BILANGAN CACAH
Bilangan cacah1 adalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu {0, 1, 2, 3 ...}. Dengan kata lain himpunan bilangan asli ditambah 0.Jadi, bilangan cacah harus bertanda positif.
Pembelajaran nilai tempat bilangan cacah2 mulai dari kelas 1 catur wulan 2 sampai dengan kelas 6. Setiap siswa di setiap jenjang kelas SD diharapkan dapat memahami nilai tempat. Agar setiap siswa SD dapat memahami nilai tempat diperlukan kemampuan-kemampuan seperti berikut :
Kemampuan menggunakan alat peraga konkret dan gambar-gambar untuk merepresentasikan bilangan 0 sampai dengan 9,
Kemampuan menulis lambang bilangan untuk bilangan 0 sampai dengan 9,
Kemampuan mengekspresikan suatu bilangan sebagai kombinasi penjumlahan, seperti 3+0, 2+1, 1+2, dan 0+3 untuk bilangan 3.
Kemampuan-kemampuan ini penting sebagai dasar untuk memahami bahwa suatu bilangan seperti 12 dapat direpresentasikan sebagai 1 puluhan dan 2 satuan dan sebagai 10+2 (Kennedy & Tipps, 1994).
Dalam matematika, nilai tempat bilangan cacah perlu dipahami siswa terutama untuk menuliskan lambang bilangan yang lebih besar dari 9. Nilai tempat juga sangat berguna untuk penamaan, pembandingan, pembulatan bilangan, memahami algoritma penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan persentase. Riedesel, dkk. (1996) menegaskan bahwa kurangnya pemahaman prosedur seperti regrouping dalam penjumlahan dan pengurangan disebabkan oleh kurangnya pemahaman nilai tempat. Van de Walle (1994) menyimpulkan bahwa number sense dan pemahaman komputasi tidak dapat dikembangkan tanpa pemahaman yang kuat akan nilai tempat. Troutman & Lichtenberg 1991) menyarankan
untuk segera mengecek kesulitan tentang nilai tempat bila siswa menunjukkan kelemahan dalam aritmetika.
Pemahaman materi nilai tempat sangat diperlukan, tetapi kenyataan yang ada menunjukkan bahwa pemahaman siswa SD akan materi ini belum seperti yang diharapkan. Hasil penelitian Kami (Sinclair & Sinclair, 1986:59) menunjukkan bahwa siswa kelas 3 dan 4 tidak memahami bahwa angka 3 dan angka 4 pada lambang bilangan 34 mempunyai suatu relasi khusus pada totalitas numerik. Juga di Malang Jawa Timur siswa kelas 2 SD Negeri Sumbersari III mengalami kesulitan menentukan nilai tempat bilangan cacah sampai dengan 100 (Nurhakiki, 1999).
Dalam memahami nilai tempat, kesulitan yang dialami siswa menurut Troutman & Lichtenberg (1991) adalah dalam hal :
Mengasosiasikan model nilai tempat dengan lambang bilangan,
Menggunakan nol bila menulis lambang bilangan,
Menggunakan konsep regrouping untuk merepresentasikan lambang bilangan,
Menamakan posisi nilai tempat dalam suatu lambang bilangan,
Memberikan representasi nilai tempat tidak baku untuk suatu lambang bilangan.
Kesulitan siswa dalam memahami nilai tempat bilangan dua angka meliputi tiga komponen utama yaitu kuantitas dan nama basis, nama bilangan, dan lambang bilangan berkaitan dengan nilai tempat (Payne & Huinker, 1993).
Pendekatan ini sesuai dengan tingkat berpikir anak yang meliputi empat tingkat berpikir yaitu berpikir pada tingkat konkret, semikonkret, semiabstrak dan abstrak Ruseffendi,1981). Bila pembelajaran matematika disesuaikan dengan tingkat berpikir siswa, diharapkan siswa akan memahami konsep nilai tempat tersebut. Hal ini sesuai dengan pendapat Sutawidjaja (1997) yang menyatakan bahwa penyajian matematika yang disusun sesuai dengan tingkat berpikir siswa, memungkinkan siswa SD memahami matematika yang bersifat abstrak, aksiomatis, simbolik, dan deduktif.
Modus Representasi Konsep-Konsep Matematika Menurut Teori Bruner
Dalam pembelajaran matematika, Bruner membagi modus representasi atau penyajian menjadi tiga modus, yaitu modus enaktif, modus ikonik, dan modus simbolik.
Modus enaktif adalah modus di mana anak dalam belajarnya masih membutuhkan bantuan benda-benda konkret, misalnya untuk mengenalkan nilai tempat menggunakan blok basis sepuluh atau balok-balok satuan yang dikelompokkan sesuai dengan nilai tempat suatu angka pada suatu lambang bilangan.
Modus ikonik adalah modus di mana siswa dalam belajarnya telah melangkah satu langkah dari benda-benda konkret menuju bayangan mental secara realistik yaitu gambar-gambar benda, diagram dan atau informasi lisan yang didasarkan pada dunia nyata (Reys, dkk., 1998).
Modus simbolik adalah modus di mana siswa dalam belajarnya sudah mulai menggunakan simbol-simbol atau bahasa, dari yang sederhana dikembangkan ke yang lebih luas.
Pendekatan dalam Pembelajaran Nilai Tempat yang Mengacu pada Teori Bruner: Konkret, Semikonkret, Semiabstrak, dan Abstrak
tempat yang disajikan dalam tulisan ini menggunakan benda konkret blok basis sepuluh, gambar kubus satuan dan gambar batang puluhan, diagram atau tabel nilai tempat, dan lambang atau simbol bilangan.
Blok basis sepuluh yang digunakan adalah kubus-kubus satuan dan batang-batang puluhan. Penyajian dengan menggunakan benda kubus-kubus satuan dan batang-batang puluhan merupakan pendekatan konkret. Penyajian dengan menggunakan gambar kubus satuan dan gambar batang puluhan, merupakan pendekatan semikonkret. Penyajian dengan diagram atau tabel nilai tempat merupakan pendekatan semiabstrak dan penyajian dengan menggunakan lambang atau simbol bilangan, merupakan penyajian bentuk abstrak.
Penyajian dengan menggunakan kubus satuan dan batang puluhan bersesuaian dengan tahap enaktif dari Bruner. Penyajian dengan menggunakan gambar kubus satuan dan gambar batang puluhan serta dengan menggunakan diagram atau tabel nilai tempat bersesuaian dengan tahap ikonik dari Bruner. Dan penyajian dengan menggunakan lambang atau simbol bilangan sesuai dengan nilai tempatnya bersesuaian dengan tahap simbolik dari Bruner.
Penggunaan blok basis sepuluh, sebagai benda konkret, dimaksudkan untuk memberikan lingkungan belajar awal yang cocok untuk dapat mengkonstruksi pemahaman atau mengembangkan konsep nilai tempat dan juga mengembangkan pengetahuan konseptual nilai tempat serta untuk menghubungkan konsep nilai tempat dengan simbolisme.
Bila siswa telah dapat memanipulasi blok basis sepuluh dalam menentukan nilai tempat suatu lambang bilangan, dilanjutkan dengan penggunaan gambar blok basis sepuluh, dan tabel atau diagram nilai tempat, serta simbol bilangan sebagai suatu sistem. Agar terjadi belajar dengan pemahaman, maka jembatan dari representasi konkret ke representasi abstrak atau sebaliknya harus dilalui berulang-ulang.
belajar. Rangkaian pembelajaran terpadu antara idea (yang ditampilkan dengan bahasa baik bahasa lisan maupun tulisan sebagai kata/frasa/kalimat), benda konkret, gambar benda, dan simbol gambar dan simbol dimaksudkan untuk mengupayakan penanaman konsep matematika (idea), dalam hal ini konsep nilai tempat, ke dalam skemata siswa (Hudojo, 1998).
Nilai Tempat Bilangan Cacah di Kelas Rendah SD
Untuk memahami nilai tempat bilangan cacah memerlukan pengertian sistem numerasi Hindu-Arab, konsep nilai tempat, menulis dan membaca lambang bilangan.
1. Sistem Numerasi Hindu-Arab
Menurut Negoro & Harahap (1983) “bilangan adalah suatu ide yang sifatnya abstrak”. Bilangan bukan simbol dan bukan pula lambang bilangan. Menurut Musser & Burger (1991) bilangan adalah suatu ide/gagasan, suatu abstraksi, yang merepresentasikan suatu kuantitas. Dan lambang bilangan dinyatakan sebagai simbol yang kita lihat, tulis, atau sentuh bila merepresentasikan bilangan. Jadi bilangan adalah ide yang bersifat abstrak dan merepresentasikan suatu kuantitas. Lambang bilangan adalah simbol yang merepresentasikan bilangan yang dapat kita tulis, lihat, dan sentuh.
Sistem pemberian nama bilangan disebut dengan sistem numerasi (Ruseffendi, 1984). Ada dua hal pokok yang perlu diperhatikan dalam sistem numerasi yaitu (1) simbol-simbol pokok yang digunakan, dan (2) aturan menyatukan simbol-simbol pokok itu untuk menulis lambang bilangan.
puluhan, setiap sepuluh puluhan menjadi satu ratusan, dan seterusnya. Jadi pada lambang bilangan dasar sepuluh, tempat paling kanan adalah tempat satuan dengan nilai tempatnya satu, tempat sebelah kirinya tempat puluhan dengan nilai tempatnya sepuluh, dan seterusnya; (3) Menggunakan sistem nilai tempat. Contoh pada bilangan 16, nilai tempat angka 1 adalah sepuluh, berarti 1 puluhan dan nilai tempat angka 6 adalah satu, berarti 6 menunjukkan 6 satuan; (4) Menggunakan sistem penjumlahan dan perkalian. Contoh bilangan 15, bilangan ini dapat dituliskan sebagai (1 x 10) + (5 x 1).
