dengan operasi biner penjumlahan

( )

+ dan perkalian

( )

× untuk a, b, c bilangan – bilangan bulat sebarang.

Memenuhi sifat – sifat :

1. Sifat tertutup terhadap penjumlahan. Jika a,b∈B maka

(

a+b

)

∈B 2. Sifat tertutup terhadap perkalian. Jika a,b∈B maka

(

a×b

)

∈B

3. Sifat komutatif penjumlahan, a+b=b+a 4. Sifat komutatif perkalian, a×b=b×a

5. Sifat assosiatif penjumlahan,

(

a+b

)

+c=a+(b+c) 6. Sifat assosiatif perkalian,

(

a×b

)

×c=a×(b×c) 7. Sifat distributif kiri perkalian terhadap penjumlahan,

(

b c

) (

a b

) (

a c

)

a× + = × + ×

8. Sifat distributif kanan perkalian terhadap penjumlahan,

(

a+b

)

×c=

(

a×c

) (

+ b×c

)

9. Jika a bilangan bulat maka a+

( ) ( )

−a = −a +a =0,

( )

−a disebut lawan ( invers ) penjumlahan dari a. Hal ini menyatakan bahwa untuk setiap bilangan bulat a ada dengan tunggal bilangan bulat

( )

−a sedemikian hingga a+

( ) ( )

−a = −a +a =0

10.Untuk setiap a, ada dengan tunggal elemen 0 dalam B sehingga a

a

a+0=0+ = , 0 disebut elemen identitas penjumlahan.

11.Untuk setiap a, ada dengan tunggal elemen 1 dalam B sehingga

a a

a×1=1× = , 1 disebut elemen identitas perkalian. B. Matriks

Definisi II.B.1 ( Ali, 2004 : 81 )

Matriks adalah suatu susunan elemen-elemen atau entri-entri yang diatur dalam bentuk baris dan kolom. Susunan elemen ini diletakkan dalam tanda kurung biasa ( ), atau kurung siku [ ]. Elemen-elemen atau entri-entri tersebut dapat berupa bilangan atau berupa huruf.

Matriks dinotasikan dengan huruf kapital seperti A, B, C dan seterusnya. Sedangkan elemennya, jika berupa huruf, maka ditulis dengan huruf kecil.

            = mn m m m n n a a a a a a a a a a a a A .... . . . . . .... .... 3 2 1 2 23 22 21 1 13 12 11

Matriks A=[aij], dengan i dan j merupakan bilangan asli yang menunjukan baris ke-i dan kolom ke-j.

1. Macam – macam matriks

a. Matriks persegi, ialah suatu matriks yang memiliki baris dan kolom yang sama banyaknya ( m = n )

Contoh II.B.1 : Matriks persegi m = n = 4             = 1 4 1 5 4 3 2 1 7 7 1 4 4 2 0 2 A

b. Matriks diagonal, ialah suatu matriks persegi dimana semua elemen di luar diagonal utama mempunyai nilai 0 dan paling tidak satu elemen pada diagonal utama ≠0, biasanya diberi simbol D.

Contoh II.B.2 :           = 2 0 0 0 3 0 0 0 1 D

c. Matriks identitas, ialah suatu matriks persegi dimana elemen – elemennya mempunyai nilai 1 pada diagonal utama dan 0 pada tempat – tempat lain di luar diagonal utama.

Contoh II.B.3 :           = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 E

d. Matriks skalar, ialah suatu bilangan konstan. Jika k suatu bilangan konstan, maka hasil kali k.I dinamakan matriks skalar.

Contoh II.B.4 :           =           = k k k k I k 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 .

e. Matriks segi tiga atas, ialah matriks persegi dimana elemen – elemen yang terletak di bawah diagonal utama semuanya nol, atau matriks

] [aij

A= disebut matriks segi tiga atas jika aij =0 untuk i> j. Contoh II.B.5:           = 33 23 22 13 12 11 0 0 0 a a a a a a A

f. Matriks segi tiga bawah, ialah matriks persegi dimana elemen – elemen yang terletak di atas diagonal utama semuanya nol, atau matriks A=[aij] disebut matriks segi tiga bawah jika aij =0 untuk

j i< . Contoh II.B.6 :           = 33 32 31 22 21 11 0 0 0 a a a a a a A g. Matriks Transpose

Misal A = [a_ij] berukuran (m×n ) maka transpose dari A adalah matriks AT berukuran (n×m) maka

