Sistem Komunikasi II (Digital Communication Systems)

Sistem Komunikasi II

(Digital Communication Systems)

Lecture #1: Stochastic Random Process

Topik:

1.1 Pengenalan Sistem Komunikasi Digital.

1.2 Pendahuluan Stochastic Random Process.

1.3 Random Variable & parameter statistiknya.

1.4. Random Process & parameter statistiknya.

1.5. Bentuk Auto-Korelasi dan PSD untuk beberapa

Sinyal Dasar.

1.1. Pengenalan Sistem Komunikasi Digital

Encoder Modulator _ModulatorRF

Decoder Demodulator_{& Detector Demodulator}RF

Kanal 100101… 100101… 10101… 1011… > Kompresi > Enkripsi > Error Coding Error Decoding < Dekripsi < Dekompresi < > Mapping > Pulse Shaping Filtering < Mapping < Deteksi <

Block Diagram dari Sistem Komunikasi

Digital

:

Baseband > Bandpass

Sinkronisasi < Bandpass – Baseband < Transmitter

1.1. Pengenalan Sistem Komunikasi Digital – cont.

Encoder Modulator _ModulatorRF

Decoder Demodulator_{& Detector Demodulator}RF Kanal

100101…

100101…

10101…

1011…

Gangguan dalam Sistem Komunikasi Digital:

Thermal Noise ÁAtenuasi

ÁDistorsi

ÁInterferensi Transmitter

1.1. Pengenalan Sistem Komunikasi Digital – cont.

Encoder Modulator _ModulatorRF

Decoder Demodulator_{& Detector Demodulator}RF

100101…

100101…

10101…

1011…

Model Sistem Komunikasi Digital + Noise:

Random Noise Transmitter

Receiver

1.1. Pengenalan Sistem Komunikasi Digital – cont.

Encoder Modulator _ModulatorRF

Decoder Demodulator_{& Detector Demodulator}RF

100101… 100101… 10101… 1011… > Kompresi > Enkripsi > Error Coding Error Decoding < Dekripsi < Dekompresi < > Mapping > Pulse Shaping Filtering < Mapping < Deteksi <

Model Sistem Komunikasi Digital + Noise:

Baseband > Bandpass Sinkronisasi < Bandpass – Baseband < Transmitter Receiver Random Noise

1.2. Pendahuluan Stochastic Random Process.

Deterministic

Stochastic

•Deterministic Model

– model yg digunakan utk menggambarkan

suatu proses dimana selalu ada ‘kepastian’ mengenai suatu variabel

yg bergantung pada waktu (sinyal).

( )

cos(

o

)

x t

=

A

ω

⋅ +

t

θ

Contoh: Sinyal sinusoid:

x(t) dapat di karakteristikan sepenuhnya (deterministic) dari informasi:

- Amplitudo - A

- Frekwensi fundamental – wo - Fase - theta

1.2. Pendahuluan Stochastic Random Process – cont.

Stochastic Model

– model yg digunakan utk menggambarkan suatu

proses dimana tdk ada ‘kepastian’ mengenai suatu variabel yg

bergantung pada waktu (sinyal).

( )

cos(

o

)

( )

x t

=

A

ω

⋅ +

t

θ

+

noise t

Contoh: Sinyal sinusoid + noise:

x(t) dapat tidak dapat di karakteristikan sepenuhnya dari informasi A, wo, dan theta karena adanya random noise noise(t).

1.2. Pendahuluan Stochastic Random Process – cont.

• Dalam proses alami noise selalu eksis.

• Sumber-sumber noise dlm sistem komunikasi:

- ‘thermal noise’ dari komponen elektronika.

- Interferensi dari perangkat radio di sekitar receiver.

- Interferensi dari pengguna saluran telekomunikasi yg lain. Æ Sinyal sistem komunikasi bersifat random (acak).

Æ Bagaimana kita bisa menjelaskan sesuatu yang bersifat random? Answer: Statistical (Stochastic) Modelling

Stochastic Model memungkinkan kita menggambarkan suatu proses random dalam ‘bahasa’ statistik sehingga proses tersebut dapat di karakterisasi, dianalisa, dan diolah.

1.3. Random Variable

Random Experiment Random Number Generator (RNG) Outcome

,

X

=

x

x

∈ \

random variable bilangan nyata Conceptual block diagram:

Definisi: Sebuah Random Variable X adalah sebuah bilangan nyata

yang merupakan hasil pemetaan outcome dari sebuah

random experiment.

1.3. Random Variable – cont.

Contoh:

Random experiment: “melempar sebuah dadu & melihat sisi yg muncul” Random Variable ~ X = f(s) : jumlah dot pada sisi yang muncul

1.3. Random Variable – cont.

(1). Distribution Function

Definisi: Distribution Function dari sebuah random variable X adalah probabilitas X bernilai lebih kecil atau sama dengan x.

( )

(

)

X

F x

=

P X

≤

x

Sifat-sifatnya: 1 2 1 2

1. 0

( ) 1

2.