Dengan sepuluh macam angka dan aturan-aturan mengombinasikannya menggunakan sistem bilangan dasar 10, maka akan dapat dituliskan nama-nama bilangan mana pun yang kita perlukan.
2. Konsep Nilai Tempat
Menurut Ashlock (1994) gagasan nilai tempat menyangkut pemberian suatu nilai kepada masing tempat atau posisi dalam lambang bilangan multi-digit; yaitu masing-masing tempat dalam lambang bilangan tersebut bernilai perpangkatan sepuluh. Kramer (1970) menyatakan nilai posisi atau tempat dari suatu angka dalam suatu lambang bilangan tergantung pada tempat angka itu berada dalam lambang bilangan tersebut. Sehingga setiap angka dalam lambang bilangan desimal mempunyai nilai yang ditentukan oleh nilai angka itu sendiri dan nilai tempat angka itu (Negoro & Harahap, 1983). Sebagai contoh bilangan 15, angka 1 mempunyai nilai 1 puluhan, dan angka 5 mempunyai nilai 5 satuan. Nilai tempat 1 adalah sepuluh, nilai bilangannya 10, nilai tempat 5 adalah satu, nilai bilangannya 5 (Seputra & Amin, 1994).
dengan nama bilangan dan nama basis, dan representasi simbolik dengan lambang bilangan berkaitan dengan nilai tempat.
3. Menulis dan Membaca Lambang Bilangan
Membilang dengan cara satu-satu merupakan cara yang meyakinkan bagi siswa untuk mengurutkan bilangan yang menyatakan banyak anggota suatu himpunan. Akibatnya, membilang merupakan komponen penting untuk memahami bilangan dua angka atau lebih. Oleh karena itu, program pembelajaran di kelas-kelas awal harus banyak memberikan perhatian pada membaca dan menulis lambang bilangan. Menulis dan membaca lambang bilangan dimulai setelah anak dapat mengenali lambang bilangan dan dapat menghubungkannya dengan banyaknya benda.
Pemahaman yang baik akan nilai tempat sangat membantu siswa dalam membaca dan menuliskan lambang-lambang bilangan terutama dalam tulisan ini yaitu bilangan-bilangan yang terdiri dari dua angka. Siswa perlu mengetahui prosedur membaca dan menulis lambang bilangan.
PEMBELAJARAN NILAI TEMPAT MENGACU PADA TEORI BRUNER DI KELAS KELAS RENDAH SD
Pembelajaran nilai tempat yang mengacu pada teori Bruner dalam tulisan ini dilakukan dengan urutan penyajian bentuk konkret, semikonkret, semiabstrak, dan abstrak sebagai berikut. Adapun materi yang penulis sajikan dalam tulisan ini adalah materi nilai tempat untuk kelas 1 SD.
1. Bentuk Konkret
Dalam penyajian bentuk konkret, aktivitas-aktiviatas yang dilakukan adalah (a) Membilang kubus satuan; (b) Menyusun 10 kubus satuan menjadi satu rangkaian (puluhan); (c) Mengganti 10 kubus satuan (1 rangkaian) dengan 1 batang puluhan; (d) Membuat rangkaian sendiri dengan bilangan cacah 11-50; (e) Menunjukkan puluhan dan satuan dengan menggunakan alat peraga manipulatif.
2. Bentuk Semikonkret
Aktivitas yang dilakukan dalam penyajian bentuk semikonkret adalah (a) Membilang banyaknya gambar kubus satuan, (b) Memasangkan gambar dengan benda konkret sebagai alat peraga manipulatif untuk menunjukkan bilangan 11-50, (c) Menunjukkan puluhan dan satuan dengan menggunakan gambar alat peraga manipulatif.
3. Bentuk Semiabstrak
Aktivitas-aktivitas yang dilakukan dalam penyajian bentuk semiabstrak adalah membuat coretan pada kolom puluhan dan satuan dalam tabel nilai tempat sesuai dengan banyak puluhan dan satuan bilangan 11-50 dari gambar alat peraga manipulatif. Berikut ini contoh tabel nilai tempat dengan banyaknya coretan pada kolom puluhan dan kolom satuan.
Tabel Nilai Tempat Bilangan Cacah Lambang bilangan Puluhan Satuan 11 | |
4. Bentuk Abstrak
Aktivitas-aktivitas yang dilakukan dalam penyajian bentuk abstrak adalah (a) Menyebutkan nama bilangan cacah 11-50; (b) Menuliskan nama bilangan cacah 11-50; (c) Menentukan puluhan dan satuan dari suatu lambang bilangan; (d) Menuliskan bentuk panjang dari suatu lambang bilangan antara 11-50; (e) Merubah dari nama basis ke bentuk penjumlahan; (f) Menentukan nilai tempat suatu angka dari suatu bilangan antara 11-50; (g) Menentukan nilai angka dari suatu lambang bilangan antara 11-50
Contoh Pembelajaran Nilai Tempat yang Mengacu pada Teori Bruner di Kelas Rendah SD.
Untuk memberikan gambaran pembelajaran menggunakan teori Bruner dengan pendekatan konkret, semikonkret, semiabstrak dan abstrak. Berikut ini penulis disajikan suatu contoh pembelajaran nilai tempat yang mengacu pada teori Bruner. Pembelajaran ini adalah pembelajaran nilai tempat di kelas 1 SD dengan alat peraga batang puluhan, kubus satuan, gambar batang puluhan, gambar kubus satuan, dan tabel nilai tempat dengan metode ceramah, tanya jawab, dan demonstrasi serta penugasan. Pembelajaran ini disusun dalam bentuk antara guru (G) dan siswa (S) adalah sebagai berikut.
Penyajian Bentuk Konkret
G: Memperkenalkan kubus satuan dan batang puluhan. Dengan menggunakan kubus-kubus satuan, tunjukkanlah bilangan 1, 2, 3, 4, 5,6,7, 8, 9, dan 10?
S: Melakukan kegiatan.
G: Guru mengamati cara siswa menunjukkan bilangan tersebut dengan kubus satuan dan memberi bantuan seperlunya. Kemudian meminta siswa untuk menuliskan lambang bilangan yang sudah ditunjukkan dengan kubus-kubus satuan tersebut di buku tulis dan di papan tulis.
S: Melakukan kegiatan
G: Sekarang perhatikan. Apabila ada 9 kubus satuan lalu kita tambah lagi dengan 1 kubus satuan, maka akan menjadi berapa kubus satuan, S?
G: Ya, bagus. Sekarang coba kalian membilang 11 kubus satuan. S: Membilang 11 kubus satuan
G: Memperhatikan aktivitas siswa. Bertanya pada S, selesai? S: S menjawab. Selesai, Pak
G: Baiklah, coba kalian kelompokkan 10 kubus satuan, lalu tumpukkan menjadi 1 rangkaian (puluhan).
S: Melakukan aktivitas
G: Mengamati pekerjaan siswa. Bertanya pada S, seperti apa hasil kerjaanmu? S: S menjawab: seperti ini, Pak
G: Ya, jempolan. Apabila 1 rangkaian telah terbentuk (terdiri dari 10 kubus satuan), apakah masih ada kubus satuan yang tersisa? Diam sejenak, S?
S: S menjawab: masih ada, yaitu 1 kubus satuan.
G: Pintar kamu, jadi ada 1 rangkaian (10 kubus satuan) dan 1 kubus satuan. Ambillah 1 batang puluhan. Kemudian gantilah 10 kubus satuan (1 rangkaian) dengan 1 batang puluhan tadi.
S: Melakukan aktivitas, lalu menyatakan selesai.
G: Bagus sekali. Sekarang kalian lihat, ada 1 batang puluhan dan ada 1 kubus satuan. Untuk tugas kalian berikutnya. Buatlah rangkaian untuk bilangan 12, 13, 16, 21, 23, 34, 36, 46, dan 48 dengan menggunakan kubus-kubus satuan dan batang puluhan. Guru mengamati kerja siswa dan membantu siswa bila diperlukan.
S: Siswa melakukan aktivitas, lalu menyatakan selesai.
G: Guru bertanya pada siswa: “Siapa yang hasil kerjanya telah memiliki 1 batang puluhan dan 2 kubus satuan?” 1 batang puluhan dan 3 kubus satuan?
S: Saya, Pak.
Pertanyaan dilanjutkan untuk bilangan-bilangan lainnya
Penyajian Bentuk Semikonkret
S: Siswa melakukan aktivitas.
G: Mengamati aktivitas siswa dan memberikan bimbingan kepada siswa yang memerlukan. Guru bertanya: S selesai?
S: Ya, Pak.
G: Siapa di antara kalian yang telah membentuk pasangan 1 gambar batang puluhan dan 1 batang puluhan serta 1 gambar kubus satuan dan 1 kubus satuan? Guru diam sejenak, lalu berkata coba S?
S: Saya, Pak
G: Guru memegang dan memperagakan 1 gambar batang puluhan dan 1 batang puluhan serta 1 gambar kubus satuan dan 1 kubus satuan. Lalu bertanya: Siapa yang memiliki pasangan 1 gambar batang puluhan dan 1 batang puluhan serta 2 gambar kubus satuan dan 2 kubus satuan? Siapa yang dapat menyebutkan arti gambar ini? S?
S: S menjawab: Saya, Pak. Dua belas.