Contoh II.B.7 :           = 6 5 4 3 2 1 A maka _      = 6 4 2 5 3 1 T A

Beberapa sifat matriks transpose : a. ( A + B ) T = AT + BT

b. (AT ) T = A

c. λ( AT ) = (λA)T

d. ( AB ) T = BT AT

h. Matriks Simetris, ialah matriks yang transposenya sama dengan dirinya sendiri, dengan perkataan lain bila A= AT atau a_ij =a_ji

Contoh II.B.8 :           − − = 5 1 3 1 6 2 3 2 1 A maka,           − − = 5 1 3 1 6 2 3 2 1 T A i. Matriks Orthogonal

Definisi II.B.2 ( Howard, 1985 : 216 )

Matriks A adalah sebuah matriks persegi n×n dengan sifat I

A A

Contoh II.B.9 :       − − = 0 1 1 0 A maka _      − − = 0 1 1 0 T A sehingga AAT _=I      =       − −       − − = 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1. Rank Matriks

Definisi II.C.2 ( Howard , 1985 : 174 )

Dimensi ruang baris dan ruang kolom dari sebuah matriks A dinamakan rank dari A, ditulis rank(A)

Contoh II.B.10 : Diberikan matriks           − − − − − = 5 6 10 3 3 3 6 2 1 0 2 1 A

dengan serangkaian operasi baris elementer ( OBE ), dapat ditentukan rank(A), yaitu : 1 3 1 2 3 2 5 6 10 3 3 3 6 2 1 0 2 1 b b b b A − −           − − − − − = 2 3 2 5 6 4 0 1 3 2 0 1 0 2 1 b b A −           − − − − − =           − − − = 0 0 0 0 1 3 2 0 1 0 2 1 A

Dari langkah tersebut, terlihat bahwa banyaknya baris yang taknol pada matriks terakhir adalah 2, maka rank(A) = 2

Definisi II.B.3

Diberikan matriks A berukuran m×n, matriks A dikatakan mempunyai rank kolom penuh ( full column rank ) jika rank(A) = n dan mempunyai rank baris penuh ( full row rank ) jika rank(A) = m

Contoh II.B.11 : a. Diberikan matriks           = 6 5 4 3 2 1 A

dengan menggunakan operasi baris elementer, didapat :

          − = 0 0 2 0 2 1 A

rank(A) = 2 dan rank(A) sesuai dengan banyaknya kolom pada matriks A ( rank(A) = n ), maka matriks A mempunyai rank kolom penuh.

b. Diberikan matriks _      = 2 6 4 1 5 1 B

dengan menggunakan operasi baris elementer, didapat :

      − − = 2 14 0 1 5 1 B

rank(B) = 2 dan rank(B) sesuai dengan banyaknya baris pada matriks B ( rank(B) = m ), maka matriks B mempunyai rank baris penuh.

2. Operasi matriks

a. Operasi Penjumlahan

Definisi II.B.4 ( Howard, 1985 : 27 )

Jika A dan B adalah sebarang dua matriks yang ukurannya sama, maka jumlah A + B adalah matriks yang didapatkan dengan menambahkan bersama – sama entri yang bersangkutan di dalam kedua matriks tersebut. Matriks – matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat dijumlahkan.

Contoh II.C.12 : Diberikan matriks :       = 1 2 3 5 A _      − − = 3 4 6 2 B _      − = 8 2 C maka       − = + 2 6 9 3 B A

sedangkan A + C dan B + C tidak didefinisikan karena matriks C ukurannya berbeda dengan matriks A dan matriks B.

b. Operasi Perkalian

Definisi II.B.5 ( Howard, 1985 : 28 )

Jika A adalah sebuah matriks m×r dan B adalah matriks r×n, maka hasil kali AB adalah matriks m×n yang entri – entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entri di dalam baris i dan kolom j dari AB, maka pilihlah baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikanlah entri – entri yang bersangkutan dari baris dan

kolom tersebut bersama – sama dan kemudian tambahkanlah hasil perkalian yang dihasilkan.

Contoh II.B.13 : Diberikan matriks :       = 0 6 2 4 2 1 A           − = 2 5 7 2 1 3 1 0 3 4 1 4 B maka       − = 12 26 4 8 13 30 27 12 AB

Sifat II.B.1 ( Howard, 1985 : 33 )

Secara umum perkalian matriks tidak bersifat komutatif, yaitu tidak selalu berlaku AB = BA

Contoh II.B.14 : Diberikan matriks _     − = 1 3 4 2 A dan matriks _      = 1 4 1 6 B dengan mengalikannya maka akan memberikan :

      = 4 22 2 4 AB       − − = 17 5 25 9 BA jadi AB≠ BA

Definisi II.B.6 ( Howard, 1985 : 27 )

Jika A adalah suatu matriks dan k adalah suatu skalar, maka hasil kali ( product ) kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing – masing entri dari A oleh k.

