Penaksiran parameter model ARIMA dengan menggunakan Algoritma Genetika

(1)

Penaksiran parameter model ARIMA

dengan menggunakan

Algoritma Genetika

Wiwin yuliani

1306 100 070

Dosen Pembimbing I



Dr. Irhamah, S.Si,M.Si

Dosen Pembimbing II

(2)

Pendahuluan

Manfaat

Permasalahan

Tujuan

Latar belakang

(3)

Tinjauan pustaka

ARIMA Box-Jenkins

(4)

Metodologi penelitian

Sumber data

Metode analisis data

(5)

Hasil analisis

Analisis dan pembahasan

(6)

Latar belakang

Time series ARIMA Penaksiran_parameter Algoritma_Genetika

Penelitian terdahulu

Ong, Huang, dan Tzeng (2005)

Rohman (2009) Qohar (2007

)

Algoritma Genetika dapat

mengatasi kelemahan

metode penaksiran

perameter lain dalam

mencari solusi yang global

(7)

Permasalahan

Bagaimana hasil penaksiran parameter dengan

Conditional Least Square?

Bagaimana hasil penaksiran parameter dengan mengunakan Algoritma Genetika?

Bagaimana perbandingkan hasil penaksiran parameter kedua metode ?

(8)

Tujuan

Mendapatkan penaksir parameter dengan

Conditional Least Square.

Mendapatkan penaksir parameter dengan menggunakan Algoritma Genetika.

Mengetahui perbandingan hasil panaksiran parameter kedua metode.

(9)

Manfaat

Dapat menerapkan dan mengembangkan

metode

Algoritma

Genetika

untuk

mendapatkan taksiran parameter model

ARIMA.

(10)

Batasan masalah

Data dua mingguan dari permintaan Arc Tube

daya listrik rendah yang pernah dipakai pada Rohman (2009).

Dalam iterasi Algoritma Genetika, fungsi

fitness hanya dihitung berdasarkan nilai SSE saja.

Program Algoritma Genetika dapat digunakan untuk model ARIMA(p,d,q) orde satu saja

(11)

Tinjauan pustaka

Konsep Dasar Time Series

Time series adalah suatu pengamatan yang disusun secara berurutan dalam waktu (Box, Jenkins, dan Reinsel, 1994). Time series dapat dianggap sebagai realisasi dari proses stokastik. proses stokastik adalah suatu kelompok data berdasarkan waktu yang tersusun oleh variabel random dimana ω adalah ruang sampel dan t

adalah indeks waktu. Fungsi distribusi dari variabel random adalah sebagai berikut.

Kestasioneran Data

Data time series dikatakan stasioner pada mean apabila data tersebut tidak ada perubahan mean dari waktu ke waktu dan data time series dikatakan stasioner pada varians apabila data tersebut tidak ada perubahan varians yang jelas dari waktu ke waktu (Makridakis dkk,1999).

Apabila terjadi ketidakstasioneran pada varians maka dilakukan transformasi pada data.

Apabila terjadi ketidakstasioneran pada mean maka dilakukan proses differencing

(pembedaan) pada data.

n 1 n 2 1 t t 1 t n t t ,z ,...,z p ω:z ω,t z ,...,z ω,t z z F

(12)

Tinjauan pustaka

Fungsi Autokorelasi (ACF)

Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF)

Dan

j=1,2,...,k

n 1 t 2 t k n 1 t k t t k t t k t t k k k ) Z (Z ) Z )(Z Z (Z ) var(Z ) var(Z ) Z , cov(Z r 0 ˆ ˆ ˆ k 1 j j kj k 1 j j 1 k kj 1 k 1 1,k k ρ 1 ρ ρ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ j 1 k k, 1 k 1, k kj j 1, k ˆ ˆ ˆ ˆ

(13)

Tinjauan pustaka

Model-Model Time Series Stasioner

1. Model Autoregressive atau AR(p)

Bentuk umum

2. Model Moving Average atau MA(q)

Bentuk umum

3. Model Autoregressive Moving Average atau ARMA(p,q)

Bentuk umum 4. Model ARIMA (p,d,q) Bentuk umum t p t p t t t Z Z Z a Z ₁ ₁ ₂ ₂ . q t q t t t t a a a a Z ₁ ₁ ₂ ₂  q t q t t p t p t t Z Z a a a Z ₁ ₁  ₁ ₁  t q 0 t d p B 1 B Z θ B a

