ESTIMASI MAKSIMUM LIKELIHOOD PADA MODEL ARIMA SKRIPSI IRMA WAHNI SINAGA

(1)

ESTIMASI MAKSIMUM LIKELIHOOD PADA MODEL ARIMA

SKRIPSI

IRMA WAHNI SINAGA 080823040

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2011

(2)

ESTIMASI MAKSIMUM LIKELIHOOD PADA MODEL ARIMA

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

IRMA WAHNI SINAGA 080823040

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2011

(3)

PERSETUJUAN

Judul : ESTIMASI MAKSIMUM LIKELIHOOD PADA

MODEL ARIMA

Kategori : SKRIPSI

Nama : IRMA WAHNI SINAGA

Nomor Induk Mahasiswa : 080823040

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA Diluluskan di Medan, 05 Januari 2011 Komisi Pembimbing : Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs. H. Haluddin Panjaitan Drs. Pangeran Sianipar, MS NIP 19460309 197902 1 001 NIP 19470208 197403 1 001

Diketahui/Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU

Prof. Dr. Tulus, M.Si

(4)

PERNYATAAN

ESTIMASI MAKSIMUM LIKELIHOOD PADA MODEL ARIMA

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, 05 Januari 2011

IRMA WAHNI SINAGA 080823040

(5)

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Bapa yang di Surga, Allah yang begitu baik yang memberikan pertolongan sehingga penulis dapat menyelesaikan Skripsi ini,

Ucapan terima kasih saya sampaikan kepada Drs. Pangeran Sianipar, MS dan Drs. H. Haluddin Panjaitan selaku pembimbing pada penyelesaian skripsi ini yang telah memberikan panduan dan penuh kepercayaan kepada saya untuk menyempurnakan kajian ini. Ucapan terima kasih juga ditujukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen Prof. Dr. Tulus, M.Si. dan Drs. Henri rani Sitepu, M.Si., Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, semua dosen pada Departemen Matematika FMIPA USU, pegawai di FMIPA USU, dan rekan-rekan kuliah.Terima kasih juga penulis ucapkan kepada seluruh keluarga, terkhusus ‘my Lovely Family’ Bapa B. Sinaga, Mama S. Saragih, Kel. Kakakku Ramen Wirawati, Adik-adikku May Friska Sol Marito, Selfi, Hartono yang telah mendukung penulis di dalam doa, memberikan bantuan dan dorongan yang saya perlukan, teman-teman sepelayanan di KMKS, Saudara PA-ku ‘Grace’ (b’Harles, B’David, B’ Sandro, K’Lina, Ucia, Sabeth), Adik-adik PA-ku ‘MDP-Geboren’ (Lungguk, Dages, Eva) ‘Ekk. Marvelous’ (K’Epa, Dosma, Hansen, Rico), Abang dan Adikku (B’Fe n Vincent) dan Saudaraku di ‘ALC’ (Tuti, Sondang, Pesta, Pratiwina, Novalina, Jelita, Romasta, Selfi, Ani, Wina, Wita, Peni, Tina, Ririz, Tata, Uly, Sabeth, Elisabeth, Maria, Dina) yang selalu setia memberikan dukungan n semangat.

Akhir kata, semoga Skripsi ini berguna bagi semua pihak yang membutuhkan.

(6)

ABSTRAK

Runtun waktu adalah himpunan observasi berurutan dalam waktu (atau dalam satuan yang lain). Runtun waktu dibedakan menjadi 2 yaitu runtun waktu stasioner dan runtun waktu nonstasioner. Runtun waktu nonstasioner yang telah distasionerkan dengan metode pembeda (diferensi) disebut proses ARIMA. Salah satu model ARIMA adalah ARIMA (1, 1, 0). Langkah selanjutnya setelah ditentukan model adalah mengestimasikan parameternya.

Berdasarkan uraian diatas permasalahan yang akan dibahas adalah bagaimana bentuk fungsi Likelihood ARIMA (1, 1, 0) dan menentukan estimator parameter-parameter yang ada pada model ARIMA (1, 1, 0). Tujuannya adalah mempelajari cara mengkontruksi fungsi Likelihood model ARIMA (1, 1, 0) Box – Jenkins, selanjutnya menentukan estimator parameter-parameter yang ada pada model tersebut dengan metode estimasi maksimum Likelihood (EML). Sedangkan manfaatnya adalah menambah pengetahuan tentang estimasi maksimum Likelihood pada model ARIMA(1, 1, 0).

Penerapan estimasi maksimum Likelihood dilakukan dengan cara meminimumkan fungsi jumlah kuadrat S(Φ) dari log fungsi Likelihood model ARIMA (1, 1, 0) Box – Jenkins. Menentukan estimator untuk parameter dengan estimasi maksimum Likelihood (EML) menjumpai kesulitan karena bentuk 𝑀_𝑗 =

𝜕�1₂𝑙𝑛�𝑀_𝑗(1)��

𝜕𝜙𝑗 adalah fungsi dari 𝜙 yang cukup rumit. Untuk mengatasi kesulitan ini di

(7)

ESTIMASI MAKSIMUM LIKELIHOOD PADA MODEL ARIMA

ABSTRACT

Time series is the set of sequential observations in time (or in another unit). Time series is divided into two stationary time series and economic time series nonstasioner. Nonstasioner time series that has been distasionerkan with distinctive method

(diferensi) is called ARIMA process. One of the ARIMA model is ARIMA (1, 1, 0). The next step after the specified model is estimating the parameters.

