Metode Numerik untuk Penilaian Harga Opsi dengan
Model Volatilitas Stokastik
Andi Mariani – G551120181
I. Pendahuluan
Salah satu aplikasi matematika di bidang keuangan adalah pada masalah investasi. Meningkatnya dunia investasi ditunjukkan oleh banyaknya alternatif-alternatif produk investasi. Produk investasi yang akan dibahas adalah opsi. Opsi adalah suatu bentuk perjanjian berupa kontrak yang memberikan pemegang opsi suatu hak untuk membeli atau menjual aset tertentu dengan harga dan pada jangka waktu tertentu. Teori penentuan nilai opsi telah dikembangkan pada tahun 1973 oleh Fisher Black dan Myron Scholes yang berhasil merumuskan masalah penentuan nilai opsi ke dalam bentuk persamaan diferensial parsial (PDP) Black Scholes.
Dalam formula Black-Scholes ada beberapa asumsi yang digunakan, salah satunya adalah volatilitas (variansi harga) bersifat konstan (tetap) selama usia opsi.
Asumsi ini mendapatkan banyak bantahan karena tidak sesuai dengan apa yang terjadi pada pasar sebenarnya (pasar saham) dimana nilai volatilitas memiliki kecenderungan untuk turun dan pada suatu saat akan naik lagi, sehingga menyerupai bentuk smile dan disebut dengan volatility smile. Beberapa model yang diusulkan oleh beberapa peneliti untuk memodelkan perilaku volatilitas antara lain model volatilitas stokastik yang dikembangkan oleh Avellaneda, Levy, dan Paras (1995). Model volatilitas stokastik ini mengasumsikan bahwa proses volatilitas akan berfluktuasi dalam batasan volatilitas minimum dan volatilitas maksimum. Model ini memfokuskan pada penentuan harga ekstrim, atau pada batas atas dan bawah dari harga opsi, yang bersesuaian dengan skenario kasus terjelek untuk posisi penjual maupun posisi pembeli opsi. Model ini memiliki bentuk berupa persamaan differensial sehingga diperlukan suatu metode numerik untuk menentukan harga opsi.
Beberapa pendekatan secara numerik dapat dilakukan untuk menentukan harga opsi, antara lain pendekatan numerik dengan metode beda hingga (finite difference method), metode beda hingga upwind (upwind finite difference method), dan metode volume hingga (finite volume method). Metode beda hingga upwind (upwind finite difference method), dan metode volume hingga (finite volume method) terbukti konsisten, stabil dan monoton (Zhang dan Wang, 2009; Lesmana, 2013). Metode beda hingga (Finite Difference Method) dengan metode diskritisasi fully implisit monoton dan konvergen ke solusi viskositas, sedangkan Crank-Nicolson hanya monoton bersyarat (Pooley et al, 2001).
Berdasarkan uraian di atas, maka penelitian ini akan menentukan nilai harga opsi dengan menggunakan ketiga metode numerik di atas, dan membandingkan orde kekonvergenan dari tiap-tiap metode tersebut. .
Model Black-Scholes Tak-linear
Dari model Black-Scholes standar yang berbentuk:
dS(t)=μS(t)dt+σS(t)dW(t) (1)
Untuk menghilangkan proses Wiener dipilih sebuah portofolio yang
diinvestasikan pada saham dan derivatif. Strategi yang dipilih adalah membeli satu
opsi dan menjual ∂V
∂ S saham. Misalkan π nilai portfolio yang dimaksud,
maka:
π=V−∂ V
∂ S S (3)
Perubahan portfolio pada selang waktu dt didefinisikan sebagai: dπ=dV−∂ V
∂ S dS (4)
Dengan menyubsitusikan (1) dan (2) ke dalam (5), maka diperoleh:
dπ=
(
∂ VReturn dari investasi sebesar π pada saham tak beresiko akan memiliki pertumbuhan sebesar rπdt dalam selang waktu dt , dengan r adalah suku bunga bebas resiko. Agar tidak terdapat peluang arbitrase, nilai pertumbuhan ini harus sama dengan ruas kanan dari (5), yaitu:
rπdt=
(
∂VSubtitusi (3) ke dalam (6), menghasilkan:
(
r V−∂ VPersamaan (7) ini dikenal sebagai persamaan Black-Scholes.
Model Black-Scholes Dimodifikasi
Pooley, Forsyth, dan Vetzal 2001, merumuskan persamaan differensial parsial untuk harga opsi dengan volatilitas stokastik berbentuk:
terhadap S, σ(Γ) adalah votalitas sebagai fungsi dari Γ , dan r adalah
suku bunga bebas resiko. Ketika syarat batas untuk persamaan differensial di atas adalah:
Uτ=−rU , (2)
Sedangkan pada saat S⟶∞ , syarat dirichletnya adalah:
U≃A(τ)S+B(τ) , (3)
dimana A dan B dapat dihitung dengan penalaran keuangan. Dalam prakteknya, kita menggunakan domain komputasi yang terbatas sehingga syarat (3) diterapkan pada nilai yang terbatas Smax .
Votalitas diasumsikan berada di antara selang berikut: σmin≤σ(Γ)≤ σmax
Dengan rentang nilai volatilitas yang demikian, persamaan (1) adalah taklinear dan tidak memiliki solusi yang unik. Namun, nilai kasus terbaik maupun kasus terburuk diharapkan unik. Nilai-nilai tersebut diperoleh dengan memaksimalkan atau meminimalkan persamaan difusi dengan memilih σ
berdasarkan nilai dari Γ=∂ 2
U
∂ S2 . Dengan demikian, dapat dituliskan σ(Γ) di persamaan (1) menunjukkan ketergantungan eksplisit volatilitas pada nilai gamma. Secara khusus, jika kita mempertimbangkan kasus terburuk untuk investor dengan posisi sebagai pembeli opsi, maka
Γ
¿ ¿
σ¿
(4)
Di sisi lain, kasus terbaik untuk investor dengan posisi sebagai pembeli opsi, adalah:
Γ
¿ ¿
σ¿
(5)
Sedangkan untuk investor dengan posisi sebagai punjual opsi kasus terbaik dan kasus terburuknya adalah solusi negatif dari persamaan (4) dan (5).
III. Metode Penelitian
Adapun langkah-langkah yang akan dilakukan dalam penelitian ini adalah: 1. Menentukan nilai opsi dengan model volatilitas stokastik yang berupa
persamaan taklinear Hamilton-Jacobi-Bellman dengan menggunakan Metode Beda Hingga (Finite Difference Method), Metode Beda Hingga Upwind (Upwind Finite Difference Method), dan Metode Volume Hingga (Finite Volume Method).
2. Membandingkan orde kekonvergenan dari Metode Beda Hingga (Finite Difference Method), Metode Beda Hingga Upwind (Upwind Finite Difference), dan Metode Volume Hingga (Finite Volume Method).
V. Referensi Utama
Hull J, White A,. 1987. The pricing of Option on Asset with Stochastic Volatilities. The Journal of Finance Vol XIII No 2.
Lesmana DC,. 2013. Numerical Method for Non-Linear Partial Differential Equations and Inequalities Arising From Option Valuation Under Transaction Cost. [Thesis]; The University of Western Australia.
Pooley DM, Forsyth PA, Vetzal KR,. 2001. Numerical Convergence Properties of Option Pricing PDEs with Uncertain Volatility. IMA Journal of Numerical Analysis Volume 23 issue 2 pp 241-267.
Ross SM, 1996. Sthochastic Process. New York : John wiley & Son Inc.
