SIFAT GELOMBANG PARTIKEL DAN PRINSIP KETIDAKPASTIAN. 39. Elektron, proton, dan elektron mempunyai sifat gelombang yang bisa

SIFAT GELOMBANG PARTIKEL DAN PRINSIP KETIDAKPASTIAN

39. Elektron, proton, dan elektron mempunyai sifat gelombang yang bisa diobservasi analog dengan foton. Panjang gelombang khas dari kebanyakan partikel berbanding terbalik dengan momentumnya.

  h / p

40. Suatu proses fisis bisa direpsentasikan oleh suatu bilangan kompleks yang disebut Amplitudo kemungkinan. Kemungkinan bahwa proses terjadi adalah kuadrat dari amplitudo. Jika suatu proses bisa terjadi lebih dari satu lintasan, kemudian amplitudo kemungkinan adalah jumlah dari masing-masing amplitudo dan kemungkinannya adalah ampitudo kuadrat.

Peraturannya adalah, jumlahkan dulu amplitudonya dan kemudian kuadratkan untuk mendapatkan probability.

P  |A|² ; P  | A1 + A2 + …| ²

41. Prinsip ketidakpastian menyatakan pembatasan mendasar pada bagaimana menentukan secara tepat dua hal yaitu posisi dan memonetum partikel secara simultan bisa diketahui :

x px  ħ/2

42. Suatu partikel terkurung untuk menempati suatu ruang terbatas, makanya ketakpastian posisinya adalah x, yang mempunyai energi kinetik minimum rata-rata yangdiberikan oleh prinsip ketidakpastian:

[ Ek ]min  ħ² /{8 m (x)²}

43. Suatu alternatif dari prinsip ketidakpastian menyatakan pembatasan mendasar pada bagaimana secara tepat energi suatu partikel diketahui jika diukur dalam selang waktu yang pendek.

E t  ħ/2

44. Lebar alamiah (  ) dan waktu paruh (  ) dari partikel berhubungan dengan :

   ħ

 adalah lebar penuh dari distribusi energi pada ½ nilai maksimumnya.

 adalah yang dibutuhkan partikel untuk meluruh menjadi ½ masa mula mulanya.

45. Louis de Broglie pada tahun 1923 membuat suatu postulat yang sangat berani yaitu bahwa semua materi termasuk elektron mempunyai sifat gelombang. Broglie menggunakan rumus Einstein tentang berbagai momentum dan energi foton. Diperoleh panjang gelombang foton:

 = P h

= mv

h

dengan:

h = konstanta Planck = 6,63 x 10^-34 Js m = massa partikel (kg) v = kecepatan partikel (m/s)

46. Prinsip ketidakpastian. Tidak mungkin kita mengetahui keduanya yaitu kedudukan dan momentum suatu benda secara seksama pada saat yang bersamaan. Prinsip ini ditemukan oleh Heisenberg dalam tahun 1927 dan merupakan salah satu hukum fisis yang memegang peranan penting.

Prinsip ketidakpastian:

x.p 

 4

h

Prinsip ketidakpastian Energi dan waktu:

E. t  2



Soal Latihan

1) Hitung panjang gelombang de Broglie dari sebuah bola basebal kecil mempunyai kecepatan dan satu atom jaraknya seperseribu tahun?

Penyelesaian:

Jarak antara atom sekitar 10^-10 m. Satu tahun sekitar 3 x 10⁷s.

Kecepatan basebal:

V = x kgm s

m / 10 3 10

10

7 . 3

10

= 3 x 10^-21 kg m/s Momentumnya :

P = mv

= 0,2 . 3 x 10^-21 kg m/s Panjang gelombang basebal:

 = P h

= x kgm s

js x

/ 10

6

10 63 , 6

21 34





= 10^-12 m

2) Sebuah atom yang "tereksitasi" mengeluarkan kelebihan energinya dengan memancarkan sebuah foton yang memiliki frekuensi karakteristik tertentu seperti yang diterangkan. Periode rata-rata yang berlangsung antara eksitasi atom dan saat memancarkannya adalah 10^-8 s. Cari ketidaktentuan energi dan frekuensi foton tersebut itu.

