Analisis Dinamik Model Epidemi Tipe SEIT

(1)

Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014) Yogyakarta, 27 Desember 2014

924 Analisis Dinamik Model Epidemi Tipe

SEIT

dengan Perbedaan

Periode Laten dan Tingkat Kejadian Tersaturasi

M. Ivan Ariful Fathonia, Mardlijahb, Hariyantoc

a,b,c

Program Studi Magister Matematika FMIPA ITS Kampus ITSSukolilo Surabaya Jawa Timur

a

m.ivan@fathonisme.com, bmardlijah@matematika.its.ac.id, chariyanto_its@yahoo.co.id

ABSTRAK

Pada artikel ini dikonstruksi model matematika penyebaran penyakit menular tipe SEIT

(Susceptible Exposed Infective Treatment). Adanya variasi virus dan kondisi jasmani yang berbeda tiap individu serta adanya perubahan perilaku dari individu rentan menjadi alasan pembentukan model dengan perbedaan periode laten dan tingkat kejadian tersaturasi. Dari hasil analisis dinamik, model memiliki dua titik kesetimbangan, yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit yang bersifat stabil saat bilangan reproduksi dasar bernilai lebih kecil atau sama dengan satu, dan titik kesetimbangan endemi yang eksis dan bersifat stabil saat bilangan reproduksi dasar bernilai lebih besar dari satu.Hasil analisis dinamik diilustrasikan dengan

simulasi numerik menggunakan software Matlab.

Kata Kunci :analisis dinamik, SEIT, tingkat kejadian tersaturasi, titik kesetimbangan, kestabilan.

ABSTRACT

In this paper, a SEIT (Susceptible Exposed Infective Treatment) mathematical model ofthe spread ofinfectious diseases is constructed. The virus variation, differentphysical conditions of each individual, and behavioral change of susceptible individual sare the reason to forma model with differences in latent period and saturated incidence rate. From dynamical analysis results, the model has two equilibrium points, i.e. the disease-free equilibrium point which stable whenthe basic reproduction numberis less than orequal to one, and the endemic equilibrium point which exiss and stable when the basic reproduction numberis greatert han one. The results of dynamical analysis is illustrated by numerical simulation using Matlab software.

(2)

925

Pendahuluan

Penyakit menular adalah

penyakit yang disebabkan oleh sebuah

agen biologi, seperti virus, bakteri, atau

parasit. Suatu individu dapat terjangkit

penyakit menular melalui kontak

langsung maupun tidak langsung

dengan individu terinfeksi. Akibat

kontak antarindividu tersebut terjadilah

suatu infeksi baru yang menjadi tanda

adanya kasus penyebaran penyakit

menular. Penyebaran penyakit menular

yang terus terjadi akan mengakibatkan

kondisi yang disebut epidemi. Epidemi

adalah kejadian tersebarnya penyakit

menular dalam masyarakat yang jumlah

penderitanya meningkat secara nyata

melebihi keadaan yang lazim pada

waktu dan daerah tertentu.

Perkembangan ilmu

pengetahuan di dalam matematika turut

memberikan peranan yang penting

dalam mencegah meluasnya penyebaran

penyakit. Peranan tersebut berupa

pembentukan model matematika yang

dapat menggambarkan penyebaran

suatu penyakit di masa yang akan

datang dengan melihat kondisi masa

sekarang atau masa lalu. Model tersebut

disebut dengan model epidemi.

Model epidemi pertama kali

diperkenalkan oleh Kermack dan

McKendrick(1927), yaitu modelSIR

(Susceptible Infective Removal). Model

SIR menggambarkan suatu penyebaran

penyakit dimana populasi individu yang

rentan (susceptible) dapat terinfeksi

melalui proses interaksi dengan individu

yang terinfeksi (infective), kemudian

populasi yang sembuh (removal) telah

memiliki kekebalan terhadap suatu

penyakit. Semakin berkembangnya

penelitian mengenai model penyebaran

penyakit menjadikan model

epidemiSIRsebagai pijakan banyak

ilmuwan untuk membuat model epidemi

yang lebih khusus.

Untuk kasus penyakit yang lain,

individu yang terinfeksi dapat sembuh

kembali. Akan tetapi tidak ada jaminan

bahwa individu yang sembuh dari

penyakit tersebut akan kebal terhadap

penyakit yang sama. Selain itu beberapa

penyakit menular memiliki periode

exposedatau disebut juga periode laten.

