Learning Assistance Program for Islamic Schools' : ' Pendidikan Guru Madrasah Ibtidaiyah., : : 2008

,

tu

Tim Penulis

:

A.

Saepul Hamdani

-

IAIN Sunan Ampel Surabaya

Kusaeri

-

IAIN

Sunan AmDel Surabava

Irzani

-

IAIN

lvlataram

Mulin Nu'man

-

UNISIVIA Malang

:

_{.: .}

'':

Learning Assistance Program

for

Islamic

Schools'

:

'

Pendidikan

Guru Madrasah

Ibtidaiyah

.,

:

|

:

Pernyataan

Berkuantor

dan

Penalaran

Nlalenralaka 1

e-E

/.?

Lembar Keqiaton

6.1.A

DISKUSI

BERPASANGAN:

PERNYATAAN

BERKUANTOR

Petunjuk

'I

.

_{Bacalah uraian materi 6 tentang pernyataan berkuantor dan penalaran matematika.}

2.

Cari pasangan untuk saling mengajukan pertanyaan

3.

Laporkan pada

dosen

pertanyaan yang belum terjawab untuk didiskusikan

4.

Presentasikan jawaban yang sudah dibuat

Pertonyaon

Diskusi

Bacalah uraian

maieridan

diskusikan pertanyaan berikut

1.

Tentukan nilai kebenaran dan negasi pernyataan berkuantor

berjkutjika

semesta pembicaraannya X

=

11,2,3,4,51

a.

Vx(4+x<10)

b.

lx(4+x=7)

c.

Vx(4+x

7)

d. lx(4+x>8)

2.

Tentukan nilai kebenaran dan negasi dari setiap pernyataan berlkut ini dengan semesta pembicaraan _{himpunan A = {1, 2, 3}}

a)

Vx

:y

(x'<

y + 1)

b)

:x

Vy (x' +

y'

< 13)

c)

:x

ly

(x'+

y'<

13)

d)

vx

vy (x'+

y'<

20)

e)

nx

=y

=z(*+y'<z')

3.

Pada setiap nomor berikut ini terdapat dua premis. Tentukan _{0ika ada) konklusi valid}

yang dapat ditarik dari premis-premis tersebut dan bagaimana menyusun argumen sampai pada konklusi tersebut

a)

Jika saya

tinggaldi

sini, saya berada dalam bahaya. Tetapi saya ingin

tinggaldi

stnl

b)

Jika saya menjadi raja, saya sangat berkuasa. Tetapi saya bukan seorang raja

c)

Saya akan tinggal di apanemen hanya jika saya seorang milyuner. Sekarang saya o)

e)

tinggal

diapartemen

Ketika berlari, saya cepat letih jika tidak berlari pelan-pelan. Saya tidak letih. Jika ada tugas rumah

daridosen,

mahasiswa dan mahasiswi merasa senang; dan

jika _harus mengikuti perkuliahan mahasiswa dan mahasiswi merasa mengantuK.

Mahasiswa dan mahasiswi merasa tidak senang atau tidak

mengantuk

f

-I

1

----l

0-l

Lembor

Keoiofon

6.1.B

TUGAS

INDIVIDU:

PENALARAN

MATEMATIKA

Pertonyaon

Kerjakan semua soal di bawah ini dengan waktu 20 menit

'I

.

_{Misalkan p(x) menyatakan kalimat terbuka}

"l

_{s x". Apakah p(x) merupakan fungsi}

pernyataan pada setiap himpunan berikut ini.

a)

A = {bilangan asli}

b)

B = {-1, -2, -3, ...}

2.

Tentukan nilai kebenaran

darisetiap

pernyataan berikut ini dalam semesta

pembicaraan himpunan bilangan real

a)

lx(x'-2x+1=0)

b)

vx(x'+2x+

l>0)

3.

Tentuka4 negasi pernyataan-pernyataan pada soal nomor 2l

4.

Diketahui pernyataan, "Ada segitiga sama

kakiyang

bukan segitiga sama sisi."

Tulislah pernyataan tersebut dalam bentuk simbolikl Kemudian, tentukan negaslnya!

5.

Tentukan contoh lawan (counter example) dari setiap pernyataan berikut ini dalam himpunan B = {4, 5, 6,..., 10}l

a)

Vx

(x

bilangan prima)

b)

Vx

(x+4<13)

6.

