IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson

IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK

Proses Poisson

Dosen:

Aniq A. Rohmawati, M.Si

TELKOMUNIVERSITY

Proses Menghitung

Proses stokastikN(t),t≥0 dikatakan proses menghitung (counting process) jikaN(t)atauNtmenyatakan banyaknya peristiwa yang

Contoh

MANAKAH YANG MERUPAKAN PROSESMENGHITUNG? Banyaknya bayi yang lahir saatt.

Proses Menghitung

Proses menghitungN(t),t≥0 memenuhi sifat:

N(t)≥0

N(t)adalah bilangan bulat

Jikas<t, makaN(s)≤N(t)

Proses menghitung disebut proses dengankenaikan bebas

Contoh

Proses menghitung disebutkenaikan stasioner (stationary increment)jika banyaknya kejadian pada interval waktu

(t1+s,t2+s](yaituN(t2+s)−N(t1+s)) mempunyai distribusi yang sama dengan banyaknya kejadian pada interval waktu(t1,t2]

Contoh

Little

o

Fungsif(h)dikatakano(h)jika limh→₀ f(h)

h =0

CONTOH

Untuk interval waktu yang kecil (h>0)

e−λh= Σ∞

(tidak ada kejadian pada interval waktu yang kecil), sehingga peluang ada kejadian pada interval waktu yang kecil,

Proses Poisson

Suatu proses menghitungN(t),t≥0 dikatakanProses Poisson

dengan laju (parameter)λ >0 jika memenuhi N(0) =0

Proses mempunyai kenaikan bebas dan kenaikan stasioner

P(N(h) =1) =λh+o(h), untukhinterval waktu yang pendek

Catatan

Maka untukt≥0 berlaku

Pn(t) =P(N(t+s)−N(s) =n) = (λt)n

n! e −λ_t

, k=0,1,2, ...

Catatan

N(t+s)−N(s)∼POI(λt)

E(N(t)) =λtdanVar(N(t)) =λt

Laju dari proses (rate) atau mean kejadian per satuan waktut

λ= E(N(t))

Proses Poisson stasioner, maka

P(N(s+t)−N(s) =n) =P(N(t) =n|N(0) =0) =Pt(t)

Latihan

Pelanggan tiba di toko ’Indomar’ mengikuti PP dengan laju 2 orang per jam. Jam kerja toko pukul 10.00−18.00.

Tentukan peluang 2 pelanggan datang pada pukul 13.00−15.00

Waktu Antar Kedatangan

(Interarrival Time)

Berdasarkan proses menghitungN(t),t≥0.

Perhatikan bahwa kejadian - kejadian tersebut dapat terjadi kapan saja dalam interval.

Distribusi Waktu Antar Kedatangan

Waktu antar kedatanganXn,n=1,2, ...dari suatu PP adalah saling

bebas danberdistribusi Eksponensial dengan parameterλ

Waktu Tunggu

(Waiting Time)

Waktu menunggu sampai kejadian ke-n,

t1+ (t2−t1) + (t3−t2) +...+ (tn−tn−₁)

JikaSnadalah waktu sampai kejadian ke-n, maka

Latihan

Segerombolan imigran datang ke suatu wilayah dengan rateλ= _hari1

mengikuti proses Poisson.

The time required to repair a machine is an exponentially distributed random variable with mean 1₂(hours)

Hubungan

S

n

dan

N

t

Distribusi Bersyarat Waktu Antar Kedatangan

Superposisi Proses Poisson

Definisi

Proses menghitungN1(t),t≥0 dikatakan PP Non Homogen atau non stasioner dengan fungsi intensitasλ(t)jika memenuhi,

N(0) =0

Proses mempunyai kenaikan bebas

P(N(t+h)−N(t) =1) =λ(t)h+o(h)

sehingga,

Latihan

Banyaknya pelanggan yang datang ke suatu toko mengikuti PP dengan laju 3 orang perjam

Tentukan nilai harapan jumlah pelanggan yang datang antara pukul 08.00 - 10.00 di suatu pagi.

Penjualan tiket pertunjukan ’Ini Wayang’ mengikuti tiga PP sebagai berikut

Penjualan harga sebenarnya dengan laju 2/jam

1 _{Waktu harapan hingga penjualan tiket berikutnya} 2 Waktu harapan hingga penjualan tiket VIP berikutnya

3 Peluang bahwa penjualan setelah tiket harga sebenarnya adalah

tiket harga sebenarnya yang lain

4 Peluang bahwa tiket VIP akan djual pada 30 menit kedepan 5 Peluang bahwa setidaknya 2 dari 3 tiket yang dijual berikutnya

λ=λTS+λTD+λTV =6.3,E(T) =...

MisalkanNbanyaknya tiket harga diskon yang terjual, sehingga N ∼B(3,λTD

λ )

Supermarket buka dari pukul 10.00 - 20.00 Pelanggan datang mengikuti PP non homogen dengan fungsi intensitas:

Hitung rataan kedatangan pelanggan pada waktu kerja

MisalkanTkmenyatakan waktu yang dibutuhkan (elapsed time) untuk

klaim - klaim asuransi diproses.T1menyatakan waktu yang

dibutuhkan hingga klaim pertama diproses. DiketahuiT1,T2, ...saling bebas dan berdistribusi

f(t) =0.1e−₀._1t

, t>0

P(T ≤10) =...