Contoh II.B.15 : Diberikan _      − = 4 1 2 3 A maka       − =       − = 8 2 4 6 4 1 2 3 2 2A dengan k = 2

Penjumlahan dua matriks, perkalian skalar dan perkalian dua matriks, memenuhi sifat sebagai berikut :

1). A+B=B+A ( Sifat komutatif pada penjumlahan ) 2). A+

(

B+C

) (

= A+B

)

+C ( Sifat asosiatif pada penjumlahan ) 3). A

( ) ( )

BC = AB C ( Sifat asosiatif pada perkalian ) 4). A

(

B+C

)

= AB+AC ( Sifat distributif ) 5).

(

B+C

)

A=BA+CA ( Sifat distributif ) 6). A

(

B−C

)

= AB−AC 7).

(

B−C

)

A=BA−CA 8). k

(

B+C

)

=kB+kC 9). k

(

B−C

)

=kB−kC 10).

(

k+l

)

C =kC+lC

11).

(

k−l

)

C =kC−lC 12).

( )

kl C =k

( )

lC

13). k

( ) ( )

BC = kB C =B(kC) k, l adalah skalar C. Fungsi Determinan

Definisi II.C.1 ( Howard, 1985: 67 )

Diberikan A adalah matriks persegi n×n. Fungsi determinan dinyatakan oleh det( A ), dan det( A ) didefinisikan sebagai jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari A. Jumlah det( A ) dinamakan determinan A.

Contoh II.C.1 : 21 12 22 11 22 21 12 11 det a a a a a a a a − =      

Selanjutnya akan diperlihatkan hubungan dari invers matriks dengan determinan matriks.

Definisi II.C.2 ( Howard, 1985 : 83 )

Jika A adalah matriks persegi, maka minor entri aijdinyatakan oleh Mij

dan didefinisikan sebagai determinan submatriks A setelah baris ke i dan kolom ke j dihilangkan dari A. Bilangan

( )

−1i+jM_ij dinyatakan oleh C_ij dan dinamakan kofaktor entri a_ij.

Contoh II.C.2 : Diberikan           − = 8 4 1 6 5 2 4 1 3 A

Minor entri a11 adalah : 16 8 4 6 5 8 4 1 6 5 2 4 1 3 11  =      =           − = M Kofaktor a11 adalah :

( )

1 11 11 16 1 1 11 = − = = + M M C

Demikian juga, minor entri a₃₂ adalah :

26 6 2 4 3 8 4 1 6 5 2 4 1 3 32 =      − =           − = M Kofaktor a₃₂ adalah :

( )

13 2 _{32 32} 26 32 = − =− =− + M M C

Determinan dari matriks A dapat dihitung dengan mengalikan entri – entri dalam baris pertama A dengan kofaktor – kofaktornya dan menambahkan hasil kalinya. Metode menghitung det( A ) ini dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama A.

Contoh II.C.3 : Diberikan matriks           − − − = 2 4 5 3 4 2 0 1 3 A maka

( )

4 5 4 2 0 2 5 3 2 1 2 4 3 4 3 det + − − − − − − − = A

( ) ( )

1 0 11 1 4 3 − = + − − − =

Definisi II.C.3 (Howard, 1985:88)

Jika A adalah sebarang matriks n×n dan Cij adalah kofaktor aij, maka martiks             nn n n n n C C C C C C C C C ... ... ... ... ... ... ... 2 1 2 22 21 1 12 11

Dinamakan matriks kofaktorA. Transpose matriks ini dinamakan adjoint dari A dan dinyatakan dengan adj

( )

A .

Contoh II.C.4 : Diberikan           − − = 0 4 2 3 6 1 1 2 3 A

Sehingga matriks kofaktor A adalah :

          − − 16 10 12 16 2 4 16 6 12

dan adjoint A adalah adj

( )

          − − = 16 16 16 10 2 6 12 4 12 A

D. Invers Matriks

Definisi II.D.1 ( Howard , 1985 : 38 )

Jika A adalah matriks persegi, dan jika dapat dicari matriks B sehingga I

BA

AB = = , maka A dikatakan dapat dibalik ( invertible ) dan B dinamakan invers ( inverse ) dari A.

