BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

(1)

TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini disampaikan beberapa pengertian dasar yang diperlukan pada bab selanjutnya. Selain definisi, diberikan pula lemma dan teorema dengan atau tanpa bukti. Untuk beberapa teorema yang tidak disertai bukti dapat dilihat pada referensi terkait. Beberapa contoh diberikan untuk memperjelas pengertian atau teorema. Uraian tentang pengertian dasar ini disajikan secara ringkas sesuai dengan tujuan dari penulisan.

2.1. Ruang Barisan

Definisi 2.1.1. Barisan bilangan real adalah suatu fungsi bernilai real yang didefinisikan pada himpunan N = {0, 1, 2, · · · }. Dengan kata lain, barisan bilangan real adalah fungsi x : N → R dengan aturan k 7→ x(k) = xk untuk

setiap k ∈ N.

Barisan bilangan real ditulis dengan notasi x = (xk). Karena tulisan

ini membahas tentang barisan bilangan real, maka untuk selanjutnya barisan bilangan real disebut barisan saja.

Contoh 2.1.2.

(i) Barisan x = (xk) dengan xk= (−1)kadalah barisan 1, −1, · · · , (−1)k, · · · .

(ii) Barisan e = (ek) dengan ek = 1 untuk setiap k ∈ N disebut barisan

konstan dengan konstanta 1. (iii) Barisan e[n] =

e[n]_k

dengan e[n]_k = 1 untuk k = n, dan e[n]_k = 0 untuk k 6= n.

Definisi 2.1.3. Barisan x = (xk) dikatakan konvergen ke suatu bilangan real

a, jika untuk setiap > 0 terdapat K() ∈ N, sehingga untuk setiap k ≥ K() berlaku |xk− a| < .

Dalam hal ini ditulis limk→∞xk = a atau xk → a untuk k → ∞, dan a

(2)

Selanjutnya, apabila diberikan barisan (xk) dengan xk → a dan xk → b

untuk k → ∞, maka untuk setiap bilangan > 0 terdapat bilangan K0, K1 ∈ N

sehingga untuk setiap k ≥ K0 berlaku |xk− a| < dan untuk setiap k ≥ K1

berlaku |xk−b| < . Jika diambil K = sup{K0, K1}, maka untuk setiap k ≥ K

diperoleh |a − b| < . Karena berlaku untuk setiap > 0, maka |a − b| = 0 atau a = b.

Pernyataan tersebut di atas dapat dinyatakan ke dalam pernyataan dasar berikut.

Lemma 2.1.4. Limit dari suatu barisan bernilai tunggal.

Definisi 2.1.5. Barisan x = (xk) dikatakan terbatas jika terdapat bilangan

real M > 0 sehingga |xk| ≤ M untuk setiap k ∈ N.

Lemma 2.1.6. Setiap barisan konvergen bersifat terbatas.

Contoh 2.1.7. Barisan pada contoh 2.1.2 (i) merupakan barisan terbatas tetapi tidak konvergen.

Barisan x = (xk) dengan x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ · · · atau xk ≤ xk+1 untuk

setiap k ∈ N disebut barisan naik dan ditulis dengan notasi xk ↑. Sebaliknya,

jika x0 ≥ x1 ≥ x2 ≥ · · · atau xk ≥ xk+1 untuk setiap k ∈ N, maka barisan

x = (xk) disebut barisan turun dan ditulis dengan notasi xk ↓. Adapun

apa-bila xk < xk+1 untuk setiap k ∈ N, maka barisan x = (xk) disebut barisan

naik kuat, dan apabila xk > xk+1 untuk setiap k ∈ N, maka barisan x = (xk)

disebut barisan turun kuat

Definisi 2.1.8. Barisan x = (xk) dikatakan monoton jika (xk) merupakan

barisan naik atau barisan turun.

Definisi 2.1.9. Diberikan barisan x = (xk) dan dibentuk sk = sup{xj : j ≥ k}

untuk setiap k ∈ N. Limit superior dari barisan x = (xk) didefinisikan sebagai

lim sup

k→∞

xk = lim

k→∞sk = limk→∞sup{xj : j ≥ k}.

