Bab III Model Proses Deformasi Benang Viscoelastis Linear di Lingkungan Fluida Newton

Model Proses Deformasi Benang Viscoelastis Linear di Lingkungan Fluida Newton

III.1 Stress dan Strain

Salah satu hal yang penting dalam pengkonstruksian model proses deformasi suatu fluida adalah masalah hubungan antara stress dan strain. Stress adalah suatu gaya tekan yang dimiliki suatu material yang berada di lingkungan ma- terial lain. Gaya ini mempengaruhi pergerakan material tersebut. Secara fisis stress dinyatakan sebagai gaya tekan per unit area. Pada kasus ini stress diru- muskan

τ = δP δL di dalam limit

τ = lim

δL→0

µ δP δL

¶

= dP

dL (3.1)

dengan L menyatakan panjang kurva. Strain mengukur seberapa besar ma- terial terdeformasi. Misal panjang awal suatu material L 0 . Jika material ter- deformasi sedemikian sehingga panjangnya berubah menjadi L, maka strain menentukan ukuran perubahan panjang material sebagai

e ^LG = L ² − L ² ₀ 2L ² ₀ atau

e ^E = L ² − L ² ₀ 2L ²

dengan e ^LG dan e ^E masing-masing menyatakan strain Lagrangian dan strain Eulerian. Dengan demikian ada hubungan antara stress dan strain. Menurut hukum Hooke hubungan tersebut dapat dirumuskan

τ = Ee (3.2)

dengan E menyatakan keelastisan suatu material.

III.2 Transformasi Tensor Tegangan

Misalkan P suatu partikel fluida bergerak pada waktu t

⁰

pada sumbu z

⁰

dan sumbu r

⁰

. Oz

⁰

r

⁰

dinamakan sistem koordinat konvekted (Convected Coordi- nate), dan P memiliki vektor posisi w

⁰

. Pergerakan partikel fluida P pada waktu yang sama dapat ditransformasi ke dalam sistem koordinat cartesius Ozr dengan waktu ditandai dengan t, dan vektor posisi ditandai dengan w.

Transformasi ini dituliskan sebagai fungsi

w

⁰

= w

⁰

³

w, t, t

⁰

´

dan sebaliknya fungsi

x

⁰

_i = x

⁰

_i

³ x _i , t, t

⁰

´

sebaliknya, transformasi pergerakan partikel fluida P dari sistem koordinat Ozr ke sistem koordinat Oz

⁰

r

⁰

dituliskan sebagai fungsi

w = w

³

w

⁰

, t

⁰

, t

´

atau

x _i = x _i

³ x

⁰

_i , t

⁰

, t

´

fungsi ini dinamakan fungsi transformasi (Displacement Function).

Melalui fungsi transformasi, kita dapat menentukan tensor gradien transfor- masi (Displacement Gradient Tensor ) ∆(w, t, t

⁰

) dan E(w, t, t

⁰

) dengan kom- ponen kartesius

∆ _ij (w, t, t

⁰

) = ∂x

⁰

_i (x, t, t

⁰

)

∂x _j (x

⁰

, t

⁰

, t) E _ij (w

⁰

, t

⁰

, t) = ∂x _i (x

⁰

, t

⁰

, t)

∂x

⁰

_j (x, t, t

⁰

) Turunan waktu dari tensor gradien transformasi

∂

∂t

⁰

∆ = ∂

∂t

⁰

µ ∂x

⁰

_i

∂x j

¶

= ∂

∂x j

µ ∂x

⁰

_i

∂t

⁰

¶

= +{ ¡

∇v ¢ _T

· 4}

∂

∂t E = ∂

∂t Ã

∂x _i

∂x

⁰

_j

!

= ∂

∂x

⁰

_j µ ∂x _i

∂t

¶

= −{E · ¡

∇v ¢ _T }

Penentuan tensor tegangan pada sistem koordinat konvekted (Convected Co- ordinate)

τ _ij ^d = E _ij · τ _ij ^d · ∆ _ji τ _ij ^d = ∂x _i

∂x

⁰

_j τ _ij ^d ∂x

⁰

_j

∂x _i D t = ∂u _i

∂x _i τ ij

∂x

⁰

_j

∂x _j + ∂ t τ ij + ∂u

⁰

_j

∂x _j τ ij

∂x _i

∂x _i

karena adanya persamaan kekontinuan ∂ _j u _j = 0, maka diperoleh D _t = ∂ _t .

