Analisis Sistem Dinamik Model Penyebaran Penyakit Menular Antar Dua Wilayah Dan Kontrol Optimal Pada Populasi Infected

Analisis Sistem Dinamik Model Penyebaran

Penyakit Menular Antar Dua Wilayah dan Kontrol

Optimal Pada Populasi

Infected

Oleh:

Eko Alan Kusumayadi S.P.L (1213 2012 04) Rabu, 8 Juli 2015

Ujian Tesis

Dosen Pembimbing Dr. Hariyanto, M.Si. Dr. Dra Mardlijah, M.T.

Latar Belakang

Penularan penyakit

Perkembangan ilmu pengetahuan di bidang matematika turut memberikan

peranan penting dalam menggambarkan fenomena penyebaran penyakit Peranan tersebut dituangkan dalam bentuk model matematika

Latar Belakang

2003

model epidemi yang memperhatikan penularan infeksi pada saat perjalanan antarwilayah dikemukakan oleh

2005

Arino dan Driessche mengkonstruksi model epidemi multi kota untuk menganalisis penyebaran penyakit

menular secara spasial.

Wan dan Cui (2007) mengkonstruksi model tipe SEIS.

diasumsikan bahwa penularan infeksi pada

saat perjalanan antarwilayah

diabaikan.

Arino, dkk menganalisis model epidemi tipe SEIR dengan multi spesies dan

multi bagian (patch).

Cui,dkk (2006) dengan model matematika tipe SIS membandingkan model ketika 𝛼 = 0 dengan 𝛼 ≠ 0, dimana 𝛼 adalah tingkat perpindahan individu antarwilayah.

Latar Belakang

Model I

(tanpa kontrol)

Model II

(dengan kontrol pengobatan)

Analisis Sistem Dinamik Model Penyebaran Penyakit

Menular Antar Dua wilayah dan Kontrol Optimal Pada

Populasi

Infected

Analisis dinamik :



Titik kesetimbangan



Bilangan reproduksi dasar



Kestabilan

simulasi dengan tujuan untuk mengetahui pengaruh perpindahan individu antarwilayah bagi penyebaran penyakit dan efektivitas kontrol pengobatan

yang telah dilakukan.

Kontrol

Optimal

Rumusan Masalah

1. Bagaimana mengkonstruksi model matematika penyebaran penyakit menular antar dua wilayah dalam dua kasus yang berbeda.

2. Bagaimana syarat eksistensi titik kesetimbangan dan menganalisis kestabilannya dari kedua model berdasarkan bilangan reproduksi dasar.

3. Bagaimana mendapatkan kontrol pengobatan yang optimal pada populasi infected.

4. Bagaimana hasil simulasi numerik pengaruh perpindahan individu antarwilayah bagi penyebaran penyakit dan efektivitas kontrol pengobatan yang telah diberikan.

Batasan Masalah

1. Individu yang baru lahir memiliki kekebalan alami, sehingga masuk dalam populasi susceptible.

2. Interaksi terjadi dalam dua wilayah tanpa adanya individu yang masuk dan keluar dari kedua wilayah tersebut.

3. Kedua wilayah identik, yaitu memiliki kesamaan parameter epidemiologi.

4. Tingkat penularan penyakit dalam wilayah lebih besar daripada tingkat penularan penyakit pada saat perjalanan antarwilayah.

5. Penularan penyakit terjadi akibat kontak langsung antara individu

susceptible dengan individu infected dan individu yang menjadi objek pada penulisan tesis ini adalah manusia.

Tujuan

1. Mengkonstruksi model matematika penyebaran penyakit menular antar dua wilayah dengan dua kasus yang berbeda.

2. Menentukan syarat eksistensi titik kesetimbangan dan menganalisis kestabilannya dari kedua model berdasarkan bilangan reproduksi dasar.

3. Mendapatkan kontrol pengobatan yang optimal pada populasi

infected.

4. Mengetahui hasil simulasi numerik pengaruh perpindahan individu antarwilayah bagi penyebaran penyakit dan efektivitas kontrol pengobatan yang telah diberikan.

Manfaat

1.Memberikan informasi untuk penelitian selanjutnya tentang penyebaran penyakit menular antar dua wilayah dengan menggunakan kontrol optimal.

2.Mengetahui bahwa pemberian kontrol pengobatan dapat menjadi salah satu solusi dalam mengatasi masalah penyebaran penyakit.

