7)Benda Tegar Statika [Compatibility Mode]

Gerak Rotasi

Vektor Momentum Sudut Sistem Partikel

Momen Inersia

Bahan Cakupan

Bahan Cakupan

Momen Inersia

Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut

Tinjau dahulu besaran-besaran vektor gerak rotasi.

Dalam proses rotasi, pergeseran sudut:

θ

θ

θ

=

−

∆

Satuan SI untuk pergeseran sudut adalah radian (rad)

1

2

θ

θ

θ

=

−

∆

°

=

°

=

57

,

3

2

360

rad

1

Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut

kecepatan sudut sesaat:

d

θ

θ

∆

kecepatan sudut rata-rata:

t

θ

t

t

θ

θ

∆

∆

=

−

−

=

1 2 1 2

ω

dt

d

t

t t

θ

θ

ω

ω

=

∆

∆

=

=

→ ∆ →

∆ 0 0

lim

lim

Satuan SI untuk kecepatan sudut adalah radian per detik (rad/s)

Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut

Arah kecepatan sudut:

Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut

Percepatan sudut sesaat:

Percepatan sudut rata-rata:

t

t

t

∆

∆

=

−

−

=

ω

ω

ω

α

1 2 1 2

d

ω

ω

α

=

lim

∆

=

Percepatan sudut sesaat:

dt

d

t

t

ω

ω

α

=

∆

∆

=

→ ∆

lim

0 Satuan SI untuk percepatan sudut adalah

radian per detik (rad/s2₎

Perumusan Gerak Rotasi

Kecepatan tangensial:

tangensial kecepatan linear

kecepatan

ω

r

v =

(

ω

_{dalam rad/s}

)

tangensial percepatan linear

percepatan

α

r

a =

(

α

_dalamrad/s2

)

Perumusan Gerak Rotasi

r

v

a

2

2

ω

=

=

Percepatan sentripetal (dng arah radial ke dalam):

r

r

v

Torsi – Momen gaya

Torsi didefenisikan sebagai hasil kali besarnya gaya

Torsi – Momen gaya

Vektor Momentum Sudut

Momentum sudut L dari sebuah benda yang berotasi tehadap sumbu tetap didefenisikan sbb:

)

v

r

m(

p

r

L

=

×

=

×

sin

l mvr

rp rmv

r p r mv

φ

⊥ ⊥

⊥ ⊥

=

Vektor Momentum Sudut

Perubahan momentum sudut terhadap waktu diberikan oleh:

(

)

d dt d dt L r p = × dt dt

(

)

d

dt

d

dt

d

dt

r

×

p

=



r

×

p

r

p











+ ×













( ) = × =

v mv

0

Jadi d

dt

d dt

L

r p

= × ingat _FEXT dp

dt

Vektor Momentum Sudut

Perubahan momentum sudut terhadap waktu diberikan oleh:

d dt

d dt

L

r p

= × FEXT

dt d

× = r L

dt = ×r dt dt EXT

Akhirnya kita peroleh:

ττττ_EXT d dt = L

Hukum Kekekalan Momentum

Sudut

dimana dan

ττττ_EXT d dt

= L L = ×r p ττττEXT = ×r FEXT

ττττ_EXT d

dt

= L = 0 Jika torsi resultan = nol, maka

Jika torsi resultan = nol, maka _EXT

dt

Hukum kekekalan momentum sudut Hukum kekekalan momentum sudut

2

1

ω

ω

2

1

I

Hukum Kekekalan Momentum

Linear

o Jika ΣΣΣΣF = 0, maka p konstan.

Rotasi Rotasi

Momentum Sudut:

Defenisi & Penurunan

Untuk gerak linear sistem partikel berlaku

Momentum kekal jika

FEXT dp

dt

=

F

=

0

p = mv

Bagaimana dng Gerak Rotasi?