III.3 Model Maxwell Linear

Suatu benang fluida tak Newton (Viscoelastis) linear yang direndam ke dalam

lingkungan fluida Newton yang diam mengalami proses deformasi sedemikian

sehingga membentuk sutu droplet. Pergerakan ini bekerja pada sistem koordi-

nat silinder (r,φ,z), dengan z menyatakan sumbu axis benang, r menyatakan

jari-jari silinder, φ merupakan sumbu azimuthal. Benang fluida tak Newton

digambarkan sebagai membran silinder tak berhingga yang berjari-jari a ^d de-

ngan kekentalan η ^d .

Perilaku benang fluida viscoelastis dipengaruhi oleh dua komponen mikroskopis yakni Hookean Spring dan Newton Dashpot. Hookean spring berhubungan de- ngan keelastisan,

dan Newton Dashpot berhubungan dengan kekentalan

Jika pada material terjadi perubahan posisi dari suatu partikel displacement field maka pada material tersebut terdapat strain yang dinyatakan dengan

¯

e _f = w(z + ∆z) − w(z)

(z + ∆z) − z ≈ ∂w

∂z

dengan w menyatakan vektor posisi suatu partikel.

Pada Newtonian Dashpot terjadi shear stress τ = η ∂u ^d

∂z = η ∂

∂z µ dw

dt

¶

= η d dt

µ ∂w

∂z

¶

= η d

dt e _f = η ˙ e _f dengan demikian

τ = η ˙ e _f (3.3)

Berdasarkan hukum Hooke pada Hookean spring berlaku persamaan

τ = Ee _s (3.4)

tanda bar menyatakan suatu tensor dan tanda tebal (bold) menyatakan vek- tor. Berdasarkan model Maxwell bahwa kedua komponen mikroskopis Hookean Spring dan Newtonian Dashpot tersusun secara seri pada suatu material, digambarkan sebagai berikut:

dan dirumuskan

e = e s + e f (3.5)

sehingga diperoleh hubungan antara tensor strain dan tensor stress η ˙e = (λD t + 1) τ

dengan λ = _E ^η dan ˙e merupakan rate-of-strain tensor atau dapat dinyatakan dengan ˙e =

µ

∇u ^d +

³

∇u ^d

´ _T ¶

. Dengan demikian diperoleh persamaan dasar (constitutive equation) dari fluida viscoelastis

(1 + λD _t ) τ ^d = η ^d µ

∇u ^d +

³

∇u ^d

´ _T ¶

(3.6)

turunan waktu D _t menyatakan turunan waktu convected time derivative. Pada

model Maxwell Linear, turunan waktu convected time derivative dinyatakan

dengan D t = ∂ t . Simbol d menyatakan benang fluida viscoelastis berada pada fase dispersi.

(1 + λ∂ t ) τ ^d = η ^d µ

∇u ^d +

³

∇u ^d

´ _T ¶

(3.7) (3.8)

Pada fluida lingkungannya, yakni fluida Newton, tensor tegangan fluidanya memenuhi persamaan (4.7) dengan λ = 0. Dengan demikian persamaan Maxwell linear dituliskan

τ ^c = η ^c

³

∇u ^c + (∇u ^c ) ^T

´

(3.9)

Selanjutnya, kita akan melakukan penskalaan (scaling) untuk model (4.8)-(4.9) agar terbentuk suatu persamaan yang tidak berdimensi.

III.4 Penskalaan Model

Penskalaan (scaling) adalah suatu proses yang membawa suatu persamaan berdimensi menjadi persamaan tak berdimensi. Proses ini sangat penting di- lakukan karena penskalaan akan membentuk suatu persamaan menjadi per- samaan bersifat umum . Dengan demikian memudahkan kita dalam menen- tukan solusi dari suatu persamaan. Melalui proses penskalaan ini, kita mem- peroleh parameter-parameter yang terlibat dalam proses deformasi benang flu- ida Viscoelastis menjadi droplet.