G: Bagus. Kalian sudah dapat memasangkan batang puluhan dengan gambar batang puluhan dan kubus satuan dengan gambar kubus satuan. Sekarang, pasangkan gambar batang puluhan dengan batang puluhan dan gambar kubus satuan dengan kubus satuan untuk bilangan-bilangan berikut: 13, 14, 25, 36, 37, dan 49?
S: Melakukan aktivitas.
G: Mengamati aktivitas siswa dan memberikan bantuan bagi yang memerlukan.
Penyajian Bentuk Semiabstrak
G: Sekarang ambil tabel nilai tempat. Perhatikan ada tulisan puluhan dan ada tulisan satuan. Sekarang buatlah coretan untuk banyak gambar batang puluhan dan gambar kubus satuan. Berapa banyak coretan untuk kolom puluhan bila ada 1 gambar batang puluhan? Berapa banyak coretan untuk kolom satuan bila ada 1 gambar kubus satuan?
S: Melakukan aktivitas.
S: Saya, Pak.
G: Guru menunjuk S, dan berkata sebutkan!
S: Banyak coretan untuk kolom puluhan ada 1 dan banyak coretan untuk kolom satuan 1 G: Lambang bilangan apa yang ditunjukkan oleh 1 coretan pada kolom puluhan dan 1 coretan
pada kolom satuan? S: Saya, Pak.
G: Menunjuk S, kemudian berkata, sebutkan! S: Sebelas
Kegiatan dilanjutkan untuk bilangan lainnya antara 10—50.
G: Guru memberikan beberapa bilangan, lalu meminta siswa untuk membuat coretan pada kolom puluhan dan kolom satuan pada tabel nilai tempat.
S: Siswa melakukan aktivitas.
G: Meminta siswa untuk menyebutkan lambang bilangan yang ditunjukkan oleh banyak coretan dalam tabel nilai tempat sesuai dengan kolom-puluhan dan kolom satuan.
G: Memperhatikan siswa dalam menyebutkan bilangan-bilangan tersebut dan membantu siswa yang membutuhkan. Guru memberikan soal-soal latihan untuk bilangan-bilangan lainnya antara 10--50).
S: Mengerjakan soal-soal yang diberikan.
G: Mengamati dan memberikan bimbingan kepada siswa yang membutuhkan.
Penyajian Bentuk Abstrak
G: Mengingatkan siswa bahwa 1 batang puluhan artinya 1 puluhan dan 1 kubus satuan artinya 1 satuan. 1 puluhan artinya 10 dan 1 satuan artinya 1. Sehingga 1 puluhan dan 1 satuan = 10 + 1. Apa artinya 1 puluhan dan 2 satuan? Diam sejenak, kemudian guru bertanya kepada S?
S: S menjawab 10 + 2.
G: Bagaimana, S. Jawaban temanmu itu. Benar atau salah? S: S menjawab benar.
G: Bila diperhatikan tabel nilai tempat, angka 12, terdiri dari 1 puluhan dan 2 satuan. Angka 1 menempati tempat puluhan dan angka 2 menempati tempat satuan. Bagaimana dengan angka 14? S, angka 1 menempati tempat ….?
S: S menjawab angka 1 menempati tempat puluhan. G: S, angka 4 menempati tempat ….?
S: S menjawab angka 4 menempati tempat satuan.
Tanya jawab dan peragaan dapat dilanjutkan untuk bilangan lainnya yang terletak antara 10 dan 50. Guru diharapkan menyimpulkan bahwa pada lambang bilangan 14 nilai angka 1 adalah 10 dan nilai angka 4 adalah 4. Dilanjutkan dengan tanya jawab untuk bilangan yang lainnya.
BILANGAN BULAT
Bilangan bulat3 terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0 dan tidak dimasukkan lagi secara terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.
Himpunan semua bilangan bulat dalam matematika dilambangkan dengan Z (atau ), berasal dari Zahlen (bahasa Jerman untuk "bilangan").
Sifat-sifat :
Penambahan Perkalian
closure: a + b adalah bilangan
bulat a × b adalah bilangan bulat
Asosiativitas: a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × c
Komutativitas: a + b = b + a a × b = b × a
Eksistensi unsur
identitas: a + 0 = a a × 1 = a
Eksistensi unsur
invers: a + (−a) = 0
Distribusivitas: a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
Tidak ada pembagi nol:
jika a × b = 0, maka a = 0 atau b = 0 (atau keduanya)
Sistem bilangan bulat tercipta sebagai perluasan sistem bilangan cacah untuk mendapatkan sistem bilangan yang tertutup terhadap semua operasi hitung. Perluasan tersebut dilakukan dengan mencari bilangan yang tertutup terhadap operasi pengurangan.4
Definisi 1 :
4
Sistem bilangan bulat terdiri atas himpunan B = { …, -2, -1, 0, 1, 2, ….} dengan operasi biner penjumlahan dan perkalian.Untuk a, b, dan c sebarang bilangan bulat, berlaku sifat :
1. Tertutup terhadap operasi penjumlahan. Ada dengan tunggal ( a + b) 2. Tertutup terhadap operasi perkalian. Ada dengan tunggal ( a x b ) 3. Sifat komutatif terhadap operasi penjumlahan.a + b = b + a
4. Sifat komutatof terhadap operasi perkalian a x b = b x a
5. Sifat assosiatif terhadap penjumlahan ( a + b ) x c = ( a x c ) + ( b x c ) 6. Sifat assosiatif terhadap operasi perkalian ( a x b ) x c = a x ( b x c ) 7. Sifat distributif kiri perkalian terhadap penjumlahan
a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c )
1. Sifat distributif kanan perkalian terhadap penjumlahan
( a + b ) x c = ( a x c ) + ( b x c )
1. Untuk setiap a, ada tunggal elemen 0 dalam B sehingga a + 0 = 0 + a = a, 0 disebut elemen identitas terhadap bilangan bulat.
2. Untuk setiap a, ada tunggal elemen 1 dalam B sehingga a x 1 = 1 x a = a, 1 disebut elemen identitas terhadap operasi perkalian.
OPERASI PENJUMLAHAN PADA BILANGAN BULAT
o Jika a dan b adalah bilangan bulat positif, bagaimana kita menyelesaikan ( – a ) + ( -b ) ?
Penyelesaian :
Misalkan c adalah bilangan bulat yang menyatakan ( – a ) + ( -b ), yaitu c = ( – a ) + ( -b ) maka
( c + b ) + a = ( – a ) + a ( c + b ) + a = 0
c + ( b + a ) = 0 c + ( a + b ) = 0
c +( a + b ) + (- (a + b)) = – ( a +b) c + (( a + b ) + (- (a + b) ) = – (a + b) c + 0 = – ( a + b)
c = – ( a + b)
Karena c = ( – a ) + ( -b ) maka ( -a ) + ( – b ) = – ( a + b).
Jadi, jika a dan b bilangan bulat positif, maka ( -a ) + ( – b ) = – ( a + b).
o Jika a dan b bilangan cacah dengan a < b, bagaimana menyelesaikan a + ( – b )
Penyelesaian :
Menurut definisi pengurangan pada bilangan cacah, a + b = c, sama artinya b = c – a, a + ( – b ) = a + ( – (c – a))
= a +( (- c ) + (- a) ) = a + (- a) + ( -c ) = 0 + ( – c )
= ( – c ) karena c = b – a
Maka a + ( – b )= ( – (b – a )) = – ( b – a )
o Jika a dan b bilangan cacah dengan b < a, bagaimana menyelesaikan a + ( -b )
Penyelesaian :
b = a – c
a + ( -b ) = b + c + ( – b ) = c + ( b + ( -b ))
= c + 0
a + ( -b ) = c , karena c = a – b Maka a + ( -b ) = a – b
OPERASI PENGURANGAN PADA BILANGAN BULAT
Definisi :
Jika a, b, dan c adalah bilangan–bilangan bulat, maka a – b = c jika dan hanya jika a = b + c.
Bilangan bulat mempunyai sifat tertutup terhadap operasi pengurangan dan inilah yang menjadikan perluasan dari system bilangan cacah ke bilangan bulat.Kita buktikan bersama bahwa operasi bilangan bulat mempunyai sifat tertutup pada operasi pengurangan.
Untuk membuktikan sifat tertutup ini kita harus membuktikan bahwa setiap pengurangan a, b bilangan bulat terdapat hanya satu bilangan bulat c.
Bukti :
Dari definisi pengurangan didapat untuk setipa a,b bilangan bulat terdapat c bilangan bulat. Jadi telah terbukti ada bilangan bulat lain.
Akan dibuktikan terdapat satu c bilangan bulat.
Andaikan ada bilangan bulat a dengan n c sedemikian sehingga a = b + n. Karena a = b + c maka b + n = b + c.
b + (-b) + n = b + ( – b ) + c 0 + n = 0 + c
n = c
BILANGAN PECAHAN5
Pendahuluan :
Mempelajari Matematika tidak terlepas dengan bilangan Salah satu bagian dari klasifiksi bilangan adalah bilangan pecahan. Bilangan pecahan ini sudah diajarkan di jenjang SD kelas 3. Namun siswa SD masih sulit membayangkan hal-hal yang abstrak sehingga kita sering menemukan siswa lanjutan tidak menguasai materi Bilangan Pecahan dengan baik.
Bentuk pecahan adalah hal yang sangat fundamental di dalam memberikan pengajaran kepada siswa Sekolah Dasar. Mengapa demikian ? Hal ini dikarenakan kalau salah dalam memberikan pengertian pecahan kepada siswa akan berakibat fatal, karena hal ini akan terus berlanjut sampai ke jenjang pendidikan yang lebih tinggi.
