Catatan Kuliah
MA5181
PROSES STOKASTIK
“We do love uncertainty”disusun oleh
Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung
Tentang MA5181 Proses Stokastik
A. Jadwal kuliah:
• Selasa; 11.30-12.20; R. Seminar I.2
• Rabu; 9.00-10.40; R. Seminar I.2 B. Materi kuliah:
• Peluang, peubah acak dan distribusi
• Peluang/Ekspektasi bersyarat • Distribusi eksponensial • Proses Poisson • Proses Renewal • Rantai Markov C. Buku teks:
• Sheldon Ross, 1996, Stochastic Processes, 2nd ed., Wiley.
• Taylor dan Karlin, 1998, An Introduction to Stochastic Modelling, 3rd ed., Academic Press.
E. Penilaian: • Ujian 1,2,3 (90%): 25 September 2013 (30%) 30 Oktober 2013 (30%) 4 Desember 2013 (30%) • Kuis (10%)
Daftar Isi
1 Peluang, Peubah Acak dan Distribusi 1
1.1 Pengantar . . . 1
1.2 Peluang . . . 1
1.3 Peubah acak dan distribusi . . . 4
1.4 “More on distribution function” . . . 5
2 Ekspektasi Bersyarat 1 2.1 Distribusi Bersama . . . 1
2.2 Ekspektasi Bersyarat . . . 3
3 Distribusi Eksponensial 1 3.1 Peubah Acak Eksponensial . . . 1
3.2 Sifat Tanpa Memori . . . 1
3.3 Sifat Momen . . . 3
3.4 Sifat Distribusi . . . 3
3.5 Statistik Terurut . . . 5
3.6 Aplikasi . . . 6
4 Proses Poisson 1 4.1 Waktu Antar Kedatangan dan Waktu Tunggu . . . 2
4.2 Mengapa Proses Poisson? . . . 3
4.3 Definisi Proses Poisson . . . 4
4.4 Jumlahan Proses Poisson Saling Bebas . . . 5
4.5 “Thinning” dari Proses Poisson . . . 7
4.6 Proses Poisson Tak Homogen . . . 8
BAB 1
Peluang, Peubah Acak dan
Distribusi
1.1
Pengantar
Proses stokastik adalah salah satu cabang ilmu statistika. Secara teoritis, suatu proses stokastik {Yt}adalah koleksi peubah acak dengant menyatakan indeks waktu. Oleh karenanya, pemahaman mengenai peubah acak dan peluang suatu peubah acak bernilai tertentu sangatlah penting.
Perhatikan ilustrasi berikut:
“Maskapai penerbangan mengetahui bahwa lima persen pemesan tiket tidak akan datang untuk membeli tiketnya. Dengan alasan ini, maskapai tidak ragu untuk menjual 52 tiket penerbangan pada pesawat dengan kapasitas duduk 50 orang”. Dapatkah kita mendefinisikan/membangun suatu peubah acak? Bagaimana jika informasi yang kita miliki adalah “Maskapai penerbangan mengetahui bahwa lima persen pemesan tiket tidak akan datang untuk mem-beli tiketnya. Dengan alasan ini, maskapai tidak ragu untuk menjual 52 tiket penerbangan pada pesawat dengan kapasitas duduk 50 orang. Berapa pelu-ang akan ada kursi ypelu-ang tersedia untuk setiap pemesan tiket ypelu-ang datpelu-ang?”. Dapatkah kita mendefinisikan/membangun suatu peubah acak?
1.2
Peluang
Peluang adalah suatu konsep berpikir, bukan sekadar angka (walaupun wu-judnya adalah angka diantara nol dan satu). Peluang berkaitan dengan meny-atakan alasan atas suatu kejadian. Peluang, secara implisit, mengajak kita un-tuk mempersiapkan diri menghadapi kejadian yang tidak terjadi (yang
memi-Contoh-1:
Setiap hari Laila pergi ke kampus dan berharap perkuliahan terjadi (untuk setiap mata kuliah Laila sudah memiliki dugaan peluang terjadinya perkulia-han tersebut). Jika suatu hari Laila tidak pergi ke kampus, akankah sebuah perkuliahan benar-benar tidak terjadi?
Contoh-2:
Ini kisah masa lalu Tiani yang sempat diceritakan sesaat sebelum Tiani menikah. Katanya “Ayahku meninggal waktu usiaku tiga tahun. Lalu Ibu kawin lagi. Dengan ayah tiriku, Ibu mendapat dua orang anak tiri dan melahirkan tiga orang anak. Ketika usiaku lima belas tahun, Ibu pun meninggal. Ayah tiriku kawin lagi dengan seorang janda yang sudah beranak dua. Ia melahirkan dua orang anak pula dengan ayah tiriku”. Adakah sosok seperti Tiani?
Contoh-3:
Arya telah memesan sekaligus membayar tiket suatu penerbangan. Tentu saja Arya yakin bahwa dia akan mendapatkan kursi saat datang dan memasuki pesawat nanti. Mungkinkah Arya tidak mendapatkan kursi?
Untuk membuat peluang lebih berwujud, maka diciptakan cara menghitung peluang. Secara khusus, kita akan menghitung peluang suatu kejadian atau (dan ini yang utama) peluang suatu peubah acak.
Contoh-4:
Direktur perusahaan mengundang para karyawan yang memiliki setidaknya satu anak laki-laki (L) ke acara syukuran khitanan. Seorang karyawan memi-liki dua anak. Berapa peluang bahwa kedua anak karyawan adalah laki-laki? Berapa peluang bahwa kedua anak karyawan adalah laki-laki, diberikan bahwa karyawan tersebut diundang ke acara syukuran?
Jawab: Misalkan L kejadian memiliki anak laki-laki; LK kejadian memiliki dua anak laki-laki; U kejadian diundang ke acara syukuran. Jadi,
P(LK) =· · · dan P(LK|U) = P(LK∩U) P(U) = P({{LL} ∩ {LL, LL c, LcL}}) P({LL, LLc, LcL}) = P({LL}) P({LL, LLc, LcL}) = (1/4)/(3/4) = 1/3.
Seringkali dibutuhkan nilai (awal) peluang suatu kejadian, untuk kemudian dapat dihitung peluang kejadian berikutnya. Menentukan nilai awal peluang merupakan masalah yang menarik dan menantang (challenging).