Dimensi dan notasi dimensi yang biasa digunakan adalah Panjang (L), Massa (M), dan waktu(T). Sistem satuan dimensi untuk dimensi tersebut adalah sistem CGS (Centimeter-Gram-Second) dan sistem MKS (Meter-Kilogram- Second).

Parameter-parameter yang terlibat dalam kasus ini ialah kekentalan (η), te-

gangan permukaan (σ), dan jari-jari benang (a ^d ). Melalui persamaan (2.3),

kita dapat merumuskan

η =

F A

∂

∂t

¡ _∂w

∂z

¢ = ML ⁻¹ T ⁻¹ σ = F

s = MT ⁻² a ^d = L

τ = F

A = ML ⁻¹ T ⁻² u = LT ⁻¹

F menyatakan gaya, A menyatakan luas permukaan, s jarak, u kecepatan, dan w vektor posisi. Dengan demikian kita memperoleh komponen kecepatan dan stress dalam bentuk tak berdimensi

r = a ^d r ^∗ ; u = σ

η ^c u ^∗ ; τ = σ

a ^d τ ^∗ ; t = a ^d η

τ t ^∗ (3.10)

dengan mensubstitusi persamaan (2.8) ke persamaan (2.6) , diperoleh per- samaan benang fluida viscoelastis dan fluida Newton yang tak berdimensi

(1 + De∂ _t ) τ ^∗d = η

³

∇u ^d + (∇u ^d ) ^T

´

atau

τ ^∗c = η ¡

∂ _i u ^∗c _j + ∂ _j u ^∗c _i ¢

(3.11) dengan

η = η ^d

η ^c ; λ = η

E ; De = λσ

a ^d η ^c (3.12)

λ menyatakan waktu relaksasi fluida, De dinamakan bilangan Deborah. Melalui persamaan (2.10)-(2.12), kita dapat menentukan karakter jenis fluida. Fluida Newton lebih kental dibanding dengan fluida Tak-Newton, dan keelastisan- nya lebih besar dibanding dengan kekentalannya. Hasil ini terlihat dari nilai Deborah fluida yang sangat kecil.

III.5 Persamaan Stokes Nonhomogen

Suatu benang fluida Tak Newton (viscoelastis) direndam ke dalam fluida New-

ton yang diam. Kedua fluida diasumsikan saling immiscible sehingga kedua

fluida tidak akan bercampur dan membentuk suatu interface. Kita asumsikan ada gaya tekan pressure dari fluida Newton. Beberapa saat kemudian benang viscoelastis terdeformasi menjadi untaian beberapa droplet (Breaking up pro- cess). Proses deformasi ini disebabkan karena adanya tegangan permukaan (Surface tension). Proses pembentukan droplet ini dapat diilustrasikan seba- gai berikut:

Gambar di atas mengilustrasikan proses berikut: akibat arus geser (Shear

flow ) yang terjadi di sekitar benang fluida viscoelastis, jari-jari benang fluida

viscoelastis ini akan mengecil. Setelah arus geser dihentikan, bentuk inter-

face awal dinyatakan sebagai pergerakan perturbasi. Bentuk interface awal ini

dipengaruhi oleh tegangan permukaan σ pada lapis batas antara benang fluida

viscoelastis dengan fluida Newton akan menjadi dominan. Pengaruh tegangan

permukaan ini menyebabkan benang fluida viscoelastis akan mencapai bentuk

yang memiliki energi permukaan paling minimum. Bentuk dengan energi per-

mukaan minimum ini akan ditandai sebagai untaian droplet yang berbentuk

butiran-butiran bola. Selain tegangan permukaan parameter-parameter lain

yang mempengaruhi proses deformasi ini adalah perbandingan antara keken-

talan benang fluida viscoelastis η ^d dan kekentalan fluida Newton η ^c , dan per-

bandingan antara kekentalan η dan keelastisan E.