Sebagai contoh mudah bentuk pecahan
6
3
semua orang sepakat akan menjawab 2, tetapiharus dijelaskan kenapa hasilnya 2, darimana ? Jawaban 2 akan diperoleh jika kita dengan
benar membaca pecahan tersebut. Kebanyakan orang bentuk pecahan
6
3
akan dibaca“enam dibagi tiga” atau “enam per tiga”, kalau dibaca seperti ini tidak akan memberikan
jawaban yang memuaskan, sekarang bagaimana kalau pecahannya
2
0
? orang akanbingung menjawabnya “dua dibagi nol” berapa ya kira-kira ? Tapi kalau kita dengan benar dalam membaca suatu bentuk pecahan, maka kita tidak akan menemukan kesulitan dalam menentukan hasil suatu pecahan.
Bentuk pecahan “
a
b
” dibaca “b dikalikan berapa hasilnya a”. Cara baca seperti inilah yangbisa menjawab semua permasalahan bentuk pecahan.
Contoh :
6
3
, tiga dikalikan berapa hasilnya enam, jawabnya dua0
2
, dua dikalikan berapa hasilnya nol, jawabnya nol1
0
, nol dikalikan berapa hasilnya satu, jawabnya tidak ada (tidak didefinisikan)0
0
, nol dikalikan berapa hasilnya nol, jawabnya satu, tujuh, seratus, seribu, dll(tidak terhingga)
Dengan cara membaca bentuk pecahan seperti itulah kita akan bisa menemukan jawaban setiap bentuk pecahan, sehingga diharapkan pemahaman tentang bentuk pecahan kepada siswa Sekolah Dasar akan terus melekat dalam dirinya sampai nantinya dalam menempuh jenjang pendidikan yang lebih tinggi.
Bentuk pecahan dapat dikategorikan dalam tiga hal, yaitu : 1. Pecahan Biasa
2. Pecahan Campuran 3. Pecahan Desimal 4. Pecahan Persen
Pecahan biasa
Pecahan biasa adalah pecahan yang dituliskan dalam bentuk
a
b
dengan “a dinamakanpembilang dan b dinamakan penyebut”. Bentuk pecahan
a
b
mewakili angka antara 0 danContoh :
1
2
,3
5
,3
2
, dst. Pecahan campuran
Pecahan campuran adalah pecahan yang dituliskan dalam bentuk P
a
b
dengan “Pbilangan bulat, a dinamakan pembilang, dan b dinamakan penyebut”. Bentuk pecahan P
a
b
mewakili angka lebih dari 1 atau kurang dari –1Contoh : 3
2
3
, 24
7
, 51
4
, dst Pecahan desimal
Pecahan desimal adalah pecahan yang dituliskan dalam bentuk P,Q Contoh : 3,23 ; 4,14 ; 2,11 ; dst
Pecahan persen
Pecahan persen adalah pecahan yang dituliskan dalam bentuk A%, dimana bentuk “%”
disini mempunyai arti
1
100
.Contoh : 3 % berarti
3
100
½ % berarti
1
2
100
atau2
x
1
100
atau200
1
Untuk membandingkan dua pecahan yang dilakukan hanya dengan membandingkan pembilangnya saja dengan ketentuan penyebutnya harus sama, apabila penyebutnya tidak sama, maka kedua penyebut harus disamakan dengan metode perkalian atau metode KPK
Contoh1
5
6
dengan6
9
Penyelesaiannya
5
6
6
9
Contoh2
3
7
dengan5
2
Penyelesaian : karena penyebutnya tidak sama digunakan prinsip perkalian silang 3x5 dan 2x7
15 dan 14
karena 15 14, maka
3
7
5
2
Contoh3
2
5
dengan 26
2
Penyelesaian : pecahan campuran diubah dulu menjadi pecahan biasa
2
2
6
=2
x
6
6
+
2
=14
6
karena penyebut pecahan
2
5
dan pecahan14
6
tidak sama,maka dilakukanprinsip perkalian silang 2x6 dan 14x5
karena 12 70, maka
2
5
14
6
Contoh :
1. Ketika guru menerangkan bilangan pecahan 1/2 melalui peragaan kepada siswa dengan membagi sebatang kapur menjadi 2 bagian, Sang Guru berkata : satu batang kapur ini jika dibelah menjadi 2 maka hasilnya 1/ 2. Lalu siswa bertanya : “Mengapa setengah?” “Bukankah menjadi 2 potong?”
2. Kejadian lain yang terjadi sbb.: 1/2 + 1/3 = 2/5 (pembilang ditambah dengan pembilang dan penyebut ditambah dengan penyebut) Fatal !
Bagaimana Cara Menanamkan Konsep Bilangan Pecahan tersebut? Dari Kamus Besar Bahasa Indonesia : Bilangan utuh adalah bilangan yang menyatakan jumlah satuan secara penuh.
Catatan : perbedaan dengan bilangan bulat adalah bilangan bulat tidak mengaitkan dengan satuan
Bilangan pecahan adalah bilangan yang jumlahnya kurang atau lebih dari bilangan utuh. Bilangan pecahan sangat erat hubungannya dengan satuan maka metode mengajarkan bilangan pecahan ini perlu sekali bantuan visualisasi dengan satuan .
Bilangan Pecahan Dasar:
Kebutuhan bilangan pecahan berasal dari membagi satuan menjadi bagian-bagian yang sama. Untuk menyatakan tiap bagian tsb. muncullah bilangan pecahan dasar.
Contoh:
- Sebuah kelapa dibelah menjadi dua bagian yang sama maka tiap-tiap bagian disebut setengah buah (1 : 2 = 1/2)
1/2 , 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, ... dst. menjadi bilangan pecahan dasar.
Operasi Hitung Tambah ( + ) pada Bi langan Pecahan
Contoh:
2 meter kain dapat dibuat 3 buah baju. Tiap baju membutuhkan berapa meter kain? Jawabnya 2/3 meter . Mudah! Tapi bagaimana proses pemahaman dari anak didik?
Pengertiannya: Tiap meter dibagi menjadi 3 bagian ( 1/3 ) sehingga 2 meter menjadi 6 bagian yang sama maka tiap baju membutuhkan 1/3 + 1/3 = 2/3 meter
Bagaimana caranya menjumlahkan dua bilangan pecahan ?
Dua buah bilangan pecahan dapat dijumlah jika kedua bilangan mengandung pecahan dasar yang sama maka penyebut dari bilangan itu perlu disamakan terlebih dahulu
Contoh: 2/3 + 4/5 = ?
2/3 sama dengan 10/15 yang artinya ada 10 bagian yang masing-masing sebesar 1/15 4/5 sama dengan 12/15 yang artinya ada 12 bagian yang masing-masing sebesar 1/15 jadi 2/3 + 4/5 = 10 bagian + 12 bagian yang masing-masing sebesar 1/15 = 22/15 atau 22/15 = 15/15 + 7/15 = l 7/15
Kesamaan Bilangan Pecahan
Sepotong kue dibagi kepada 3 anak sehingga tiap anak mendapat 1/3 potong.
Hasilnya sama dengan 2 potong kue dibagi kepada 6 anak dan sama juga hasilnya dengan 3 potong kue dibagi kepada 9 anak dst. Jadi: Ada kesamaan bilangan pecahan antara 1/3 dengan 2/6 dengan 3/9 …dst.
Dari contoh diatas dapat disimpulkan pembilang dan penyebut suatu bilangan pecahan dapat dikali dengan bilangan yang sama.
Mengapa 4 2/3 = 14/3?
Konsepnya adalah : 4 dapat diubah menjadi 12 bagian yang masing-masing sebesar 1/3 maka 4 2/3 ada 14 bagian yang masing-masing sebesar 1/3 sehingga 4 2/3 = 14/3
1. Pecahan biasa
a
b
+x
y
=ay
by
+
bx
dikenal dengan nama perkalian silanga
b
+p
q
dicari dulu KPK dari b dan q misalkan z, kemudian masing-masing pembilangdilakukan operasi perkalian a x
z
b
= w dan p xz
q
= v, sehingga bentuk penjumlahana
b
+p
q
=w
+
z
v
, cara ini lebih efisien dibanding cara perkalian silang, karena hasilakhir sudah merupakan bentuk pecahan yang sederhana
2. Pecahan campuran
A
p
q
+ Bs
t
= (A + B) + (p
q
+s
t
), penyelesaian bentuk pecahannya sama sepertiprosedur diatas
3. Pecahan desimal
Penjumlahan pecahan desimal mengacu pada letak tanda koma yang membedakan antara bilangan bulat dan bilangan pecahan, biasanya ditulis dalam bentuk bersusun ke bawah. Contoh 3,567 + 67,12
Penyelesaian 3,567 67,12
--- + 70,687
Pengurangan pecahan biasa dari bilangan bulat dapat dilakukan dengan cara mengubah bilangan bulat menjadi bentuk pecahan campuran dengan menyamakan penyebutnya
Contoh 3 -
3
4
= ……….Penyelesaian 3 -
3
4
= (2 + 1) -3
4
= (2 +4
4
) -3
4
= 2 + (4
4
-3
4
) = 24
−
4
3
=2
1
4
Pengurangan pecahan campuran dari pecahan campuran dapat dilakukan dengan cara seperti cara penjumlahan dua pecahan campuran
Contoh 6
1
4
- 11
3
= …….Penyelesaian1 6
1
4
- 11
3
= (6-1)+(1
4
-1
3
)= 5 +
1
x
3
−
1
x
4
3
x
4
= 5 +
3
−
4
12
= 5 +
−
1
12
= 5 -
1
12
= 4
12
= 4
12
−
1
12
= 4
11
12
Penyelesaian2 6
1
4
- 11
3
=6
x
4
4
+
1
-1
x
3
3
+
1
=
24
+
1
4
-3
+
3
1
=
25
4
-4
3
=
25
x
3
−
4
x
4
4
x
3
=
75
−
16
12
=
59
12
= 4
11
12
Operasi Kali ( x ) atau Bagi ( : ) pada Bilangan Pecahan :
Pengajaran operasi hitung kali atau bagi pada bilangan pecahan perlu terpadu dengan urutan tertentu supaya konsepnya dipahami dan mengerti dengan baik.