Dalam hal ini, apabila y = lim sup_k→∞xk, berarti untuk sebarang bilangan

> 0 terdapat k0 ∈ N, sehingga untuk setiap k ≥ k0 berlaku xk < y + .

(3)

Limit inferior dari barisan x = (xk) didefinisikan sebagai

lim inf

k→∞ xk = limk→∞tk = limk→∞inf{xj : j ≥ k}.

Dalam hal ini, apabila z = lim infk→∞xk, berarti untuk sebarang bilangan

> 0 terdapat k0 ∈ N, sehingga untuk setiap k ≥ k0 berlaku z − < xk.

Definisi 2.1.10. Barisan x = (xk) disebut barisan Cauchy jika untuk

se-tiap > 0 terdapat H() ∈ N sehingga untuk sese-tiap m ≥ n ≥ H() berlaku |xm− xn| < .

Cukup mudah diperlihatkan bahwa setiap barisan konvergen merupakan barisan Cauchy.

Teorema 2.1.11. Barisan x = (xk) di sistem bilangan real, konvergen jika

dan hanya jika (xk) merupakan barisan Cauchy.

Contoh 2.1.12.

(i) Barisan _k+11 merupakan barisan Cauchy.

(ii) Barisan (1 + (−1)k) bukan merupakan barisan Cauchy.

Koleksi semua barisan dinotasikan dengan ω, yaitu

ω =

x = (xk) : xk ∈ R, ∀ k ∈ N

.

Operasi penjumlahan dan perkalian skalar untuk setiap x = (xk), y = (yk) ∈ ω

dan α ∈ R didefinisikan dengan aturan

x + y = (xk) + (yk) = (xk+ yk), dan

αx = α(xk) = (αxk)

untuk setiap k ∈ N. Dalam hal ini, ω merupakan ruang linier (Maddox, 1970).

Definisi 2.1.13. Sebarang ruang linier bagian X ⊂ ω disebut ruang barisan.

(4)

(i) Koleksi dari semua barisan terbatas yang ditulis dengan notasi `∞; yaitu `∞= x = (xk) ∈ ω : sup k∈N |xk| < ∞ .

Dalam hal ini, `∞ disebut ruang barisan terbatas.

(ii) Koleksi dari semua barisan konvergen yang ditulis dengan notasi c; yaitu

c =

x = (xk) ∈ ω : (∃ a ∈ R) xk → a, k → ∞

.

Dalam hal ini, c disebut ruang barisan konvergen.

(iii) Koleksi dari semua barisan konvergen ke nol yang ditulis dengan notasi c0; yaitu c0 = x = (xk) ∈ ω : xk → 0, k → ∞ . Dalam hal ini, c0 disebut ruang barisan konvergen ke nol.

(iv) Koleksi dari semua barisan berhingga ditulis dengan notasi Φ; yaitu

Φ =

xN = (x0, x1, x2, · · · , xN, 0, 0, · · · ) : N ∈ N

.

Dalam hal ini, Φ disebut ruang barisan berhingga.

2.2. Ruang Banach

Definisi 2.2.1. Diberikan ruang linier X. Fungsi k · k : X → R disebut norma apabila untuk setiap x, y ∈ X dan α ∈ R, memenuhi sifat-sifat :

(N1) kxk ≥ 0, kxk = 0 jika dan hanya jika x = 0, (N2) kαxk = |α|kxk, dan

(N3) kx + yk ≤ kxk + kyk.

Ruang linier X yang dilengkapi dengan norma k · k disebut ruang bernorma dan ditulis dengan notasi (X, k · k) atau X saja.

Contoh 2.2.2.

(i) Rn _{merupakan ruang bernorma terhadap norma k · k}

p untuk 1 ≤ p ≤ ∞,

(5)

(a) Jika p = ∞, didefinisikan kxk∞ = sup k∈N |xk|, dan (b) Jika 1 ≤ p < ∞, didefinisikan kxkp = n X k=1 |xk|p !1_p

untuk setiap x ∈ Rn _{dengan x = (x}

1, x2, · · · , xn).

