BAB II LANDASAN TEORI

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1. Model Pertumbuhan

Bentuk fungsi pertumbuhan satu jenis spesies pada umumnya menggunakan notasi fungsi analitik yang dinyatakan dalam satu persamaan. Secara umum fungsi pertumbuhan menyatakan hubungan ukuran berat (x) sebagai fungsi dari waktu (t), dan ditulis:

x = f(t).

Laju pertumbuhan merupakan fungsi dari ukuran berat (x) dan waktu (t) yang memenuhi persamaan:

) , ( tx dt u

dx = .

(France & Thornley 1984) Model pertumbuhan satu jenis spesies yang digunakan adalah model pertumbuhan Richards. Richards adalah orang yang pertama kali menerapkan persamaan pertumbuhan yang dibangun dalam model yang disebut model Von Bertalanffy untuk menunjukkan pertumbuhan hewan (Gasca et al, 2007).

Persamaan pertumbuhan Richards merupakan persamaan umum dari persamaan pertumbuhan monomolekuler, logistik, Gompertz dan persamaan lainnya. Bentuk umum dari persamaan Richards adalah:

n f n n f

nx x x kx dt

dx ( − )

=

dengan k dan x konstanta yang bernilai positif, serta n adalah parameter. Solusi _f umum dari persamaan Richards adalah:

( )

[

f^{n n kt}

]

ⁿ

n

f

e x x x

x t x

x ₁

0 0

) 0

(

− −

+

=

(bukti dapat dilihat pada Lampiran 1)

(1)

(2)

(3)

(4)

dengan x adalah ukuran berat pada t = 0 dan ₀ x merupakan ukuran berat untuk _f t → ∞. Untuk nilai n = -1, persamaan (3) menjadi:

(

^{x x}

)

dt k dx

f −

=

yang merupakan persamaan pertumbuhan monomolekuler. Kurva laju pertumbuhan model monomolekuler terhadap ukuran pada persamaan (5) dengan nilai k = 0.02, 0.05, dan 0.1 serta x_f = 1000 diperlihatkan pada Gambar 1.

200 400 600 800 1000 ukuran

20 40 60 80 100 laju pertumbuhan

Gambar 1 Laju pertumbuhan model monomolekuler untuk nilai k = 0.02, 0.05 dan 0.1 serta ukuran maksimum (xf) 1000.

Dari Gambar 1 di atas dapat dilihat bahwa pada model fungsi pertumbuhan monomolekuler semakin besar ukuran individu maka laju pertumbuhannya semakin menurun. Dengan menggunakan beberapa nilai parameter k, nampak pula bahwa semakin besar nilai k maka semakin cepat penurunan laju pertumbuhan.

Fungsi ukuran individu terhadap waktu dari model pertumbuhan monomolekuler adalah:

e kt x x x t

x( )= _f −( _f − ₀) ⁻ (bukti dapat dilhat pada Lampiran 2)

dengan x₀ menyatakan ukuran awal individu pada saat penebaran (ukuran pada t = 0). Kurva ukuran terhadap waktu untuk model fungsi pertumbuhan

(5)

(6) k=0.1

k=0.05

k=0.02

monomolekuler pada persamaan (6) dengan nilai x₀= 20, x_f= 1000 serta nilai k masing-masing 0.02, 0.05, dan 0.1 diperlihatkan pada Gambar 2.

50 100 150 waktu

200 400 600 800 1000

ukuran

Gambar 2 Fungsi pertumbuhan model monomolekuler untuk nilai x₀= 20, xf= 1000 serta nilai k masing-masing 0.02, 0.05 dan 0.1.

Dari Gambar 2, dapat dilihat bahwa fungsi pertumbuhan model monomolekuler merupakan fungsi yang monoton naik, konveks dan ukuran berat konvergen ke nilai x_f. Semakin besar nilai k ukuran berat ikan akan semakin cepat menuju nilai kekonvergenannya.

Untuk n = 1, persamaan (3) menjadi model persamaan logistik, yaitu:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

=

xf

kx x dt

dx 1 .

Grafik laju pertumbuhan model logistik pada persamaan (7) untuk nilai x = 1000 serta nilai k masing-masing sebesar 0.02, 0.05, dan 0.1 ditampilkan f

pada Gambar 3.

(7) k=0.05

k=0.1

k=0.02

200 400 600 800 1000 ukuran 5

10 15 20 25 laju pertumbuhan

Gambar 3 Laju pertumbuhan model logistik untuk nilai x = 1000 serta nilai k _f masing-masing sebesar 0.02, 0.05, dan 0.1

Dari Gambar 3, fungsi laju pertumbuhan model logistik merupakan fungsi konveks dan simetris serta laju maksimum tercapai pada ukuran separuh dari ukuran maksimumnya.

