Persamaan Garis Lurus Persamaan Garis Lurus dan Grafiknya

(1)

Course Outline

BAB 2

Persamaan Garis Lurus

2.1. Persamaan Garis Lurus dan Grafiknya

Misalkan diberikan suatu persamaan garis y = mx + b. Nilai m dan b mempunyai interpretasi tertentu terhadap grafik persamaan tersebut. Nilai m merupakan gradien, sedangkan b merupakan titik potong garis dengan sumbu y. Gradien suatu garis merupakan rasio perubahan nilai-nilai x dengan perubahan nilai-nilai y. Untuk menentukan gradien garis dari dua buah titik dalam koordinat kartesius, yaitu (x1, y1)

dan (x2, y2) dapat dilakukan dengan perintah slope. Perintah ini terletak pada paket student yang harus kita aktifkan sebelumnya dengan perintah with.

> restart:

> with(student): > f:=(x) >2*x+3;

:=

f x → 2 x + 3

Untuk meggambarkan sebuah garis lurus pada koordinat kartesius digunakan perintah plot. Misalnya garis di atas akan digambarkan dengan perintah berikut :

> plot(f(x),x=-5..5,y=-5..5,color=blue);

Artinya garis digambarkan pada interval -5 ≤ x ≤ 5, -5 ≤ y ≤ 5 dengan warna biru. Jika dijalankan diperoleh gambar 2.1 berikut :

Dr. Horasdia SARAGIH

Computational Mathematics

A P P L I E D

(2)

Course Outline

Cobalah untuk persamaan-persamaan garis lainnya !

2.2. Sifat-sifat Dua Garis

a. Jika dua buah garis mempunyai gradien yang sama, maka kedua garis itu sejajar. Perhatikan contoh berikut :

> restart:

> Pers1:={4*x+10,4*x-7,4*x,4*x-5};

Pers1 := 4 x, 4 x + 10, 4 x - 7, 4 x - 5{ }

> plot(Pers1,x=-5..5,y=-5..5,color = maroon);

Gambar 2.2

b. Jika dua buah garis k dan l mempunyai gradien masing-masing m1 dan m2. Garis k

dan l saling tegaklurus jika dan hanya jika m1. m2 = -1. Misal yk= 3x - 2 dan y1 = -

x/3 + 2, akan ditunjukkan bahwa kedua garis tersebut saling tegaklurus dengan grafik sebagai berikut :

> pers2:={3*x-2,-x/3+2}; := pers2 {3 x − 2,−1 + } 3x 2 Dr. Horasdia SARAGIH Computational Mathematics > plot(pers2,x=-5..5,y=-5..5,color=green);

A P P L I E D

MATHEMATICS

S C I E N C E

(3)

Course Outline

Gambar 2.3

2.3. Titik Potong Dua Garis

Untuk mencari titik potong dua garis, maka terlebih dahulu persamaan garis dijadikan dalam bentuk implisit: f:= y-3x-2 dan g:= y +1/3x-2. Kedua persamaan garis kemudian disatukan ke dalam suatu kurung kurawal.

> f:={y-3*x+2,y+1/3*x-2}; := f {y + − 1 , } 3x 2 y − + 3 x 2 > solve(f); {y = 8, } 5 x = 6 5

2.4. Garis-garis Yang Berpotongan Pada Satu Titik

A P P L I E D

(4)

garis-Course Outline

> pers3:={-2*x+6,2*x+6,3*x+6,7*x+6,x+6}; := pers3 {− + 2 x 6,2 x + 6,3 x + 6,7 x + 6,x + 6} > plot(pers3,x=-5..5,y=-10..10,color=blue); Gambar 2.4

2.5. Menentukan Persamaan Garis

Mencari persamaan garis lurus bila diketahui suatu titik yang dilalui dan besar gradiennya.

Suatu garis melalui suatu titik (3,3) dengan gradien 5 :

> slope([x,y],[3,3])=5; y - 3 x - 3 = 5 > isolate(%,y); Dr. Horasdia SARAGIH Computational Mathematics y = 5 x - 12

A P P L I E D

MATHEMATICS

S C I E N C E

(5)

Course Outline

Mencari persamaan garis lurus bila diketahui dua titik yang dilalui. Suatu garis melalui titik (2,1) dan titik (4,6) :

> P:=[2,1];Q:=[4,6]; P := 2, 1[ ] Q := 4, 6[ ] > slope(P,Q);#Gradien garis PQ 5 2 > slope([x,y],[4,6])=slope(P,Q); y - 6 x - 4 = 5 2 > isolate(%,y); y = 5 x 2 - 4 Jadi persamaan garis yang dicari adalah y = 5x/2 – 4.