(ii) Diberikan ruang linier C[0, 1] yang memuat semua fungsi kontinu bernilai real yang didefinisikan pada [0, 1] (Maddox, 1970), yaitu

C[0, 1] = f f : [0, 1] → R dan f kontinu .

Dapat diperlihatkan bahwa fungsi k · k : C[0, 1] → R dengan aturan

kf k = Z 1

0

|f (x)| dx

merupakan suatu norma. Untuk itu, diambil sebarang f ∈ C[0, 1]. Diperoleh,

kf k = Z 1

0

|f (x)| dx ≥ 0. (N1)

Selanjutnya, diasumsikan kf k = 0, maka R₀1|f (x)| dx = 0. Kemudian, apabila |f (x)| > 0, maka R₀1|f (x)| dx > 0. Oleh karena itu, apabila kf k = R1

0 |f (x)| dx = 0, maka |f (x)| = 0 untuk setiap x ∈ [0, 1].

Aki-batnya, f = 0. Sebaliknya, diasumsikan f = 0. Berarti, f (x) = 0 untuk setiap x ∈ [0, 1]. Oleh karena itu, diperoleh kf k = R₀1|f (x)| dx = 0. Jadi,

kf k = 0 jika dan hanya jika f = 0. (N2) Selanjutnya, diambil sebarang skalar α ∈ R. Diperoleh

kαf k = Z 1 0 |αf (x)| dx = Z 1 0 |α||f (x)| dx (N3) = |α| Z 1 0 |f (x)| dx = |α|kf k.

(6)

Kemudian, diambil sebarang g ∈ C[0, 1]. Diperoleh kf + gk = Z 1 0 |f (x) + g(x)| dx (N4) ≤ Z 1 0 |f (x)| dx + |g(x)| dx = Z 1 0 |f (x)| + Z 1 0 |g(x)| dx = kf k + kgk.

Dari hasil (N1), (N2), (N3), dan (N4), diperoleh bahwa C[0, 1] meru-pakan ruang bernorma terhadap norma kf k =R₀1|f (x)| dx.

Definisi 2.2.3. Barisan x = (xk) di dalam ruang bernorma X disebut barisan

Cauchy atau barisan fundamental jika untuk setiap > 0 terdapat k0 ∈ N

sehingga untuk setiap j ≥ k ≥ k0 berlaku kxj − xkk < .

Teorema 2.2.4. Setiap barisan konvergen di dalam ruang bernorma X meru-pakan barisan Cauchy.

Kebalikan dari Teorema 2.2.4 belum tentu berlaku (Royden, 2010). Hal ini ditunjukkan oleh contoh berikut:

Contoh 2.2.5. Dari Contoh 2.2.2 (ii), diperoleh bahwa ruang C[0, 1] meru-pakan ruang bernorma terhadap norma kf k = R₀1|f (x)| dx untuk setiap f ∈ C[0, 1]. Selanjutnya, didefinisikan (fk)∞k=0 ⊂ C[0, 1] dengan aturan

fk(x) =

(

kx ; untuk 0 ≤ x < 1_k 1 ; untuk 1_k ≤ x ≤ 1

untuk setiap k ∈ N. Akan ditunjukkan bahwa (fk)∞k=0 merupakan barisan

(7)

Dengan menggunakan proses pengintegralan biasa, diperoleh

(j − k) Z 1_j 0 |x| dx + Z _k1 1 j |1 − kx| dx = j − k 2 x|x| 1 j 0 + 1 2k|1 − kx|(1 − kx) 1 k 1 j = j − k 2j2 − 1 2k 1 −k j 1 −k j = j − k 2j2 − 1 2k 1 −2k j + k2 j2 = j − 2k 2j2 − 1 2k + 1 j ≤ 1 2j − 1 2k + 1 j ≤ 1 2k − 1 2k + 1 k = 1 k.