Tentukan nilai kebena.an dan negasidari pernyataan

fx

vy

:z

(x'

+

y'

< 23) dengan

. semesta pembicaraan himpunan A = {1, 2, 3}

7.

Manakah di antara argumen-argumen berikut ini yang merupakan argumen valid?

Tentukan juga tipe argumen yang dipakai!

a.

Jika udara dingin, saya akan tinggal di rumafl Jika udara dingin. saya akan minum kopi panas

Konklusi: Jika saya tinggal di rumah, saya akan minum kopi panas

b.

Saya

makanjika

saya lapar Saya makan

Konklusi: Saya lapar

c.

Jika saya sedih, saya akan berdoa; dan jika saya berbahagia, saya akan mengoDrot

Saya tidak berdoa, tetapi saya tidak berbahagia

illalemarika 1

Lembor

Uroion Moteri 6.2

PERNYATAAN

BERKUANTOR DAN

PENALARAN

_MATEMATIKA

Pada handout ini, materiyang akan diuraikan adalah:

'

Negasi Pernyataan Majemuk

'

Konvers, Invers, dan Kontraposis;

.

Tautologi, Kontradiksi, dan ekivalen

Kalimat matematika seringkali menggunakan kata yang menggambarkan kuantitas dari semesta pembicaraan. Untuk menggambarkan keseluruhan, sering digunakan kata "setiap", "semua", dan "untuk setiap". Untuk menggambarkan bagian atau kesatuan, sering digunakan kata "ada", "beberapa", dan "untuk suatu". Dalam logika matematika

penggunaan kata-kata tersebut harus rnengikuti aturan-aturan tertentu. Begitu juga dalam

menentukan nilai kebenaran dan ingkarannya.

Manusia diciptakan dalam keadaan yang sangal sempurna, karena dilengkapi dengan akal dan nafsu. Dengan akal, manusia diwajibkan untuk berpikir dan bernalar untuk

mengambil hikmah dari suatu peristiwa yang ada. Dalam Al-Qur'an surat Yusuf 11 1, Allah

berfirman yang artinya:

"Sesungguhnya

pada

kisah-kisah mereka itu terdapat pengaiaran bagi orang-orang

yang

mempunyai akal.

Al

Quran itu bukanlah cerita yang dibuat-buat, akan tetapi

membenarkan (kitab-kitab) yang sebelumnya dan menjelaskan segala sesuatu, dan sebagai petunjuk dan rahmat bagi kaum yang

beiman.

Dalam logika rnatematika, penarikan kesimpulan (bernalar)juga mempunyai

aturan-aturan tenentu agar kesimpulan yang didapat benar-benar kesimpulan yang valid dan dapat dipertanggungjawabkan secara ilmiah. Suatu argumen dikatakan sah (valid)

jika

dapat dibuktikan bahwa argumen tersebut merupakan tautologi untuk semua nilai

kebenaran premis-premisnya. Metode yang sederhana untuk membuktikan suatu argumen valid adalah dengan bantuan tabel kebenaran.

A.

Pernyctoon Berkuontor

Sebelum kita bahas pernyataan berkuantor, terlebih dahulu kita bahas tungsi pernyaiaan.

Definisi

6.1:

Suatu

fungsi

pernyataan adalah

suaiu

kalimat terbuka dalam

semesta pembicaraannya (semesta pembicaraannya diberikan

ScLald cKslJllslt uar I llllprlSll)

Pernyataan dalam matematika sering dinyatakan sebagaifungsi pernyataan. Fungsi pernyataan ditulis sebagai p(x) yang bersifat bahwa p(a) bernilal benar atau salah (tidak keduanya) untuk setiap a (a adalah anggota dari semesta pembicara).

Jadip(a)

Suatu fungsi pernyataan akan menjadi suatu pernyataan jika _{variabel yang ada diganti} dengan kata "ada", atau "semua" dari semesta yang ada. Jika semesta tidak disebutkan

secara eksplisit, semesta pembicaraan dari fungsi pernyataan adalah bilangan real (R). Contoh 6.1

p(x):

_1+x>5

p(x) akan merupakaan fungsi _{pernyataan pada A = himpunan bilangan asli.}

Tetapip(x)

bukan merupakan fungsi _{pernyataan pada K = himpunan bilangan kompleks.}

Dari contoh di atas terlihat bahwa fungsi pernyataan p(x) yang didefinisikan pada

himpunan tertentu akan bernilai

benarjika

variabelnya diawali dengan kata "untuk semua" anggota semesta pembicaraan, "beberapa" anggota semesta pembicaraan, atau "tidak

ada" anggota semesta pembicaraan yang memenuhi.