(14)

Tinjauan pustaka

Identifikasi Model ARIMA

Model ACF PACF

AR(p) turun cepat secara eksponensial /

sinusoidal terputus setelah lag p

MA(q) terputus setelah lag q turun cepat secara eksponensial / sinusoidal

AR(p) atau MA(q) terputus setelah lag q terputus setelah lag p

(15)

Tinjauan pustaka

Estimasi Parameter Model ARIMA

1. Metode

Moment

Menurut Wei (1990), metode momen adalah salah satu

metode estimasi yang paling mudah, tetapi juga yang paling

tidak efisien, untuk mendapatkan taksiran parameter pada

model ARIMA. Dimisalkan model AR(

p

) dengan

Bentuk umum dari model AR (

p

) adalah

Dan mendapatkan penaksir

moment

dengan

t p t p 2 t 2 1 t 1 t Z Z Z a Z   ..  p p a ˆ0 1 ˆ1 ˆ1 ˆ2 ˆ2 ... ˆ ˆ 2 2 a t t Z Z

(16)

Tinjauan pustaka

2. Metode

Least Square

/

Conditional Least Square

Dimisalkan model ARMA(

p

,

q

) dengan

Bentuk umum dari model ARMA (

p

,

q

) adalah

estimasi

Conditional Least Square

dengan

zinit, ainit

merupakan nilai inisialisasi awal dan

db

=

n

-(

p

+

q

-1).

merupakan suatu fungsi nonlinear dengan parameter yang

tidak diketahui sehingga diperlukan suatu iterasi nonlinear untuk

mendapatkan parameternya

t t Z Z q t q 2 t 2 1 t 1 t p t p 2 t 2 1 t 1 t Z Z Z a θ a θ a θ a Z   ..  .. ) , , , , , ( ) , , ( ~ ~ ~ ~ ~ 1 2 ~ ~ Z init a init Z a S n t t db S a ( , , ) / ˆ 2 ) , , ( ~ ~ S

(17)

3. Metode

Maximum Likelihood

Menurut Cryer dan Chan (2008) untuk dapat menerapkan teknik

estimasi

maximum likelihood

(kemungkinan maksimum), harus dibuat

asumsi tentang bentuk fungsi probabilitas dari data yang teramati.

Fungsi kepadatan probabilitas suatu error adalah

taksiran

maximum likelihood

untuk

adalah

t a 2 2 2 / 1 2 2 2 exp ) 2 ( ) | ( a t a a t a a f 2 ˆ_a n S a ˆ , ˆ ˆ2

Tinjauan pustaka

(18)

Algoritma genetika

Sejak Algortima Genetika pertama kali dirintis oleh John

Holland dari Universitas Michigan pada tahun 1960-an,

Algortima Genetika telah diaplikasikan secara luas pada

berbagai bidang. Algortima Genetika banyak digunakan

untuk memecahkan masalah optimasi, walaupun pada

kenyataannya juga memiliki kemampuan yang baik untuk

masalah-masalah selain optimasi.

(19)

Pengkodean kromosom

Pengkodean kromosom adalah suatu teknik untuk

menyatakan populasi awal sebagai kandidat solusi suatu

masalah ke dalam suatu kromosom.

(20)

Fungsi Fitness

Fitness individu dalam algoritma genetika adalah nilai

fungsi objektif untuk fenotipe. Untuk menghitung

fitness, kromosom harus terlebih dahulu

(21)

Seleksi

Roulette Wheel

Untuk menentukan probabilitas seleksi atau probabilitas

kelangsungan hidup pada setiap kromosom proporsional

dengan nilai

fitness

nya

(22)

Crossover

Beroperasi pada dua kromosom pada suatu waktu dan

membentuk

oﬀspring

dengan mengkombinasikan dua

bentuk kromosom.

(23)

Mutasi

(24)

Elitism

Untuk menjaga agar individu bernilai

ﬁtness tertinggi

tersebut tidak hilang selama evolusi, maka perlu dibuat

satu atau beberapa kopinya.