( )

( )

3.

(

) 0

4.

(

) 1

X X X X X

F x

F x

F x

bila x

x

F

F

≤

≤

≤

≤

−∞ =

+∞ =

1.3. Random Variable – cont.

(2). Probability Distribution Function (PDF)

Definisi: Probability Distribution Function dari sebuah random variable X adalah:

( )

( )

X X

dF x

p x

dx

=

Sifat-sifatnya:

1.

( ) 0

2.

( )

1

X X

p x

p x dx

∞ −∞

≥

⋅

=

∫

Parameter-parameter Statistik dari Random Variable X – cont.

Interpretasi: PDF menggambarkan frekwensi

munculnya nilai x di dalam random variable X.

1.3. Random Variable – cont.

(3). Average (Mean) ~

Definisi: Average / Mean dari sebuah random variable X adalah nilai rata- rata dari X:

[ ]

_X

( )

E X

x p x dx

∞ −∞

=

∫

⋅

Parameter-parameter Statistik dari Random Variable X – cont.

• Average / Mean bisa di-interpretasikan sebagai lokasi ‘pusat gravitasi’ dari sebuah PDF.

Mean = 0

Mean = 2

E{ } = expectation

operator

• Average / Mean bisa juga berarti nilai x yg mempunyai probabilitas terbesar.

( )

X

x

1.3. Random Variable – cont.

(4). Variance ~

Definisi: Variance dari sebuah random variable X adalah rata-rata (perbedaan antara X dan averagenya)^2 :

2 2

[(

_X

) ]

(

_X

)

_X

( )

E X

µ

x

µ

p x dx

∞ −∞

−

=

∫

−

⋅

Parameter-parameter Statistik dari Random Variable X – cont.

2

_{( )}

X

x

σ

2

_{( ) 1}

X

x

σ

=

2

_{( ) 2}

X

x

σ

=

Variance dapat di-interpretasikan

sebagai ‘penyebaran’ nilai dari sebuah random variable.

‘penyebaran’ proposional dengan lebarnya PDF.

1.3. Random Variable – cont.

Definisi: Gaussian random variabel Z adalah suatu random variable yang di-karakterisasikan oleh Gaussian PDF sebagai berikut:

) 2 2

2

(

1

2

1

( )

2

Z Z

z

p z

e

µ

σ

πσ

         

−

−

=

2

mean of Z

variance of Z

Z Z

µ

σ

=

=

Gaussian adalah random variable yg terpenting untuk dipelajari

1.4. Random Process.

Definisi: Random process adalah suatu set (ensemble) fungsi dari

waktu yang merupakan hasil pemetaan outcome dari suatu

random experiment.

Random process X(t) realisasi-1 realisasi-3 realisasi-2 realisasi-n X₁(t) X₂(t) X₃(t) X_n(t)

RNG = Random Number Generator

RNG - 3 RNG - 2 RNG - 1 RNG - n Random Experiment O utc om e Out com e

1.4. Random Process – cont.

x₁(t) – pengukuran hari ke-1

x₂(t) – pengukuran hari ke-2

x_n(t) – pengukuran hari ke-n

realisasi ke-1

t (jam)

Contoh:

Random experiment: “pengukuran temperatur dalam sebuah ruangan,

pada jam 9 pagi selama 1 jam”

realisasi ke-2

realisasi ke-n

1

Konsep Praktis: Random process adalah suatu fungsi dari waktu yang

amplitudonya bersifat random & parameter statistiknya bersifat konstan (tidak berubah dengan waktu).

1.4. Random Process – cont.

(1). Mean (Average)

Definisi: Mean (Average) dari sebuah random process X(t) adalah nilai rata-rata dari sebuah random process tersebut.

[

]

2 2

1

( )]

lim

( )

T X _T T

E X t

X t dt

T

µ

→∞ −

=

=

∫

Parameter-parameter Statistik dari Random Process X(t)

Contoh: Random Binary sequence: Pr(X(t) = -1) = 1/2

Pr(X(t) = +1) = 1/2

0

X

1.3. Random Process – cont.

(2). Auto-Korelasi

Definisi: Auto-Korelasi dari sebuah random process X(t) adalah nilai ‘kemiripan’ antara dan .

[

]

2 2

( )

( )

(

)

1

lim

( )

(

)

X T T T

R

E X t X t

X t X t

dt

T

τ

τ

τ

→∞ −

=

⋅

−

=

∫

⋅

−

Parameter-parameter Statistik dari Random Process X(t) – cont.

( )

X t

X t

(

−

τ

)

Sifat-sifatnya:

1.

( )

( ) ~

2.

(0)

( )

X X X

R

R

simetris

R

Total Average Power of X t

τ

=

−

τ

1.3. Random Process – cont.

(3). Power Spectral Density (PSD)

Definisi: Power Spectral Density dari sebuah random process X(t) adalah Fourier transform dari .

2

( )

( )

j ft X X

G

f

R t e

π

dt

∞ − −∞

=

∫

⋅

Parameter-parameter Statistik dari Random Process X(t) – cont.