Definisi 6.2:

Kuantor adalah suatu lambang yang menunjukkan generalisasi suatu

kalimat terbuka.

Ada dua macam kuantor. vaitu kuantor ekslstensial dan kuantor universal.

Kuontor

Eksistensiol

(Khusus)

Simboll

dibaca "ada" atau "untuk beberapa" atau "untuk paling sedikit satu" disebut

kuantor eksistensial. Jjka p(x) adalah fungsi pernyataan pada himpunan tertentu di B (himpunan semesta) maka

(:r€B)p

(x) _atau

_lr,p

(r) adalah suatu pernyatan yang dibaca "ada x elemen B sedemikian hingga p(x) merupakan penyataan

benai'.

Contoh

6.2

Benar atau salahkah pernyataan berkuantor

(lreR)

(2x-1>5)? (R ₌ Bjlangan Real)

JAWAO

(lr€R)

(2x-l>5)

mempunyai arti, "Ada suatu x sehingga berlaku 2x + 1 > 5." Jelas ini merupakan pernyataan yang benar, karena kita dapat menemukan x yang memenuhi pertidaksamaan 2x

+

1 > 5, misalnya x = 3.

Kuontor

Universol

(Umum)

Simbol

dibaca "untuk semua" atau "untuk setiap" disebut kuantor universal. Jika p(x)

adalah fungsi pernyataan pada himpunan tertentu di B

(himpunan semesta) maka (VxeB)

p(x)

atau

Vr

pfr,

adalah suatu pernyatan yang dibaca "untuk setiap x elemen B sedemikian hingga p(x) merupakan penyataan benad'.

Contoh

6.3 :

Benar atau salahkah pemyataan berkuantor (VrceR) (2r +

I

> 5) ?

Jawab

(VreR)

(1I + 1 > 5) mempunyai arti"untuk semua x berlaku 2x + 1 > 5". Jelas ini merupakan pernyataan yang salah, karena kita dapat menemukan

xyang

tidak

B.

Negosi

Pernyotoon

Berkuontor

Negosi Kuontor Universol

lvlisalkan ada pernyataan:p: Semua bilangan prima adalah ganjil

Jika dapat menemukan paling sedikit 1 bilangan prima yang tidak ganjil, maka pernyataan p di atas salah.

Dengan demikian, negasi dari semua x bersifat A, adalah "ada (paling sedikit satu) x tidak

bersifat A". Jadi, negasi kuantor universal adalah kuantor eksistensial. Secara simbolik

dapat ditulis:

:

_[

(vx),

p(x)]=(:r)[

:p(x)]

Negosi Kuantor Eksistensial

Karena negasi kuantor universal adalah kuantor eksistensial, maka negasi kuantor eksistensial adalah kuantor universal. Sebagai contoh, pernyataan "ada r€-R sedemikian

hingga

x'<

0" dapat dinegasikan dengan pernyataan "semua

r€R

memenuhi x2? 0". Secara simbolik:

:

_{[ (]x),}

p(:r)l=(v-t)[ :p(x)]

Negosi Pernyotoon dengon

Voriobel Lebih

dori

Sotu

Secara simbolik

:

_[

(:xvy, p(ay)]=V:r

:

_{[Vy,p(4y)]=Vx=y,: p(x,y)}

:

_[

(Vry,

p(x,y)]=lx

_{: [V.r,p(r,y)]=1xY y,:}

p(x,y)

Contoh

6.4 :

Tentukan nilai kebenaran dan negasi dari pernyataan berikut dengan semesta bilangan real

'

vr'rl(j!j

=r)

JAWAO:

a)

Pernyatan tersebut bernilai benar karena setiap diberikan suatu bilangan real x, maka bisa ditentukan satu bilangan real y (bilangan x sendiri) sehingga x ₌ y.