Contoh-5:
Sebagai seorang sekretaris, Dien tahu bahwa sebuah surat akan berada di salah satu dari tiga buah kotak surat yang ada dengan peluang sama. Misalkan pi
adalah peluang bahwa Dien akan menemukan surat setelah mengecek kotak surat i dengan cepat jika ternyata surat tersebut berada di kotak surat i,
i= 1,2,3. Misalkan Dien mengecek kotak surat 1 dan tidak menemukan surat. Berapa peluang kejadian itu akan terjadi? Jika diketahui Dien mengecek kotak surat 1 dan tidak menemukan surat, berapa peluang bahwa surat itu ada di kotak surat 1?
Jawab: Misalkan Ki, i= 1,2,3 adalah kejadian surat berada di kotak surat i.
Misalkan T kejadian mengecek kotak surat 1 dan tidak mendapatkan surat. Peluang kejadian itu akan terjadi adalah
P(T) = P(T|K1)P(K1) +P(T|K2)P(K2) +P(T|K3)P(K3)
= (1−p1)(1/3) + 1/3 + 1/3
Jika diketahui Dien mengecek kotak surat 1 dan tidak menemukan surat, maka peluang bahwa surat itu ada di kotak surat 1 adalah
P(K1|T) = P(T|K1)P(K1) P(T|K1)P(K1) +P(T|K2)P(K2) +P(T|K3)P(K3) = (1−p1)(1/3) (1−p1)(1/3) + 1/3 + 1/3 Catatan:
Dalam hal ini, pi adalah peluang awal suatu kejadian. Dengan peluang awal
ini maka nilai peluang yang kita cari akan lebih bermakna.
Contoh-6:
Pada contoh “maskapai penerbangan”, berapa peluang akan ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang?
Jawab: Misalkan X peubah acak yang menyatakan banyaknya pemesan tiket yang datang, maka
P(X ≤50) =· · ·
Pembahasan utama pada perkuliahan ini adalah peluang suatu peubah acak termasuk karakteristik utamanya yaitu distribusi peubah acak.
1.3
Peubah acak dan distribusi
Peubah acak (p.a.) adalah alat untuk “memudahkan” kita dalam “menyeder-hanakan” hitungan peluang; peubah acak membuat kita bekerja dalam bilan-gan riil. Secara teoritis, peubah acak adalah fungsi yang memetakan ruang sampel ke bilangan riil.
Catatan: Peubah acak berbeda dengan peubah!
Contoh, misalkan suatu ruang sampel S = {00,01,10,11}. Definisikan X
sebagai peubah acak yang menyatakan banyaknya “1”,
X : 00 ∈S →0, X : 01 ∈S →1,
dst.
Jadi, nilai yang mungkin untuk X adalah {0,1,2}
Pada contoh “maskapai penerbangan”, kita dapat membangun peubah acak secara lebih terarah setelah mengetahui tujuan yang ingin kita capai. Dalam hal ini, kita ingin menghitung “peluang akan ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang”. Peubah acak yang dapat didefinisikan adalah “X yang menyatakan banyaknya pemesan tiket yang datang”. Dapat pula “peubah acak X yang menyatakan banyaknya pemesan tiket yang tidak datang”.
Peubah acak berkaitan dengan distribusi atau, secara khusus, fungsi distribusi (kumulatif) atau f.d. Melalui f.d., peubah acak akan makin memiliki makna dan aplikatif. Contoh, suatu peubah acak menyatakan banyaknya pemesan tiket yang datang. Peubah acak tersebut mengikuti distribusi binomial den-gan parameter tertentu. Kita dapat memahami perilaku peubah acak (secara probabilistik) tersebut melalui f.d.
Misalkan X suatu peubah acak; F.d. untuk X adalah
FX(x) = F(x) =P(X ≤x)
dengan sifat-sifat:
(a) F fungsi tidak turun (b) limx→∞ F(x) = 1
(c) limx→−∞ F(x) = 0
(d) F fungsi kontinu kanan
Contoh-1:
Suatu peubah acak diskrit X memiliki nilai yang mungkin {0,1,2} dengan peluang di titik-titik tersebut, P(X=x) = f(x), berturut-turut, adalah
f(0) = 1/4;f(1) = 1/2;f(2) = 1/4.
Tentukan fungsi distribusinya.
Contoh-2:
Diketahui fungsi peluang suatu peubah acak kontinu adalah
f(x) =λ e−λx, x >0.
Fungsi distribusi yang bersesuaian adalah... Jawab: F(x) = ∫ x 0 f(t)dt= ∫ x 0 λ e−λtdt =· · · Contoh-3:
Tentukan fungsi peluang dari fungsi distribusi berikut:
F(x) = 0, x <0 1 3 + x 5, 0≤x <1 3 5, 1≤x <2 9 10, 2≤x <3 1, x≥3
1.4
“More on distribution function”
Pandang suatu peubah acak kontinu X dengan fungsi distribusi F(x) dan fungsi peluang f(x). Salah satu “keunggulan” fungsi distribusi dibandingkan fungsi peluang adalah fakta bahwa 0 ≤ F(x) ≤ 1, sedangkan f(x) ≥ 0. Dis-tribusi apapun yang melekat pada X akan memiliki fungsi distribusi yang selalu bernilai diantara nol dan satu.
Akibatnya, kita dapat membentuk peubah acak baru (menurut konsep Trans-formasi Peluang) yaitu
dengan fungsi distribusi FU(u) =P(U ≤u) =P(FX(X)≤u) =P(X ≤FX−1(u)) =FX(FX−1(u)) =u,
atau dengan kata lain,
U =FX(X) =F(X)∼U(0,1).
Catatan:
Kita tahu bahwa jika X berdistribusi Uniform pada selang [0,1] atau U(0,1) maka F(x) = x.
Keunggulan diatas juga bermanfaat dalam simulasi stokastik. Contoh, mis-alkan kita ingin membangkitkan data dari suatu distribusi dengan
F(x) = 1−e−λx.
Bagaimana kita dapat melakukannya? Jawab:
- Bangkitkan data dari peubah acak U ∼U(0,1) - Tentukan invers dari fungsi distribusi atau F−1(x)
- Hitung F−1(u)
(metode ini dikenal dengan nama Invers Transformation Method).
