APLIKASI ALJABAR MAKS-PLUS PADA SISTEM PENJADWALAN KERETA REL LISTRIK (KRL) JABODETABEK.

APLIKASI ALJABAR MAKS-PLUS PADA SISTEM

PENJADWALAN KERETA REL LISTRIK (KRL) JABODETABEK

oleh

AHMAD DIMYATHI M0111003

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET

APLIKASI ALJABAR MAKS-PLUS PADA SISTEM

PENJADWALAN KERETA REL LISTRIK (KRL) JABODETABEK

oleh

AHMAD DIMYATHI M0111003

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA 2016

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT atas rahmat dan hidayahNya sehingga penulis dapat menyelesaikan laporan skripsi ini dengan baik dan lancar. Penulis menyadari bahwa laporan skripsi ini banyak mengalami kesulitan, namun berkat bantuan dan bimbingan dari berbagai pihak kesulitan-kesulitan dapat terselesai-kan dengan baik. Oleh karena itu, penulis mengucapterselesai-kan terima kasih kepada

1. Drs. Siswanto, M.Si dan Drs. Pangadi, M.Si sebagai pembimbing I dan Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan dan arahan baik penu-lisan maupun materi.

2. Semua pihak yang membantu dalam penulisan skripsi ini yang tidak dapat penulis sebut satu per satu.

Semoga laporan ini dapat memberikan manfaat bagi seluruh pihak yang membutuhkan.

Surakarta, Mei 2016 Penulis

ABSTRAK

Ahmad Dimyathi, 2016. APLIKASI ALJABAR MAKS-PLUS PADA SISTEM PENJADWALAN KERETA REL LISTRIK (KRL) JABODETABEK. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.

Misalkan R merupakan himpunan bilangan real dan Rϵ = R∪ {ϵ} dengan

ϵ _{= − ∝. Aljabar maks-plus (R}max) merupakan himpunan Rϵ yang dilengkapi

operasi maksimum (⊕) dan jumlahan (⊗). Aljabar maks-plus dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah discrete event system (DES), salah satunya masa-lah penjadwalan.

Tujuan dari penelitian ini adalah mengaplikasikan aljabar maks-plus pada sistem penjadwalan kereta rel listrik (KRL) JABODETABEK dengan menentu-kan jadwal keberangkatan kemudian melakumenentu-kan simulasi keterlambatan. Jadwal diperoleh dengan menyelesaikan sistem persamaan linier x₍k _{+ 1) =} A_⊗x₍k₎ dengan x₍k_{) merupakan keberangkatan ke-k dan} A _{merupakan matriks dengan} elemen berupa waktu perjalanan KRL. Selanjutnya menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A_{. Nilai eigen dan vektor eigen merepresentasikan} periode keberangkatan KRL dan jadwal keberangkatan KRL. Simulasi keterlam-batan dilakukan dengan menentukan vektor keterlamketerlam-batanz₍k_{) =}x₍k₎₋d₍k_).

Hasil simulasi keterlambatan diperoleh pada k _{≥ 3 vektor keterlambatan} z₍k_{) bernilai 0 yang menandakan tidak terjadi lagi keterlambatan keberangkatan} KRL selanjutnya, dalam hal ini dikatakan penjadwalan dalam keadaan stabil. Kata kunci: aljabar maks-plus, DES, KRL, nilai eigen, vektor eigen, penjad-walan, simulasi keterlambatan, vektor keterlambatan, stabil.

ABSTRACT

Ahmad Dimyathi. 2016. APPLICATIONS OF MAX-PLUS ALGEBRA ON THE SCHEDULING SYSTEM OF THE ELECTRICAL TRAIN (ET) JABODETABEK. Faculty of Mathematics and Nature Sciences. Sebelas Maret University.

Let R be the set of real numbers and Rϵ = R∪ {ϵ} with ϵ = − ∝.

Max-plus algebra (Rmax) is a set of Rϵ equipped with maximum (⊕) and sum (⊗)

operations. Max-plus algebra can be used to solve the Discrete Event System (DES) problems. Scheduling is one of the problems.

The purpose of this research is to apply the max-plus algebra on the sche-duling system of the Electrical Train (ET) JABODETABEK to determine the departure time and then simulate a delay. The schedules are obtained by com-pleting the linear equation system. The equation system is x₍k_{+ 1) =} A_⊗x₍k₎ with x₍k_{) is a departure to-}k _and A _{is a matrix element in the form of travel} time ET. Furthermore, the eigenvalues and eigenvectors of matrix A _are deter-mined. The eigenvalues represent the period of departure and eigenvectors re-present ET departure. The simulation of delay is obtained by determining vector z₍k_{) =}x₍k₎₋d₍k_).

The result of delay simulation is obtained ink _{≥3 and delay vector}z₍k_{) is} 0 so indicating no delay for the next departure of ET. In this case, the schedule is on stable condition.

Keywords: max-plus algebra, DES, ET, eigenvalue, eigenvector, scheduling, si-mulation of delay, delay vector, stable.

MOTTO

If you believe, nothing is impossible

(Penulis)

Sesungguhnya bersama kesulitan ada kemudahan.(Qs. Al-Insyirah:6)

PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk

bapak dan ibu saya yang selalu memberiku semangat hingga karya ini dapat terselesaikan dengan baik dan terima kasih atas cinta kasih dan pengorbanan yang

telah diberikan kepadaku.

DAFTAR ISI

2.1.7 Sistem Linear Maks-Plus Waktu Invarian (SLMI) . . . 13

2.1.8 Nilai Eigen dan Vektor Eigen . . . 14

4.2 Aplikasi Aljabar Maks-Plus pada Sistem Penjadwalan KRL . . . . 22

4.2.1 Model Aljabar Maks-Plus . . . 22 4.2.2 Jadwal Keberangkatan KRL . . . 27 4.2.3 Simulasi Terhadap Keterlambatan . . . 30

V PENUTUP 34

5.1 Kesimpulan . . . 34 5.2 Saran . . . 34

DAFTAR PUSTAKA 35

DAFTAR TABEL

4.1 Jadwal perjalanan KRL. . . 22

4.2 Pemisalan Kereta. . . 23

4.3 Jadwal Keberangkatan KRL . . . 30

4.4 Jadwal Keberangkatan dan Keterlambatan KRL . . . 32

4.5 Simulasi Keterlambatan . . . 33

DAFTAR GAMBAR

2.1 Graf sederhana . . . 7

2.2 Graf berarah . . . 8

2.3 Graf berbobot . . . 9

4.1 Jalur KRL. . . 21

NOTASI DAN SIMBOL

Rϵ : elemen aljabar maks-plus yaitu gabungan R dan − ∝

∪ : union ϵ _{: elemen − ∝}

+ : operasi penjumlahan dalam aljabar biasa × : operasi perkalian dalam aljabar biasa ⊕ : operasi maksimum dalam aljabar maks-plus ⊗ : operasi penjumlahan dalam aljabar maks-plus Rm×n

max : himpunan matriks berukuran m×n dalam aljabar maks-plus

λ _{: nilai eigen} v _{: vektor eigen}

V₍G_{) : himpunan vertex pada graf} G V₍G_{) : himpunan edge pada graf} G