Kajian Pustaka & Dasar Teori

1

Model Penyebaran Penyakit Antarwilayah

2

Sistem Dinamik

3

Titik Kesetimbangan

4

Kestabilan Titik Kesetimbangan

7

Kontrol Optimal

6

Bilangan Reproduksi dasar

5

Kriteria Routh-Hurwitz

Metode Penelitian

Simulasi Numerik

Analisis Kontrol Optimal Analisis Sistem Dinamik Konstruksi Model

Studi Literatur

Penyusunan Tesis Seminar Nasional

Pembagian Populasi



_{Susceptible (S)}

_{adalah kelompok individu yang}

secara fisik dalam keadaan sehat tetapi mempunyai

kemungkinan tertular penyakit.



_{Infected (I)}

_{adalah kelompok individu yang telah}

tertular

penyakit

dan

dapat

menularkan

penyakitnya kepada individu lain.



_{Treatment (T)}

_{adalah kelompok individu yang}

berada dalam masa pengobatan.



Removed (R)

adalah kelompok individu yang

Kompartemen Model I

𝑺

_𝟏

𝑰

_𝟏

𝑹

_𝟏

𝑺

_𝟐

𝑰

_𝟐

𝑹

_𝟐 𝜶_𝟏𝑺_𝟏 𝜶_𝟏𝑺_𝟐 𝜶_𝟏𝑰_𝟏 𝜶_𝟏𝑰_𝟐 𝜶_𝟏𝑹_𝟏 𝜶_𝟏𝑹_𝟐 𝒃𝑺_𝟏 𝒃𝑹_𝟏 𝒃𝑰_𝟏 𝒃𝑺_{𝟐 𝒃𝑰𝟐} 𝒃𝑹_𝟐 𝒂 𝒂 𝒅𝑻_𝟏 𝒅𝑻_𝟐 𝜷𝑺_𝟏 𝑰𝟏 𝑵_𝟏 𝜷𝑺_𝟐 𝑰𝟐 𝑵_𝟐 𝜸𝜶_𝟏𝑺_𝟐 𝑰𝟐 𝑵_𝟐 𝜸𝜶_𝟏𝑺_𝟏 𝑰𝟏 𝑵_𝟏 𝜶_𝟐𝑹_𝟐 𝜶_𝟐𝑹_𝟏

Kompartemen Model II

𝑺

_𝟏

𝑰

_𝟏

𝑻

_𝟏

𝑹

_𝟏

𝑺

_𝟐

𝑰

_𝟐

𝑻

_𝟐

𝑹

_𝟐 𝜶_𝟏𝑺_𝟏 𝜶_𝟏𝑺_𝟐 𝜶_𝟏𝑰_𝟏 𝜶_𝟏𝑰_𝟐 𝜶_𝟏𝑻_𝟏 𝜶_𝟏𝑻_𝟐 𝜶_𝟏𝑹_𝟏 𝜶_𝟏𝑹_𝟐 𝒃𝑺_𝟏 𝒃𝑹_𝟏 𝒃𝑻_𝟏 𝒃𝑰_𝟏 𝒃𝑺_{𝟐 𝒃𝑰𝟐} 𝒃𝑻_𝟐 𝒃𝑹_𝟐 𝒂 𝒂 𝒖𝑰_𝟏 𝒖𝑰_𝟐 𝒅𝑻_𝟏 𝒅𝑻_𝟐 𝜷𝑺_𝟏 𝑰𝟏 𝑵_𝟏 𝜷𝑺_𝟐 𝑰𝟐 𝑵_𝟐 𝜸𝜶_𝟏𝑺_𝟐 𝑰𝟐 𝑵_𝟐 𝜸𝜶_𝟏𝑺_𝟏 𝑰𝟏 𝑵_𝟏 𝜶_𝟐𝑹_𝟐 𝜶_𝟐𝑹_𝟏

Model I

Model II

Titik Kesetimbangan

Model I

Titik kesetimbangan dari sistem dapat diperoleh jika

𝑑𝑆_𝑖 𝑑𝑡

=

𝑑𝐼_𝑖 𝑑𝑡

=

𝑑𝑅_𝑖 𝑑𝑡

= 0 𝑖 = 1,2

Titik Kesetimbangan

Titik Kesetimbangan

Bebas Penyakit

Titik Kesetimbangan

Endemi

Titik Kesetimbangan

Model I

Titik

𝐸

_𝑎0

disebut titik kesetimbangan bebas penyakit karena

𝐼

₁0

, 𝐼

₂0

= 0

yang berarti tidak terjadi penyebaran penyakit di dalam populasi

karena tidak ada interaksi antara individu

susceptible

dengan individu

infected

.