Periode exposed adalah masa

bersembunyinya penyakit dalam tubuh

ketika sistem kekebalan tubuh dalam

kondisi baik. Adanya individu sembuh

yang kembali rentan dan adanya periode

exposed menjadi alasan pembentukan

model epidemi tipe SEIS (Susceptible

Exposed Infective Susceptible) seperti

yang dikemukakan oleh Fan, Li, dan

(3)

926

Secara umum, model epidemi

mempertimbangkan tingkat kejadian

infeksi penyakit (incidence

tingkat).Tingkat kejadian infeksi

menyatakan banyaknya kasus infeksi

baru akibat interaksi antara individu

rentan dengan individu terinfeksi.

Capasso dan Serio (1978)

memperkenalkan tingkat kejadian

infeksi nonlinear yang disebut tingkat

kejadian infeksi tersaturasi. Tingkat

kejadian semacam ini lebih efektif

karena mempertimbangkan perubahan

perilaku dan pengaruh kepadatan

individu terinfeksi.Penyebaran penyakit

menular terjadi dalam bentuk yang

beragam, seperti pada penyakit H1N1.

Keberagaman yang terjadi yaitu adanya

perbedaan periode exposed dalam setiap

tubuh individu yang terinfeksi virus

H1N1. Terdapat individu yang melewati

fase periode exposed, dan ada yang

tidak. Hal ini terjadi akibat variasi virus

dan keadaan jasmani yang berbeda dari

setiap individu. Penyebaran penyakit

menular tipe SEIS dengan perbedaan

periode exposed dan tingkat kejadian

tersaturasi telah dimodelkan oleh Wang

(2012).

Penyebaran suatu penyakit dapat

dikendalikan dengan pemberian obat

pada individu terinfeksi. Oleh karena

itu, pengobatan perlu dilakukan sebagai

salah satu upaya untuk mencegah

penyebaran penyakit. Model epidemi

dengan adanya pengobatan

memunculkan populasi baru dari

individu terinfeksi yang telah mendapat

pengobatan, yaitu populasi treatment,

sehingga diperoleh model epidemi

SEIT(Susceptible Exposed Infective

Treatment)dengan perbedaan periode

exposed dan tingkat kejadian tersaturasi.

Metode Penelitian

Pada artikel ini dikonstruksi

model epidemi tipe SEITdengan

perbedaan periode exposed dan tingkat

kejadian tersaturasi. Analisis terhadap

modeldilakukan untuk memperoleh

titik-titik kesetimbangan, bilangan

reproduksi dasar, dan syarat eksistensi

serta kestabilan titik-titik

kesetimbangan model. Pada bagian

akhir, analisis yang telah diperoleh

disimulasikan dengan menggunakan

software Matlab.Program simulasi yang

telah dibuat dijalankan denganvariasi

nilai awal, sertavariasi nilai parameter

yang memenuhi dua kondisi, yaitu saat

dan .Output program simulasi dianalisis untuk memastikan

hasil yang sesuai dengan hasil analisis

(4)

927

Hasil dan Pembahasan

A. Konstruksi model

Model epidemi tipe SEIT dengan

perbedaan periode exposed dan tingkat

kejadian tersaturasi dikonstruksi dari

sistem persamaan autonomous

nonlinear dengan empat variabel tak

bebas.Variabel-variabel tersebut

adalah , , dan yang mewakili

banyaknya populasi susceptible,

exposed, infective, dan treatment. Laju

perubahan keempat populasi tersebut

adalah sebagai berikut.

(1)

dengan

: tingkat kelahiran,

: tingkat kematian alami,

: tingkat kematian akibat

penyakit,

: tingkat pengobatan,

: tingkat individu infectiveyang

kembali rentan,

: tingkat individu

treatmentyang kembalirentan,

: tingkat individu exposedyang

menjadiinfective,

:tingkat individu terinfeksi

yang menjadiexposed,

: tingkat individu terinfeksi

yang menjadi infective,

: tingkat kejadian tersaturasi.

Diagram kompartemen dari sistem

persamaan (1) ditampilkanpada Gambar

1.