Urutan sbb :
4. Bilangan bulat : bilangan pecahan dasar 5. Bilangan pecahan x bilangan pecahan 6. Bilangan pecahan : bilangan pecahan
Urutan ke-1: Bilangan bulat x bilangan pecahan dasar. Suatu bilangan bulat (a) dikalikan dengan bilangan pecahan dasar ( 1/b hasilnya sama dengan bilangan (a) dibagi dengan b. Contoh: 5 x 1/8 = 5 dibagi 8 jadi sama dengan 5/8
Urutan ke- 2 : bilangan pecahan x bilangan bulat. Karena operasi hitung perkalian bersifat komutatif maka bilangan pecahan x Bilangan bulat sama dengan bilangan bulat x bilangan pecahan sesuai dengan konsep urutan 1.
Urutan ke - 3 : Bilangan pecahan ( a/b) : bilangan bulat ( c )
Bilangan pecahan ( a/b) sebenarnya diperoleh dari suatu bilangan bulat (a) dibagi dengan bilangan bulat lain (b) Jadi: bilangan pecahan (a/b ) dibagi bilangan bulat (c) = bilangan bulat (a) dibagi dengan bilangan bulat (b) lalu dibagi lagi dengan (c) atau sama dengan bilangan bulat (a) dibagi dengan hasil perkalian penyebut ( b ) dengan bilangan bulat tersebut ( c ). Dapat disimpulkan juga suatu bilangan jika dibagi dengan bilangan bulat ( c) sama hasilnya dengan bilangan itu dikali dengan 1/ c
Contoh: 2/5 : 3 = 2 dibagi dengan hasil kali 5 dengan 3 = 2 dibagi dengan 15 = 2/15
Urutan ke-4: bilangan bulat (a) : bilangan pecahan dasar (1/b). Pengertian suatu bilangan dibagi dengan bilangan pecahan dasar 1/b adalah ada seberapa banyak dari bilangan itu yang sebesar bilangan pecahan dasar itu.
contoh:
3 : 1/4 = ? artinya dari 3 ada berapa banyak yang sebesar 1/4. Jadi 1 ada 4 bagian dari 1/4.
Dapat disimpulkan suatu bilangan dibagi 1/b sama dengan bilangan itu dikali b.
Urutan ke-5: bilangan pecahan ( a / b ) x bilangan pecahan ( c / d ). Konsepnya adalah: bilangan pecahan ( a / b ) dikali dengan bilangan bulat ( c ) kemudian dibagi dengan bilangan bulat ( d )
Contoh: 2/5x 4/ 3 = 2/5 dikali dengan 4 lalu dibagi 3 = 8/5 : 3 = 8/15 metodenya ; a / b x c / d = a x c / b x d
Pembilang kali pembilang dan penyebut kali penyebut
Urutan ke- 6 ; bilangan pecahan ( a / b ) : bilangan pecahan ( c / d )
Konsepnya adalah suatu bilangan jika dibagi dengan bilangan c / d sama dengan bilangan itu dikali dengan bilangan d / c
KPK DAN FPB Faktor6 adalah:
1. unsur atau elemen dasar yang mempengaruhi suatu hal atau peristiwa 2. dalam matematika faktor adalah bilangan yang dikalikan bilangan lainnya.
Dalam aritmetika dan teori bilangan, kelipatan persekutuan terkecil7 (KPK) dari dua bilangan adalah bilangan bulat positif terkecil yang dapat dibagi habis oleh kedua bilangan itu.
Contoh :
Cara sederhana dapat digunakan untuk mencari KPK dari 2 atau 3 bilangan yang tidak terlalu besar, namun untuk bilangan yang lebih besar sebaiknya menggunakan cara faktorial.
Cara sederhana
Mencari KPK dari 12 dan 20: 6http://id.wikipedia.org/wiki/Faktor
Kelipatan dari 12 = 12, 24, 36, 48, 60, 71, 84, ...
Kelipatan dari 20 = 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, ...
KPK dari 12 dan 20 adalah kelipatan sekutu (sama) yang terkecil, yaitu 60.
Cara faktorial
Mencari KPK dari bilangan 147, 189 dan 231:
Buat pohon faktor dari masing-masing bilangan:
147 189 231 /\ /\ /\ 3 49 3 63 3 77 /\ /\ /\ 7 7 7 9 7 11 /\
3 3
Susun bilangan dari pohon faktor utk mendapatkan faktorialnya: Faktorial 147 = 31 x 72
Faktorial 189 = 33 x 71 Faktorial 231 = 31 x 71 x 111
Ambil faktor-faktor yang memiliki pangkat terbesar, dalam hal ini 33, 72 dan 111.
Maka KPK dari bilangan 147, 189 dan 231 adalah 14553. Dengan kata lain, tidak ada bilangan yang lebih kecil dari 14553 yang dapat dibagi habis oleh bilangan 147, 189 dan 231.
Dalam matematika, Faktor Persekutuan Terbesar8 (FPB) dari dua bilangan adalah bilangan bulat positif terbesar yang dapat membagi habis kedua bilangan itu
Contoh :
Cara sederhana dapat digunakan untuk mencari FPB dari 2 atau 3 bilangan yang tidak terlalu besar, namun untuk bilangan yang lebih besar sebaiknya menggunakan cara faktorial.
Cara sederhana
Mencari FPB dari 12 dan 20:
Faktor dari 12 = 1, 2, 3, 4, 6 dan 12
Faktor dari 20 = 1, 2, 4, 5, 10 dan 20
FPB dari 12 dan 20 adalah faktor sekutu (sama) yang terbesar, yaitu 4.
Cara faktorial
Mencari FPB dari bilangan 147, 189 dan 231:
Buat pohon faktor dari masing-masing bilangan:
147 189 231 /\ /\ /\ 3 49 3 63 3 77 /\ /\ /\ 7 7 7 9 7 11 /\
24
6
2 3
2 12 2
60
2
2 15
5 3
30
80
2 40
2 20
2 10
3 3
Susun bilangan dari pohon faktor utk mendapatkan faktorialnya: Faktorial 147 = 31 x 72
Faktorial 189 = 33 x 71 Faktorial 231 = 31 x 71 x 111
Ambil faktor-faktor yang sekutu (sama) dari ketiga faktorial tersebut, dalam hal ini 3 dan 7.
Kalikan faktor-faktor sekutu yang memiliki pangkat terkecil, dalam hal ini 31 x 71 = 21.
Maka FPB dari bilangan 147, 189 dan 231 adalah 21. Dengan kata lain, tidak ada bilangan yang lebih besar dari 21 yang dapat membagi habis bilangan 147, 189 dan 231. KPK dan FPB menggunakan pohon faktor
Mencari KPK dan FPB dengan menggunakan pohon faktor dapat dilakukan dengan uraian seperti yang telah dijelaskan diatas
Faktor 24 = 23 x 3 Faktor 60 = 22 x 3 x 5 Faktor 80 = 24 x 5
Jadi KPK 24, 60, dan 80 adalah 24 x 3 x 5 = 240 FPB 24, 60, dan 80 adalah 22 = 4
KPK dan FPB menggunakan hasil bagi berulang dengan bilangan prima sebagai pembagi Teknik mencari KPK dan FPB dengan menggunakan hasil bagi berulang dengan bilangan prima sebagai pembagi, yaitu dengan cara menggunakan bilangan prima dari yang terkecil sebagai pembaginya hingga didapatkan hasilbagi berupa angka “satu”.
Langkah-langkah penyelesaian dengan menggunakan metode ini adalah sebagai berikut 1. Tentukan kolom penyelesaian, yaitu kolom tempat KPK, kolom tempat bilangan yang
dicari KPK dan FPB, dan kolom tempat FPB
2. Gunakan bilangan prima dari yang terkecil sampai terbesar sesuai urutannya sebagai pembagi
3. Kalau semua bilangan pada kolom 2 bisa dibagi dengan pembagi, maka tuliskan pembagi tersebut pada kolom 1 dan kolom 3
4. Kalau ada salah satu bilangan pada kolom 2 yang tidak bias dibagi dengan pembagi, maka tuliskan pembagi ersebut pada kolom 1 saja
5. Kalau semua hasilbagi bernilai 1, berhenti pengerjaan penyelesaiannya soal selesai 6. KPK diperoleh dari perkalian semua bilangan prima yang terdapat pada kolom 1, sedang
FPB diperoleh dari perkalian semua bilangan prima yang terdapat pada kolom 2
Catatan : bilangan prima adalah bilangan yang mempunyai tepat dua faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri
Penyelesaian KPK 24 60 80 FPB 2 --- 2
12 30 40
2 --- 2
6 15 20
2
3 15 10
2 3 15 5 3
1 5 5 5
1 1 1
240 4
Jadi KPK=24x3x5=240 FPB=22=4
Algoritma Euclidean
Cara lain untuk mencari FPB adalah dengan menggunakan algoritma Euklidean. Misalkan a dan b adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama, maka algoritma Euklidean adalah sebagai berikut:
a1 = maximum(a,b)-minimum(a,b) b1 = minimum(a,b)
a2 = maximum(a1,b1)-minimum(a1,b1) b2 = minimum(a1,b1)
. . .
ai = maximum(ai-1,bi-1)-minimum(ai-1,bi-1) bi = minimum(ai-1,bi-1)
Banyak metode yang dapat digunakan untuk mencari FPB. Di SD / SMP, metode yang umum digunakan ialah metode pagar dan metode pohon faktor. Metode pagar maupun metode pohon faktor efektif untuk bilangan-bilangan kecil. Jika bilangan yang dicari FPB-nya besar, maka lebih efektif menggunakan algoritma Euclid.