Pergerakan perturbasi diasumsikan dalam arah radial saja, yang dikenal de- ngan asumsi axissimetris sehingga sumbu azimuthal diabaikan. Fluida dia- sumsikan bersifat tak mampat (incompressible). Dengan asumsi ini diperoleh persamaan kontinuitas (Persamaan Stokes):

∂ _i u _i = 0, ∀x ∈ S; i = 1, 2 (3.13) dan persamaan tensor tegangan total (stress tensor ) π _ij yang memenuhi

∂ _j π _ij = 0, ∀x ∈ S; i = 1, 2 (3.14) dengan tensor tegangan total didekomposisikan dari tekanan isotropik P dan tensor tegangan tambahan τ _ij .

π _ij = −P δ _ij + τ _ij (3.15)

yang mana P menyatakan tekanan isotropik, τ _ij menyatakan tensor tegangan tambahan dan memenuhi persamaan konstitutif (2.10)-(2.11). Persamaan kos- titutif tak-Newton untuk tensor tegangan di dalam domain S ^(l) dinyatakan dengan

(1 + De∂ _t ) τ _ij ^d = η ¡

∂ _i v _j ^d + ∂ _j v ^d _i ¢

(3.16) dan persamaan konstitutif Newton untuk tensor tegangan τ _ij di luar domain S ^(l)

τ _ij ^c = η ¡

∂ _i u ^c _j + ∂ _j u ^c _i ¢

(3.17) dengan ¡

∂ _i u ^c _j + ∂ _j u ^c _i ¢

menyatakan tensor rate-of-strain. Dari persamaan (2.15)- (2.16) diperoleh persamaan Stokes Nonhomogen.

η∂ jj u ^d _i − ∂ i P = De∂ j ∂ t τ _ij ^d (3.18)

III.6 Kondisi Awal

Proses deformasi benang, kita asumsikan sebagai pergerakan partikel fluida

yang mengalami gangguan perturbasi dalam arah radial saja (asumsi axis-

simetris), sehingga pergerakan partikel hanya dipandang pada dua dimensi

Ox ₁ x ₂ .

Pemberian kondisi awal terbagi menjadi dua, yakni pemberian posisi awal dan pemberian tensor tegangan awal.

• Posisi awal

Pada daerah batas dibagi menjadi empat daerah. Daerah S ₁ diberi posisi x 2 = 0. Daerah S 2 diberi posisi x 1 = L. Daerah S 3 diberi posisi x 2 = a ^d ¡

1 + ²e ^−ikx

¹

¢

. Sedang pada daerah S ₄ diberi posisi x ₁ = 0.

• Tensor tegangan awal

τ _ij = Qδ _ij

parameter k pada persamaan (4.19) masing-masing menyatakan bilangan gelom- bang yang bernilai real. Untuk x ₁ > 0, maka benang akan terdeformasi men- jadi droplet. Pada persamaan (4.13)-(4.14) yang dilengkapi dengan penyelesa- ian kondisi pada lapis batas (interface), yakni kekontinuan kecepatan, kekon- tinuan tensor tegangan geser, dan ketidakkontinuan tekanan normal akibat adanya tegangan permukaan.

III.7 Kondisi Batas

Jenis fluida yang berbeda, secara fisis kita menyatakan sebagai jenis material yang berbeda pula. Pada material, kita membahas masalah bodi (Bodies), konfigurasi (configuration), dan pergerakan material (Motion). Material dise- but juga sebagai bodi material. Suatu bodi material dikatakan kontinu, jika setiap titik geometri di bodi material bersesuaian dengan titik material. Ini be- rarti bahwa setiap titik di bodi material memiliki massa jenis positif (ρ > 0).

Dengan demikian bodi kontinu B dapat dinyatakan sebagai himpunan titik material, dituliskan P ∈ B. Daerah domain B pada waktu tertentu di ruang Euclid berdimensi tiga R ³ dinamakan sebagai konfigurasi material G di B.

Secara umum G dinyatakan sebagai fungsi terhadap waktu (G = G(t)). Him-

punan konfigurasi {G(t) : t ∈ I} selama interval waktu tertentu dinamakan

pergerakan material I ⊂ R. Setiap elemen G, dituliskan x ∈ G ⊂ R ³ meru-

pakan vektor posisi dari titik material P ∈ B pada waktu tertentu t dengan

ruang asal O ∈ R ³ . Pergerakan bodi material pada selang waktu tertentu di- namakan kondisi kinematik, dan bentuk konfigurasi material pada satu waktu tertentu dinamakan kondisi dinamik.