Penyelesaian: Energi foton tak tentu sebesar:

J 10 x 5,3

10 2

10 054 , 1 2

27 -

8 34



 



 _^

s x

Js x

E t

Ketidakpastian frekuensi cahaya diberikan dalam bentuk:

h v E



 8 x 10⁶ Hz

HAMBURAN RUTHERFORD

47. Inti ditemukan dengan memperhatikan bahwa partikel  kadang-kadang dihamburkan dengan sudut besar (bahkan berbalik) ketika mereka dilewatkan melalui lempeng timah tipis. Untuk menjelaskan fakta eksperimen ini Rutherford menyimpulkan bahwa muatan listrik positif atom harus terkonsentrasi pada satu titik.

48. Luas permukaan (cross section) Hamburan suatu partikel titik yang energi Ek dan muatan ze dengan suatu titik target yang bermuatan Ze oleh interaksi elektromagnetik yang diberikan oleh formula Rutherford:

d  hc 1 ---  --- z² Z² ² (---)² --- d cos  2 Ek (1 – cos )²

Formula Rutherford ini telah teruji melalui eksperimen.

Cross section  luas partikel yangmenumbuk partikel lain. Cross sectionuntuk sembarang proses A + B  Keadaan Akhir, adalah satuan luas yang sebanding dengan kemungkinan terjadinya dan didefenisikan sebagai laju hamburan (Scattering Rate) dibagi dengan flux kejadian (incident flux).

Scattering rate  Rs  {(R²)/a} { N/t}

Incident flux  i  N / (a t), sehingga cross section adalah :   Rs / i  R²  Satuan luas

49. Hamburan Rutherford tidak terjadi jika partikel proyektil diberi energi yang cukup untuk memasuki inti. Inti telah diobservasi terbuat dari paket speris

dari neutron dan proton yang terikat bersama dengan interaksi yang kuat.

Jari-jari inti ditentukan dari eksperimen hamburan adalah:

R  (1,2 fm) A^1/3

50. Ketika elektron dengan momentum kira-kira 1 GeV dihamburkan dari proton atau netron, penyimpangan dari cross section Rutherford ditemukan karena proton dan netron tidak seperti partikel titik, tetapi mempunyai ukuran yang terbatas. Pegukuran kuantitatif terhadap penyimpangan dari cross section Rutherford menunjukkan bahwa ukuran proton dan netron kira-kira 1 fm.

51. Makin tinggi momentum elektron yang bisa dibuat maka makin kecil partikel yang bisa ditemukan. Untuk momentum kira-kira 10 GeV ditemukan Quark, dan jika dinaikkan jadi 50-100 GeV maka ditemukan Quark sebagai partikel bebas. Quark terikat kuat dalam proton dan bisa lepas dengan energi sebesar energi defek massanya.

52. Sudut hamburan partikel alfa pada percobaan Rutherford:

Cot 2

 = b

ze K

2

40

Penampang hamburan:

   b²

Kecepatan elektron v berkaitan dengan jari-jari r melalui rumus:

V = mr

e 40

Dan energi total atom hidrogen : E = -

r e

0 2

8

Soal Latihan

1). Eksperimen menunjukan bahwa 13,6 eV diperlukan untuk memisahkan atom hidrogen menjadi sebuah proton dan sebuah elektron, ini berarti energi yang mengikat adalah E = - 13,6 eV. Carilah jari-jari orbital dan kecepatan elektron dalam atom hirogen.

Penyelesaian:

Karena : 13,6 eV = 2,2 x 10^-18 J

r = E e

0 2

8

=

J x

C x

18 0

2 19

10 2 , 2 . 8

) 10 6 , 1 (





 

= 5,3 x 10^-11 m

Jari-jari atomik sebesar itu sesuai dengan perkiraan yang dicari dengan cara lain kecepatan elektron dapat diperoleh:

V = mr

e

40

=

11 31

19

10 3 , 5 . 10 1 , 9 4

10 6 , 1







x x

C x

o

= 2,2 x 10⁶ m/s

PERSAMAAN SCHRODINGER

53. Untuk sebuah partikel dengan massa m bergerak dalam potensial V(x), persamaan Schrodinger tak bergantung waktu memberikan fungsi gelombang untuk untuk partikel dengan energi terbatas E.

- ħ² d²  + V(x) (x)  E  2m dx²

54. Kuadrat dari harga mutlak (x) adalah kemungkinan menemukan partikel per satuan x sebagai fungsidari x.

dP / dx  | (x) |²

Pembatasan kondisi pada (x) adalah bahwa (x)  0 seperti x  +  dan x  -  , makanya :

+ 

d x | (x) |²  1 - 

dimana (x) dan d/dx kontinyu, sedangkan V(x) terbatas.