EXT

dt

F

_EXT

=

0

L

= ×

r

p

ττττ = ×

r F

Untuk Rotasi, Analog gaya F F adalah Torsi

Analog momentum pp adalah

Sistem Partikel

Untuk sistem partikel benda tegar, setiap partikel memiliki kecepatan sudut yang sama, maka

momentum sudut total:

n

= + + + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + =_{1 2 3}

∑

1 n

n i

i

L l l l l l

= = + + + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + =

∑

,

1 1

n n

i

net i net

i i

dL dl

Sistem Partikel

kˆ v r m m

i i i i i i i i

i i i ∑ = ∑ × = × ∑

= r p r v

L

Perhatikan sistem partikel benda tegar yg berotasi pd bidang x-y, sumbu rotasi z. Total momentum sudut adalah jumlah masing2 momentum sudut partikel:

(krn r_i dan v_i tegak lurus)

i j i i i rr₁ rr₃ rr₂ m₂ m₁ m₃ ω v v₂ v v₁ v v₃

Arah LL sejajar sumbu z

Gunakan v_i = ω r_i , diperoleh

ω

I

=

L

i i

Analog dng p = mv !!

Vektor Momentum Sudut

DEFINISI

Momentum sudut dari sebuah benda yang berotasi tehadap sumbu tetap adalah hasil kali dari momen inersia benda dengan

kecepatan sudut terhadap sumbu rotasi kecepatan sudut terhadap sumbu rotasi tersebut.

Demikan juga dengan torsi (Hk II Newton untuk gerak rotasi):

ω

I

=

L

ω

ω

d

I

d

L

Jika tidak ada torsi luar, L kekal. Artinya bahwa hasil perkalian antara I dan

ω

kekal

L

=

I

ω

Vektor Momentum Sudut

L

=

I

ω

L

=

I

ω

2

i i

Momen Inersia

Momen Inersia bagi suatu sistem partikel benda tegar didefenisikan sebagai

...

2

2 2 2

1 1 2

+

+

=

=

∑

m

r

m

r

m

r

I

i

i i

I = momen inersia benda tegar,

menyatakan ukuran inersial sistem untuk berotasi terhadap sumbu putarnya

∑

Momen Inersia

Untuk benda yang mempunyai distribusi massa kontinu, momen inersianya diberikan dalam bentuk integral

dm

r

I

r

m

I

=

∑

_{i i}2

⇒

=

∫

2

∫

=

∫

=

r

dm

ρr

dV

I

2 2 _dm

x y

z

dm

r

I

r

m

I

_i

i

i

∫

∑

⇒

=

=

dl

d

rdr

dV

=

⋅

θ

⋅

Momen Inersia

dimana rdr : perubahan radius,

dl

d

rdr

dV

=

⋅

θ

⋅

dimana rdr : perubahan radius,

dθ : perubahan sudut,

Momen Inersia

Untuk lempengan benda dibawah ini, momen inersia dalam bentuk integral

(

rdr

d

dl

)

r

I

=

∫

r

2

ρ

(

rdr

⋅

d

θ

⋅

dl

)

I

=

∫

ρ

⋅

θ

⋅

Asumsi rapat massa ρ konstan

Kita dapat membaginya dalam 3 integral sbb:

( ) ( ) ( )

∫

∫

∫

⋅

⋅

=

R

r

rdr

d

L

dl

I

0 2

0 0

2 π

θ

Momen Inersia

Hasilnya adalah

[ ] [ ]

R

l

r

I

L R

⋅

⋅













=

ρ

θ

π

4

4 0 2 0 0 4

L

R

I

=

ρ

⋅

2

π

⋅

4

4

L

R

M

=

ρ

⋅

π

⋅

2

⋅

Massa dari lempengan tersebut

2

1

Dalil Sumbu Sejajar

Untuk benda tegar bermassa M yang berotasi terhadap

sumbu putar sembarang yang berjarak h dari sumbu sejajar yang melalui titik pusat massanya (I_CM diketahui), momen inersia benda dapat ditentukan dengan menggunakan:

Dalil Sumbu Sejajar

2

Mh

I

Momen Inersia:

