Materi Kuliah Jurusan Teknik Elektro - FORUM STUDI ISLAM AL-BIRUNI

INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI

Bentuk integral yang dicakup disini adalah bentuk integral dari

∫

f x dx( ) dengan f(x) merupakan fungsi :

• sinmx cosnx

• tanmx secnx , cotmx cscnx

• tanmx cotnx

• sin (mx) cos (nx), sin (mx) sin(nx), cos (mx) cos (nx)

Integral bentuk

∫

cosnx dx &

∫

sinnx dx dengan n ∈∈ B+.

Misal n bilangan ganjil. Maka sinnx dan cosnx difaktorkan menjadi sin x sinn-1x dan cos x cosn-1x dengan (n-1) merupakan bilangan genap. Untuk mencari solusi digunakan identitas sin2x+cos2x=1 dan dengan substitusi integrasi.

Contoh

(

)

(

)

sin3 sin2 sin 1 cos2 cos cos 1cos3

3

x dx =

∫

x x dx = −

∫

− x d x = x− x+C

∫

Sedang untuk n bilangan genap , maka sinnx dan cosnx diuraikan sehingga menjadi jumlah suku-suku dalam cosinus, yaitu digunakan identitas

cos2x= 2 cos2x− = −1 1 2sin2x. Contoh.

(

)

cos2 1 cos sin

2 1 2

1 2

1

4 2

x dx=

∫

+ x dx = x+ x+C

∫

Bentuk integral sin

∫

nx dx dan

∫

cosnx dx dapat juga dihitung dengan rumus reduksi, yaitu integral di atas dinyatakan dalam suku-suku dari integral yang sejenis namun untuk pangkat yang lebih rendah. Disini akan diberikan rumus reduksi untuk

cosnx dx

∫

sebagai berikut :

Misal cosnx = cosn−1xcosx, u= cosn−1x & dv =cos x dx. Maka

(

)

du = − −n 1 cosn−2x sinx dx & v = sin x

Dengan mengunakan metode integral bagian didapatkan :

cosnx dx=

∫

cosn− x cosx dx=

∫

u dv= uv−

∫

v du

∫

1

(

)

=cosn−1xsinx+ −n 1

∫

sin2x cosn−2x dx

(

)

(

)

=cosn−1xsinx+ −n 1

∫

1−cos2x cosn−2x dx

(

)

(

)

Bila suku paling kanan dipindahkan ke ruas kiri maka didapatkan:

(

)

n

∫

cosnx dx =cosn−1x sinx+ −n 1

∫

cosn−2x dx atau

cosnx dx cosn sin cosn

n x x

n

n x dx

= − + −

∫

−

∫

1 1 1 2

Dengan cara serupa diperoleh rumus reduksi untuk sin

∫

nx dx, yaitu :

sinnx dx sinn cos sinn

n x x

n

n x dx

= − − + −

∫

−

∫

1 1 1 2

Contoh

cos3 1cos2 sin cos cos2 sin sin

3

2 3

1 3

2 3

x dx = x x+

∫

x dx= x x+ x+C

∫

Integral bentuk

∫

sinmxcosnx dx dengan m,n ∈∈ B+.

Bila m atau n merupakan bilangan ganjil maka untuk suku yang berpangkat ganjil difaktorkan dengan sin x atau cos x sebagai salah satu faktornya dan digunakan

identitas sin2x+cos2x =1. Namun bila m dan n keduanya merupakan bilangan genap ( m = n ) maka digunakan identitas sin 2x = 2 sin x cos x dan

cos2x= 2 cos2x− = −1 1 2sin2x. Sedang untuk m dan dan n bilangan genap tetapi m

≠ n dapat diselesaikan menngunakan metode yang kita bahas pada bagian selanjutnya dengan identitas dan cara yang digunakan tetap sama seperti bilamana m = n di atas.

Contoh.

a.

∫

sin3x cos2x dx =

∫

sin2xcos2x sinx dx = −

∫

(

1−cos2x

)

cos2x d

(

cosx

)

= 1 − +

5

1 3

5 3

cos x cos x C

b. sin2 cos2 1 cos2 cos

2

1 2

2

x x dx=

∫

− x + x dx

∫

(

)

(

)

= 1

∫

− =

∫

− = − +

4 1 2

1

8 1 4

1 8

4 32 2

cos x dx cos x dx x sin x C

Integral bentuk

∫

tanmx secnx dx &

∫

cotmxcscnx dx dengan n ∈∈ B+.

Untuk m = 1 dan n = 0 kita lakukan integrasi sebagai berikut :

(ii) cot cos

( )

sin ln sin

x dx x

x dx x C

=

∫

= +

∫

Sedang untuk m = 0 dan n = 1 kita lakukan manipulasi integrasi sebagai berikut:

(i) sec sec sec tan

sec tan

sec sec tan

sec tan

x dx x x x

x x dx

x x x

x x dx

=  +₊



 



 =

∫

+₊

∫

∫

2

(

) (

)

= +

+ = + +

∫

d sec_xx tan_xx x x C

sec tan ln sec tan

(ii)

∫

csc x dx = −ln csc

(

x+cot x

)

+C

Untuk atau n = 0 atau m = 0 dapat digunakan rumus reduksi, dengan

menggunakan identitas tan2x= sec2x−1 & cot2x= csc2x−1didapatkan:

(i)

∫

tanmx dx =

∫

tanm−2x tan2x dx =

∫

tanm−2x

(

sec2x−1

)

dx

( )

= − =

− −

−

∫

− −

∫

−

∫

tanm tan tanm tan tan

m

m

x d x x dx x

m x dx

2 2 1 2

1

(ii) cotm cot cot

m

m

x dx x

m x dx

= −

− −

∫

−₁1

∫

−2

(iii)

∫

secnx dx =

∫

secn−2 xsec2x dx =

∫

secn−2x d

(

tanx

)

=

− +

− −

−

−

∫

sec tan

sec

n

n

x x

n

n

n x dx

2

2 1

2 1

(iv) cscn csc cot csc

n

n

x dx x x

n

n

n x dx

= −

− +

− −

−

−

∫

∫

2 2

1

2 1

Untuk m ganjil, maka integral akan mudah diselesaikan bila digunakan bentuk d ( sec x ) = sec x tan x dx atau d ( csc x ) = - csc x cot x dx dan identitas:

tan2x =sec2x−1 & cot2 x= csc2 x−1. Sedang untuk m genap akan mudah diselesaikan bila kita reduksi ke dalam suku-suku dari sec x atau csc x.

Contoh.

a. tan

∫

3x sec3x dx

Misal u = sec x. Maka du = sec x tan x dx

tan3xsec3x dx=

∫

tan2x sec2x(tan sec )x x dx

∫

(

sec2x−1

)

sec2x

(

tan xsecx dx

)

=

∫

( )

u2−1u du2

∫

= 1 − + = − +

5 1 3

1 5

1 3

5 3 5 3

u u C sec x sec x C

Dengan rumus reduksi didapatkan: sec3 sec tan sec 2

1 2

x dx = x x+

∫

x dx

∫

Jadi : tan2 sec sec tan ln sec

(

tan

)

2

1 2

x x dx = x x− x+ x +C

∫

c. tan

∫

2x sec4x dx

Misal u = tan x . Maka du = sec2x dx

( )

tan2xsec4x dx =

∫

tan2xsec2x sec2x dx =

∫

u2 u2 +1 du

∫

= 1 + + = + +

5 1 3 1 5 1 3

5 3 5 3

u u C tan x tan x C

Integral bentuk :

∫

sin

( )

mx cos

( )

nx dx, sin

∫

( )

mx sin

( )

nx dx, cos

∫

( )

mx cos

( )

nx dx

Bentuk di atas diselesaikan dengan mengubah integran ke dalam bentuk penjumlahan atau pengurangan , sebagai berikut:

( ) ( )

[

(

)

(

)

]

sinmx cosnx = 1 sinm+n x+sinm−n x

2

( ) ( )

[

(

)

(

)

]

sinmx sinnx = −1 cosm+n x−cos m−n x

2

( ) ( )

[

(

)

(

)

]

cos mx cosnx = 1 cosm+n x+cos m−n x

2

Contoh.

a. sin

( )

2 cos

( )

3 1

[

sin

( )

sin

]

cos

( )

cos

2 5

1

10 5

1 2

x x dx x x dx x x C

∫

=

∫

− = − + +

b.

( )

sin 1 sin cos cos sin sin

2 2 1 2 5 2 3 2 1 5 5 2 1 3 3 2

x x dx x x x dx x x C

   = −   −         = − _ _{ +} _ _{ +}

∫

∫

c. cos

( )

4 cos

( )

2 1

[

cos

( )

cos

( )

]

sin

( )

sin

( )

2 6 2

1

12 6

1

4 2

x x dx = x + x dx= x + x +C

∫

∫

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

d x x dx x x dx

x x x dx x x x dx

x x x dx x x x x dx

x x x

. cos sin cos cos

cos cos cos cos cos cos

cos cos cos cos cos cos cos

sin sin

2 4 2

2 2 1 2 1 2 2 1

8 2 1 1 2 2 2

1

8 2 1 1 2 2

4 1

2 1

16 2 1 1 4 2 4

1

16 1 3 2 4 2 4

1 16 5 4 2 1 4 4 1

∫

∫

∫

∫

∫

∫

= _ + __ − _ = + − + = + _ − + − _ = + − + = − − − + = − − − +

12 sin6x C



Soal latihan

( Nomor 1 sd 20 ) Hitung integral berikut

1.

∫

sin4

( )

5x dx

2. sin /

5

0 2

t dt

π

∫

3. cos /

6

0 2

t dt

π

∫

4.

∫

sin7

( )

3x cos3

( )

3x dx

5.

∫

sin4

( )

2x cos4x dx

6.

∫

tan6

( )

2x dx

7.

∫

cot4

( )

2x dx

8.

∫

tan−3xsec2x dx

9.

∫

tan5x sec−3 2/ x dx

10. sec

∫

4x tanx dx

11. cot

∫

3x csc3x dx

12.

∫

cot2

( ) ( )

3x csc 3x dx

13.

∫

sin

( )

5x cos

( )

3x dx

14.

∫

sin

(

−3x

)

cosx dx

15.

∫

sin

( )

2x sin

( )

3x dx

16.

∫

sin

( ) ( )

6x sin5x dx

17.

∫

cos

( )

6x cos

( )

2x dx

18.

∫

cos

( )

8x cos

( )

2x dx

19. cos

∫

4xsin2x dx