2.6. Menentukan Jarak Dua Titik

a. Jarak (d) suatu titik (a,b) dar pusat koordinat (0,0):

> restart:with(student): > d:=distance([a,b],[0,0]);

d := a2 + b2 b. Jarak dua titik : (x1, y1) dan (x2, y2):

> d:=distance([x1,y1],[x2,y2]);

d := (y2 - y1)2 + x2 - x1( )2

2.7. Titik Tengah Dari Dua Titik

> T:=midpoint([x1,y1],[x2,y2]); := T ⎡ ⎣ ⎢⎢1 + , ⎤_⎦⎥⎥ 2x1 1 2x2 + 1 2y1 1 2y2 Dr. Horasdia SARAGIH Computational Mathematics

A P P L I E D

(6)

Course Outline

> P:=[2,5];Q:=[8,12]; P := 2, 5[ ] Q := 8, 12[ ] > d:=distance(P,Q);JarakPQ:=evalf(d); d := 85 > JarakPQ:=evalf(d); JarakPQ := 9.219544457 > GradienGarisPQ:=slope(P,Q); GradienGarisPQ := 7 6 > TitikTengahPQ:=midpoint(P,Q); := TitikTengahPQ ⎡ ⎣ ⎢⎢5,17⎤_⎦⎥⎥ 2 > PersamaanGaris:=slope([x,y],P)=slope(P,Q); PersamaanGaris := y - 5 x - 2 = 7 6

> atau:=isolate(%,y);#Pers Garis yang dibentuk oleh titik P dan Q

atau := y = 7

6 x + 8 3

2.8. Berkas Garis

Diketahui dua garis : g1 := 2x+3y-2 dan g2 := x+y-3. Persamaan berkas garis adalah g1

+ i g2 = 0 . Grafiknya melalui titik potong kedua garis itu. Sekarang kita gambar kedua

garis itu sebagai berikut :

> restart:wiht(student):

> PersGaris:={(2-2*x)/3,3-x};#sama dengan persamaan g1 dan g2 di atas

:= PersGaris {3 − x,2 − } 3 2 3x > plot({(2-2*x)/3,3-x},x=-10..10,y=-10..10,color=green); Dr. Horasdia SARAGIH Computational Mathematics

A P P L I E D

MATHEMATICS

S C I E N C E

(7)

Course Outline

Gambar 2.5

Titik potong kedua garis :

> f:={2*x+3*y-2,x+y-3};

f := 2 x + 3 y - 2, x + y - 3{ }

> solve (f);

y = -4, x = 7

{ }

Berkas garis kedua garis di atas :

> for i from -10 to 10 do

P[i]:=implicitplot(2*x+3*y-2+i*(x+y-3)=0,x=-10..10,y=-10..10) od:

> for i from -10 to 10 do C[i]:=[op(1,P[i])] od: > PLOT(ANIMATE(seq(C[i],i=-10..10)));

A P P L I E D

MATHEMATICS

(8)

Course Outline

Gambar 2.6

2.9. Menganimasi Garis

Adalah sangat baik bila anda memberi efek gerak pada garis yang disajikan agar sedikit lebih menarik perhatian. Coba animasikan suatu garis dengan menggeser garis tersebut dari tampat yang satu ke tempat yang lain. Pilih untuk hal yang pertama dimana proses penggeseran dengan kemiringan “m” yang sama namun memiliki nilai “C” yang berbeda-beda. Hasilnya akan ditunjukkan pada gambar 2.7 :

> restart: > with(plots); > f:=m*x+C; := f m x + C > animate(subs(m=3,f),x=-3..3,C= 0..5,frames=100); Dr. Horasdia SARAGIH Computational Mathematics

A P P L I E D

MATHEMATICS

S C I E N C E

(9)

Course Outline

Gambar 2.7

Pilih untuk hal yang kedua dimana proses penggeseran dengan kemiringan “m” yang berbeda-beda namun memiliki nilai “C” yang sama. Hasilnya akan ditunjukkan pada gambar 2.8 : > restart: > with(plots); > f:=m*x+C; := f m x + C > animate(subs(C=3,f),x=-3..3,m= -10..10,frames=100); Gambar 2.8 Dr. Horasdia SARAGIH Computational Mathematics