Teorema II.D.1 ( Howard, 1985 : 39 )

Jika B dan C keduanya adalah invers dari matriks A, maka B = C. Bukti :

Karena B adalah invers A, maka BA=I . Dengan mengalikan kedua ruas dari sebelah kanan dengan C maka akan memberikan

( )

BAC = IC =C. Tetapi

( )

BAC = B

( )

AC =BI = B, sehingga B = C Metode / cara mencari invers matriks : 1. Metode Adjoint

Langkah – langkahnya adalah :

a. Menentukan nilai determinan dari matriks b. Menentukan adjoint matriks

c. Mengalikan Adjoint matriks dengan kebalikan determinan

_{( )}

adj

( )

A A A− = ⋅ det 1 1 Contoh II.D.1 : Diberikan matriks C =           3 1 4 5 3 2 0 0 1

Adj (C) =           − − − 3 1 10 5 3 14 0 0 4

( )

C det = 4 Jadi C-1 = 4 1           − − − 3 1 10 5 3 14 0 0 4 =           − − − 4 / 3 4 / 1 2 / 5 4 / 5 4 / 3 2 / 7 0 0 1

2. Metode Transformasi Elementer baris

Diberikan An×n , dan A merupakan matriks non singular (det

( )

A ≠0 )

maka

[ ]

→

[ ]

−1 A I I A Contoh II.D.2 : Diberikan matriks A= _      3 4 1 1

[ ]

1 2 4 1 1 0 0 1 3 4 1 1 b b I A −       = 2 4 4 1 1 0 1 4 1 0 1 1 b         − − 1 2 1 4 0 1 1 0 1 1 b +b       − − 4 1 2 1 3 1 0 0 1 b −       − − −       − − 1 4 1 3 1 0 0 1 =

[ ]

I A−1 Jadi _      − − = − 1 4 1 3 1 A

E. Kombinasi Linier

Definisi II.E.1 ( Howard, 1985 : 148 )

Sebuah vektor w dinamakan kombinasi linier dari vektor – vektor

r

v v

v₁, ₂,... jika vektor tersebut dapat diungkapkan dalam bentuk :

r rv k v k v k w= _{1 1} + _{2 2} +...+ dimana k₁,k₂,...,k_r adalah skalar. Contoh II.E.1:

Diambil vektor v₁ =(1,2,−1)dan v₂ =(6,4,2) didalam 3

R , akan dinyatakan bahwa w=(9,2,7)adalah kombinasi linier dari v1 dan v2.

Supaya w merupakan kombinasi linier dari v₁ dan v₂ , maka harus ada skalar 1 k dan k₂ sehingga w=k₁v₁+k₂v₂ diperoleh

(

9,2,7

)

=k₁

(

1,2,−1

)

+k₂

(

6,4,2

)

atau

(

9,2,7

) (

= k₁ +6k₂,2k₁ +4k₂,−k₁+2k₂

)

artinya 7 2 2 4 2 9 6 2 1 2 1 2 1 = + − = + = + k k k k k k

atau dapat dituliskan : _                − =           2 1 2 1 4 2 6 1 7 2 9 k k

dengan menyelesaikan persamaan diatas diperoleh k₁ =−3,k₂ =2 Jadi w=−3v₁ +2v₂

F. Dekomposisi Nilai Singular

Sebelum dekomposisi nilai singular, terlebih dahulu dibahas mengenai nilai eigen dan vektor eigen. Berikut ini definisi dari vektor eigen dan nilai eigen.

Definisi II.F.1 ( Howard, 1985 : 279 )

Jika A adalah matriks persegi n×n, maka vektor tak nol x didalam Rn dinamakan vektor eigen dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yaitu

x

Ax=λ untuk suatu skalar λ. Skalar λ dinamakan nilai eigen dari A dan x dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan λ

Mencari nilai eigen : menyelesaikan persamaan karakteristik det

(

A−λI

)

=0 sehingga didapat akar – akar persamaannya.

Mencari vektor eigen : menentukan basis untuk ruang solusi (A−λI)x=0 untuk λ yang bersesuaian.

Contoh II.F.1 :       − = 1 3 2 4 A

Persamaan karakteristiknya :

(

4

)(

1

)

6 0 1 3 2 4 det 1 3 2 4 det = − − − − =             − − − =       −       − λ λ λ λ λI

(

)(

)

(

)(

)

2 5 0 2 5 0 10 3 0 6 4 4 0 6 1 4 2 1 2 2 − = = ⇒ = + − ⇒ = − − ⇒ = − + − − − ⇒ = − − − − λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ

Nilai eigennya adalah λ1 =5dan λ2 =−2

Vektor eigen yang bersesuaian dengan λ₁ =5, misalkan _

     = y x v₁       =             − − ⇒       =             − − − 0 0 6 3 2 1 0 0 5 1 3 2 5 4 y x y x Sehingga –x + 2y = 0 atau -x + 2y = 0 3x – 6y = 0 x = 2y, misal y=α maka _      =       = 1 2 2 1 α α α v Jadi vektor _      1 2

merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen 5 1 = λ       =       =             − 1 2 5 5 10 1 2 1 3 2 4 Definisi II.F.2 ( NN, 2007 : 6 )

Diberikan matriks A_m×n, dengan rank(A) = r, nilai eigen dari matriks A AT adalah : 0 ... ... ₁ 2 1 ≥λ ≥ ≥λr >λr+ = =λn = λ

dengan σ =i λi , dan i = 1, 2, 3,...,n disebut nilai singular dari matriks A.

Contoh II.G.2 :

Tentukan nilai singular dari matriks

          = 1 1 0 0 0 1 A       = 1 1 1 2 A AT

Nilai eigen dari ATA adalah _

      ± 2 5 3

, sehingga nilai singular dari A adalah

2 5 3+ dan 2 5 3− Definisi II.F.3 ( NN, 2007 : 11 )

Diberikan A matriks berukuran m×n, bilangan positif σ dikatakan nilai singular matriks A jika ada vektor tak nol u∈Rm dan v∈Rn, sedemikian sehingga

u

Av=σ dan ATu=σ v

Dari pengertian nilai eigen dan nilai singular matriks A, dapat dinyatakan hubungan bahwa jika λ2 nilai eigen matriks ATAmaka λmerupakan nilai singular matriks A.

Definisi II.F.4 ( Howard, 1985 : 193 )

Sebuah himpunan dari vektor – vektor di dalam sebuah ruang perkalian dalam dinamakan himpunan orthogonal jika semua pasangan vektor – vektor yang berbeda di dalam himpunan tersebut orthogonal. Sebuah himpunan orthogonal dimana setiap vektor mempunyai norm / jarak sama dengan 1 dinamakan ortonormal.

Teorema II.F.1 ( Datta dalam Ariyanti, 2008 : 2 )

Jika diberikan A matriks berukuran m×n dengan rank r, maka terdapat matriks orthogonal U_m×n dan V_m×n sedemikian sehingga A=USVT dengan S adalah matriks m×n dengan bentuk

( )

,0 diag

(

₁, ₂,..., _r,0,...,0

)

diag

S = ∑ = σ σ σ

Dengan σ1,σ2,...,σr adalah nilai – nilai singular dari A.

Bukti :

Dapat ditunjukan bahwa ATA

dan T

AA adalah matriks simetri. Oleh karena itu nilai eigen tak nolnya adalah positif dan sama serta akar positif dari nilai eigen didefinisikan sebagai nilai singular matriks A.

Diberikan :

[

v v v vr vr vn

]

V = _{1 2 3} .... ₊₁ ....

adalah matriks n×n yang kolomnya adalah vektor – vektor orthonormal. Misalkan rank(A) = r, bisa diasumsikan r kolom pertama dari V adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen dari ATA, yaitu T _{i i i}

v Av

A =σ 2 ,

untuk i = 1, 2, 3, ...., r. Sisanya, n – r kolom dalam V adalah vektor – vektor eigen dari ATA berkorespondensi dengan nilai eigen nolnya. Karena kolom dari V orthonormal, maka V matriks yang orthogonal. Dari sini terbentuk matriks V dengan elemen – elemen yang terdefinisi.

Selanjutnya didefinisikan U sebagai berikut : untuk i = 1, 2,...,r dibentuk

( )

i i

i Av

u = 1σ

dimana himpunan

{

u1,u2,...,ur

}

adalah orthonormal. Sebanyak r vektor

Selanjutnya diperlihatkan :

[

r r n

]

T T v v v v A U AV U = 1 .... +1 ....

[

]

[

]

[

]

[

e e

]

S u U u U u u U Av Av Av Av U r r r T r T r r T n r r T = = = = = ₊ 0 .... 0 .... 0 .... 0 .... 0 .... 0 .... .... .... 1 1 1 1 1 1 1 1 σ σ σ σ σ σ Contoh II.F.3 :

Tentukan dekomposisi nilai singular matriks

          = 0 1 1 0 1 1 A       = 2 1 1 2 A

AT , nilai eigen dari matriks ini adalah λ₁ =1,λ₂ =3, masing –

masing berkorespondensi dengan vektor eigen

         − = 2 2 2 2 1 v dan           = 2 2 2 2 2

v , himpunan vektor – vektor eigen tersebut orthonormal. Sehingga dapat dibentuk matriks orthogonal V :