Fungsi Distribusi dan Copula
Misalkan kita punyai peubah acakXdanY dengan fungsi distribusi, berturut-turut, adalah FX dan GY. Bagaimana kita dapat menentukan
H(x, y) ?
Salah satu teknik yang dapat dilakukan untuk mendapatkan fungsi distribusi bersama adalah menggunakan formula Keluarga Farlie-Morgenstern:
H(x, y) =F(x)G(y) { 1 +α ( 1−F(x) )( 1−G(y) )} untuk |α| ≤1.
Contoh:
Untuk X dan Y dengan marginal U(0,1), kita peroleh,
H(x, y) =x2y+y2x−x2y2, 0≤x≤1,0≤y≤1,
jika α =−1, dan
F(x, y) = 2x y−x2y−y2x+x2y2, 0≤x≤1,0≤y ≤1,
jika α = 1.
Bagaimana jikaXdanY memiliki distribusi marginal yang berbeda dan bukan
U(0,1)?
Teorema Sklar (Tse, 2009, hal.367):
Misalkan H fungsi distribusi bersama dengan fungsi distribusi marginal (mar-gin) F dan G. Terdapat suatu Copula untuk semua (x, y) sedemikian hingga
H(x, y) =P(X ≤x, Y ≤y) =C(P(X ≤x), P(Y ≤y)) =C(F(x), G(y)) =C(u, v), dengan U =F(X), V =G(Y). Catatan:
- Copula merupakan fungsi distribusi
- Contoh Copula: C(u, v) = (u−θ+v−θ−1)−1θ atau Clayton Copula
BAB 2
Ekspektasi Bersyarat
Peluang bersyarat dan ekspektasi bersyarat berperan penting dalam mema-hami atau menentukan aplikasi teori peluang (applied probability). Hal ini didasarkan pada fakta bahwa peluang suatu peubah acak (atau kejadian) ser-ing bergantung nilai peubah acak (atau kejadian) yang lalu.
2.1
Distribusi Bersama
MisalkanXdanY peubah acak-peubah acak dengan fungsi distribusi berturut-turutFX danFY. Kita dapat membangun fungsi distribusi dan fungsi peluang bersama dari kedua peubah acak tersebut dari informasi distribusi marginal dan sifat kebebasan. Distribusi bersama untuk dua atau lebih peubah acak sangat membantu dalam membangun model yang lebih rumit. Hubungan antara distribusi marginal dan distribusi bersama adalah sebagai berikut: tribusi marginal mungkin dapat membangun distribusi bersama; dengan dis-tribusi bersama kita dapat menentukan disdis-tribusi marginal.
Contoh-1:
Misalkan kita punyai 2 komponen elektronik yang identik. Misalkan juga X
dan Y adalah waktu hidup (jam, diskrit). Asumsikan fungsi peluang bersama dari X dan Y adalah
fX,Y(x, y) =p2(1−p)x+y−2, x, y ∈ N,
dengan 0 < p <1. Tentukan fungsi peluang marginal dariX dan Y. Jawab: fX(x) = ∑ y fX,Y(x, y) 1
yang bernilai sama dengan ∞ ∑ y=1 p2(1−p)x+y−2 =p2(1−p)x−2 ∞ ∑ y=1 (1−p)y =p(1−p)x−1, x∈ N Contoh-2:
Pandang 2 komponen elektronikAdanBdengan masa hidupX danY. Fungsi peluang bersama dari X dan Y adalah
fX,Y(x, y) =λ µ exp(−λx+µy), x, y >0
dimana λ > 0, µ > 0. Tentukan peluang bahwa kedua komponen berfungsi pada saat t. Tentukan peluang bahwa komponen A adalah komponen yang pertama kali rusak
Jawab: P(X > t, Y > t) = ∫ ∞ t ∫ ∞ t λ µ e−(λ x+µ y)dy dx =· · · =e−(λ+µ)t P(X < Y) = ∫ ∞ 0 ∫ ∞ x λ µ e−(λ x+µ y)dy dx =· · · = λ λ+µ Contoh-3:
MisalkanX ∼P OI(λ) danY ∼P OI(θ), asumsikan kedua peubah acak saling bebas. Tentukan distribusiX+Y. Tentukan distribusi bersyaratX, diberikan
X+Y =n. Jawab:
X+Y ∼P OI(λ+θ)
2.2
Ekspektasi Bersyarat
Ekspektasi Peubah Acak
Misalkan dipunyai suatu peubah acakX. Apa yang dapat kita pahami tentang mean dari X atau E(X)? Misalkan kita mempunyai data berukuran n, dap-atkah kita menghitung mean data? Perlukah kita mengetahui distribusi data? Secara teoritis, perhitungan E(X) akan melibatkan fungsi peluang. Dapatkah kita memanfaatkan fungsi distribusi untuk menentukan E(X)?
Sifat-sifat ekspektasi:
1. E(a X+b Y) = a E(X) +b E(Y)
2. E(g(X)) =∫−∞∞ g(x)fX(x)dx
3. E(XY) = E(X)E(Y), jika X dan Y saling bebas.
4. E(X) =∫0∞ P(X > x)dx, untukX >0 (*) 5. E((X−µX)r) =
∫∞
−∞(x−µX)rfX(x)dx (momen pusat ke-r)
6. E(etX) =∫∞
−∞ etxfX(x)dx=MX(t) (fungsi pembangkit momen)
7. E(sX) = ∫∞
−∞ sxfX(x)dx=PX(s) (fungsi pembangkit peluang)
Contoh-1:
Rombongan mahasiswa sebanyak 120 orang akan berangkat ke Jogja dengan menggunakan 3 bis. Ada 36 mahasiswa di bis 1, 40 mahasiswa di bis 2 dan 44 mahasiswa di bis 3. Ketika bis sampai tujuan, seorang mahasiswa dipilih secara acak. Misalkan X menyatakan banyaknya mahasiswa di bis dimana seseorang tersebut terpilih. Hitung E(X).
Contoh-2:
Misalkan Y menunjukkan banyaknya gol yang diciptakan oleh seorang pemain sepak bola di suatu pertandingan yang terpilih acak:
y 0 1 2 3 4 5 6
f(y) 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 0.05 0.05
Misalkan W adalah banyaknya pertandingan dimana seorang pemain sepak bola menciptakan 3 atau lebih gol dalam 4 pertandingan terpilih acak. Berapa nilai harapan atau ekspektasi banyak pertandingan dimana pemain mencip-takan 3 atau lebih gol?