ℓ ℓ 2 12 1 ml I = R 1 2 3 1 ml I = R a b 2 mR I = ) (

1 _{2 2}

b a

m

I = + 2

Dinamika Benda Tegar

Mengikuti analog dari gerak translasi, maka kerja oleh momen gaya didefenisikan sbb:

2 2 1 1 2 2

ω

ω

ω

ω

θ

τ

θ ω

−

=

=

=

∫

∫

2

1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1

ω

ω

ω

ω

θ

τ

θ θ ω

ω

I

d

I

I

d

Energi Kinetik Rotasi

Suatu benda yang bergerak rotasi, maka energi kinetik akibat rotasi adalah

( )

2

1

(

2

)

2

1

ω

ω

∑

∑

=

=

m

r

m

r

K

( )

2

(

2

)

2

2

1

2

1

ω

ω

∑

∑

=

=

m

_i

r

_i

m

_i

r

_i

K

∑

=

2

r

m

I

2

2

1

ω

I

K

=

Energi Kinetik Rotasi

Linear Rotasi

2

2

1

ω

I

K

=

2

2

1

Mv

K

=

2

I

ω

K

=

2

Mv

K

=

Massa

Kecepatan Linear

Momen Inersia

Prinsip Kerja-Energi

Sehingga, teorema Kerja-Energi untuk gerak rotasi menjadi: 2 2 1 1 2 2

ω

ω

ω

ω

θ

τ

θ ω

I

I

d

I

d

W

=

∫

=

∫

=

₂2

−

₁2

2 2 1 1

ω

ω

ω

ω

θ

τ

θ

d

ω

I

d

I

I

W

=

∫

=

∫

=

−

2

2

1

ω

I

K

_rotasi

=

rotasi

K

W

=

∆

_dimana

0

=

Menggelinding

s

=

θ

R

ds/dt

d

θ

com

d

v

R

dt

θ ω

2 2 1

K = 1 I

ω

2 I = I + MR2

2

2 2 2

1 1

2 2

2 2

1 1

2 2

P P com

com

com com r t

K I I I MR

K I MR

K I Mv K K

ω

ω

ω

ω

= = +

= +

R

x

s

f

sin g F θ

N

II αα sin g P

R F×

θ

= I

α

com

a = −

α

R

θ

θ

x

P

s

f

g

F

g cos g F θ 2

sin _{P com}

MR g

θ

= −I a

2 P com

I = I + MR

Menggelinding

Total energi kinetik benda yang menggelinding sama dengan jumlah energi kinetik translasi dan energi kinetik rotasi.

1

1

₂

0 2

0

2

1

2

1

ω

I

mv

K

=

+

Suatu benda tegar dikatakan setimbang

apabila memiliki percepatan translasi sama dengan nol dan percepatan sudut sama

dengan nol.

Dalam keadaan setimbang, seluruh resultan

Kesetimbangan Benda Tegar

Dalam keadaan setimbang, seluruh resultan gaya yang bekerja harus sama dengan nol, dan resultan torsi yang bekerja juga harus sama dengan nol:

ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0

Hubungan Besaran

Gerak Linear - Rotasi

Linear Rotasi

x (m) θθθθ (rad)

v (m/s)

ω

ω

ω

ω

(rad/s)

v (m/s)

ω

ω

ω

ω

(rad/s)

a (m/s

2

)

α

α

α

α

(rad/s

2

)

m (kg)

I

(kg·m

2

)

linear angular perpindahan kecepatan percepatan

x

∆

∆

θ

dt

dx

v

=

/

ω

=

d /

θ

dt

dt

dv

a

=

/

α

=

d /

ω

dt

Hubungan Besaran

Gerak Linear - Rotasi

percepatan massa gaya Hk. Newton’s energi kinetik

dt

dv

a

=

/

α

=

d /

ω

dt

m

=

∑

2

i ir m I

F

α

τ

=

I

ma

F

=

F

r

×

=

τ

2 ) 2 / 1 ( mv