(25)

Metodologi penelitian

• data simulasi dan data dua mingguan dari permintaan Arc Tube daya listrik rendah yang pernah digunakan oleh Rohman (2009)

(26)

Metodologi penelitian

• Menaksir parameter dengan metode Conditional Least square

• Menaksir parameter dengan metode Algoritma Genetika

METODE

ANALYSIS

(27)

Letak penelitian

Identifikasi model ARIMA nonmusiman

Penaksiran parameter model ARIMA Identifikasi model ARIMA musiman Pemodelan ARIMA Box-Jenkins dengan Algoritma Genetika Identifikasi model ARIMA campuran Correlogram Correlogram Algoritma Genetika Algoritma Genetika Correlogram Algoritma Genetika Algoritma Genetika Conditional Least Square

(28)

Diagram alur penelitian

Mengidentifikasi model ARIMA

Menaksir parameter dengan metode Conditional Least Square dan Algoritma Genetika

Membandingkan hasil dari kedua metode Mulai

Data

Parameter terbaik dengan kriteria minimun SSE

(29)

Diagram alur Algoritma Genetika

Mulai

Seleksi dengan Roulette Wheel Crossover dengan one-point

Mutasi

ya

tidak Set Input : Npop, Pc, Pm

Inisialisasi Populasi Generasi = 0

Evaluasi kromosom berdasarkan fitness

SSE konvergen?

Solusi optimal

Seleksi individu baru dan Elitism

Generasi = generasi + 1 Decoding dari bilangan biner menjadi

(30)

Analisis dan Pembahasan

140 126 112 98 84 70 56 42 28 14 1 200000 150000 100000 50000 0 Inde x d a ta

Time S e r ie s P lot of data

140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 1 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 La g A u to c o rr e la ti o n

Autocor r e lation F unction for data

(w ith 5% significa nce lim its for the autocorrela tions)

Gambar 1 Plot time series data permintaan

Arc Tube daya listrik rendah Gambar 2 Plot ACF data data permintaan Arc _{Tube daya listrik rendah}

(31)

Analisis dan Pembahasan

Gambar 3 Box-Cox plot data permintaan Arc

Tube daya listrik rendah Gambar 4 Plot time series data yang sudah_stasioner

5 4 3 2 1 0 -1 -2 160000 140000 120000 100000 80000 60000 40000 20000 La mbda S tD e v Lo w er C L U p p er C L Lim it E stimate 0.80 Lo w er C L 0.57 U p p er C L 1.06 Ro u n d ed V alu e 1.00 (u sin g 95.0% c o n fid en c e) Lamb d a

Box-C ox P lot of data

140 126 112 98 84 70 56 42 28 14 1 100000 50000 0 -50000 -100000 -150000 Inde x d if f

(32)

Analisis dan Pembahasan

Gambar 5 Plot ACF data yang sudah stasioner

Gambar 6 Plot PACF data yang sudah stasioner 35 30 25 20 15 10 5 1 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 La g A u to c o rr e la ti o n

Autocor r e lation F unction for diff

(w ith 5% significa nce lim its for the autocorrela tions)

35 30 25 20 15 10 5 1 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 La g P a rt ia l A u to c o rr e la ti o n

P ar tial Autocor r e lation F unction for diff

(w ith 5% significance lim its for the partial autocorre lations)

dugaan model sementara adalah ARIMA (1,1,0), ARIMA (0,1,1), ARIMA (1,1,1), ARIMA (2,1,0), ARIMA (0,1,2) dan ARIMA (2,1,2).

(33)

Analisis dan Pembahasan

Lags MA 0 MA 1 MA 2 MA 3 MA 4 MA 5 AR 0 21.17851 20.92304 20.92788 20.93609 20.95433 20.95797 AR 1 20.84401 20.86949 20.8739 20.90799 20.94256 20.97193 AR 2 20.87204 20.90327 20.90879 20.94225 20.97707 21.0019 AR 3 20.87518 20.90972 20.94258 20.97724 21.00704 21.03705 AR 4 20.90894 20.94382 20.96678 21.00049 21.03532 21.05248 AR 5 20.94095 20.97366 20.99648 21.02786 21.05646 21.082