55. Jika fungsi energi potensial V(x) simetri, kemudian fungsi gelombang memiliki simetri yang jelas. Keadaan dasar selalu fungsi genap.

56. Tingkat energi suatu partikel dalam kotak (satu dimensi) diberikan oleh:

En  (ħ² n² ²) / 2 mL²  n²h² / 8 mL² ;

dimana n adalah bilanga genap positif ( 1, 2, 3, ….) 57. Tingkat energi dari osilator harmonik kuantum adalah :

En  ( n – ½ ) ħ  ;

dimana n adalah bilangan genap positif ( 1, 2, 3, ….)

58. Partikel yang terperangkap dalam kotak setara dengan gelombang berdiri de Broglie. Panjang gelombang de Broglie partikel yang terperangkap dalam kotak:

 = n

n L

2 , n = 1,2,3,….

Tingkat energi partikel dalam kotak : En = ₂

2 2

8mL h

n , n = 1,2,3,...

Tingkat energi En disebut bilangan kuantum

59. Persamaan Schrodinger dalam tiga dimensi jika diselesaikan melalui teknik pemisahan variabel adalah :

 ( x, y, z)  F(x) G(y) H(z)

60. Persamaan Schrodinger bergantung waktu dalam satu dimensi:

i

t

 = -

m 2

2 2 2

x

 _{+ V}

Dalam tiga dimensi persamaan Schrodinger bergantung waktunya:

i  = -

2

(

2 +

2 +

2 _{) + V}

Persamaan Schrodinger bentuk keadaaan tunak dalam satu dimensi:

2 2

x



+ ²₂



m ( E – V )  = 0

Persamaan Schrodinger keadaan tunak dalam tiga dimensi

2 2

x



+ ₂

2

y



+ ₂

2

 z

 + ²₂



m ( E – V )  = 0

61. Efek terobosan

v I + III

E II

energi I II III I-

x=0 x=L x x

Seberkas partikel identik masing-masing berenergi kinetik K = E, berkas ini datang dari perintang potensial yang tingginya V dan lebarnya L seperti gambar diatas. Kedua sisi perintang itu V = 0 ini berarti tidak ada gaya yang bereaksi pada partikel disitu. Dalam daerah ini persamaan Schrodinger untuk partikel (semuanya diperikan oleh fungsi gelombang

 ) mengambil bentuk:

₂

2

x

 + ²₂



m E₁ = 0

2 111 2

x



+ ²₂



m E₁₁₁ = 0

Bilangan gelombang di dalam perintang (k2 ):

k2 =

 ) ( 2mV E

Peluang transmisi :

T = 



 





( ₂/ ₁)² 4

16 k

k e^-2k2L

Aproksimasi peluang transmisi : T = e^-2k2L

62. Fungsi gelombang sebuah partikel dalam kotak yang berenergi En ialah:

_n = A sin mE_n x

 2

_n = L 2 sin

L x n

, n = 1,2,3,…..

Harga ekspetasi bersesuaian dengan harga rata-rata:

Harga ekspetasi kedudukan:

x = ^



x ²dx





Soal Latihan

1) Berkas elektron tiba pada perintang yang tingginya 5 eV dan lebarnya 0,2 nm. Berapakah energi elektron yang diperlukan supaya dapat menembus perintang tersebut?

Penyelesaian:

-2k2L = 1

-2 

) ( 2mV E

.L = 1

4 2 ( ₂ ). ² E L V m



 = 1

8mL² (V-E) =  ² E = V - ₂

2

8mL



= 5 eV - eV x

x

19 20

10 6 , 1

10 8149 , 3





= 5 eV – 0,238 eV = 4,762 eV

2) Carilah bentuk tingkat energi (dalam MeV) sebuah neutron dalam kotak satu dimensi yang lebarnya 10^-14 m. Berapakah energi minimum neutron.

Penyelesaian:

En = ₂

2 2

8mL h n

= _{27 14 2}

2 34 2

) 10 ( 10 675 , 1 . 8

) 10 63 , 6 (







x

Js x

n

=2,05 MeV

3) Cari harga ekspetasi (x) dari kedudukan partikel yang terperangkap dalam kotak yang panjangnya L

Penyelesaian:

x = ^



x ²dx





= L 2



^Lx

0

sin L

x n

dx

= L 2 



 4 x2

- n L

L x n x

/ 4

) / 2 sin(



 -

L

L n

L x n

0

)2

/ ( 8

) / 2

cos( 









Karena sin n = 0, cos 2n = 1 dan cos 0 =1, maka untuk semua harga n, maka harga ekspetasinya ialah:

x = L 2 (

4 L2

)

= 2 L

Hasil ini menyatakan bahwa kedudukan rata-rata partikel adalah di titik tengah kotak untuk segala keadaan kuantum.