( )

X

R

τ

Sifat-sifatnya:

1.

( ) 0

2.

( )

(

) ~

;

( )

3.

( )

( )

X X X X

G

f

G

f

G

f

simetris

bila X t

G

f df

Total Average power of X t

∞ −∞

≥

=

−

∈

=

∫

\

1.5. Bentuk Auto-Korelasi & PSD untuk beberapa Sinyal Dasar

(1). Random Binary Sequence

( )

X t

t

T

0

1

;

( )

0

;

X

T

T

R

T

τ

_τ

τ

τ

 −

≤



= 

_

>



2

sin(

)

( )

X

ft

G

f

T

ft

π

π





= 







1

(

1)

2

P X

= =

1

(

1)

2

P X

= − =

1.5. Bentuk Auto-Korelasi & PSD utk beberapa Sinyal Dasar – cont.

(2). White Gaussian Noise

N t

( )

( )

N

R

τ

0

τ

0

2

N

( )

N

G

f

0

f

0

2

N

Karakteristik: 1. Tidak ber-korelasi.

2. PSD nya flat untuk semua frekwensi (white).

1.5. Bentuk Auto-Korelasi & PSD utk beberapa Sinyal Dasar – cont.

Dalam sistem komunikasi digital, White Gaussian Noise (WGN)

adalah tipe random process yang paling relevan karena 3 alasan

berikut:

1. Thermal noise dapat dikarakterisasikan sebagai WGN.

2. WGN mempunyai bentuk Auto-korelasi dan PSD yang sederhana

sehingga memudahkan analisa.

3. Gabungan dari banyak random process dengan berbagai tipe

distribusinya mempunyai kecenderungan untuk menjadi Gaussian

random process (Central Limit Theorem).

1.6. Transmisi Sinyal melalui Sistem Linier.

Sistem Linier Output Input Domain Waktu Domain Frekwensi

x(t) * h(t) = y(t)

X(f) H(f) = Y(f)

0

( )

( )

( )

( )

( ) (

)

y t

h t

x t

y t

h

τ

x t

τ τ

d

∞

=

∗

=

∫

⋅

−

2 0 2

( )

( )

1

( )

( )

2

j ft j ft

Y f

y t e

dt

y t

Y f

e

df

π π

π

∞ − ∞ ∞

=

⋅

=

⋅

∫

∫

Konvolusi: Fourier Transform:

1.6. Transmisi Sinyal melalui Sistem Linier – cont.

( )

( )

( )

( )

( )

~ Fungsi Transfer

( )

Y f

H f

X f

Y f

H f

X f

=

⋅

=

Fungsi Transfer:

( )

|

( ) |

( )

j

H

f

H

f

=

H f

⋅

e

∠

Magnitudo Sudut

(

)

( )

( )

( )

If ( )

Then,

| ( ) |

|

( ) | |

)

( )

(

|

,

X f

H f

X f

j

j

X f

H f

X

X

f

f

Y f

e

e

∠

∠

+ ∠

=

⋅

=

⋅

1.6. Transmisi Sinyal melalui Sistem Linier – cont.

Lowpass Filter Ideal:

1 ; |

|

( )

0 ; |

|

c ideal c

f

f

H

f

f

f

≤



= 

_>



( )

ideal

H

f

f

c

f

c

f

−

1

2 2 2 2

( )

( )

1

2

sin(2

)

c c c c ideal ideal f f c j ft j ft j f t j f t

h

t

H

f

df

df

j

t

f t

t

e

e

e

e

π π π π

π

π

π

∞ −∞ − −

=

⋅

=





=

_

−

_

=

∫

∫

( )

ideal

h

t

2

f

_c 1 2f_c 3 2f_c 3 2f_c

t

1.6. Transmisi Sinyal melalui Sistem Linier – cont.

( ) PSD of X(t).

( ) PSD of Y(t).

X Y

G

f

G f

=

=

Sistem

Linier _{(random process)}Output Input (random process) Domain Waktu Domain Frekwensi

X(t) * h(t) = Y(t)

G

_X

(f) |H(f)|

2

_{= G}

Y

(f)

1.6. Transmisi Sinyal melalui Sistem Linier – cont.

Ideal

LPF Y(t)

n(t)

(white noise)

Respon Sistem (terhadap random process) – cont.

( )

ideal

H

f

f

c

f

c

f

−

1

( )

N

G

f

f

0

N₀/2

( )

Y

G f

f

c

f

c

f

−

N₀/2 Contoh: Ideal Lowpass Filtered White Noise

1.6. Transmisi Sinyal melalui Sistem Linier – cont.

Respon Sistem (terhadap random process) – cont.

Contoh: Ideal Lowpass Filtered White Noise – cont.

( )

Y

R

τ

τ

0 c

N

⋅

f

1

2

f

_c

3

2

f

_c

5

2

f

_c

2

2

f

_c 0

sin(2

)

( )

2

c Y

N

f

R

τ

π τ

πτ

=

⋅