Catatan:
1. Ekspektasi adalah rata-rata tertimbang (weighted average) dari nilai yang mungkin dari X
2. Ekspektasi = mean = momen pertama
3. Ekspektasi suatu peubah acak adalah nilai rata-rata (long-run average value) dari percobaan bebas yang berulang
3. Apakah ekspektasi harus berhingga?
Contoh-3:
Jika X memiliki fungsi peluang
f(x) = 1
π(1 +x2), −∞< x <∞,
tentukan E(X).
Contoh-4:
Misalkan X peubah acak dengan fungsi distribusi
F(x) = 0, x <−2 0.2, −2≤x <0 0.5, 0≤x <2.2 0.6, 2.2.≤x <3 0.6 +q, 3≤x <4 0.6 + 2q, 4≤x <5.5 1, x≥5.5 dan diketahui P(X >3.3) = 0.25.
Tentukan E(X) melalui fungsi pembangkit momen MX(t).
Contoh-10:
Misalkan X peubah acak dengan MX(t) sebagai fungsi pembangkit momen.
Didefinisikan f(t) = lnMX(t). Tunjukkan bahwa f′′(0) =V ar(X)
Ekspektasi Bersyarat
Ilustrasi - Seorang narapidana berada dalam suatu sel penjara yang memi-liki tiga pintu. Pintu pertama akan membawanya keluar penjara dalam waktu dua hari. Pintu kedua dan ketiga akan membawanya ke terowongan yang kem-bali ke penjara dalam waktu masing-masing empat dan satu hari. Asumsikan bahwa sang napi selalu memilih pintu 1, 2, dan 3 dengan peluang 0.5, 0.3 dan 0.2, berapa lama waktu rata-rata (expected number of days) yang dibutuhkan untuk dia agar selamat alias keluar dari penjara?
Jawab:
- Peubah acak: X yang menyatakan waktu yang dibutuhkan agar selamat - Distribusi apakah yang melekat pada X?
- Dapatkah kita menghitung E(X)?
Definisi:
Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama fX,Y(x, y). Jika fX(x)>0 maka ekspektasi bersyarat dariY
diberikanX =xadalah ekspektasi dariY relatif terhadap distribusi bersyarat
Y diberikan X =x, E(Y|X =x) = ∫ ∞ −∞ y fX,Y(x, y) fX(x) dy= ∫ ∞ −∞ y fY|X(y|x)dy.
Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama fX,Y(x, y). Misalkan ekspektasi dariY hingga. Maka
E(Y) = ∫ ∞ −∞ E(Y|X =x)fX(x)dx atau E(Y) = E(E(Y|X =x)) Contoh-5:
Pandang “narapidana di sel penjara”. Lama (waktu) untuk sang napi keluar dari penjara bergantung pada pintu keluar yang dipilih; peubah acak yang menyatakan pintu yang dipilih adalah I.
E(X) =E(X|I = 1)P(I = 1) +E(X|I = 2)P(I = 2) +E(X|I = 3)P(I = 3) =E(X|I = 1)(0.5) +E(X|I = 2)(0.3) +E(X|I = 3)(0.2)
= (2)(0.5) + (4 +E(X))(0.3) + (1 +E(X))(0.2) =· · ·
Contoh-6:
Misalkan X dan Y peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama
f(x, y) =e−x(y+1), 0≤x,0≤y≤e−1 (a) Hitung P(X >1|Y = 12)
(b) Hitung E(X|Y = 12)
Jawab: P ( X >1|Y = 1 2 ) = ∫ ∞ 1 e−x(y+1) 1/(y+ 1)dx= ∫ ∞ 1 3 2e −3 2xdx=e−3/2 E ( X|Y = 1 2 ) =· · · Contoh-7:
Febri meninggalkan kantor setiap hari kerja antara pukul 6-7 malam. Jika dia pergi t menit setelah pukul 6 maka waktu untuk mencapai rumah adalah peubah acak berdistribusi Uniform pada selang (20,20 + (2t)/3). Misalkan
Y adalah banyak menit setelah pukul 6 dan X banya menit untuk mencapai rumah, berapa lama waktu mencapai rumah?
Contoh-8:
Masih tentang “narapidana di sel penjara”. Jika napi memilih pintu-pintu yang belum digunakannya secara acak, berapa lama waktu yang dibutuhkan-nya untuk keluar dari penjara?
Contoh-9:
Seorang peserta kuis diberi dua buah pertanyaan (P1, P2), yang harus dijawab
dengan urutan yang ditentukan oleh peserta kuis sendiri. Jika dia menjawab
Pi, i= 1,2, terlebih dahulu maka dia dibolehkan menjawab pertanyaanPj, j ̸= i apabila dia menjawab Pi dengan BENAR. Tentu saja jika dia menjawab
SALAH maka dia tidak dapat melanjutkan menjawab pertanyaan berikutnya. Peserta kuis akan mendapatkan uang tunai sebesar Rpi jika dia menjawab Pi dengan benar (dia mendapatkan uang sebesar Rp1 +Rp2 jika menjawab
BENAR untuk kedua pertanyaan). Jika peluang dia tahu jawaban pertanyaan
Pi adalah qi, pertanyaan mana yang harus dia jawab pertama kali agar dia
BAB 3
Distribusi Eksponensial
Salah satu distribusi kontinu yang menarik untuk dipelajari dalam model stokastik adalah distribusi eksponensial. Umumnya, distribusi ini cocok untuk digunakan dalam memahami fenomena antrean atau waktu tunggu. Tahukah anda bahwa distribusi eksponensial adalah kasus khusus dari distribusi Gamma? Pernahkah anda mendengar sifat tanpa memory atau memoryless property
pada distribusi eksponensial?
3.1
Peubah Acak Eksponensial
Peubah acak eksponensial didefinisikan sebagai peubah acak dengan fungsi distribusi
F(x) = 1−exp(−θx), x≥0,
dengan parameter θ > 0. Dapat pula dikatakan bahwa peubah acak ekspo-nensial adalah peubah acak yang berdistribusi ekspoekspo-nensial.