Berdasarkan Tabel diatas diperoleh nilai BIC terkecil pada BIC(1,0)

sehingga dugaan model sementara yang terbaik berdasarkan MINIC

adalah ARIMA(1,1,0). Model ARIMA(1,1,0) juga merupakan salah satu

dugaan model sementara hasil identifikasi dengan

Correlogram

(34)

Analisis dan Pembahasan

3. Simulasi model AR(1), MA(1), ARMA(1,1)

sampel parameter simulasi rata rata sampel parameter simulasi rata rata

fitarima.m minitab fitarima.m minitab

100 AR(1) 0.8 0.7715 0.7895 200 ARMA (1,1) MSE 1 1.0966 1.0699 phi 0.7 0.6832 0.7254 100 MA(1) 0.6 0.5927 0.5728 theta 0.4 0.3741 0.4101 MSE 1 1.0673 1.0745 MSE 1 1.0301 1.0456 100 ARMA (1,1) 400 AR(1) 0.8 0.8058 0.8082 phi 0.7 0.7362 0.7941 MSE 1 1.0235 1.0244 theta 0.4 0.4136 0.4746 400 MA(1) 0.6 0.5929 0.5901 MSE 1 0.9021 0.9192 MSE 1 1.0387 1.0406 200 AR(1) 0.8 0.7657 0.784 400 ARMA (1,1) MSE 1 0.9182 0.9292 phi 0.7 0.689 0.7087 200 MA(1) 0.6 0.5948 0.5954 theta 0.4 0.3861 0.4043

(35)

Analisis dan Pembahasan

4. Penaksiran Parameter model ARIMA dengan

Conditional Least Square

Dari Tabel diatas dapat dilihat bahwa nilai parameter AR(1) sebesar -0.5505, nilai MSE sebesar 1156000000 dan nilai SSE sebesar 161840000000

Model Parameter Koefisien MSE SSE

ARIMA

(36)

Analisis dan Pembahasan

4.1 Pengujian Signifikansi Parameter

H₀ : = 0 (parameter model tidak signifikan) H₁ : ≠ 0 (parameter model signifikan)

t_0.005;141= 2,576

model parameter koefisien SE koefisien t-hitung

ARIMA

(1,1,0) AR 1 -0.5505 0.084517529 -6.513441712

Dari Tabel diatas dapat dikatakan bahwa taksiran parameter signifikan karena nilai

(37)

Analisis dan Pembahasan

4.2 Pengujian Asumsi Residual

H₀ : Residual white noise

H₁: Residual tidak white noise

Tolak H₀jika nilai p-value < α

Tabel diatas menunjukkan bahwa model white-noise

karena nilai p_value > α dengan α sebesar 1%.

model Ljung - Box keterangan

ARIMA (1,1,0) lag 12 24 36 48 λ2 _{90.353 139.713 159.426} _166.055 white-noise DF 11 23 35 47 P_Value 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

(38)

Analisis dan Pembahasan

H₀ : Residual berdistribusi Normal

H₁ : Residual berdistribusi tidak Normal

Dari gambar diatas menunjukkan bahwa plot residual

100000 50000 0 -50000 -100000 99.9 99 95 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 0.1 C14 P e rc e n t M ean -87.00 S tD ev 33999 N 141 K S 0.073 P -Valu e 0.063

P r obability P lot of r e s idual

(39)

Analisis dan Pembahasan

Model ARIMA(1,1,0) menjadi model terbaik untuk data permintaan Arc Tube daya listrik rendah. Modelnya adalah sebagai berikut

Model tersebut menjelaskan bahwa permintaan Arc Tube daya listrik rendah untuk daya listrik ke-t dipengaruhi oleh permintaan Arc Tube pada waktu t-1 dikurangi 0.5505 kali permintaan Arc Tube pada waktu t-1 ditambah kesalahan pada saat ke-t.

t 1 -t t t z - z a z ₁ 0.5505 t 1 -t t z a B)z -(1 ₁

(40)

Analisis dan Pembahasan

5. Algoritma Genetika

5.1 Simulasi model AR(1), MA(1), ARMA(1,1) untuk Algoritma Genetika

sampel parameter simulasi rata-rata sampel parameter simulasi rata-rata Algoritma