[

]

         − = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 v v V

Kemudian matriks U dibentuk dari vektor eigen u_i =σ_i−1Av_i, yaitu

            − = 2 2 2 2 0 1 u , dan               = 6 6 6 6 6 6 2 2 u

sehingga bentuk matriks orthogonal U adalah :

[

]

              − = = 6 6 2 2 6 6 2 2 6 6 2 0 2 1 u u U Matriks singular _      = 3 0 0 1 S

Dekomposisi nilai singular :

         −                     − =           = 2 2 2 2 2 2 2 2 3 0 0 1 6 6 2 2 6 6 2 2 6 6 2 0 0 1 1 0 1 1 A U S VT

G. Pseudoinvers ( Invers semu suatu matriks A_m×n) Definisi II.G.1 ( Boullion dan Odell, 1971 : 41 )

Diberikan matriks A berukuran m×n , sebuah matriks A+ berukuran

m

n× dikatakan sebagai pseudoinvers dari matriks A jika dan hanya jika A+ memenuhi sifat – sifat berikut :

1. A+AA+ = A+ 2. AA+A= A 3.

( )

A+AT = A+A 4.

( )

AA+ T = AA+ Teorema II.G.1

Bukti :

Akan dibuktikan sifat ketunggalan dari invers semu suatu matriks

Misal A# adalah sebarang matriks yang memenuhi sifat 1 sampai sifat sampai 4 pada Definisi II.G.1

Dari Definisi II.G.1.2

(

)

# # A A AA AA = +

Dari persamaan ini, dan karena matriks – matriks AA+ dan #

AA simetri, menurut Definisi II.G.1.4

( ) ( )( )

₌

(

+

) ( ) ( )

₌ + ₌ + ₌

(

)

+ ₌ +

= AA AA AA AA AA AA AA AA A A AA

AA# # T # T # T T # #

Dengan cara yang sama, A#A = A+A.

Dengan mengalikan AA# = AA+ dari kiri dengan A# dan menurut Definisi II.G.1.1 maka diperoleh

A# AA# = A# AA+ atau A# = A# AA+ .

Selanjutnya, dengan mengalikan A#A = A+A dari kanan dengan A+ diperoleh A# A A+ = A+ AA+ = A+.

Hal ini membuktikan, A# = A+ , artinya A+ tunggal

Selanjutnya, dibuktikan eksistensi matriks invers semu dari A.

Menurut Teorema II.F.1, untuk setiap matriks Am×n terdapat matriks-matriks

orhogonal U, V dan matriks S sedemikian sehingga A = USVT dengan

didefinisikan :

S+ =diag

(

∑+,0

)

=diag

(

σ₁−1,σ₂−1,...,σ_r−1,0,...,0

)

Akibatnya, A+ = (USVT)+ = VS+UT .

Dibuktikan, VS+UT memenuhi keempat sifat pada Definisi II.G.1 Sifat –sifat :

1. A+AA+ = VS+UTAVS+UT = VS+UTUSVTVS+UT = VS+SS+UT = VS+UT = A+

2. AA+A = AVS+UTA = USVTVS+UTUSVT

= USS+SVT = USVT = A ; dengan mengingat sifat SS+.

3. Dengan menggunakan (S+S)T = S+S dan A+A = VS+ UT USVT = VS+ SVT, (A+A)T = (VS+UTUSVT)T = (VS+SVT)T

= V(S+S)TVT = VS+SVT = A+A

4. Dengan menggunakan (SS+)T = SS+ dan AA+ = USS+UT (AA+)T = (USVTVS+UT)T = (USS+UT)T

= U(SS+)TUT = USS+UT = AA+

Matriks A+ ini disebut p-invers dari A, yang merupakan singkatan dari pseudo-inverse dan diartikan sebagai invers semu dari A.

Lemma II.G.1

Diberikan C matriks atas bilangan real.

