SOAL INDUKSI MATEMATIKA
NAMA KELAS
AYU NOVITA ARUM SARI (19) XII MM 1
CATUR PAMUNGKAS (21) XII MM 1 DEA AMANDA AMELIA R. (24) XII MM 1
DEVI AYU NAWANG WULAN (27) XII MM 1 DWITHA FAJRI RAMADHANI (32) XII MM 1
1. 2 + 5 + 8 + …
+(
3
n
−1
)=
3
n
2+
n
2
untuk setiap bilangan asli n.P(n) = 2 + 5 + 8 + …
+(
3
n
−1
)=
3
n
2+
n
2
(Benar)P(1) = 2 + 5 + 8 + …
+
(
3(1)−1
)
=
3
(1)
2+1
2
3−1
=
3+
1
2
2=
4
2
2=2 (Benar)
P(k) = 2 + 5 + 8 + …
+(
3
k
−
1)=
3
k
2+
k
2
(Benar)P(k+1) = 2 + 5 + 8 + …
+
(3
k
−
1)+
(
3
(
k
+
1)−1
)
=
3
(
k
+1)
2+(
k
+
1)
2
=
3
k
2+
k
2
+
(
3(
k
+1)−1
)
k
3
(
¿¿
2+2
k
+1)+
k
+1
2
¿ ¿
=
3
k
2+
k
2
+
3
k
+3−1
¿
3
k
2+
6
k
+3+
k
+
1
2
=
3
k
2+
k
2
+
2
(3
k
+
2)
2
¿
3
k
2+7
k
+4
2
=
3
k
2+
k
+6
k
+
4
2
¿
3
k
2+7
k
+4
2
=
3
k
2+
7
k
+4
2
¿
3
k
2+7
k
+4
2
Jadi P(k+1) (Benar)
2. 3 + 7 + 19 + …
+
(
2 .3
(n−1)+1
)
=3
n+
n
−1
untuk setiap bilangan asli n. P(n) = 3 + 7 + 19 + …+
(
2 .3
(n−1)+1
)
=3
n+
n
−1
(Benar) P(1) = 3 + 7 + 19 + …+
(
2 .3
(1−1)+1
)
=3
1+
1−1
(
2 .3
0+1
)
=3+1−1
(
2
.
1+1)=
3+0
3=3 (Benar)
P(k) = 3 + 7 + 19 + …
+
(
2 .3
(k−1)+1
)
=3
k+
k
−1
(Benar) P(k+1) = 3 + 7 + 19 + …+
(
2 .3
(k−1)+1
)
+
(
2.3
((k+1)−1)+1
)
=3
(k+1)+(
k
+1
)−1
=3
k+
k
−1+
(
2 .3
k.
3
0+1
)
¿3k.31+k
=
3
k+
k
−1+2.3
k.
1+
1
¿
3
k.
3+
k
= 3k
+2 .3k+k−1+1 ¿3k.3+k
=
3 .3
k+
k
¿
3
.
3
k+
k
Jadi P(k+1) (Benar)
Kesimpulan P(n) (Benar)
3. 1 + 4 + 7 + 10 + …
+(3
n
−2
)=
n
(3
n
−1
)
2
P(n) = 1 + 4 + 7 + 10 + …
+
(3
n
−2
)=
n
(3
n
−1)
2
(Benar)P(1) = 1 + 4 + 7 + 10 + …
+
(
3
(
1)−2
)
=
1
(
3
(
1)−1
)
2
(
3−2
)=
1(
3−1
)
2
1=
2
2
1=1
(Benar)P(k) = 1 + 4 + 7 + 10 + …
+
(3
k
−
2)=
k
(3
k
−1)
2
(Benar)=
k
(3
k
−1)
2
+(3
k+3−2)
¿
k
+1(3
k
+3
−1)
2
=
3
k
2−
k
2
+
2(
3
k
+1)
2
¿
k
+1(3
k
+2
)
2
=
3
k
2−
k
+6
k
+
2
2
¿
3
k
2+
2
k
+
3
k
+2
2
=
3
k
2+5
k
+2
2
¿
3
k
2+
5
k
+
2
2
Jadi P(k+1) (Benar)
Kesimpulan P(n) (Benar)
4. 1.2 + 2.3 + 3.4 + …
+
n
(
n
+1)=
n
(
n
+
1)(
n
+
2)
3
untuk bilangan asli n.P(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + …
+
n
(
n
+
1)=
n
(
n
+1)(
n
+2)
3
(Benar)P(1) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + …
+1
(1+1
)=
1(1+1)(1+2)
3
1(2
)=
1(1+1)(1
+2)
3
2=
1(2)(3)
3
2=
6
3
2=2
(Benar)P(k) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + …
+
k
(
k
+
1)=
k
(
k
+1
)(
k
+2
)
3
(Benar)P(k+1) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + …
+
k
(
k
+
1)+(
k
+
1)
(
(
k
+1)+1
)
=
(
k
+
1)((
k
+
1)+1)((
k
+1)+2)
3
=
k
(
k
+1)(
k
+
2)
3
+(
k
+
1)
(
k
+
2)
¿
(
k
+
1)(
k
+2)(
k
+
3)
3
=
k
2+
k
(
k
+2)
3
+
3
(
k
2+3
k
+2
)
3
¿
k
2=
k
3+3
k
2+2
k
+3
k
2+9
k
+6
3
¿
k
3
+
2
k
2+
k
2+2
k
+3
k
2+
6
k
+3
k
+6
3
=
k
3+6
k
2+11
k
+6
3
¿
k
3+
6
k
2+11
k
+6
3
Jadi P(k+1) (Benar)