Algoritma Euclid9 ialah algoritma yang dilaksanakan secara bertahap, step by step,di mana
hasil yang didapat dari suatu tahap akan digunakan lagi pada tahapan selanjutnya. Prosedur pada algoritma Euclid ialah mencari sisa (remainder) dari pembagian bilangan yang lebih besar (kita misalkan a) dengan bilangan yang lebih kecil (misalkan b). Anggap sisa a dibagi b sebagai r1. Jika r1 bukan nol, langkah selanjutnya ialah mencari sisa dari b dibagi r1.
Jika sisanya masih bukan nol, maka selanjutnya mencari lagi sisa r1 dibagi r2 (r2 ialah
sisadari b dibagi r1). Jika masih belum nol, maka mencari lagi sisa r2 dibagi r3. Begitu
seterusnya sampai sisa pembagian ialah 0. Misalnya ditemukan sisa dari rn-1 dibagi rnialah 0,
maka FPB dari dua bilangan yang tadi dicari (a dan b) ialah rn. Secara matematis, prosedur ini
dapat ditulis sebagai :
A : B = C sisa D B : D = E sisa F
D : F = G sisa 0 [berehnti] FPB dari A dan B adalah F
Dalam pencarian FPB dan KPK biasanya menggunakan pola pohon faktor. Namun kini kita coba menggunakan pola 10 kali lebih cepat dari cara yang biasa. Pola ini dinamakan pola Dahsyat10.
Misalkan contoh:
Carilah FPB dan KPK dari 12 dan 16
Cara Pohon Faktornya yakni:
12 = 2 x 2 x 3 = 22 x 3
16 = 2 x 2 x 2 x 2 = 24
FPB-nya: cari yang sama dan pangkat terkecil
jadi: 22 = 4, FPBnya adalah 4
KPKnya: cari yang sama, pangkat terbesar dan sisanya
jadi : 24 x 3 = 16 x 3 = 48, KPKnya adalah 48
Kemudian sekarang dengan cara cepatnya
Rumus:
FPB: yang besar dibagi yang kecil, sisanya itu FPB
KPK: yang besar dikali yang kecil dibagi FPB
FPB dan KPK dari 12 dan 16
KPK = Yg Besar dikali yg kecil dibagi FPB Jadi KPKnya adalah 48
KPK dan FPB metode BINTANG HATI11.
Contoh:
Tentukan FPB dan KPK dari 24 dan 18
Jawab:
Faktor-faktor 24: 12, 8, 6, 4, 2 18: 9, 6, 3 FPB = 6
KPK = 6 x (4×3) = 72 (Selesai).
Maksudnya?
Mari kita ulangi dengan contoh lagi.
11
Tentukan FPB dan KPK dari 24 dan 30
Jawab: 24 = 6×4 30 = 6×5 FPB = 6
KPK = 6 x (4×5) = 120 (Selesai).
Tentukan FPB dan KPK dari 50 dan 75
Jawab: 50 = 25×2 75 = 25×3 FPB = 25
KPK = 25 x(2×3) = 150.
BILANGAN ROMAWI
Angka Romawi12 atau Bilangan Romawi adalah sistem penomoran yang berasal dari Romawi kuno. Sistem penomoran ini memakai huruf alfabet untuk melambangkan angka numerik:
I atau i untuk angka satu, V atau v untuk angka lima, X atau x untuk angka sepuluh, L atau l untuk angka lima puluh, C atau c untuk angka seratus D atau d untuk angka lima ratus, M atau m untuk angka seribu
V untuk lima ribu X untuk sepuluh ribu L untuk lima puluh ribu C untuk seratus ribu D untuk lima ratus ribu M untuk satu juta
Angka Romawi sangat umum digunakan sekarang ini, antara lain digunakan di jam, bab buku, penomoran sekuel film, penomoran seri eventolahraga seperti Olimpiade.
Aturan penulisannya adalah sebagai berikut13 :
1. Bila lambang bilangan ditulis dengan dua angka, sedang angka disebelah kanannya mewakili bilangan yang lebih kecil dari angka disebelah kiri, maka arti penulisan lambang bilangan itu ”JUMLAH”
Contoh : VI artinya 5 + 1 = 6
2. Bila lambang bilangan ditulis dengan dua angka, sedang angka disebelah kirinya mewakili bilangan yang lebih kecil dari angka disebelah kanan, maka arti penulisan lambang bilangan itu ”SELISIH”
Contoh : IV artinya 5 – 1 = 4
3. Pada prinsip pengurangan, I hanya dapat dikurangkan dari V dan X; sedang X hanya dapat dikurangkan dari L dan C; dan C hanya dapat dikurangkan dari D dan M. Jadi 99 tidak ditulis sebagai 100 – 1 yaitu IC, melainkan 90 + 9 = (100 – 10) + (10 – 1) yaitu XCIX 4. Bila dua angka atau lebih yang sama ditulis berdampingan, simbol gabungan tersebut
maksudnya adalah ”JUMLAH”
Contoh : XX artinya 10 + 10 = 20
5. Sistem numerasi romawi menggunakan dasar sepuluh, jadi tidak ada tulisan VV, tetapi harus X
6. Untuk memberi nama bilangan besar digunakan prinsip perkalian. Sebuah strip diatas angka romawi menunjukkan seribu kali nilai biasa, dua strip diatas angka romawi menunjukkan perkalian dengan sejuta (seribu kali seribu)
Contoh : V artinya 5 x 1.000 = 5.000
X artinya 10 x 1.000 x 1.000 = 10.000.000
ARITMATIKA SOSIAL
Mata uang14 adalah alat pembayaran transaksiekonomi yang digunakan di suatu negara. Untuk Indonesia, mata uang adalah rupiah.
Dahulu kala, manusia primitif belum menggunakan uang, ataupun alat pertukaran. Ini dikarenakan oleh pada waktu itu manusia dapat memenuhi semua keinginannya dari lam sekitarnya. Ketika sumber daya alam yang mereka gunakan habis, mereka berpindah dan mulai menggunakan sumber daya alam yang ada di sekitarnya lagi. Barulah ketika munculnya peradaban kuno manusia mulai menukar barang miliknya dengan barang milik orang lain, yang disebut barter. Kemudian setelah zaman lebih maju, manusia mulai menggunakan alat penukar, walaupun belum berupa uang. Alat ini disebut uang barang. Barulah setelah manusia menguasai penggunaan tulisan dan huruf, dikenallah uang atau disebut uang kepercayaan (uang fiduciair).
Daftar Mata Uang Negara di Dunia
yang sama bukan berarti memiliki mata uang yang sama, namun hanya namanya saja yang sama, sedangkan secara fisik berbeda. Contohnya seperti Dollar yang memiliki banyak jenis seperti dollar amerika, dollar singapura, dollar zimbabwe dan lain sebagainya.
"Nama Negara" : "Nama Mata Uang"
Filipina : Peso Finlandia : Markka Ghana : Cedi Guatemala : Queizal Haiti : Courde Honduras : Lempira Hongaria : Forint Hongkong : Dollar India : Rupee Indonesia : Rupiah
Inggris : Pound Sterling Irak : Dinar
Iran : Real Irlandia : Pound Islandia : Krona Italia : Lire Jamaika : Dollar Jepang : Yen
Jerman : Deutsche Mark Kamboja : Riel
Meksiko : Peso Mesir : Pound Monako : Franc Mongolia : Tugrik Mozambik : Escudo Muangthai : Bath Myanmar : Kyat Namibia : Rand Nepal : Rupee New Zealand : Dollar Nicaragua : Kordoba Nigeria : Naira Norwegia : Kroon Oman : Rial Pakistan : Rupee Panama : Balboa Papua Nugini : Kina Paraguay : Guarani Perancis : Franc Peru : Sole Polandia : Zloty Portugal : Escudo Qatar : Riyal Rumania : Leu
Rusia : Rubel / Ruble / Rouble Saudia Arabia : Riyal
Syria : Pound Taiwan : Dollar Tanzania : Shilling Thailand : Baht Tunisia : Dinar Turki : Lira Uganda : Shilling Uruguay : Peso Vatikan : Lira Venezuela : Bolivar Vietnam : Dong Yaman : Imani Yordania : Dinar Yugoslavia : Dinar Yunani : Drachma Zaire : Zaire Zambia : Kwacha Zimbabwe : Dollar
Tambahan :
- Timor Leste yang merupakan negara pecahan Indonesia masih memakai Dollar Amerika / US $
Perubahan :
Negara-negara di Eropa menggunakan mata Euro mulai tahun 1999 (transaksi uang giral) dan 2002 (transaksi mata uang fisik / kartal). Daftar negara yang menggunakan Euro sebagai mata uang yaitu :
9. Belgia 10. Jerman 11. Yunani 12. Spanyol 13. Slovenia 14. Malta 15. Siprus 16. Vatikan 17. Andorra 18. Monako 19. San Marino
Negara Montenegro dan Kosovo diperbolehkan memakai Euro sebagai mata uang di negaranya.