Selanjutnya, untuk sebarang bilangan > 0, terdapat k0 ∈ N sehingga k0 >

1 . Oleh karena itu, untuk setiap j, k ∈ N dengan j ≥ k ≥ k0, diperoleh

kfj − fkk ≤ 1 k ≤ 1 k0 < .

Hal ini menunjukkan bahwa (fk)∞k=0 ⊂ C[0, 1] merupakan barisan Cauchy.

Selanjutnya, akan diperlihatkan bahwa (fk)∞k=0 tidak konvergen di dalam ruang

bernorma C[0, 1]. Untuk itu, didefinisikan fungsi f : [0, 1] → R dengan aturan

f (x) = (

0 ; untuk x = 0 1 ; untuk 0 < x ≤ 1

(8)

Dengan menggunakan proses pengintegralan biasa, diperoleh Z 1_k 0 |kx − 1| dx = 1 2k|1 − kx|(kx − 1) 1 k 0 = 1 2k 1 − k · 1 k k · 1 k − 1 − |1 − k · 0| (k · 0 − 1) = 1 2k ≤ 1 k.

Karena k0 > 1 untuk suatu bilangan > 0 dan untuk suatu k0 ∈ N, maka

untuk setiap k ∈ N dengan k ≥ k0, diperoleh

kfk− f k ≤ 1 k ≤ 1 k0 < .

Selanjutnya, diambil x = 0. Kemudian, apabila diberikan sebarang bilangan > 0, berarti terdapat δ > 0 sehingga untuk setiap x0 ∈ (0, 1] dengan |x0−x| <

δ, diperoleh

|f (x0) − f (x)| = |1 − 0| = 1 ≮ .

Hal ini menunjukkan bahwa fungsi f tidak kontinu di x = 0. Jadi, f tidak kontinu di [0, 1]. Dengan kata lain, f /∈ C[0, 1]. Jadi, barisan (fk)∞k=0 tidak

konvergen di dalam ruang bernorma C[0, 1].

Definisi 2.2.6. Ruang bernorma dikatakan bersifat lengkap jika untuk setiap barisan Cauchy di dalam ruang tersebut bersifat konvergen. Ruang bernorma yang bersifat lengkap disebut ruang Banach.

Definisi 2.2.7. Ruang Banach X disebut ruang BK (Banach Kantorovich) jika fungsi koordinat pk : X → R dengan aturan x 7→ pk(x) = xk kontinu pada

(9)

X untuk setiap x = (xk) ∈ X dan setiap k ∈ N.

Contoh 2.2.8.

Ruang barisan `∞, c, dan c0 masing-masing merupakan ruang BK terhadap

norma supremum k·k∞; yaitu kxk∞= sup_k∈N|xk| (Kamthan dan Gupta, 1981).

Definisi 2.2.9. Ruang barisan X dengan X ⊃ Φ, dikatakan mempunyai sifat AK(Abschnittskonvergenz) jika X merupakan ruang BK dan kx − x[n]_{k → 0}

untuk n → ∞ dan untuk setiap x ∈ X. Dalam hal ini, untuk setiap n ∈ N, x[n] _{didefinisikan dengan aturan}

x[n]=

n

X

k=0

xke[k].

Ruang barisan X yang mempunyai sifat AK disebut ruang AK.

Contoh 2.2.10.

Ruang barisan c0 merupakan ruang AK, sedangkan ruang barisan c dan `∞

merupakan ruang BK dan bukan ruang AK (Wilansky, 1984).

2.3. Domain Matriks

Definisi 2.3.1. Diberikan ruang barisan X, Y , dan matriks tak hingga A = (ank) dengan ank ∈ R untuk setiap n, k ∈ N. Fungsi T : X → Y dengan

aturan x 7→ T x = Ax disebut transformasi matriks. Dalam hal ini, barisan Ax = (An(x))∞n=0∈ Y , dengan An(x) = ∞ X k=0 ankxk

merupakan deret konvergen untuk setiap n ∈ N. Barisan ke-n dari matriks tak hingga A ditulis dengan notasi An; yaitu An= (ank)∞k=0untuk setiap n ∈ N.