Bilangan Reproduksi Dasar

Model I

Menurut Driessche dan Wetmough (2002), penentuan bilangan

reproduksi dasar terlebih dahulu membentuk matriks generasi

selanjutnya

𝐴 = 𝐹𝑉−1 = 𝛽𝐵 + 𝛾𝛼₁2 𝐶 𝛽𝛼₁ + 𝛾𝛼₁𝐵 𝐶 𝛽𝛼₁ + 𝛾𝛼₁𝐵 𝐶 𝛽𝐵 + 𝛾𝛼₁2 𝐶 dengan 𝐵 = 𝑏 + 𝑑 + 𝛼₁ 𝐶 = 𝑏 + 𝑑 𝑏 + 𝑑 + 2𝛼₁

Kemudian bilangan reproduksi dasar dari model yaitu spectral radius dari matriks 𝐴.

ℛ₀ = 𝜌 𝐴 = 𝛽 +𝛾𝛼1

Kestabilan

Model I

Sebelum menentukan kestabilan titik kesetimbangan, terlebih

dahulu dilakukan perhitungan matriks Jacobi dari model.

Kestabilan

Model I

Dengan mensubstitusikan

𝐸

_a0

dan

𝐸

_a+

ke dalam Matriks Jacobi diperoleh

𝜆₁ = −𝑏 𝜆₂ = 𝛽 + 𝛾𝛼₁ 1 − 1 ℛ₀ λ₃ = −(𝑏 + 𝛼₂) 𝜆₄ = − 𝑏 + 2𝛼₁ 𝜆₅ = 𝛽 − 𝑏 + 𝑑 − 𝛼₁ 2 + 𝛾 λ₆ = − 𝑏 + 2𝛼₁ + 𝛼₂ 𝐸_𝑎0 ℛ₀ < 1 ℛ₀ > 1 𝜆₂ < 1 𝜆₂ > 1 𝐸_𝑎0 Stabil Asimtotik 𝐸_𝑎0 Tidak Stabil

Menggunakan

Teorema Kriteria

Routh-Hurwitz

𝐸_𝑎+ 𝐸_𝑎+ Stabil Asimtotik ℛ₀ > 1

Syarat Eksistensi Titik Kesetimbangan

Model I

Syarat eksistensi titik kesetimbangan berdasarkan bilangan

reproduksi dasar adalah ketika

𝓡

_𝟎

< 𝟏

hanya ada satu titik

kesetimbangan yang eksis, yaitu titik kesetimbangan bebas

penyakit dan memiliki sifat stabil asimtotik, sedangkan

ketika

𝓡

_𝟎

> 𝟏

tedapat dua titik kesetimbangan yang eksis,

yaitu titik kesetimbangan endemi bersifat stabil asimtotik

dan titik kesetimbangan bebas penyakit bersifat tidak stabil.

Titik Kesetimbangan

Diperoleh dua titik kesetimbangan , yaitu

dan

𝐸_b0 EKSIS, 𝐸_b+ TIDAK EKSIS

𝐸_b0 dan 𝐸_b+ EKSIS

Kestabilan

Model II

Kestabilan

Model II

Jika ℛ₀< 1 𝛽 + 𝛾𝛼₁ 𝑏 + 𝑢 < 1 𝑢 > 𝛽 + 𝛾𝛼₁ − 𝑏 Jika ℛ₀> 1 𝛽 + 𝛾𝛼₁ 𝑏 + 𝑢 > 1 𝑢 < 𝛽 + 𝛾𝛼₁ − 𝑏

maka hanya terdapat satu titik kesetimbangan,

yaitu titik kesetimbangan 𝐸_𝑏0 yang bersifat stabil asimtotik

maka titik kesetimbangan𝐸_𝑏+stabil asimtotik sedangkan titik kesetimbangan𝐸_𝑏0 tidak stabil

Penyelesaian Kontrol Optimal

Tujuan yang dicapai dalam permasalahan kontrol optimal pada penelitian ini

adalah mendapatkan pengobatan optimal dengan meminimalkan jumlah

populasi

infected

.