Genetika Algoritma Genetika 100 AR(1) 0.8 0.8168 200 ARMA (1,1) MSE 1 1.119952 phi 0.7 0.717752 100 MA(1) 0.6 0.6311 theta 0.4 0.396 MSE 1 1.072292 MSE 1 1.083684 100 ARMA (1,1) 400 AR(1) 0.8 0.8168 phi 0.7 0.7549 MSE 1 1.02749 theta 0.4 0.4455 400 MA(1) 0.6 0.6188 MSE 1 0.923886 MSE 1 1.04455 200 AR(1) 0.8 0.8291 400 ARMA (1,1) MSE 1 0.941478 phi 0.7 0.717752

(41)

Analisis dan Pembahasan

Kromosom jenis 1>>bilangan biner

kromosom jenis 2>>bilangan real

Contohnya : model ARMA(2,1) direpresentasikan dengan (1 1 0 0 1 0 1 1 0 0) (0 1 0 0 1) atau

5.2 kromosom

1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1

sebagai kromosom jenis satu, kemudian dikonversikan

kedalam bilangan real sehingga kromosom berubah menjadi

0.5569 -0.2475 -0.4331

(42)

Analisis dan Pembahasan

Dari Tabel dapat dilihat bahwa nilai MSE, SSE dan parameter untuk semua jumlah kromosom mempunyai nilai yang sama. Nilai MSE tersebut merupakan nilai MSE terbaik dengan nilai sebesar 1156000000, nilai SSE sebesar 161840000000 serta nilai parameter sebesar

5.3 penaksiran parameter model ARIMA dengan Algoritma Genetika

kromosom generasi MSE db SSE parameter 10 4 1156000000 140 161840000000 phi -0.55688

20 4 1156000000 140 161840000000 phi -0.55688

40 4 1156000000 140 161840000000 phi -0.55688

(43)

Analisis dan Pembahasan

5.3.1 Pengujian Signifikansi Parameter

H₀ : = 0 (parameter model tidak signifikan) H₁ : ≠ 0 (parameter model signifikan)

t_0.005;141= 2,576

Dari Tabel diatas dapat dikatakan bahwa taksiran parameter signifikan karena nilai

|t-hitung| > t_0.005;141

model parameter koefisien SE koefisien t-hitung keterangan

ARIMA

(44)

Analisis dan Pembahasan

5.3.2 Pengujian Asumsi Residual

H₀ : Residual white noise

H₁: Residual tidak white noise

Tolak H₀jika nilai p-value < α

Tabel diatas menunjukkan bahwa model white-noise

model Ljung - Box keterangan

ARIMA (1,1,0) lag 12 24 36 48 λ2 _{90.8313 139.563 159.152} _166.253 _white-noise DF 11 23 35 47 P_Value 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

(45)

Analisis dan Pembahasan

H₀ : Residual berdistribusi Normal

H₁ : Residual berdistribusi tidak Normal

Dari gambar diatas menunjukkan bahwa plot residual mendekati garis lurus dengan p_value > α dengan α sebesar 1% yaitu sebesar 0.048 sehingga residual berdistribusi tidak normal.

100000 50000 0 -50000 -100000 99.9 99 95 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 0.1 C12 P e rc e n t M ean -87.99 S tD ev 34000 N 141 K S 0.076 P -Valu e 0.048

P r obability P lot of r e s idual

(46)

Analisis dan Pembahasan

Model ARIMA(1,1,0) menjadi model terbaik untuk data permintaan Arc Tube daya listrik rendah. Modelnya adalah sebagai berikut

Model tersebut menjelaskan bahwa permintaan Arc Tube daya listrik rendah untuk daya listrik ke-t dipengaruhi oleh permintaan Arc Tube pada waktu t-1 dikurangi 0.55688 kali permintaan Arc Tube pada waktu t-1 ditambah kesalahan pada saat ke-t.

t 1 -t t z a B)z -(1 ₁ t 1 -t t t z - z a z ₁ 0.55688

(47)

Kesimpulan dan Saran

1. Hasil penaksiran parameter model ARIMA dengan mengunakan Conditional Least Square adalah :

Model tersebut menjelaskan bahwa permintaan Arc Tube daya listrik rendah untuk daya listrik ke-t dipengaruhi oleh permintaan Arc Tube pada waktu t-1 dikurangi 0.5505 kali permintaan Arc Tube pada waktu t-1 ditambah kesalahan pada saat ke-t. Dengan MSE sebesar 1156000000 dan SSE sebesar 161840000000.