Gambar 1. Diagram kompartemen

Dari sistem (1) diperoleh jumlah

total populasi ,

sehingga

(2)

Dengan mensubstitusikan

ke persamaan (1) dan menyertakan

persamaan (2) yang menggantikan ,

(5)

928

B. Titik kesetimbangan dan

bilangan reproduksi dasar

Titik-titik kesetimbangan dari

sistem persamaan (3) dapat diperoleh

dengan

Sehingga didapatkandua titik

kesetimbangan,

Titik kesetimbangan

menjelaskan bahwa pada keadaan ini

tidak terdapat individu exposed dan

infective dalam populasi, sehingga tidak

pernah terjadi kontak atau interaksi

antara individu susceptibledengan

individu infective. Dengan kata lain

semua individu dalamkeadaan sehat.

Keadaan seperti ini disebut dengan

keadaan bebas penyakit.Titik

kesetimbangan menjelaskan bahwa

pada keadaan ini terdapat individu

terinfeksi dalam populasi. Keadaan

seperti ini disebut keadaan endemi.

Dari titik kesetimbangan endemi

diperoleh bilangan reproduksi dasar

jika maka hanya terdapat satu

titik kesetimbangan yang eksis yaitu

titik kesetimbangan bebas penyakit.

Sedangkan jika maka terdapat

dua titik kesetimbangan yang eksis,

yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit

dan endemi.

C. Analisis kestabilantitik

kesetimbangan

Untuk mencari kestabilan dari

titik kesetimbangan yang diperoleh

maka dibentuk matriks Jacobi dari

(6)

929

[

]

dengan

Titik kesetimbangan bebas penyakit

disubstitusikan ke dalam

matriks Jacobi, diperoleh matriks ,

yaitu

[

]

Nilai eigen matriks diperoleh dari

persamaan karakteristik | |

, sehingga

Akar-akar persamaan karakteristikyang

diperoleh adalah

dan , serta dan

yang diperoleh dari persamaan

polinomial .Berdasarkan teorema

Vieta, diperoleh

dan

(7)

930

Jika maka

sehingga

Dari dan

terbukti bahwa jika , maka

persamaan memiliki akar-akar

negatif, sehingga semua nilai eigen

bernilai negatif. Dengan kata lain titik

kesetimbangan bersifat stabil

asimtotik. Jika ,maka bersifat

stabil. Jika , maka

sehingga persamaan memiliki

salah satu akar yang positif. Karena

terdapat nilai eigen yang positif maka

terbukti titik kesetimbangan tidak

stabil.

Berdasarkan

diperoleh

dan

(

)

Titik kesetimbangan endemi

disubstitusikan ke matriks diperoleh

[

]

dengan

( )

(8)

931

Berdasarkan Quirk &

Ruppert(1965), kestabilan matriks

dapat ditentukan. Dari matriks

Terdapat dua kemungkinan,

yaitu atau

kondisi ini tidak mungkin.

2. Jika positif, maka

Terdapat dua kemungkinan,

yaitu atau

. Karena selalu positif

maka kondisi yang mungkin adalah

, jadi

Selain itu, haruslah

(9)

932

Karena persamaan (4) bernilai

benar, maka jelas . Sehingga

terbukti

.

Berdasarkan dua kondisi

tersebut, serta karena dan

,maka

matriks memenuhi teorema

kestabilanQuirk &

Ruppert(1965).Dengan demikiandapat

disimpulkan jika ,maka titik

kesetimbangan bersifat stabil

asimtotik.

D. Simulasi

Dinamika penyakit menular pada

model epidemi SEIT dapat diamati

melalui simulasi numerik yang dibuat

menggunakan software Matlab. Model

disimulasikan saat dan

Untuk mengetahui potret fase, model disimulasikan saat populasi awal

( )adalah

dan

Untuk mengetahui perubahan jumlah

populasi, model disimulasikan saat

populasi awal

adalah

Untuk simulasi numerik saat

kondisi , nilai parameter yang

digunakan diberikan pada Tabel 1. Dari

nilai-nilai parameter pada Tabel 1 dan

dengan tingkatpengobatan ,

didapatkan , titik

kesetimbangan bebas penyakit

, dan

titik

yang

merupakan kesetimbangan endemi.