Fungsi ukuran setiap individu terhadap waktu dari model pertumbuhan logistik adalah:

kt f

f

e x x x

x t x

x ₋

−

= +

) ) (

(

0 0

0

(bukti dapat dilihat pada Lampiran 3)

dengan x menyatakan ukuran awal individu pada saat penebaran. Kurva ukuran ₀ terhadap waktu model fungsi pertumbuhan logistik pada persmaan (8) untuk nilai x = 20, 0 x = 1000 serta nilai k masing-masing sebesar 0.02, 0.05 dan 0.1 _f diperlihatkan pada Gambar 4.

(8) k = 0.02

k = 0.05

k = 0.1

100 200 300 400 500 waktu 200

400 600 800 1000

ukuran

Gambar 4 Fungsi pertumbuhan model logistik untuk nilai x = 20, ₀ x = 1000 _f serta nilai k sebesar 0.02, 0.05 dan 0.1

Pada Gambar 4, nampak bahwa fungsi pertumbuhan model logistik merupakan fungsi yang monoton naik, konveks dan mencapai kestabilan pada nilai x . _f Semakin besar nilai k semakin cepat menuju titik kestabilannya.

(France & Thornley, 1984)

2.2. Model Ekonomi Pemanenan

Nilai sekarang (present value) dari jumlah arus kas diskret c_t1,c_t2,...,c_tn yang dibayarkan pada periode t1, t2, ... tn dengan 0≤t₁<t₂ <...<t_n adalah:

∑

=

= ⁿ

i ctv ti

PV i

1

) (

dengan

ti

i r

t

v (1 )

) 1

( = + , r tingkat suku bunga per periode waktu. Jika berlaku suku bunga majemuk kontinu δ yang bernilai konstan untuk setiap waktu t maka nilai sekarang dari tingkat diskon untuk 1 satuan nilai pada setiap t ≥ 0 didefinisikan v(t)=e^−δt. Jika M(t) menyatakan total pembayaran pada selang waktu [0, t] maka didefinisikan ρ(t)=M'(t) untuk setiap t. Nilai sekarang dari total pembayaran yang dilakukan pada waktu 0≤t≤Tadalah:

(9) k = 0.02

k = 0.05 k = 0.1

∫

∫

^{= −}

=^Tv t t dt ^Te ^t t dt PV

0 0

) ( )

( )

( ρ ^δ ρ .

(McCutcheon & Scott 1986) Misalkan laju pertumbuhan populasi ikan dinyatakan dengan F(x) dan laju panen dengan h(t), maka laju pertumbuhan berat ikan x& memenuhi persamaan:

) ( ) (x h t dt F

x&= dx = − , 0t≥ .

Jika diasumsikan p adalah harga pada waktu panen bernilai konstan dan c(x) fungsi biaya pada waktu ikan berukuran x, maka penerimaan hasil panen pada waktu t dinotasikan dengan R(t) memenuhi persamaan:

[

( )

]

() )

(t p c x h t

R = − .

Diasumsikan δ >0 adalah faktor diskon kontinu, maka nilai sekarang dari fungsi penerimaan adalah:

∞

∫

= − 0

) ( dtt R e

PV ^δt .

Persamaan (11) dan (12) disubstitusikan ke persamaan (13) maka diperoleh:

∫

∞

− − −

=

0

] ) ( )][

(

[p c x F x xdt e

PV ^δt & .

(Clark 1976) Misalkan terdapat suatu fungsi produksi multivariabel, yaitu fungsi yang menggunakan n input untuk memproduksi suatu produk.. Jika x∈Rⁿ menunjukkan sepaket input, G(x) fungsi permintaan dan p harga, maka fungsi penerimaannya dinyatakan dengan R(x) = pG(x). Jika C(x) menunjukkan biaya sepaket input x, maka fungsi keuntungan adalah:

) ( ) ( )

(x = R x −C x

π .

Diasumsikan bahwa x yang membuat keuntungan maksimum berada dalam Rⁿ positif, maka turunan parsial dari π harus bernilai nol pada nilai x* optimal seperti yang dinyatakan oleh perumusan berikut:

( )

*

( )

*

( )

* =0

∂

−∂

∂

= ∂

∂

∂ x

x x C x x R

x_{i i i}

π

(Simon & Blume1994) (10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

2.3. Fungsi Kepadatan Peluang

Misalkan X adalah peubah acak kontinu yang memiliki fungsi kepadatan peluang f(x) dan terdefinisi pada R. Sifat-sifat yang harus dipenuhi adalah:

a. f(x)≥0 untuk semua x∈ R b.