1. Jika C matriks dengan rank baris penuh ( jika m < n dan rank (C) = m),

T

CC non singular, maka CT(CCT)-1 adalah invers semu kanan dari C. 2. Jika C matriks dengan rank kolom penuh ( jika m > n dan rank(C) = n),

C

CT non singular, maka (CTC)-1CT adalah invers semu kiri dari C. Bukti :

1. X = CT(CCT)-1 adalah invers semu dari C, sebab : CXC = C CT(CCT)-1 C = C XCX = CT(CCT)-1CCT(CCT)-1 = CT(CCT)-1 = X (XC)T = (CT(CCT)-1C)T = CT ((CCT)-1)TC = CT(( CCT)T)-1C = CT(CCT)-1 C = XC (CX)T = ( CCT(CCT)-1)T = ((CCT)-1)TCCT = ((CCT)T)-1CCT = (CCT)-1CCT

= CCT(CCT)-1 = CX

Dengan demikian X adalah invers semu dari C atau CT(CCT)-1 = C+. 2. X = (CTC)-1CT adalah invers semu dari C, sebab :

CXC = C(CTC)-1CT C = C XCX = ((CTC)-1CTC(CTC)-1CT = (CTC)-1CT = X (XC)T = (CTC)-1CTC)T = CT((CTC)-1CT)T = CTC((CTC)-1)T = CTC((CTC)T)-1 = CTC(CTC)-1 = (CTC)-1CTC = XC (CX)T = (C(CTC)-1CT)T = ((CTC)-1CT )T CT = C((CT C)-1)TCT = C((CT C)T)-1CT = C(CT C)-1CT = CX

Dengan demikian X adalah invers semu dari C atau (CTC)-1CT = C+. Contoh II.G.1 :

Tentukan pseudoinvers ( invers semu ) dari matriks :

1. _      − = 1 1 0 0 1 1 A

matriks A memiliki rank baris penuh dan m=2,n=3

(

m<n

)

, maka menggunakan invers semu kanan

( )

−1 + ₌ T T AA A A           − = 1 0 1 1 0 1 T A       − − =           −       − = 2 1 1 2 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 T AA

( )

_      = − 2 1 1 2 3 1 1 T AA maka A+ = AT

( )

AAT −1           − =       ⋅           − = 2 1 1 1 1 2 3 1 2 1 1 2 3 1 1 0 1 1 0 1

2.           = 1 1 2 1 1 2 B

matriks B memiliki rank kolom penuh dan m=3,n=2

(

m>n

)

, maka menggunakan invers semu kiri

( )

T T B B B B+ = −1       = 6 5 5 6 B BT

( )

_      − − = − 6 5 5 6 11 1 1 B BT maka _      ⋅         − − = + 1 2 1 1 1 2 11 6 11 5 11 5 11 6 B         − − = 11 1 11 7 11 4 11 1 11 4 11 7 H. Kekongruenan Definisi II.H.1

Jika m suatu bilangan bulat positif maka a kongruen dengan b modulo m ditulis a≡b

(

modm

)

bila dan hanya bila m membagi

(

a−b

)

.

Jika m tidak membagi

(

a−b

)

maka dikatakan bahwa a tidak kongruen dengan b modulo m ( ditulis a ≡b(modm))

Definisi II.H.1 tersebut dapat ditulis bahwa jika m>0 maka m

(

a−b

)

bila dan hanya bila a≡b

(

modm

)

. m

(

a−b

)

berarti ada bilangan bulat k sehingga

(

a−b

)

=mk, karena

(

a−b

)

=mk maka sama artinya dengan a=mk+b, sehingga a≡b

(

modm

)

bila dan hanya bila a=mk+b.

Contoh II.H.1 :

(

mod4

)

1 25≡ sebab 4 membagi ( 25 – 1 ).

(

mod5

)

5

31≡ sebab 6 tidak membagi ( 31 – 5 ). Teorema II.H.1

Jika a bilangan bulat dan m,b bilangan bulat positif, maka

(

m

)

b

a≡ mod bila dan hanya bila ada bilangan bulat k sehingga a = mk + b. Bukti :

Diketahui a dan b bilangan – bilangan bulat dan m > 0 ,

( )

⇒ Berdasarkan Definisi II.H.1, a≡b

(

modm

)

ini berarti m

(

a−b

)

, karena

(

a−b

)

=mk maka sama artinya dengan a=mk+b dengan 0≤b<m.

( )

⇐ a=mk+b dapat dinyatakan sebagai

(

a−b

)

=mk, ini berarti m

(

a−b

)

, maka sama artinya dengan a≡b

(

modm

)

.

Contoh II.H.2 :

(

mod11

)

4

26≡ sama artinya dengan 26 = 11.2 + 4 I. Kriptografi

Kriptografi berasal dari bahasa yunani “ cryptos “ artinya rahasia, sedangkan “ graphein “ artinya tulisan. Jadi secara morfologi kriptografi berarti tulisan rahasia.