Notasi: X ∼exp(θ).
Distribusi eksponensial dapat dipandang sebagai analog (kontinu) dari dis-tribusi geometrik. Kita ketahui bahwa disdis-tribusi geometrik memodelkan banyaknya percobaan yang dibutuhkan oleh suatu proses diskrit untuk mengubah keadaan. Sedangkan distribusi eksponensial menjelaskan waktu untuk proses kontinu untuk mengubah keadaan (lihat Tabel berikut).
3.2
Sifat Tanpa Memori
Sifat tanpa memori (memoryless property) pada suatu peubah acak X adalah sifat dimana “peluang X lebih daris+tdengan syarat/diberikanX lebih dari
Table 3.1: Percobaan Bernoulli vs Proses Poisson. Percobaan Bernoulli Proses Poisson Banyak “sukses” Distribusi Binomial Distribusi Poisson “Waktu” utk sukses I Distribusi Geometrik Distribusi Eksponensial
t sama dengan peluang X lebih dari s”, atau
P(X > s+tX > t)=P(X > s). Perhatikan bahwa P(X > s+tX > t)= P ( X > s+t, X > t) P(X > t) = P ( X > s+t) P(X > t) =P(X > s), atau, P(X > s+t)=P(X > s)P(X > t). Contoh-1:
Misalkan X menyatakan waktu tunggu seseorang mendapatkan “sesuatu”. Peluang orang tsb menunggu lebih dari 7 tahun setelah dia menunggu lebih dari 5 tahun sama dengan peluang dia menunggu lebih dari 2 tahun, atau,
P(X >2 + 5|X >5) =P(X >2).
[orang itu tidak lagi mengingat bahwa dia telah menunggu selama 5 tahun -itu sebabnya dikatakan sifat tanpa memori]
Sifat tanpa memori hanya dipenuhi oleh peubah acak eksponensial,
P(X > s+t)= 1−P(X < s+t) = 1−FX(s+t) = 1−(1−exp(−θs−θt)) = exp(−θs−θt) = exp(−θs) exp(−θt) =P(X > s)P(X > t).
Sifat tanpa memori ini tidak dipenuhi oleh distribusi lain. Sebagai contoh, misalkan X ∼U(0,1), maka P(X > s+t)= 1−P(X < s+t) = 1−FX(s+t) = 1−(s+t) ̸ = (1−s)(1−t) = (1−FX(s)) (1−FX(t)) =P(X > s)P(X > t). Contoh-2:
Bagaimana dengan distribusi geometrik? Dapatkah anda menunjukkan bahwa distribusi ini juga memiliki sifat tanpa memori?
3.3
Sifat Momen
Seperti sebelumnya, sifat momen merupakan karakteristik penting peubah acak eksponensial. Misalkan X ∼exp(θ). Dapat kita tunjukkan bahwa
E(X) = 1 θ dan E(X2) = · · · Contoh-3: Tentukan E(X−u|X > u),
untuk suatu u (gunakan sifat tanpa memori).
3.4
Sifat Distribusi
Misalkan X1, . . . , Xn sampel acak berdistribusi eksponensial. Misalkan
Y =
n
∑
i=n Xi,
maka distribusi dari Y dapat ditentukan dengan teknik fungsi pembangkit momen,
MY(t) = E(exp(tY)) =E(exp(t[X1+· · ·+Xn]))
=· · ·
Jadi, Y ∼. . ., dengan mean dan variansi... Catatan:
X adalah peubah acak Gamma jika memiliki fungsi peluang
fX(x) = θα Γ(α)x α−1 exp(−θ x). Notasi: X ∼Gamma(α, θ).
Fungsi pembangkit momen atau f.p.m:
MX(t) = ( 1− t θ )−α .
Distribusi X1+X2 dan Peluang P(X1 < X2)
DistribusiX1+X2 dapat ditentukan dengan teknik fungsi distribusi. Misalkan
Y =X1+X2, P(Y ≤y) =P(X1+X2 ≤y) = P(X1 ≤y−x2) = ∫ y 0 ∫ y−x2 0 θ exp(−θx1) θ exp(−θ x2)dx1dx2 = ∫ y 0 FX1(y−x2)fX2(x2)dx2
Fungsi peluang dari X1+X2 adalah
fX1+X2(y) = ∫ y 0 fX1(y−x2)fX2(x2)dx2 = ∫ y 0 θ exp(−θ(y−x2))θ exp(−θx2)dx2 =θ2y exp(−θ y) = θ 2 (2−1)!y 2−1 exp(−θ y)
Pandang dua buah peubah acak eksponensial X1 dan X2 yang saling bebas
dengan parameter θ1 dan θ2, maka
P(X1 < X2) = ∫ ∫ fX1,X2(x1, x2)dx2dx1 = ∫ ∞ 0 ∫ ∞ x1 θ1 exp(−θ1x1)θ2 exp(−θ2x2)dx2dx1 =· · ·= θ1 θ1+θ2
3.5
Statistik Terurut
Misalkan X1, . . . , Xn sampel acak berukuran n dari distribusi eksponensial
dengan parameter θ. Misalkan X(k) statistik terurut ke-k. Fungsi peluang
untuk statistik terurut ke-k adalah:
fX(k)(x) = C
n
k−1,1,n−k(FX(x))k−1fX(x) (1−FX(x))n−k.
Sebagai contoh, misalkan diketahui sampel acak berukuran 2 dari distribusi ek-sponensial dengan parameterθ. Fungsi peluang untuk statistik terurut terkecil atau X(1) adalah
fX(1)(x) =C
2
0,1,1(1−exp(−θx))1−1 θ exp(−θx) (exp(−θx))2−1
= 2θ exp(−2θx) Contoh-4:
Jika X1 dan X2 peubah acak-peubah acak eksponensial yang saling bebas,
tentukan distribusi (i) Y = min(X1, X2)
(ii) Z = max(X1, X2).