Penyelesaian Kontrol Optimal

Langkah pertama yang dilakukan untuk mendapatkan kontrol

pengobatan yang optimal adalah membentuk fungsi Hamiltonian,

yaitu

Penyelesaian Kontrol Optimal

Dari persamaan state dan

costate yang didapat,

Simulasi

dilakukan simulasi untuk melihat perubahan jumlah individu di masing-masing populasi pada saat ℛ₀ < 1, ℛ₀ > 1, eksistensi titik kesetimbangan, dan

pengaruh perpindahan individu antarwilayah terhadap penyebaran penyakit.

Untuk simulasi saat kondisi ℛ < 1, nilai parameter yang digunakan

ℛ₀= 0.384 Tabel 1 5 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Waktu (hari) B a n y a k n y a I n d iv id u S ,I d a n R ( ra tu s a n ) S1 I1 R1 S2 I2 R2

Simulasi

ℛ₀= 2.0067

Untuk simulasi numerik saat kondisi ℛ₀ > 1, nilai parameter yang digunakan diberikan pada Tabel 1 dengan memperbesasr nilai parameter 𝛽 menjadi 0.6.

Kemudian simulasi yang dilakukan pada kondisi ℛ₀ > 1 adalah menunjukkan pengaruh kontrol pengobatan yang dilakukan pada populasi infected.

0 20 40 60 80 100 120 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Waktu (hari) u *(t ) Kontrol Pengobatan u kontrol pengobatan

Simulasi

ℛ

₀

> 1

1,66 0 0 3,34 0,4 4,11 0,39 0,1 0 20 40 60 80 100 120 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Waktu (hari) B an ya kn ya I nd iv id u S (r at us an ) Populasi Susceptible S1 tanpa kontrol S2 tanpa kontrol S1 dengan kontrol S2 dengan kontrol 0 20 40 60 80 100 120 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Waktu (hari) B a n y a k n y a I n d iv id u I (r a tu s a n ) Populasi Infected I1 tanpa kontrol I2 tanpa kontrol I1 dengan kontrol I2 dengan kontrol 0 20 40 60 80 100 120 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Waktu (hari) B a n y a k n y a I n d iv id u T( ra tu s a n ) Populasi Treatment T1 tanpa kontrol T2 tanpa kontrol T1 dengan kontrol T2 dengan kontrol 0 20 40 60 80 100 120 0 0.5 1 1.5 Waktu (hari) B an ya kn ya I nd iv id u R (r at us an ) Populasi Removed R1 tanpa kontrol R2 tanpa kontrol R1 dengan kontrol R2 dengan kontrol

Simulasi

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.95 2 2.05 2.1 2.15 2.2

tingkat perpindahan individu antarwilayah

B il a n g a n R e p ro d u k s i D a s a r( R o )

Grafik bilangan reproduksi dasar

Pada titik kesetimbangan endemi ℛ₀ > 1 , disimulasikan ketika parameter 𝛼₁ berjalan dari 0 menuju 1. Dengan tujuan untuk mengetahui pengaruh perpindahan individu antarwilayah terhadap penyebaran penyakit menular.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6

Tingkat perpindahan individu antarwilayah

B a n y a k n y a i n d iv id u S ,I d a n R ( ra tu s a n ) Susceptible Infected Removed

Kesimpulan

1. Dengan mempelajari fenomena yang ada dan diberikan beberapa asumsi, diperoleh model penyebaran penyakit menular antar dua wilayah dengan dua kasus. Model I dan II berupa sistem persamaan diferensial nonlinear. Model I tidak terdapat kontrol pengobatan, yaitu

Kesimpulan

Kesimpulan

2. Model I dan II memiliki dua titik kesetimbangan, yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemi. Syarat eksistensi dan kestabilan kedua titik kesetimbangan tersebut adalah sebagai berikut.

a. Jika ℛ₀ < 1 maka titik kesetimbangan bebas penyakit eksis dan bersifat

stabil asimtotik, artinya setiap individu yang terinfeksi memproduksi kurang dari satu individu terinfeksi baru, dengan kata lain dapat diprediksi bahwa infeksi akan bersih dari populasi.

b. Jika ℛ₀ > 1 maka kedua titik kesetimbangan eksis, akan tetapi titik

ketimbangan endemi bersifat stabil asimtotik dan titik kesetimbangan bebas penyakit tidak stabil, artinya setiap individu yang terinfeksi memproduksi lebih dari satu individu terinfeksi baru, dengan kata lain dapat diprediksi bahwa infeksi akan menyebar pada populasi.