Uang15 dalam ilmu ekonomi tradisional didefinisikan sebagai setiap alat tukar yang dapat diterima secara umum. Alat tukar itu dapat berupa benda apapun yang dapat diterima oleh setiap orang di masyarakat dalam proses pertukaran barang dan jasa. Dalam ilmu ekonomi modern, uang didefinisikan sebagai sesuatu yang tersedia dan secara umum diterima sebagai alat pembayaran bagi pembelian barang-barang dan jasa-jasa serta kekayaan berharga lainnya serta untuk pembayaran utang. Beberapa ahli juga menyebutkan fungsi uang sebagai alat penunda pembayaran.
Keberadaan uang menyediakan alternatif transaksi yang lebih mudah daripada barter yang lebih kompleks, tidak efisien, dan kurang cocok digunakan dalam sistem ekonomi modern karena membutuhkan orang yang memiliki keinginan yang sama untuk melakukan pertukaran dan juga kesulitan dalam penentuan nilai. Efisiensi yang didapatkan dengan menggunakan uang pada akhirnya akan mendorong perdagangan dan pembagian tenaga kerja yang kemudian akan meningkatkan produktifitas dan kemakmuran.
Pada awalnya di Indonesia, uang —dalam hal ini uang kartal— diterbitkan oleh pemerintah Republik Indonesia. Namun sejak dikeluarkannya UU No. 13 tahun 1968 pasal 26 ayat 1, hak pemerintah untuk mencetak uang dicabut. Pemerintah kemudian menetapkan
Bank Sentral, Bank Indonesia, sebagai satu-satunya lembaga yang berhak menciptakan uang kartal. Hak untuk menciptakan uang itu disebut dengan hak oktroi.
1. Sejarah
Uang yang kita kenal sekarang ini telah mengalami proses perkembangan yang panjang. Pada mulanya, masyarakat belum mengenal pertukaran karena setiap orang berusaha memenuhi kebutuhannnya dengan usaha sendiri. Manusia berburu jika ia lapar, membuat pakaian sendiri dari bahan-bahan yang sederhana, mencari buah-buahan untuk konsumsi sendiri; singkatnya, apa yang diperolehnya itulah yang dimanfaatkan untuk memenuhi kebutuhannya.
Gambar yang menunjukan kegiatan barter di benua Amerika pada abad ke-19
Perkembangan selanjutnya mengahadapkan manusia pada kenyataan bahwa apa yang diproduksi sendiri ternyata tidak cukup untuk memenuhui seluruh kebutuhannya. Untuk memperoleh barang-barang yang tidak dapat dihasilkan sendiri, mereka mencari orang yang mau menukarkan barang yang dimiliki dengan barang lain yang dibutuhkan olehnya. Akibatnya muncullah sistem barter', yaitu barang yang ditukar dengan barang.
(generally accepted), benda-benda yang dipilih bernilai tinggi (sukar diperoleh atau memiliki nilai magis dan mistik), atau benda-benda yang merupakan kebutuhan primer sehari-hari; misalnya garam yang oleh orang Romawi digunakan sebagai alat tukar maupun sebagai alat pembayaran upah. Pengaruh orang Romawi tersebut masih terlihat sampai sekarang; orang Inggris menyebut upah sebagai salary yang berasal dari bahasa Latin salarium yang berarti garam.
Barang-barang yang dianggap indah dan bernilai, seperti kerang ini, pernah dijadikan sebagai alat tukar sebelummanusia menemukan uang logam.
Meskipun alat tukar sudah ada, kesulitan dalam pertukaran tetap ada. Kesulitan-kesulitan itu antara lain karena benda-benda yang dijadikan alat tukar belum mempunyai pecahan sehingga penentuan nilai uang, penyimpanan (storage), dan pengangkutan (transportation) menjadi sulit dilakukan serta timbul pula kesulitan akibat kurangnya daya tahan benda-benda tersebut sehingga mudah hancur atau tidak tahan lama.
uang tersebut). Pada saat itu, setiap orang berhak menempa uang, melebur, menjual atau memakainya, dan mempunyai hak tidak terbatas dalam menyimpan uang logam.
Sejalan dengan perkembangan perekonomian, timbul kesulitan ketika perkembangan tukar-menukar yang harus dilayani dengan uang logam bertambah sementara jumlah logam mulia (emas dan perak) sangat terbatas.[rujukan?] Penggunaan uang logam juga sulit dilakukan untuk transaksi dalam jumlah besar sehingga diciptakanlah uang kertas
Mula-mula uang kertas yang beredar merupakan bukti-bukti pemilikan emas dan perak sebagai alat/perantara untuk melakukan transaksi. Dengan kata lain, uang kertas yang beredar pada saat itu merupakan uang yang dijamin 100% dengan emas atau perak yang disimpan di pandai emas atau perak dan sewaktu-waktu dapat ditukarkan penuh dengan jaminannya. Pada perkembangan selanjutnya, masyarakat tidak lagi menggunakan emas (secara langsung) sebagai alat pertukaran. Sebagai gantinya, mereka menjadikan 'kertas-bukti' tersebut sebagai alat tukar.
2. Fungsi
Secara umum, uang memiliki fungsi sebagai perantara untuk pertukaran barang dengan barang, juga untuk menghindarkan perdagangan dengan cara barter. Secara lebih rinci, fungsi uang dibedalan menjadi dua: fungsi asli dan fungsi turunan.
Fungsi asli uang ada tiga, yaitu sebagai alat tukar, sebagai satuan hitung, dan sebagai penyimpan nilai.
Uang berfungsi sebagai alat tukar atau medium of exchange yang dapat mempermudah pertukaran. Orang yang akan melakukan pertukaran tidak perlu menukarkan dengan barang, tetapi cukup menggunakan uang sebagai alat tukar. Kesulitan-kesulitan pertukaran dengan cara barterdapat diatasi dengan pertukaran uang.
menentukan harga barang/jasa (alat penunjuk harga). Sebagai alat satuan hitung, uang berperan untuk memperlancar pertukaran.
Selain itu, uang berfungsi sebagai alat penyimpan nilai (valuta) karena dapat digunakan untuk mengalihkan daya beli dari masa sekarang ke masa mendatang. Ketika seorang penjual saat ini menerima sejumlah uang sebagai pembayaran atas barang dan jasa yang dijualnya, maka ia dapat menyimpan uang tersebut untuk digunakan membeli barang dan jasa di masa mendatang.
Selain ketiga hal di atas, uang juga memiliki fungsi lain yang disebut sebagai fungsi turunan. Fungsi turunan itu antara lain uang sebagai alat pembayaran, sebagai alat pembayaran utang, sebagai alat penimbun atau pemindah kekayaan (modal), dan alat untuk meningkatkan status sosial.
3. Syarat-syarat
Suatu benda dapat dijadikan sebagai "uang" jika benda tersebut telah memenuhi syarat-syarat tertentu. Pertama, benda itu harus diterima secara umum (acceptability). Agar dapat diakui sebagai alat tukar umum suatu benda harus memiliki nilai tinggi atau —setidaknya— dijamin keberadaannya oleh pemerintah yang berkuasa. Bahan yang dijadikan uang juga harus tahan lama (durability), kualitasnya cenderung sama (uniformity), jumlahnya dapat memenuhi kebutuhan masyarakat serta tidak mudah dipalsukan (scarcity).
Uang rupiah
Uang yang beredar dalam masyarakat dapat dibedakan dalam dua jenis, yaitu uang kartal (sering pula disebut sebagai common money) dan uang giral. Uang kartal adalah alat bayar yang sah dan wajib digunakan oleh masyarakat dalam melakukan transaksi jual-beli sehari-hari. Sedangkan yang dimaksud dengan uang giral adalah uang yang dimiliki masyarakat dalam bentuk simpanan (deposito) yang dapat ditarik sesuai kebutuhan. Uang ini hanya beredar di kalangan tertentu saja, sehingga masyarakat mempunyai hak untuk menolak jika ia tidak mau barang atau jasa yang diberikannya dibayar dengan uang ini. Untuk menarik uang giral, orang menggunakan cek.
4.1. Menurut bahan pembuatannya
Dinar dan Dirham, dua contoh mata uang logam.
Uang menurut bahan pembuatannya terbagi menjadi dua, yaitu uang logam dan uang kertas. Uang logam adalah uang yang terbuat dari logam; biasanya dari emas atau perak karena kedua logam itu memiliki nilai yang cenderung tinggi dan stabil, bentuknya mudah dikenali, sifatnya yang tidak mudah hancur, tahan lama, dan dapat dibagi menjadi satuan yang lebih kecil tanpa mengurangi nilai.
Uang logam memiliki tiga macam nilai:
a. Nilai intrinsik, yaitu nilai bahan untuk membuat mata uang, misalnya berapa nilai emas dan perak yang digunakan untuk mata uang.
c. Nilai tukar, nilai tukar adalah kemampuan uang untuk dapat ditukarkan dengan suatu barang (daya beli uang). Misalnya uang Rp. 500,00 hanya dapat ditukarkan dengan sebuah permen, sedangkan Rp. 10.000,00 dapat ditukarkan dengan semangkuk bakso). Ketika pertama kali digunakan, uang emas dan uang perak dinilai berdasarkan nilai intrinsiknya, yaitu kadar dan berat logam yang terkandung di dalamnya; semakin besar kandungan emas atau perak di dalamnya, semakin tinggi nilainya. Tapi saat ini, uang logam tidak dinilai dari berat emasnya, namun dari nilai nominalnya. Nilai nominal adalah nilai yang tercantum atau tertulis di mata uang tersebut.