Contoh-5:
Jika X1 dan X2 peubah acak-peubah acak kontinu non negatif yang saling
bebas, hitung
P(X1 < X2|min(X1, X2) =t)
Jawab: P(X1 < X2|min(X1, X2) =t) = P(X1 < X2,min(X1, X2) = t) P(min(X1, X2) =t) = P(X1 =t, X2 > t) P(X1 =t, X2 > t) +P(X2 =t, X1 > t) = fX1(t)(1−FX2(t)) fX1(t)(1−FX2(t)) +fX2(t)(1−FX1(t))
Jika X1 dan X2 berdistribusi identik, katakan eksponensial dengan parameter
θ, maka P(X1 < X2|min(X1, X2) =t) = fX1(t)(1−FX2(t)) fX1(t)(1−FX2(t)) +fX2(t)(1−FX1(t)) =· · · Contoh-6:
Ini tentang rekor [Baru-baru ini dalam Olimpiade London, Ye Shiwen, 16 tahun, memecahkan rekor dunia untuk renang 400m gaya ganti perseorangan dalam waktu 4 menit 28.43 detik dari sebelumnya 4 menit 29.45 detik yang dicetak oleh Stephanie Rice]. Misalkan X1, X2, . . . p.a. kontinu yang bersifat
i.i.d. Suatu rekor Xn terjadi pada waktun(n >0) jika
Xn>max(X1, . . . , Xn−1)
[perlukah syarat X0 = −∞ ?]. Jika Nn menyatakan total banyaknya rekor
yang terjadi sampai waktu ke-n, hitung E(Nk
n) untuk k= 1,2.
3.6
Aplikasi
Seperti telah disampaikan diawal, fenomena antrean atau waktu tunggu cukup tepat digambarkan oleh distribusi eksponensial. Misalkan pada suatu antrean toko dimana 2 penjaga toko masing-masing sedang melayani seorang pelang-gan, sebut A dan B. Mungkinkah A keluar lebih dulu dari toko? Mungkinkah B? Bagaimana kita dapat memanfaatkan peubah acak eksponensial?
Contoh-7:
toko bersamaan. Fer dan Fir langsung mendatangi petugas toko, sedangkan Fur menunggu (baca: antre).
1. Berapa peluang bahwa Fer masih berada di toko setelah Fir dan Fur pergi apabila waktu layanan untuk setiap petugas adalah tepat (tidak acak) 10 menit?
Jawab:
Fer tidak mungkin masih berada di toko apabila Fir (dan Fur) sudah selesai dilayani. Jadi peluangnya adalah 0.
2. Berapa peluang bahwa Fer masih berada di toko setelah Fir dan Fur pergi apabila waktu layanan adalah i dengan peluang 1/3,i= 1,2,3? Jawab:
1/27
P(SF er > SF ir+SF ur)
=P(SF ir = 1)P(SF ur = 1)P(SF er = 3) = (1/3)(1/3)(1/3)
= 1/27
3. Berapa peluang bahwa Fer masih berada di toko setelah Fir dan Fur pergi apabila waktu layanan berdistribusi eksponensial dengan mean 1/µ? Jawab:
1/4
Apa saja yang akan terjadi pada Fer?
(1) Fer adalah orang pertama yang keluar dari toko, dengan peluang 1/2 (2) Fer adalah orang terakhir yang keluar dari toko, dengan peluang 1/4 (3) Fer BUKAN orang terakhir yang keluar dari toko, dengan peluang 1/4
Contoh-8:
Misalkan Itta memasuki sebuah Bank yang memiliki seorang teller. Itta meli-hat ada 5 nasabah di Bank, 1 orang sedang dilayani dan 4 orang yang lain antri. Itta pun antri. Jika waktu layanan berdistribusi dengan parameter µ, berapa lama waktu (expected amount of time) yang dihabiskan Ita di Bank? Jawab:
Misalkan T lama waktu Ita di Bank.
E(TI) =E(SI) +
5
∑
i=1
E(Si) = 6/µ
Contoh-9:
Misalkan X p.a eksponensial dengan parameter λ. (i) Hitung E(X|X < c)
(ii) Hitung (i) dengan identitas berikut
E(X) =E(X|X < c)P(X < c) +E(X|X > c)P(X > c) Jawab: E(X|X < c) = ∫ c 0 x fX(x|X < c)dx = ∫ c 0 x fX(x) P(X < c)dx = ∫c 0 x fX(x)dx ∫c 0 fX(x)dx = 1 λ − cexp(−λ c) 1−exp(−λ c) Contoh-10:
Mesin 1 (M1) sedang bekerja. Mesin 2 (M2) akan dipasang untuk dipakai pada waktu t dari sekarang. Jika masa hidup Mesini berdistribusi eksponen-sial dengan mean λi, i= 1,2, berapa peluang M1 adalah mesin pertama yang
BAB 4
Proses Poisson
Seperti sudah disampaikan sebelumnya, analog dengan percobaan Bernoulli, percobaan atau proses Poisson akan mengkaji (i) banyak sukses dalam suatu periode waktu, dan (ii) waktu (kontinu) yang dibutuhkan untuk mendapatkan sukses yang pertama. Distribusi yang terlibat dalam (i) adalah distribusi Pois-son, sedangkan distribusi yang berkaitan dengan (ii) adalah distribusi ekspo-nensial. Sebagai gambaran untuk melihat proses Poisson, perhatikan ilustrasi-ilustrasi berikut.
Ilustrasi-1:
Para nasabah datang ke suatu tempat layanan dengan dua meja layanan. Nasabah yang datang akan menuju meja 1, meja 2, lalu pulang. Misalkan waktu layanan setiap meja adalah peubah acak eksponensial dengan parame-ter µ1 dan µ2. Waktu yang dihabiskan nasabah di tempat layanan adalah...
Ilustrasi-2:
Para nasabah datang ke suatu tempat layanan dengan dua meja layanan. Ketika nasabah baru datang, setiap nasabah yang ada harus segera mening-galkan tempat layanan tersebut. Nasabah yang datang akan menuju meja 1, meja 2, lalu pulang. Jika waktu layanan setiap meja adalah peubah acak eksponensial dengan parameter µ1 dan µ2. Tentukan proporsi nasabah yang
selesai di meja 2.
Ilustrasi-3:
Para nasabah datang ke suatu tempat layanan, dengan dua meja layanan, mengikuti proses Poisson dengan laju λ. Ketika nasabah baru datang, se-tiap nasabah yang ada harus segera meninggalkan tempat layanan tersebut. Nasabah yang datang akan menuju meja 1, meja 2, lalu pulang. Jika waktu layanan setiap meja adalah peubah acak eksponensial dengan parameter µ1
dan µ2. Tentukan proporsi nasabah yang selesai di meja 2.