Ada beberapa definisi kriptografi yang telah dikemukakan di dalam berbagai literatur. Definisi yang kita pakai dalam penelitian ini : Kriptografi

adalah ilmu dan seni untuk menjaga keamanan pesan. Kata “ seni “ di dalam definisi di atas berasal dari fakta sejarah bahwa pada masa – masa awal sejarah kriptografi, setiap orang mungkin mempunyai cara yang unik untuk merahasiakan pesan. Pada perkembangan selanjutnya, kriptografi berkembang menjadi sebuah disiplin ilmu sendiri karena teknik – teknik kriptografi dapat diformulasikan secara matematik sehingga menjadi sebuah metode yang formal.

1. Prinsip Kerja Kriptografi

Pembahasan penulisan pada kriptografi dapat ditulis dalam bahasa matematika. Fungsi – fungsi yang mendasar dalam kriptografi adalah enkripsi dan deskripsi. Enkripsi adalah proses mengubah suatu pesan asli ( plaintext ) menjadi suatu pesan dalam bahasa sandi ( ciphertext ).

P A C = ⋅ dimana P = pesan asli A = kunci enkripsi

C = pesan dalam bahasa sandi

Sedangkan deskripsi adalah proses mengubah pesan dalam suatu bahasa sandi menjadi pesan asli kembali.

C A P= + ⋅ +

Umumnya, selain menggunakan fungsi tertentu dalam melakukan enkripsi dan deskripsi, seringkali fungsi itu diberi parameter tambahan yang disebut dengan istilah kunci.

2. Jenis – jenis Kunci

Jenis kunci dalam kriptografi terbagi menjadi 2, yaitu kunci simetris dan kunci asimetris.

a). Kunci Simetris

Ini adalah jenis kriptografi yang paling umum dipergunakan. Kunci untuk membuat pesan yang disandikan sama dengan kunci untuk membuka pesan yang disandikan itu. Jadi pembuat pesan dan penerimanya harus memiliki kunci yang sama persis. Siapapun yang memiliki kunci tersebut, termasuk pihak – pihak yang diinginkan, dapat membuat dan membongkar rahasia ciphertext. Problem yang paling jelas disini terkadang bukanlah masalah pengiriman ciphertext-nya, melainkan masalah bagaimana menyampaikan kunci simetris tersebut kepada pihak yang diinginkan.

b). Kunci Asimetris

Kunci asimetris adalah pasangan kunci – kunci kriptografi yang salah satunya dipergunakan untuk proses enkripsi dan untuk deskripsi. Semua orang yang mendapatkan kunci publik dapat menggunakannya untuk mengenkripsikan satu pesan, sedangkan hanya satu orang saja yang memiliki rahasia tertentu, dalam hal ini kunci privat, untuk melakukan pembongkaran terhadap sandi yang dikirim untuknya.

Dengan cara seperti ini, jika seorang pihak pertama mengirim pesan untuk pihak kedua, pihak pertama tersebut dapat merasa yakin bahwa pesan tersebut hanya dapat dibaca oleh pihak yang bersangkutan, karena hanya dia yang bisa melakukan deskripsi dengan kunci privatnya.

Tentunya si pihak pertama harus memiliki kunci publik milik pihak kedua untuk melakukan enkripsi. Pihak pertama bisa mendapatkannya dari pihak yang bersangkutan, ataupun dari pihak ketiga yang dipercaya.

3. Hill Cipher

Hill Cipher termasuk dalam salah satu kriptosistem polialfabetik, artinya setiap karakter alfabet bisa dipetakan ke lebih dari satu macam karakter alfabet. Hill Cipher ditemukan pada tahun 1929 oleh Lester S. Hill. Hill Cipher ini menggunakan matriks persegi sebagai kuncinya.

Secara singkat, Hill Cipher dapat dijelaskan sebagai berikut. Misalkan n adalah bilangan bulat positif, didefinisikan P=C =

( )

Z26 n dengan P adalah himpunan plaintext dan C adalah himpunan ciphertext. Ide dari Hill Cipher adalah untuk membuat n kombinasi linier dari n karakter alfabet di dalam satu elemen plaintext, sehingga menghasilkan n karakter alfabet sebagai elemen dari ciphertext.

Misalkan n = 2, maka dapat dituliskan elemen – elemen plaintext dalam bentuk x=

(

x₁ x₂

)

dan elemen – elemen ciphertext sebagai

(

y1 y2

)

y= . Dalam hal ini, y1 dan y2 adalah kombinasi linier dari x1 dan x₂. Contoh II.I.1 : Diberikan : 2 1 2 2 1 1 7 8 3 11 x x y x x y + = + =

Kombinasi linier diatas dapat dituliskan dalam notasi matriks sebagai berikut : _      ⋅       =       2 1 2 1 7 3 8 11 x x y y ( Ariyus, 2006 : 27 )