ATOM HIDROGEN

63. Pemecahan untuk persamaan Schrodinger dengan energi potensial Coulomb memberikan deskripsi yang benar secara kuantitatif untuk distribusi tingkat energi kemungkinan elektron atom hidrogen.

64. Pembatasan kondisi pada fungsi gelombang atom hidrogen membawa pada energi kuantisasi (E), momentum sudut (L), dan proyeksi momentum sudut yang diberikan oleh arah (Lz). Kondisi kuantisasi adalah:

En  13.6 eV / n²

dimana n adalah bilangan genap positif ( 1, 2, 3, ….), L   l (l + 1) ħ

dimana l adalah bilangan genap kurang dari n (0, 1, 2, 3, ….,n-1), dan Lz  ml ħ;

dimana m_l adalah bilangan genab dari – l sampai + l

65. Deskripsi yang lengkap secara fisika dari atom hidrogen harus termasuk momentum sudut intrinsik elektron, yang diberikan oleh nilai:

S  (  3 ħ ) / 2 ;

Berhubungan dengan bilangan kuantum spin s  ½. Komponen momentum sudut intrinsik dalam beberapa arah yang diberikan (Sz)

adalah terkuantisasi (Sz  ħ / 2 atau Sz  - ħ / 2); berhubungan dengan ms  ½ dan ms  - ½ .

66. Jumlah momentum sudut dalam elektron atom adalah penjumlahan vektor dari momentum sudut orbitalnya dan momentum sudut intrinsiknya.

21 J  L + S

67. Lambang yang digunakan untuk keadaan atom adalah nlj, dimana n dan j adalah yang terpenting dan jumlah dari bilangan kuantum momentum sudut dan l adalah huruf (s, p, d, atau f) yang mewakili nilai dari momentum sudut orbital; s untuk l  0; p untuk l  1; d untuk l  2 dan f untuk l  3.

68. Moment magnetik suatu elektron dalam suatu atom adalah :

  - (e / 2m) ( L + g S )

dimana faktor gyromagnetik (g) elektron hampir sama dengan 2.

69. Bilangan kuantum

Tiga dimensi bilangan kuantum:

A e^iml = A eiml( + 2 )

dengan : m^l = Bilangan kuantum magnetik ml = 0, 1,2,3,…., l

konstanta l dikenal sebagai bilangan kuantum orbital.

En = - _{2 2}

0 2

4

32   me ( ¹₂

n ) = ₂¹ n

E , n = 1,2,3….

Tabel untuk ketiga bilangan kuantum n, l dan m bersama harga yang diizinkan:

Bilangan kuantum utama : n = 1,2,3……..

Bilangan kuantum orbital : l = 0,1,2,……..(n-1) Bilangan kuantum magnetik : ml = 0,  1,2,…… l Momentum sudut elektron : L = l( l 1)

70. Kaidah seleksi; Kaidah seleksi untuk transisi yang diperbolehkan:

l = 1 ml = 0, 1

semua medan listrik dan magnetik ternyata berfluktuasi tetap di sekitar E dan B yang diharapkan secara klasik. Fluktuasi seperti itu juga terjadi secara klasik, E=B=0.

71. Efek Zeeman; Momen magnetik elektron:

 = - ( m e 2 ) L

Kuantitas (-e/2 m) yang bergantung hanya pada muatan dan massa elektron disebut rasio girogenetik. Tanda minus berarti bahwa arah  berlawanan dengan L. Energi potensial magnetik sebuah atom dalam medan magnetik ialah:

Vm = ( m e

2 ) L.B cos  cos  =

) 1 ( l l

m_l

Sedangkan L yang di izinkan:

L = l( l 1)

Untuk mendapatkan energi magnetik sebuah atom yang mempunyai bilangan kuantum magnetik ml jika atom itu terletak dalam medan magnetik, kita masukan rumus untuk cos  dan L dalam persamaan diatas .

Energi magnetik:

Vm = B e m



 



 2



Kuantitas e/2m disebut magneton Bohr.