4.1
Waktu Antar Kedatangan dan Waktu Tunggu
Waktu Antar Kedatangan
Misalkan T1 menyatakan waktu dari kejadian/kedatangan pertama. Untuk
n >1, misalkan Tn menyatakan waktu tersisa antara kejadian ke-(n−1) dam
kejadian ke-n. Barisan{Tn, n = 1,2, . . .}adalah barisan waktu antar kejadian
(interarrival times). Untuk menentukan distribusi dari Tn, perhatikan bahwa
kejadian {T1 > t} terjadi jika dan hanya jika tidak ada kejadian dari proses
Poisson yang terjadi pada interval [0, t], sehingga
P(T1 > t) = P(Nt = 0) =e−λt
Jadi T1 berdistribusi eksponensial dengan mean 1/λ.
Perhatikan juga bahwa
P(T2 > t) = E ( P(T2 > t|T1) ) , sedangkan
P(T2 > t|T1 =s) = P(tidak ada kejadian pada (s, s+t]|T1 =s)
=P(tidak ada kejadian pada (s, s+t]) =e−λt
Dengan demikian, T2 juga peubah acak eksponensial dengan mean 1/λ, dan
T2 saling bebas dengan T1. Demikian seterusnya untuk T3, T4, . . . , Tn yang
juga berdistribusi eksponensial dan peubah acak-peubah acak tersebut saling bebas.
Waktu Tunggu
Statistik lain yang kita perhatikan berikut adalah Sn yaitu waktu kedatangan
kejadian ke-n atau waktu tunggu (waiting time) hingga kejadian ke-n,
Sn=T1+· · ·+Tn, n ≥1
yang berdistribusi... (distribusi Erlang?)
Contoh-1:
Misalkan turis-turis datang ke suatu pulau mengikuti proses Poisson dengan parameterλ= 1 per hari. Berapa waktu yang diharapkan hingga turis kesepu-luh datang? Berapa peluang waktu yang dibutuhkan (elapsed time) antara turis kesepuluh dan kesebelas datang melebihi 2 hari?
Jawab:
E(S10) = E(T1+· · ·+T10) =E(T1) +· · ·+E(T10) = 10·(1/λ) = 10
P(T11>2) =e−2λ =e−2
Contoh-2:
Misalkan TK menyatakan waktu yang dibutuhkan (elapsed time) untuk
klaim-klaim asuransi diproses; T1 menyatakan waktu yang dibutuhkan hingga klaim
pertama diproses. Diketahui T1, T2, . . . saling bebas dan berdistribusi dengan
fungsi peluang
f(t) = 0.1e−0.1t, t >0
dengan t diukur dalam setengah-jam. Hitung peluang bahwa setidaknya se-buah klaim akan diproses pada 5 jam kedepan. Berapa peluang bahwa seti-daknya 3 klaim diproses dalam 5 jam?
Jawab: P(T1 ≤10) = 1−P(T > 10) = 1−e−1 Selanjutnya, N10∼P OI(10·(1/10)) =P OI(1). Jadi, P(N10≥3) = 1−P(N10= 0)−P(N10= 1)−P(N10 = 2) = 1−e−1−(1/1!)e−1−(12/2!)e−1 =· · ·
4.2
Mengapa Proses Poisson?
Ilustrasi dan kajian tentang peubah acak waktu antar kedatangan serta waktu tunggu diatas telah menggiring kita untuk memahami lebih jauh tentang proses Poisson dan alasan mengapa proses ini penting.
• Proses Poisson (PP) adalah proses menghitung (counting process) untuk banyaknya kejadian yang terjadi hingga suatu waktu tertentu
• Proses ini sering disebut proses lompatan (jump process) karena keadaan akan berpindah ke yang lebih tinggi setiap kali kejadian terjadi
Proses Menghitung
Suatu proses stokastik {Nt, t ≥ 0} adalah proses menghitung (counting
pro-cess) jikaNtmerupakan total banyaknya kejadian (events) yang terjadi sampai
waktu t. Sebagai contoh, (i) banyaknya orang yang masuk ke suatu restoran pada waktu/sampai waktu t, (ii) banyaknya gol yang diciptakan pemain, dan (iii) banyaknya klaim asuransi yang masuk.
Proses menghitung {Nt, t≥0} haruslah memenuhi kriteria berikut: • Nt ≥0
• Nt bernilai integer • Jika s < t maka Ns ≤Nt
• Untuk s < t,Nt−Ns adalah banyaknya kejadian pada interval (s, t]
Dua sifat penting yang melekat pada proses menghitung adalah sebagai berikut. Pertama, kenaikan independen (independent increments). Suatu proses menghitung {Nt} memilikiindependent increments jika banyak kejadian yang terjadi pada [s, t], yaitu Nt−Ns, saling bebas dengan banyak kejadian
sam-pai waktu s. Dengan kata lain, banyak kejadian yang terjadi pada selang waktu yang saling asing adalah saling bebas. Kedua, kenaikan stasioner
(stationary increments). Suatu proses menghitung {Nt} memiliki stationary incrementsjikadistribusi banyak kejadian pada setiap selang hanya bergantung pada panjang selang.
4.3
Definisi Proses Poisson
Definisi -1
Proses menghitung {Nt, t ≥ 0} adalah proses Poisson dengan laju λ(> 0),
jika
• N0 = 0
• Proses memiliki kenaikan independen
• Banyaknya kejadian di sebarang interval dengan panjang t berdistribusi Poisson dengan mean λt. Untuk setiap s, t ≥0
P({Ns+t−Ns =n}
)
=e−λt(λt) n
Definisi -2
Proses menghitung {Nt, t ≥ 0} adalah proses Poisson dengan laju λ(> 0),
jika
• N0 = 0
• Proses memiliki kenaikan stasioner dan independen
• P({Nh = 1} ) =λh+o(h) • P({Nh ≥2} ) =o(h) Diskusi:
Tunjukkan bahwa kedua definisi proses Poisson diatas identik.
4.4
Jumlahan Proses Poisson Saling Bebas
Pandang dua proses Poisson {N1(t)} dan {N2(t)} yang saling bebas dengan
parameter, berturut-turut, λ1 dan λ2. Kita mendapatkan
N(t) = N1(t) +N2(t),
yang juga merupakan proses Poisson dengan parameter λ1+λ2.