∫

^∞

∞

−

= 1 ) ( dxx

f .

Fungsi kepadatan peluang sebaran kontinu yang digunakan dalam penentuan waktu panen optimal kultur heterogen adalah sebaran seragam dan sebaran beta.

1. Sebaran Seragam

Misalkan X peubah acak yang nilainya berada dalam selang [a, b]. Jika X menyebar seragam, maka X memiliki fungsi kepadatan peluang:

⎪⎩

⎪⎨

⎧ < <

= −

lainnya untuk

, 0

untuk 1 ,

) (

x

b x a a

x b f

Nilai rata-rata dan ragam dari sebaran seragam berturut-turut adalah:

) 2

( a b

x

E = + dan

12 ) ) (

(

a 2

x b

Var = − . Grafik fungsi sebaran seragam peubah acak X dalam selang [2, 4] disajikan pada Gambar 5 berikut:

f(x)

1 2 3 4 5 6 x

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Gambar 5 Fungsi sebaran seragam dalam selang [2, 4].

(17)

Dari Gambar 5, dapat dilihat bahwa fungsi kepadatan peluang untuk 2≤ x≤4 berupa fungsi konstan, yaitu f(x)=0.5 sedangkan untuk nilai x lainnya

0 ) (x =

f . Nilai rata-rata dan ragam fungsi ini masing-masing sebesar 3 dan ₃¹. 2. Sebaran Beta

Peubah acak X yang menyebar beta dengan parameter (α,β),α >0,β >0 memiliki fungsi kepadatan peluang:

⎪⎩

⎪⎨

⎧ − < <

= ^{− −}

lainnya

; 0

1 0

; ) 1 ) ( , (

1 )

(

1 1

x x x

B x x f

β α

β α

dengan ⁼

∫

^{1 − − −}

0

1 1(1 ) )

,

( x x dx

Bα β ^{α β} . Nilai rata-rata dan ragam dari sebaran beta

berturut-turut adalah:

β α

α

= + ) (x

E dan ₂

) )(

1 ) (

( α β α β

αβ + +

= + x

Var . Grafik

fungsi sebaran beta untuk α =3 dan β =2 disajikan pada Gambar 6 berikut:

f(x)

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x

0.5 1.0 1.5

Gambar 6 Fungsi sebaran beta f(x)untuk nilai α =3 dan β =2

Pada Gambar 6, nampak bahwa fungsi kepadatan peluang sebaran beta untuk

=3

α dan β =2 merupakan fungsi konvek pada selang [0, 1]. Pada selang [0, 1]

rumus fungsi kepadatan peluangnya adalah f(x)=₁₂¹ x²(1−x) dan f(x)=0 untuk nilai x lainnya. Nilai rata-rata dan ragam berturut-turut adalah ₅³ dan ₂₅¹ .

(18)

Teorema transformasi. Misalkan X merupakan peubah acak kontinu dengan fungsi kepadatan peluang f_X dan himpunan nilai yang mungkin dari x adalah A.

Untuk fungsi invers h: A → R, misalkan Y = h(X) merupakan peubah acak dengan himpunan nilai yang mungkin B = h(A) = {h(a) : a ∈ A}. Misalkan bahwa invers dari y=h(x) adalah x=h⁻¹(y)yang dapat didiferensialkan untuk semua nilai

B

y∈ . Maka f sebagai fungsi kepadatan peluang dari y diberikan oleh: _Y

(

( )

) ( )

'( ) )

(y f h ¹ y h ¹ y

f_Y = _X ^{− −} , y ∈ B.

(Ghahramani, 2005) 2.4. Deret Taylor

Misalkan I adalah selang yang memuat nilai a. Jika g dapat didiferensialkan hingga orde ke-n pada selang I, maka g dapat direpresentasikan dalam bentuk deret sebagai berikut:

) ( )

)! ( 1 (

) ) (

)(

( ' ) ( )

( ¹

) 1 (

x R a

n x a a g

x a g a g x

g ⁿ _n

n − +

+ − +

− +

= K ^{− −}

dengan ^{Rn x =} _n−

∫

^{xg ns x−s n− ds}

0

1 )

( )( )

1 ) 1

( .

(Salas & Hille 1978) (19)

(20)