Based on the description above issues to be discussed is how to form

Likelihood function ARIMA (1, 1, 0) and determine the parameters estimator on the model ARIMA (1, 1, 0). The goal is to learn how to construct Likelihood function ARIMA model (1, 1, 0) Box - Jenkins, then determine the parameters estimator on the model by Maximum Likelihood estimation method (EML). While the benefits are increasing knowledge about the maximum Likelihood estimation of ARIMA models (1, 1, 0).

Application of Maximum Likelihood estimation was done by minimizing the sum of squares function S (Φ) of the log Likelihood function ARIMA model (1, 1, 0) Box - Jenkins. Define the estimator for the parameters with estimated maximum Likelihood (EML), encounter difficulties due to the shape 𝑀_𝑗 =𝜕�

1

2𝑙𝑛�𝑀𝑗(1)�� 𝜕𝜙𝑗 is a

function of φ is quite complicated. To overcome this difficulty in using the least square estimation method.

(8)

DAFTAR ISI Halaman Persetujuan ... ii Pernyataan ... iii Penghargaan ... iv Abstrak ... v Abstract ... vi

Daftar Isi ... vii

Arti lambang dan singkatan ... x

Bab 1 Pendahuluan... 1

1.1 Latar Belakang Masalah ... 1

1.1.1 Perumusan Masalah... 3

1.1.2 Tujuan Penelitian ... 4

1.1.3 Kontribusi Penelitian ... 4

1.1.4 Metode Penelitian... 4

Bab 2 Landasan Teori ... 5

2.1 Konsep Dasar Analisis Runrun Waktu ... 5

2.1.1 Stasioner dan Takstasioner ... 6

2.1.2 Fungsi Autokovariansi ... 7

2.1.3 Autokorelasi... 8

2.1.4 Autokorelasi Parsial ... 9

2.1.5 Metode Box-Jenkins ... 10

2.2 Model Runtun Waktu ... 12

2.2.1 Model Runtun Waktu Stasioner ... 13

2.2.1.1 Proses-proses Autoregresif 2.2.1.1.1 Proses autoregresif Orde 1 [AR(1)] ... 13

2.2.1.1.2 Proses Autoregresif Orde 2 [AR(2)] ... 13

2.2.1.1.3 Proses Autoregresif Orde p [AR(p)] ... 14

2.2.1.2 Autokorelasi Proses-proses Autoregresif ... 14

2.2.1.2.1 Autokorelasi Proses-proses AR(1) ... 14

2.2.1.2.2 Autokorelasi Proses AR(2) ... 15

2.2.1.2.3 Autokorelasi Prosses AR(p)... 17

2.2.1.3 Autokorelasi Parsial Proses Autoregresif ... 18

2.2.1.4 Proses Moving Average q [MA(q)] ... 19

(9)

Marginal dan Distribusi Bersyarat ... 24

2.4.2 Fungsi Likelihood dan Estimasi Maksimum Likelihood... 24

Bab 3 Pembahasan ... 28

3.1 Inferensi Proses Autoreagresif Klasik Box-Jenkins... 28

3.1.1 Menentukan selisih (diffrensi) pertama runtun waktu... 28

3.1.1.1 Fungsi Likelihood ARIMA (1, 1, 0) atau ARI(1,1) ... 32

3.1.2 Estimasi Maksimum Likelihood pada Model ARIMA (1,1,0) ... 33

Bab 4 Kesimpulan dan saran... 37

(10)

ARTI LAMBANG DAN SINGKATAN

AR (p) : Autoregresif orde p MA (q) : Moving Average orde q

ARMA (p, q) : Campuran antara AR (p) dan MA (q)

ARIMA (p, d, q) : Autoregresif Integreted Moving Average process, yaitu model runtun waktu stasioner (p, d, q) setelah dilakukan differensi. 𝑍𝑡 : Runtun waktu stasioner

𝑎𝑡 : Unsur galat yang menyebar normal dan independen

𝑊𝑡 = 𝑍𝑡− 𝑍𝑡−1 : Runtun waktu stasioner setelah dilakukan differensi

E (𝑍_𝑡) = 𝜇_𝑧 : Nilai tengah dari runtun 𝑍_𝑡 Cov (𝑍_𝑡, 𝑍_𝑡−𝑘) : Kovariansi 𝑍_𝑡 dan 𝑍_𝑡−𝑘 𝜎𝑧2 = V (𝑍𝑡) : Variansi dari runtun 𝑍𝑡

𝛾𝑘, (k = 0, 1, 2, …) : Fungsi autokovariansi

𝜌𝑘 : autokorelasi dari runtun 𝑍𝑡 pada lag k

𝜌�𝑘= 𝑟𝑘 : estimasi fungsi autokorelasi

𝛾�𝑘 = 𝐶𝑘 : estimasi fungsi autokovariansi

𝑊 : Barisan atau vektor yang stasioner dan merupakan selisih observasi

P (𝑍_𝑡) : Suatu realisasi dari suatu variabel random 𝑍_𝑡 yang mempunyai distribusi dan fungsi densitas probabilitas (fdp) tertentu

Ф𝑘𝑘, (k = 1, 2, …) : Fungsi autokorelasi parsial (fakp)

B𝑍_𝑡 = 𝑍_𝑡−1 : Operator backshift (B) ∇𝑍𝑡 = 𝑍𝑡− 𝑍𝑡−1 : Operator diffrensi

𝛹 (B) : Operator Linier yang mentransformasikan 𝑎𝑡 ke 𝑍𝑡