BAB VI INFERENSI STATISTIK DUA POPULASI SEMBARANG

(1)

Universitas Gadjah Mada 1

BAB VI

INFERENSI STATISTIK DUA POPULASI SEMBARANG

Bab ini membahas inferensi statistik selisih dua mean populasi sembarang dan selisih dua proporsi populasi dikotomi/binomial. Untuk membahas hal tersebut diperlukan beberapa teorema tentang distribusi sampling selisish dua mean dan selisih dua proporsi. Teorema 6.1 (distribusi sampling selisih dua mean)

Misalkan X11 X12,..., X1n1 dan X11,X12,..., x1n2 adalah dua sampel randomyang

independen satu sama lain yang diambil populasi yang mempunyai mean 1 dan 2 serta

variansi dan maka untuk n1 dan n2 besar, variabel random

berdistribusi normal standar

b. Bila , dan tidak diketahui serta 

c. Bila , dan tidak diketahui serta =

Dengan (pooled variance) berdistribusi normal standar

Teorema 6.2

Misalkan X11 X12,..., X1n1 dan X11,X12,..., x1n2, dua sampel random yang independen

satu sama lain, masing masing diambil danpopulasi berdistribusi binomial b(1,pi) dan b(1,

Bila dan maka untuk n1 dan n2 besar , variabel random.

(2)

Universitas Gadjah Mada 2 berditribusi normal standar

b. Karena untuk n1 dan n2 besar

dekat

maka

6.1 Inferensi Statistik Selisih Dua Mean

Berdasarkan teorema 6.1 disusun suatu inferensi statistik untuk selisih mean dua populasi (1 - 2).

Estimator titik untuk (1 - 2) adalah(̅̅̅̅– ̅̅̅̅) Estimator Interval Selisih Mean Dua Populasi Interval Konfidensi (1-α)100% untuk (1-2) adalah

a. Jika , dan diketahui

(3)

Universitas Gadjah Mada 3 c. Jika , dan tidak diketahui dan diasumsikan bahwa , =

dengan

yang disebut sebagai variansi gabungan (pooled variance) Contoh 6.1

Dipunyai data harga daging sapi (rupiah) selama krisis moneter di dua daerah adalah sebagai berikut.

Ingin dicari Interval Konfidensi 95% untuk selisih harga rata-rata daging sapi (1-2) di atas.

Jawab :

Maka dipunyai interval konfidensi 95% untuk (1-2) adalah

(4)

Universitas Gadjah Mada 4 Artinya bahwa harga daging sapi di daerah I lebih tinggi antara 2.779 sampai 4.421 dari daerah II.

Uji Hipotesis Selisih Mean Dua Populasi

Ingin diuji suatu hipotesis bahwa mean selsiih dua populasi (1-2) sama dengan harga

0. Dengan 1dan 2 yang cukup besar, dan dengan dasar penyusunan inferensi yang sama

seperti dalam estimasi interval dapat disusun uji hipotesis sebagai berikut : 1. Hipotesis

2. Ditentukan nilai tingkat siginifikansi α 3. Statistik Penguji

a) Jika dan diketahui gunakan

b) Jika dan tidak diketahui gunakan

c) Jika dan tidak diketahui dan diasumsikan bahwa = , maka digunakan

(5)

Universitas Gadjah Mada 5 4. Daerah Kritik: Daerah dimana hipotesa nol ditolak, yakni dengan melihat hipotesis

altematif

Z adalah nilai yang dihitung dari statistik penguji

(6)

Universitas Gadjah Mada 6 5. Kesimpulan

Berdasarkan Iangkah 4 dan hasil hitungan satatistik penguji langkah 3, di ambil kesimpulan apakah Ho ditolak atau tidak ditolak pada tingkat signifikansi (kepercayaan) α.

Contoh 6.2

Sebuah PMA ingin membuka cabang di Indonesia dengan pilihan Jakarta atau Yogyakarta. Mereka akan memilih kantor di. Yogyakarta jika selisih harga rata-rata rumah di dua kota ini Iebih besar dari $60 ribu . Test menggunakan tingkat signifikansi α = 5 %. Ringkasan data dari sampel harga rumah dapat dilihat pada tabel di bawah ini.

Descriptive Statistics

Uji dilakukan sebagai berikut. 1. Hipotesis

2. Ditentukan nilai tingkat siginifikansi 0.05 3. Statistik Penguji

Karena dan tidak diketahui gunakan

4. Daerah Kritik: Daerah dimana hipotesa nol ditolak, yakni dengan melihat hipotesis alternatif

(7)

Universitas Gadjah Mada 7 5. Kesimpulan

Berdasarkan langkah 4 dan hasil hitungan statistik penguji langkah 3, di ambil kesimpulan Ho

ditolak pada signifikansi α = 5%.