Contoh-3:
Mahasiswa-mahasiswa MA ITB akan datang ke Gedung Matematika melewati pintu Tamansari atau pintu DayangSumbi. Kedatangan mahasiswa melalui kedua pintu tersebut, berturut-turut, mengikuti proses Poisson dengan param-eter λ1 = 1/2, λ2 = 3/2 per menit. Berapa peluang tidak ada mahasiswa yang
datang padang selang waktu 3 menit? Hitung mean waktu antara kedatan-gan mahasiswa-mahasiswa. Berapa peluang seorang mahasiswa benar-benar datang melalui pintu DayangSumbi?
Jawab:
NT S ∼P OI(1/2), NDS ∼P OI(3/2)
dan NT S +NDS =NT ∼P OI(2).
Karena λ= 2 = 1/2 + 3/2, makaT1 ∼exp(2),
P(T1 >3) =e−6
E(Tk) = 1/2
P(TDS < TT S) = · · ·
Contoh-4:
Penjualan tiket pertandingan semifinal AFF 2010 mengikuti tiga proses Pois-son sbb:
• penjualan tiket harga sebenarnya: 2/jam
• penjualan tiket harga diskon (harga tembak kali...): 4/jam
• penjualan tiket VIP: 0.3/jam
Hitung: (a) waktu harapan hingga penjualan tiket berikutnya, (b) waktu hara-pan hingga penjualan tiket VIP berikutnya, (c) peluang bahwa penjualan tiket setelah tiket harga sebenarnya adalah tiket harga sebenarnya yang lain, (d) peluang bahwa tiket VIP akan dijual/terjual pada 30 menit kedepan, (e) pelu-ang bahwa setidaknya 2 dari 3 tiket ypelu-ang dijual berikutnya adalah tiket diskon
Contoh-5:
Di suatu terminal bis, Bis A dan Bis B datang saling bebas mengikuti proses Poisson. Ada sebuah bis A datang setiap 12 menit dan sebuah bis B setiap 8 menit. Misalkan Yun untuk melakukan observasi terhadap bis-bis tersebut. Berapa peluang bahwa tepat 2 bis A akan datang pada 24 menit pertama dan tepat 3 bis B datang pada 36 menit pertama? Hitung mean waktu tunggu (expected waiting time) hingga sebuah bis datang. Berapa peluang bahwa diperlukan waktu setidaknya 20 menit untuk 2 bis B datang?
Jawab: NA adalah PP dengan λ= 1/12 NB adalah PP dengan λ= 1/8 P(NA(24) = 2, NB(36) = 3) = ( e−222/2! )( e−4.54.53/3! )
Diketahui: TA(1)∼exp(1/12), TB(1)∼exp(1/8). Jadi, T = min(TA(1), TB(1))∼exp(5/24)
E(T) = 24/5
P(TB(1) +TB(2) ≥20) = 3.5e−2.5
Catatan:
4.5
“Thinning” dari Proses Poisson
Diketahui suatu proses Poisson{Nt}dengan parameterλ. Misalkan setiap kali terdapat suatu kejadian, kejadian tersebut dapat diklasifikasi ke Tipe I dengan peluang patau Tipe II dengan peluang 1−p, yang saling bebas untuk seluruh kejadian.
Jika N1(t) danN2(t) berturut-turut adalah kejadian tipe I dan II pada selang
[0, t] maka
• {N1(t)} adalah proses Poisson dengan parameter λp
• {N2(t)} adalah proses Poisson dengan parameter λ(1−p)
• Kedua proses saling bebas Contoh-6:
1. Sebuah perusahaan asuransi memiliki dua jenis polis yaitu polis K dan M. Pengajuan klaim yang datang mengikuti proses Poisson dengan pa-rameter 9 (per hari). Pemilihan klaim secara acak menunjukkan bahwa peluang polis jenis K terpilih adalah 1/3. Hitung peluang bahwa klaim-klaim polis jenis K (atau M) yang diajukan pada suatu hari kurang dari 2. Berapa peluang bahwa total klaim yang diajukan pada suatu hari kurang dari 2?
2. Sejalan dengan soal sebelumnya, ternyata 2/3 klaim dari polis jenis K memiliki besar klaim lebih dari 10jt. Sementara itu, hanya 2/9 dari polis M. Tentukan nilai harapan banyaknya klaim yang bernilai lebih dari 10jt. Berapa peluang bahwa pada suatu hari klaim yang bernilai lebih dari 10jt kurang dari 2?
3. Ike datang ke halte bis transjakarta pukul 8.15 pagi. Informasi yang ada sbb:
- hingga pukul 9, bis akan datang mengikuti proses Poisson dengan pa-rameter 1 (per 30 menit)
- mulai pukul 9, bis akan datang mengikuti proses Poisson dengan pa-rameter 2 (per 30 menit)
Berapa waktu tunggu yang diharapkan (expected waiting time) Ike hingga sebuah bis datang?
4.6
Proses Poisson Tak Homogen
Proses menghitung{Nt}dikatakan proses Poisson tak homogen dengan fungsi intesitas λt jika
1. N0 = 0
2. memiliki independent increments
3. P ( Nt+h−Nt= 1 ) =λth+o(h) dan P ( Nt+h−Nt≥2 ) =o(h) Contoh-7:
1. Para pembeli datang ke toko Ilfimart mengikuti proses Poisson dengan parameter/laju yang naik secara linier dari 6/jam pada pukul 13 hingga 9/jam pada pukul 14. Tentukan peluang ada tepat 2 pembeli datang antara pukul 13 dan 14.
2. Perusahaan asuransi AAA mendapatkan kenyataan bahwa banyaknya kecelakaan meningkat pada tengah malam hingga siang hari (pukul 12) dan turun hingga tengah malam berikutnya. Misalkan banyaknya kece-lakaan dapat dimodelkan menurut proses Poisson tak homogen dengan intensitas
λt = 1/6−(12−t)2/1152,
dimana t jumlah jam setelah tengah malam. Hitung banyaknya kece-lakaan setiap hari yang diharapkan. Berapa peluang bahwa akan ada tepat 1 kecelakaan antara pukul 6 pagi dan 6 malam?