2. Hasil penaksiran parameter model ARIMA dengan mengunakan Algoritma Genetika adalah :

Model tersebut menjelaskan bahwa permintaan Arc Tube daya listrik rendah untuk daya listrik ke-t dipengaruhi oleh permintaan Arc Tube pada waktu t-1 dikurangi 0.55688 kali permintaan Arc Tube pada waktu t-1 ditambah kesalahan pada saat ke-t. Dengan MSE sebesar 1156000000 dan SSE sebesar 161840000000.

3. Dari hasil kedua metode penaksiran parameter model ARIMA tersebut dihasilkan nilai MSE dan SSE yang besarnya sama

kesimpulan

t 1 -t t t z - z a z ₁ 0.5505 t 1 -t t t z - z a z ₁ 0.55688

(48)

Kesimpulan dan Saran

1. Pada penelitian ini penaksiran parameter model ARIMA

dengan Algoritma Genetika hanya berdasarkan kriteria SSE saja. Untuk selanjutnya diharapkan bisa dikembangkan

berdasarkan kriteria signifikansi parameter, dan asumsi white noise dan asumsi distribusi Normal.

2. Pada penelitian ini hanya digunakan data ARIMA non

musiman. Untuk selanjutnya diharapkan bisa dikembangkan untuk model ARIMA yang musiman.

(49)

Daftar pustaka

Box, G.E.P., dan Jenkins, G.M., 1976. Time Series Analysis Forecasting and Control, edisi revisi. California : Holden-Day

Box, G.E.P., Jenkins, G.M., dan Reissel, G.C., 1994. Time Series Analysis Forecasting and Control, edisi ketiga. Englewood Cliffs : Prentice Hall.

Budiman, A., 2003. Optimisasi Daya Reaktif Menggunakan Algoritma Genetik Pseudo-Paralel. Jurnal teknik elektro dan komputer emitor Vol. 3, No. 1, Maret 2003

Ciptayani, P. I., Mahmudy, W. F., dan Widodo, A. W., 2009. Menerapkan Algoritma Genetika untuk kompresi citra fraktal.

Cryer, J.D., dan Chan, K.S, 2008. Time Series Analysis With Applications in R.edisi kedua. New York : Springer.

Fariza, A., 2003. Hybrid Algoritma Genetika Simulated Annealing untuk Peramalan Data time Series. Tugas akhir yang dipublikasikan.

Gen, M., dan Cheng, R., 2000. Genetic Algorithms and Engineering Optimization.

Canada : John Wiley & Son Inc.

Makridakis, S., Wheelwright, S.C., dan McGee, V.E., 1999. Jilid 1 Edisi Kedua, Terjemahan Ir. Hari Suminto. Metode dan Aplikasi Peramalan. Jakarta : Bina Rupa Aksara.

(50)

Daftar pustaka

Michalewicz, Z., 1996. Genetic Algorithms + Data Structures = Evolution Programs. Verlag, Heidelberg : Springer.

Mitchell, M., 1999. An Introduction to Genetic Algorithms. London : Cambridge.

Ong, C.S., Huang, J.J., dan Tzeng G.H., 2005. Model identification of ARIMA family using genetic algorithms. Journal Applied Mathematics and Computation, 164, 885-912

Rohman, M.N., 2009. Identifikasi Model Arima Box-Jenkins Mengunakan Algoritma Genetika. Tugas Akhir S1 Statistika ITS Surabaya (tidak dipublikasikan). Sanjoyo. 2006. Aplikasi Algoritma Genetika.

Sivanandam, S.N.,dan Deepa, S.N., 2008. Introduction to Genetic Algorithms. Berlin Heidelberg New York : Springer.

Suyanto. 2005. Algoritma Ganetika dalam MATLAB. Yogyakarta : ANDI offset. Wei, W.W.S., 1990. Time Series Univariate and Multivariate Methods. Canada:

Addison Wesley Publishing Company, Inc.

Yaffee, M., dan McGee, M., 1999. Introduction to Time Series Analysis and

(51)