Kesimpulan

3. Untuk mendapatkan kontrol optimal dibentuk fungsi Hamiltonian yang memenuhi persamaan state, costate, dan kondisi stasioner sesuai prinsip Pontryagin dan didapatkan kontrol optimal sebagai berikut

𝑢∗ 𝑡 = min 0.9, max 0, 𝜆𝐼1 − 𝜆𝑇1 𝐼1 + 𝜆𝐼2 − 𝜆𝑇2 𝐼2 𝐴

4. Hasil analisis yang didapatkan untuk pengaruh perpindahan individu antarwilayah adalah jika tingkat perpindahan individu antarwilayah semakin meningkat maka nilai bilangan reproduksi dasar juga semakin meningkat. Karena semakin meningkatnya bilangan reproduksi dasar maka rata-rata individu yang terinfeksi menghasilkan individu terinfeksi baru dikarenakan terjadinya kontak antara individu susceptible dengan individu infected, sehingga menyebabkan bertambahnya jumlah individu pada populasi infected. Hasil simulasi juga menunjukkan hasil yang sesuai dengan hasil analisis. Kemudian hasil dari kontrol optimal menunjukkan keefektifan kontrol dalam mengendalikan penyebaran penyakit menular antar dua wilayah, yaitu dapat mengurangi jumlah individu

Saran

Pada

penulisan

selanjutnya,

hal

yang

dapat

dikembangkan dari tesis ini adalah dengan menambahkan

kontrol vaksinasi yang diberikan kepada individu

susceptible

.

Selanjutnya membandingkan efektivitas kontrol vaksinasi

dengan kontrol pengobatan.

Daftar Pustaka

Arino, J., & Driessche, P. v. (2003). A Multi-City Epidemic Model. Mathematical Population Studies, 10(3): 175-193.

Arino, J., Davis, J. R., Hartley, D., Jordan, R., & Driessche, P. v. (2005). A Multi-Species Epidemic Model With Spatial Dynamics. Mathematical Medicine and Biology, 22, 129-142.

Boyce, W. E., & DiPrima, R. C. (2009). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (Ninth ed.). United State of America: John Willey & Sons, Inc. Cui, J., Takeuchi, Y., & Saito, Y. (2006). Spreading Disease With Transport-related Infection.

Journal of Theoretical Biology, 376-390.

Driessche, P. v., & Wetmough, J. (2002). Reproduction Numbers and Sub-Threshold Endemic Equilibria for Compartmental Models of Disease Transmission.

Mathematical Biosciences, 180, 29-48.

Edwards, C. H., & Penney, D. E. (2008). Differential Equations and Linear Algebra (Sixth ed.). New Jersey: Prentice-Hall.

Kermack, W. O., & McKendrick, A. G. (1927). A Contribution of the Mathematical Theory of Epidemics. Proceedings of the Royal Society of london, Series A, Containing Papers of a mathematical and Physical Character.115 (hal. 700-721). The Royal Society.

Daftar Pustaka

Liu, J., & Zhou, Y. (2009). Global stability of an SIRS epidemic model with transport-related infection. Chaos Solitons & Fractals , 145-158.

Liu, X., & Takeuchi, Y. (2006). Spread of Disease with Transport-Related Infection and Entry Screening. Journal of Theoretical Biology, 242:517-528.

Murray, J. D. (2002). Mathematical Biology : I. An Introduction, Third Edition . New York Berlin Heidelberg: Springer-Verlag.

Nagle, R. K., Saff, E. B., & Snider, A. D. (2012). Fundamental of Differential Equations and Boundary Value Problems. Sixth Edition . USA: Pearson Education, Inc.

Naidu, D. S. (2002). Optimal Control Systems. New York: CRC Press.

Sattenspiel, L., & Diez, K. (1995). A Structured Epidemic Model Incorporating Geographic Mobility Among Regions. Mathematical Biosciences, 128:71-91.

Wan, H., & Cui, J. (2007). An SEIS Epidemic Model with Transport-related Infection. Journal of Theoretical Biology, 507-524.