Neg a si dari V:r17 (:r:

-

l)

ad a la h

lj.Vl,

(j' + _{t )}

Pe.nyataan tersebut bernilaisalah _{karena ada x =} 0 _{dan ada y = 2,}

sehingga

x+y.

Negasi

dari

:rvy

(jr _{=1,) ada,ah}

V:'1,

(r+l)

C.

Penoloran /lAotemotiko (Penorikon

Kesimpulon)

Logika berkenaan dengan penalaran yang dinyaiakan dengan pernyataan variabel. Suatu pembuktian yang bersifat matematik atau tidak, terdiri atas pernyataan-pernyataan yang saling berelasi. Biasanya kita memulai dengan pernyataan-pernyaiaan tertentu yang

diterima kebenarannya dan kemudian berargumentasi untuk sampai pada konklusi

(kesimpulan) yang ingin dibuktikan.

Pernyataan-pernyataan yang digunakan untuk menarik suatu kesimpulan disebut premis. Suatu premis dapat berupa aksioma, hipotesa, definisi, atau pernyataan yang sudah dibuktikan sebelumnya. Argumen adalah kumpulan kalimat yang terdiri atas satu atau lebih premis yang mengandung bukti-bukti dan suatu konklusi (kesimpulan).

Konklusi diturunkan dari premis-premis. Dalam argumen yang valid, konklusi akan bernilai

benarjika setiap premis yang digunakan dalam

argumenjuga

be.nilai benar.

Bentuk kebenaran yang digeluti matematikawan adalah kebenaran relatif. Eenar atau salahnya suatu konklusi hanya dalam hubungan dengan sistem aksiomatik tertentu. Konklusi itu

benarjika

mengikuti hukum-hukum logika yang valid dari aksioma-aksioma sistem itu, dan negasinya adalah salah.

Untuk menentukan validitas suatu argumen digunakan beberapa cara antara lain sebagai

berikut:

Modus

Ponens

Bentuk argumen Modus Ponens adalah

Premisl

:pJq

Premis

2

:p

Konklusi

:q

Contoh

6.5 i

Premis

I

: Jika segitiga ABC samasisi, maka segitiga ABC samakaki

Premis

2

: Segitiga ABC samasisi

Konklusi

: Segit'ga ABC samakaki

lvlodus

Tolens

Bentuk argumen l\,4odus Tolens adalah

Premis

l

:p+q

Premis

2

:

-q

Konklusi

:

-p

Conloh

6.6 :

Premis

1

:Jika

segitiga ABC samasisi, maka segitiga ABC samakaki

Premis

2

; Segitiga ABC bukan samakaki

Konhlusi

: Segitiga ABC bukan samasisi

Silogismd

Bentuk argumen silogisma adalah

Premis

l

:p+q

Premis

2

:q

)r

Konklusi

:

Contoh

6.7 :

Premis

1

:Jika

segitiga ABC samasisi, maka segitiga ABC samakaki

Premis

2

:Jika

segitiga ABC samakaki, maka dua sudutnya sama besar

Malelralika 1

Silogismo

Disjungtif

Bentuk argumen silogisma disjungtif adalah Premis

1

:pvg

Premis

2

:'q

Konklusi

: p

Jika ada kemungkinan bahwa kedua pernyataan p dan g dapat sekaligus bernilai benar, maka argumen di bawah ini tidak valid.

Premis

1

:pvq

Premis

2

: g

Konklusi

:

-p

Tetapijika

kedua kemungkinan kedua pernyataan p dan q tidak sekaligus bernilai benar

(disjungsi eksklusi0,maka silogisma disjungsi diatas adalah valid.

Contoh

6-8 :

Premis

1

:2

bilangan ganjil atau bilangan prima (B) Premis

2

:2

bukan bilangan ganjil (B)

Konklusi

:2

bilangan prima (B)

Konjungsi

Bentuk argumen konjungsi adalah Premis

1

: p

Premis

2

:g

Konklusi

:p^q

Adinya: p benar, q benar. l\,4aka p

^

q benar

Contoh

6,9 :

Premis

l

:6

bilangan genap Premis

2

:6

bilangan kelipatan 3

Konklusi

:6

bilangan genap dan keiipatan 3

Penanbohon

Bentuk argumen penambahan adalah

Premis

I

:

p

Konklusi

:pvg

Artinya: p benar. Maka p

v

q benar (tidak peduli q benar atau salah)