Magneton Bohr: b = e/ 2m = 9,27 x 10^-24 J/T.

Sub-keadaan mempunyai energi berbeda dalam medan magnetik, dan energinya bisa sedikit lebih besar atau lebih kecil dari keadaan tanpa medan magnetik. Gejala itu menyebabkan “terpecahnya” garis spektrum individual menjadi garis-garis terpisah jika atom dipancarkan kedalam medan magnetik, dengan jarak antar garis bergantung dari besar medan itu. Terpecahnya garis spektral oleh medan magnetik disebut efek Zeeman. Karena ml dapat memiliki 2l + 1 hanya +l melewati 0 hingga –l, suatu keadaan dengan bilangan kuantum orbital l terpecah menjadi 2l + 1. Efek Zeeman Normal terdiri dari garis spektral berfrekuensi vo

terpecah menjadi 3 komponen berfrekuensi :

0

1 

  -  ._b h

B =  - ₀ B m e



4 ² ⁰

3 

  + ₀ ₀ h

B = +₀ B m e

 4

 0  - ₀ B m e



4  ₀  +₀ B m e



4

72. Bilangan kuantum s dipakai untuk memerikan momentum sudut spin elektron. Harga yang diperbolehkan ialah s = ½.

Momentum sudut spin :

S = S( S 1)

= 

2 3

Komponen Z momentum sudut spin : Sz = ms 

= 2



Momen magnetik spin :

mS l

s 



Komponen Z momen magnetik spin :

 =  sz

m e 2



73. Prinsip ekslusi Paulli menyatakan bahwa tidak terdapat dua elektron dalam sebuah atom yang dapat berada dalam keadaan kuantum yang sama.

Soal Latihan

1) Radiasi dengan panjang gelombang terbesar berapa yang mampu mengionisasi atom hidrogen netral? Jawab: 91 nm 2) Spektrum raksa menampilkan garis biru pada 435,8 nm. Berapa beda

tingkatan energi yang menimbulkan garis ini? Jawab: 2,85 eV

3) Untuk memenuhi prinsip eksklusi Paulli, temukan semua keadaan yang diijinkan untuk atom hidrogen yang berada dalam keadaan 3d3/2 .

Contoh Evaluasi

Evaluasi Bab I sampai Bab VIII

Modern Physics From  to ^o; J.W. Rohlf; JW&S Inc. 1994 Dan Bahan Perkuliahan Fisika Modern

1). Berkaitan dengan gejala relativistik hitunglah:

a. Massa elektron yang mempunyai kecepatan separo kecepatan cahaya.

b. Energi yang diperlukan untuk mempercepat elektron dari diam menjadi mempunyai kecepatan 0,9 c.

2). Jika diketahui fungsi kerja tembaga 4,4 eV.

a. Berapakah panjang gelombang maksimal yang dapat membebaskan elektron dari permukaan tembaga?

b. Apakah terjadi pembebasan elektron ketika tembaga disinari cahaya tampak?

3). Buatlah bagan transisi eksitasi dan kemungkinan transisi yang terjadi untuk suatu atom yang memiliki bilangan kuantum utama n = 4.

4). Seberkas cahaya menyinari suatu kisi yang sedemikian rupa dapat terdiri dari 4000 garis/cm. Jika garis orde maksimum kedua cahya tersebut jatuh pada sudut 34^o dari garis normal kisi, maka :

a. Berapa panjang gelombang berkas cahaya tersebut?

b. Termasuk kedalam spektrum warna apakah berkas cahaya tersebut?

5). Seberkas elektron tiba di suatu perintang setinggi 5 eV dan lebar 0,2 nm. Berdasarkan kondisi tersebut:

a. Hitunglah energi elektron minimal sehingga terjadi efek terobosan pada perintang tersebut!

b. Berapa peluang terobosan dari elektron berenergi 2 eV?

c. Manakah yang lebih berpengaruh terhadap efek terobosan; antara lebar perintang dengan energi elektron?

DAFTAR RUJUKAN

Rohlf, J.W. (1994). Modern Physics from  to ^o . New York: John Wiley &

Son Inc.

Beiser, A. (1990). Konsep Fisika Modern. Edisi Keempat Alih Bahasa Dr.

The Houw Liong. Jakarta : Penerbit Erlangga.

Sutrisno. (1989). Fisika Dasar 4 (Fisika Modern). Bandung: Penerbit ITB.