Koleksi semua transformasi matriks yang memetakan X ke Y ditulis de-ngan notasi (X, Y ). Oleh karena itu, A ∈ (X, Y ) jika dan hanya jika An(x)

konvergen untuk setiap n ∈ N dan untuk setiap x ∈ X, dan Ax ∈ Y untuk setiap x ∈ X.

Teori transformasi matriks erat kaitannya dengan karakteristik kelas (X, Y ). Dengan kata lain, teori transformasi matriks berhubungan dengan

(10)

membentuk syarat perlu dan cukup dari entri-entri sebuah matriks untuk memetakan ruang barisan X ke ruang barisan Y .

Penelitian tentang transformasi matriks pada ruang-ruang barisan klasik telah cukup lengkap dilakukan para peneliti (Maddox 1970; Wilansky 1984). Oleh karena itu, para peneliti mengalihkan perhatian mereka ke ruang barisan lain dengan membentuk ruang barisan baru. Salah satunya dengan meman-faatkan ruang barisan X dan matriks tak hingga A yang diberikan. Ruang barisan seperti ini disebut domain matriks.

Definisi 2.3.2. Diberikan ruang barisan X dan matriks tak hingga A. Him-punan yang didefinisikan oleh

XA=

x = (xk) ∈ ω : Ax ∈ X, ∀x ∈ X

disebut domain matriks dari A.

2.4. Ruang Barisan Orlicz

Definisi 2.4.1. Fungsi Orlicz merupakan sebuah fungsi M : [0, ∞) → [0, ∞) yang kontinu, naik, dan konveks, dengan M (0) = 0, M (x) > 0 untuk x > 0, dan M (x) → ∞ untuk x → ∞.

Fungsi M : [0, ∞) → [0, ∞) dikatakan kontinu di suatu titik c ∈ [0, ∞), jika untuk sebarang bilangan > 0 terdapat bilangan δ > 0 sehingga untuk setiap x ∈ [0, ∞) dengan |x − c| < δ, berlaku |f (x) − f (c)| < . Selanjutnya, fungsi M dikatakan kontinu pada [0, ∞) jika M kontinu di setiap c ∈ [0, ∞).

Fungsi M : [0, ∞) → [0, ∞) dikatakan naik pada [0, ∞), jika untuk setiap x1, x2 ∈ [0, ∞) dengan x1 ≤ x2 berlaku M (x1) ≤ M (x2).

Fungsi M : [0, ∞) → [0, ∞) dikatakan konveks pada [0, ∞), jika untuk setiap t ∈ [0, ∞] dan x1, x2 ∈ [0, ∞) berlaku

M

(1 − t)x1+ tx2

≤ (1 − t)M (x1) + tM (x2).

Apabila sifat konveks dari fungsi Orlicz M diganti dengan M (x + y) ≤ M (x) + M (y), maka fungsi Orlicz M disebut fungsi modulus (Ruckle 1973; Maddox 1986).

Fungsi Orlicz M dikatakan memenuhi kondisi -∆2 untuk setiap x ∈ [0, ∞)

(11)

Lindenstrauss dan Tzafriri (1971) memperkenalkan ruang barisan yang ditulis dengan notasi `M; yaitu

`M = ( x = (xk) ∈ ω : (∃ ρ > 0) ∞ X k=1 M |xk| ρ < ∞ ) .

Ruang barisan `M dengan norma berikut, yaitu

kxk = inf ( ρ > 0 : ∞ X k=1 M |xk| ρ ≤ 1 )

merupakan ruang Banach dan disebut ruang barisan Orlicz.

Selanjutnya, generalisasi fungsi Orlicz merupakan sebuah fungsi Orlicz dengan sifat diperumum. Dengan kata lain, generalisasi fungsi Orlicz adalah sebuah fungsi M : [0, ∞) → [0, ∞) yang bersifat kontinu, naik, dan konveks, dengan M (0) = 0 dan M (x) > 0 untuk x > 0.