Conloh

6.10:

Premis

l

:6

bilangan genap

Konklusi

:6

bilangan genap atau kelipatan 4

Dilemo

Konstruktif

Bentuk argumen dilema konstruktif adalah Premis

1

:(p+q)^(r)s)

Premis

2

:pv

r

Konklusi

:qv

s

Contoh

6.11 :

satu sudut segitiga ABC adalah 900 maka segitiga ABC siku-siku Premjs

2

: Segitiga ABC samasisi atau besar salah satu sudutnya 900

Konklusi

: Segitiga ABC samakaki atau segitiga ABC siku-siku

Dilemo

Destruktif

Bentuk argumen dilema destruklif adalah

Premis

1 :(p)q)^(r

)s)

Premis2

:-qv's

Konklusi

:-pv-r

Contoh

6.'12 :

Premis

1

: Jika segitiga ABC samasisi, maka segitiga ABC samakaki;jika besar semua sudut segitiga ABC <900, _{maka segitiga ABC Iancip}

Premis

2

: Segitiga ABC tidak samakaki atau tidak lancip.

Konkiusi

: Segitiga ABC tidak samasisi atau besar sudut segitjga ABC

ada

yang tidak

Lembor

Peniloian

6.4

Jenis

Peniloion

Penilaian pada pertemuan ini yaitu tes tertulis uraian.

fnstrunen

Peniloion

Tes Tulis

Kerjakan semua soal latihan

1.

Buatlah 1 contoh pernyataan matematika (torema atau definisi) yang memuat kuantor eksistensial dan 1 contoh pernyataan matematika (torema atau

definisi)yang

memuat kuantor universal.

2.

Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan berikut ini dalam semesta pembicaraan himpunan bilangan real

a.

lr(-rz-2r+6=0)

b.

vY(a

2Y-1

n)

3.

Tentukan negasi dari pernyataan berikut:

/-

_{_)}

u.(o,X'.r.€R-0)

, liek

\J

)

'

,'-o')

b. {

lr..t

_xjr-t

./(.r ll 't-!,

_/

4.

Diketahuipernyataan:

a)

Setiap bilangan kuadrat lebih besar atau sama dengan nol

b)

Jurnlah kuadrat setiap bilangan real lebih kecil atau sama dengan kuadratjumlah setiap bilangan real.

Tulislah pernyataan tersebut dalam bentuk simbolikl Kemudian tentukan negasinya!

5.

Manakah di antara argumen-argumen berikul inj yang meripakan argumen valid?

Tentukan juga tipe argumen yang dipakai!

a)

Jika kamu banyak membaca buku, kamu akan tahu banyak hal Kamu tidak tahu banyak hal

Konklusi: Kamu tidak banyak membaca buku

b)

Perut saya

sakiljika

makan rujak pedas dan tidak dapat tidur nyenyak sehabis

nonton film horor

Perut saya tidak sakit dan dapat tidur nyenyak

Konklusi: Saya tidak makan rujak pedas dan tidak menonton film horor

6.

Pada setiap nomor berikut ini terdapat dua premis. Tentukan (iika ada) konklusi valid yang dapat ditarik dari premis-premis tersebut dan bagaimana menyusun argumen sampai pada konklusi tersebut

a)

Saya orang yang bijaksana atau bodoh. Tetapi saya pasti bukan orang bodoh

b)

Jika tidak belajar maka mahasiswa akan bodoh; dan jika iidak suka ke

perpustakaan mahasiswa akan kurang pengetahuan. Mahasiswa tidak bodoh atau tidak kurang pengalaman.

DAFTAR

rusTAKA

6.5

Hudoyo, H, & Sutawidjqa, A,.1997. Matematka. Jakarta: Dirjen Dikti Rachmat, S. 2004. Pengantar Logika Matematika. Jakafta: Informatika

Rosen, KH. 2003. Discrete Mathematics and lts Application. McGraw-Hill Higher

Education

Seputro, TMHT. 1992. Pengantar Dasar Matematika: Loqika dan

Teo

Himpunan.

Jakarta: Erlangga

Soekadijo, RG. 2001. Logika Dasar: Tradisional, Simbolik, dan Induktif. Jakarta.

Gramedia Pustaka Utama