Tabel 1. Nilai parameter dalam simulasi

Parameter Nilai

0.1

0.01

0.1

0.4

0.5

0.4

0.1

0.2

Dari titik-titikkesetimbangan tersebut

terlihat bahwa keduanya eksis, seperti

yang ditampilkan pada Gambar 2.

Berdasarkan Gambar 2 dapat diketahui

bahwa dengan empat jumlah populasi

(10)

933

di titik . Hal ini diperjelas pada

Gambar 3.Pada Gambar 3 terlihat bahwa

populasi akan stabil di titik

danjumlah total populasi . Titik tersebut adalah titik kesetimbangan

endemi.Hasil simulasi numerik sesuai

dengan perhitungan analitik yang

menunjukkan jika maka titik

kesetimbangan endemi bersifat stabil,

sedangkan titik kesetimbangan bebas

penyakit bersifat tidak stabil.

Gambar 2. Potret fase saat

Gambar 3. Perubahan populasi saat

Untuk simulasi saat

diperoleh dengan menambah tingkat

pengobatan menjadi . Dari nilai

parameter tersebut diperoleh

, danhanya satu titik

kesetimbangan yang eksis, yaitu titik

sedangkan titik tidak eksis, seperti

pada Gambar 4.

Titik bebas penyakit Po Titik endemi P*

(6.85,0.64,0.22)

350 360 370 380 390 400

(11)

934

Gambar 4. Potret fase saat

Gambar 5. Perubahan populasi saat

Gambar 4 menunjukkan bahwa dengan

empat populasi awal yang berbeda,

populasi akan stabil di titik

kesetimbangan Berdasarkan grafik

perubahan populasi pada Gambar 5,

populasi exposed dan infective terus

mengalami penurunan sampai

populasinya habis. Akibatnya dalam

jangka waktu hari hanya terdapat

populasi susceptible yang hidup dan

jumlahnya stabil di titik kesetimbangan

bebas penyakit .

Kesimpulan

Kesimpulan yang dapat diambil

dari penelitian ini adalah sebagai

berikut.

1. Model epidemi tipe SEITdengan

perbedaan periode exposed dan

tingkat kejadian tersaturasi berupa

sistem autonomous nonlinear dengan

empat variabel tak bebas.

2. Model memiliki dua titik

kesetimbangan, yaitu titik

kesetimbangan bebas penyakit

yang selalu eksis, dan titik

kesetimbangan endemi yang

hanya eksis saat bilangan reproduksi

dasar lebih besar darisatu.

3. Syarat kestabilan kedua titik

kesetimbangan ditentukan oleh

bilangan reproduksi dasar. Jika

maka titik kesetimbangan endemi stabil, sebaliknya jika

maka hanya titik

kesetimbangan bebas penyakit yang

stabil.

Titik bebas penyakit Po

(12)

935

4. Simulasi numerik menunjukkan

bahwa tingkat pengobatan dapat

mengubah bilangan reproduksi dasar.

Semakin besar , maka bilangan

reproduksi dasar semakin

kecil.Akibatnya semakin tercapai

, atau kondisi bebas penyakit.

Ucapan Terima Kasih

Penulis berterima kasih kepada

Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi

yang telah memberikan dukungan

kepada penulis sehingga dapat

memperoleh ilmu untuk menulis artikel

ini. Penulis juga berterima kasih kepada

Basuki Widodo dan Isa Irawan atas

masukan yang telah diberikan selama

penulisan artikel ini.

Pustaka

Capasso, V. & Serio, G., 1978. A

Generalization of the

Kermack-McKendrick Deterministic

Epidemic Model. Mathematical

Biosciences, Volume 42, pp.

43-61.

Fan, M., Li, M. Y. & Wang, K., 2001.

Global Stability of an SEIS

Epidemic Model with

Recruitment and a Varying Total

Population Size. Mathematical

Biosciences, Volume 170, pp.

199-208.

Kermack, W. O. & McKendrick, A. G.,

1927. A Contribution of the

Mathematical Theory of

Epidemics. s.l., The Royal

Society, pp. 700-721.

Quirk, J. P. & Ruppert, R., 1965.

Qualitative Economics and The

Stability of Equilibrium. Rev.

Econ. Stud., pp. 311-326.

Wang, J., 2012. Analysis of an SEIS

Epidemic Model with a

Changing Delitescence. Abstract