Sementara itu, yang dimaksud dengan "uang kertas" adalah uang yang terbuat dari kertas dengan gambar dan cap tertentu dan merupakan alat pembayaran yang sah. Menurut penjelasan UU No. 23 tahun 1999 tentang Bank Indonesia, yang dimaksud dengan uang kertas adalah uang dalam bentuk lembaran yang terbuat dari bahan kertas atau bahan lainnya (yang menyerupai kertas).
4.2. Menurut nilainya
Menurut nilainya, uang dibedakan menjadi uang penuh (full bodied money) dan uang tanda (token money)
Nilai uang dikatakan sebagai uang penuh apabila nilai yang tertera di atas uang tersebut sama nilainya dengan bahan yang digunakan. Dengan kata lain, nilai nominal yang tercantum sama dengan nilai intrinsik yang terkandung dalam uang tersebut. Jika uang itu terbuat dari emas, maka nilai uang itu sama dengan nilai emas yang dikandungnya.
Sedangkan yang dimaksud dengan uang tanda adalah apabila nilai yang tertera diatas uang lebih tinggi dari nilai bahan yang digunakan untuk membuat uang atau dengan kata lain nilai nominal lebih besar dari nilai intrinsik uang tersebut. Misalnya, untuk membuat uang Rp1.000,00 pemerintah mengeluarkan biaya Rp750,00.
Teori nilai uang membahas masalah-masalah keuangan yang berkaitan dengan nilai uang. Nilai uang menjadi perhatian para ekonom, karena tinggi atau rendahnya nilai uang sangat berpengaruh terhadap kegiatan ekonomi. Hal ini terbukti dengan banyaknya teori uang yang disampaikan oleh beberapa ahli.
Teori uang terdiri atas dua teori, yaitu teori uang statis dan teori uang dinamis.
5.1. Teori uang statis
Teori Uang Statis atau disebut juga "teori kualitatif statis" bertujuan untuk menjawab pertanyaan: apakah sebenarnya uang? Dan mengapa uang itu ada harganya? Mengapa uang itu sampai beredar? Teori ini disebut statis karena tidak mempersoalkan perubahan nilai yang diakibatkan oleh perkembangan ekonomi.
Yang termasuk teori uang statis adalah:
Teori Metalisme (Intrinsik) oleh KMAPP
Uang bersifat seperti barang, nilainya tidak dibuat-buat, melainkan sama dengan nilai logam yang dijadikan uang itu, contoh: uang emas dan uang perak.
Teori Konvensi (Perjanjian) oleh Devanzati dan Montanari
Teori ini menyatakan bahwa uang dibentuk atas dasar pemufakatan masyarakat untuk mempermudah pertukaran.
Teori Nominalisme
Uang diterima berdasarkan nilai daya belinya.
Teori Negara
5.2. Teori uang dinamis
Teori ini mempersoalkan sebab terjadinya perubahan dalam nilai uang. Teori dinamis antara lain:
Teori Kuantitas dari David Ricardo
Teori ini menyatakan bahwa kuat atau lemahnya nilai uang sangat tergantung pada jumlah uang yang beredar. Apabila jumlah uang berubah menjadi dua kali lipat, maka nilai uang akan menurun menjadi setengah dari semula, dan juga sebaliknya.
Teori Kuantitas dari Irving Fisher
Teori yang telah dikemukakan David Ricardo disempurnakan lagi oleh Irving Fisher dengan memasukan unsur kecepatan peredaran uang, barang dan jasa sebagai faktor yang mempengaruhi nilai uang.
Teori Persediaan Kas
Teori ini dilihat dari jumlah uang yang tidak dibelikan barang-barang.
Teori Ongkos Produksi
Teori ini menyatakan nilai uang dalam peredaran yang berasal dari logam dan uang itu dapat dipandang sebagai barang.
6. Uang dalam ekonomi
Uang adalah salah satu topik utama dalam pembelajaran ekonomi dan finansial. Monetarisme
Kebijakan moneter bertujuan untuk mengatur persediaan uang, inflasi, dan bunga yang kemudian akan mempengaruhi output danketenagakerjaan. Inflasi adalah turunnya nilai sebuah mata uang dalam jangka waktu tertentu dan dapat menyebabkan bertambahnya persediaan uang secara berlebihan. Interest rate, biaya yang timbul ketika meminjam uang, adalah salah satu alat penting untuk mengontrol inflasi dan pertumbuhan ekonomi. Bank sentral seringkali diberi tanggung jawab untuk mengawasi dan mengontrol persediaan uang, interest rate, dan perbankan.
Krisis moneter dapat menyebabkan efek yang besar terhadap perekonomian, terutama jika krisis tersebut menyebabkan kegagalan moneter dan turunnya nilai mata uang secara berlebihan yang menyebabkan orang lebih memilih barter sebagai cara bertransaksi. Ini pernah terjadi di Rusia, sebagai contoh, pada masa keruntuhan Uni Soviet.
Perdagangan16 atau perniagaan adalah kegiatan tukar menukar barang atau jasa atau keduanya. Pada masa awal sebelum uang ditemukan, tukar menukar barang dinamakan barter yaitu menukar barang dengan barang. Pada masa modern perdagangan dilakukan dengan penukaranuang. Setiap barang dinilai dengan sejumlah uang. Pembeli akan menukar barang atau jasa dengan sejumlah uang yang diinginkan penjual.
KONSEP MATEMATIKA UNTUK MEMECAHKAN MASALAH
Matematika17 (dari bahasa Yunani: μαθηματικά-mathēmatiká) adalah studi besaran, struktur, ruang, dan perubahan. Para matematikawan mencari berbagai pola, merumuskan konjektur
baru, dan membangun kebenaran melalui metode deduksi yang kaku dari aksioma-aksioma
dan definisi-definisi yang bersesuaian
Terdapat perselisihan tentang apakah objek-objek matematika seperti bilangan dan titik hadir secara alami, atau hanyalah buatan manusia. Seorang matematikawan Benjamin Peirce
kepada kenyataan, mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan."
Melalui penggunaan penalaran logika dan abstraksi, matematika berkembang dari
pencacahan, perhitungan, pengukuran, dan pengkajian sistematis terhadap bangun dan
pergerakan benda-benda fisika. Matematika praktis telah menjadi kegiatan manusia sejak adanya rekaman tertulis. Argumentasi kakupertama muncul di dalam Matematika Yunani, terutama di dalam karya Euklides, Elemen. Matematika selalu berkembang, misalnya di Cina
pada tahun 300 SM, di India pada tahun 100 M, dan di Arab pada tahun 800 M, hingga zaman
Renaisans, ketika temuan baru matematika berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru yang mengarah pada peningkatan yang cepat di dalam laju penemuan matematika yang berlanjut hingga kini.
Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran/medis, dan ilmu sosial seperti ekonomi, dan psikologi. Matematika terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti statistika dan teori permainan. Para matematikawan juga bergulat di dalammatematika murni, atau matematika untuk perkembangan matematika itu sendiri, tanpa adanya penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadi latar munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian.
1. Etimoligi
Bentuk jamak sering dipakai di dalam bahasa Inggris, seperti juga di dalam bahasa Perancis les mathématiques (dan jarang digunakan sebagai turunan bentuk tunggal la mathématique), merujuk pada bentuk jamak bahasa Latin yang cenderung netral mathematica (Cicero), berdasarkan bentuk jamak bahasa Yunani τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), yang dipakai Aristotle, yang terjemahan kasarnya berarti "segala hal yang matematis".[9] Tetapi, di dalam bahasa Inggris, kata benda mathematics mengambil bentuk tunggal bila dipakai sebagai kata kerja. Di dalam ragam percakapan, matematika kerap kali disingkat sebagai math di Amerika Utara dan maths di tempat lain.
2. Sejarah
Sebuah quipu, yang dipakai olehInca untuk mencatatkan bilangan.
Evolusi matematika dapat dipandang sebagai sederetan abstraksi yang selalu bertambah banyak, atau perkataan lainnya perluasan pokok masalah. Abstraksi mula-mula, yang juga berlaku pada banyak binatang[10], adalah tentang bilangan: pernyataan bahwa dua apel dan dua jeruk (sebagai contoh) memiliki jumlah yang sama.
Langkah selanjutnya memerlukan penulisan atau sistem lain untuk mencatatkan bilangan, semisal taliatau dawai bersimpul yang disebut quipu dipakai oleh bangsa Inca untuk menyimpan data numerik.Sistem bilangan ada banyak dan bermacam-macam, bilangan tertulis yang pertama diketahui ada di dalam naskah warisan Mesir Kuno di Kerajaan Tengah Mesir, Lembaran Matematika Rhind.
Sistem bilangan Maya
Penggunaan terkuno matematika adalah di dalam perdagangan,pengukuran tanah, pelukisan, dan pola-pola penenunan dan pencatatan waktu dan tidak pernah berkembang luas hingga tahun 3000 SM ke muka ketika orang Babilonia dan Mesir Kuno mulai menggunakan aritmetika, aljabar, dan geometri untuk penghitunganpajak dan urusan keuangan lainnya, bangunan dan konstruksi, dan astronomi.[11] Pengkajian matematika yang sistematis di dalam kebenarannya sendiri dimulai pada zaman Yunani Kuno antara tahun 600 dan 300 SM.
3. Ilham, matematika murni dan terapan, dan estetika
Sir Isaac Newton (1643-1727), seorang penemukalkulus infinitesimal.
menjadi memiliki terapan praktis adalah apa yang Eugene Wigner memanggilnya sebagai "Ketidakefektifan Matematika tak ternalar di dalam Ilmu Pengetahuan Alam".[14]
Seperti di sebagian besar wilayah pengkajian, ledakan pengetahuan di zaman ilmiah telah mengarah pada pengkhususan di dalam matematika. Satu perbedaan utama adalah