Pada kasus ini, kondisi batas untuk lapis batas interface kedua material yang berbeda, kita mengaplikasikan kekontinuan kecepatan, kondisi dinamik untuk tegangan (stress), dan kondisi kinematik yang menyatakan permukaan fluida viscoelastis sebagai permukaan material.

a. Kekontinuan Kecepatan

Pada interface tidak mengalami lompatan kecepatan yang accros ter- hadap interface. Peristiwa ini menunjukkan pada interface berlaku kekon- tinuan kecepatan, dan dituliskan

[|u|] = 0 (3.19)

akibatnya

u ^d = u ^c (3.20)

dengan u = u(x 1 , x 2 , t) menyatakan kecepatan pada interface x 2 = x ₂ (x ₁ , t) dengan fungsi gangguan yang diberikan oleh bagian real g(x ₁ , t) dengan

g(x ₁ , t) = ²a ^d e ^−ikx

¹

a ^d menyatakan jari-jari fluida Tak-Newton, dan i menyatakan bilangan satuan imajiner. Jika x 1 bernilai positif, maka benang akan terdeformasi menjadi droplet, sedang jika x ₁ bernilai negatif maka benang cenderung tak terdeformasi.

b. Kondisi Dinamik

Kondisi dinamik untuk tegangan menjelaskan tentang kekontinuan kom-

ponen tangensial g dan ketidakkontinuan komponen normal dari vektor

tegangan g. Ketidakkontinuan ini diakibatkan adanya tegangan per- mukaan pada interface sedemikian sehingga fluida terdeformasi mem- bentuk droplet.

Misal e _x

₁

, e _x

₂

, dan merupakan unit vektor basis di sumbu axial dan sumbu radial, maka unit vektor normal (n x

1

e x

1

+ n x

2

e x

2

) pada interface.

Misal pada surface benang viscoelastis dinyatakan dengan x ₂ (x ₁ , t) = a ^d (1 + ²f (x 1 , t))

n =

³

e _x

₁

− ²a ^{d ∂f} _∂φ e _φ − ²a ^{d ∂f} _∂z e _z

´ r

1 +

³

−²a ^{d ∂f} _∂φ

´ ₂ + ¡

²a ^{d ∂f} _∂z ¢ ₂

= µ

e _r − ² ∂f

∂φ e _φ − ²a ^d ∂f

∂z e _z

¶

maka diperoleh dua unit vektor tangen pada interface yang mengalami perturbasi

t 1 = ²a ^d ∂f

∂φ e r + e φ + O(² ² ) t ₂ = ²a ^d ∂f

∂z e _r + e _z + O(² ² )

Setiap vektor tegangan g pada interface linier dengan vektor normal n sedemikian sehingga jika g ∈ R ³ , maka terdapat pemetaan atau tensor tegangan total τ n ∈ R ³

g = τ n

kekontinuan komponen tangensial tegangan dan ketidakkontinuan kom- ponen normal tegangan dituliskan

[|π _ij t _j |] = 0 (3.21)

[|π _ij n _j |] = −σ µ 1

R ₁ + 1 R ₂

¶

n _i (3.22)

[|π _ij n _j |] = −σκn _i (3.23)

σ menyatakan tegangan permukaan (dalam satuan Newton/meter), dan R 1 dan R 2 merupakan prinsip radii kurvatur

1

R ₁ = −

∂

²

x

2

∂x

²₁

µ 1 +

³ ∂x

2

∂x

1

´ ₂ ¶ _3/2

1

R ₂ = x ² ₂ + 2 ³

∂x

2

∂φ

´ ₂

− x ₂ ^∂ _∂φ

²

^x

2¹

µ x ² ₂ +

³ ∂x

1

∂φ

´ ₂ ¶ _3/2

c. Kondisi kinematik

Adanya kondisi batas memperlihatkan perubahan bentuk silinder tiap detiknya. Perubahan bentuk silinder ini memperlihatkan proses defor- masi benang fluida viscoelastis menjadi droplet. Kondisi kinematik terse- but S dapat dinyatakan dengan

dx _i

dt = u _i ; ∀x _i ∈ S(t) (3.24)