Jadi dapat diambil kesimpulan bahwa PMA tersebut akan memilih kota Yogyakarta sebagai lokasi untuk kantornya.

6.2 Inferensi Statistik Selisih Dua Proporsi Estimasi Interval Selisih Proporsi Dua Populasi

Berdasarkan teorema 6.2b dan statistik ̂ dan ̂ yang diperoleh dari dua sampel, dapat disusun inferensi untuk selisih proporsi dua populasi p1 – p2. Interval konfidensi (1-α) 100%

untuk (p1 – p2) adalah

Contoh 6.3

Suatu agen mobil ingin melihat jenis mobil apakah yang lebih andal antara KIKI dan UKI. Untuk tujuan itu agen ini mengontak 400 pembeli mobil KIKI dan 500 pembeli mobil UKI yang umur mobilnya dibawah 3 tahun. Kepada mereka ditanyakan apakah mereka pernah menservis-berat mobilnya selama 2 tahun terakhir. Temyata diperoleh data 53 pemilik mobil KIKI dan 78 mobil UKI pernah melakukan servis tersebut. Ingin dicari Interval Konfidensi 90 % selisih proporsi (persentase) ) mobil yang mengalami servis berat.

Jawab: dipunyai data

x1 menyatakan jumlah mobil KIKI yang mengalami service-berat = 53 x2 menyatakan jumlah mobil UKI yang mengalami service-berat = 78

(8)

Universitas Gadjah Mada 8 Kita perhatikan hitungan berikut :

Jadi diperoleh Interval Konfidensi 90% untuk p,-p2 adalah

Karena Interval di atas memuat harga nol, maka dapat diambil kesimpulan bahwa selisih proporsi di atas tidak berbeda nyata, yaitu kedua mobil tersebut sama andalnya pada α = 10%.

Uji Hipotesis Proporsi Dua Populasi

Ingin diuji suatu hipotesis bahwa selisih proporsi (persentase) dua populasi P2 sama dengan

harga po tertentu. Dengan n1 dan n2 yang cukup besar, dan dengan dasar penyusunan inferensi

yang sama sepoerti dalam estimasi interval, dapat disusun uji hipotesis sebagai berikut : 1. Hipotesis

2. Ditentukan nilai tingkat siginifikansi α 3. Statistik Penguji

(9)

Universitas Gadjah Mada 9 Zα dan Zα/2 adalah nilai kuantil ke α dan α/2 dari tabel normal standar

5. Kesimpulan

Berdasarkan langkah 4 dan hasil hitungan satatistik penguji langkah 3, di ambil kesimpulan apakah Ho ditolak atau tidak ditolak pada tingkat signifikansi α.

Contoh 6.4

Berdasarkan data contoh 6.3 akan dilakukan uji hipotesis bahwa tidak ada perbedaan proporsi mobil yang diservis-berat diantara kedua jenis mobil tersebut.(dengan α=10%)

Jawab : 1. Hipotesis

2. Ditentukan nilai tingkat siginifikansi α=10% 3. Statistik Penguji

Diperoleh nilai Zhit = -1,0014.

5. Kesimpulan

Berdasarkan langkah 4 dan basil hitungan satatistik penguji langkah 3, di ambil kesimpulan apakah Ho tidak ditolak pada tingkat signifikansi 10%. Jadi dapat disimpulkan bahwa proporsi

(10)

mobil yang diservis-berat antara kedua mobil sama, atau lebih jauh dapat dikatakan bahwa kualitas / ketahanan kedua mobil di atas sama.

(11)

Universitas Gadjah Mada 11 Latihan

1. Sebuah perusahaan angkutan dengan rute jalan yang kasar ingin membandingkan kualitas dua merk ban yang sering dipakai. Dari 50 angkutan yang menggunakan ban merk 'Mafia' ditemukan 16 angkutan yang bannya sering pecah di perjalanan. Sedangkan dari 60 angkutan yang menggunakan ban merk 'Radia' ditemukan 21 angkutan yang sering mengalami pecah ban di perjalanan. Berdasarkan data di atas dapatkah disimpulkan

a. Proporsi ban 'Mafia' dan Radia' yang mengalami pecah ban sama pada tingkat signifikansi 5%.

b. Hitunglah interval konfidensi 95% selisih proporsi ban kedua merek yang mengalami pecah ban di perjalanan.

2. Seorang peneliti tentang masalah tenaga kerja ingin mengetahui apakah benar dua daerah A dan B mempunyai selisih mean penghasilan buruh lebih dari 50 ribu rupiah. Untuk itu diambil sampel random dari dua daerah tersebut dengan ukuran sampel samasebesar 100 buruh. Diperoleh mean dan deviasi standar untuk daerah A, 100 ribu rupiah dan 30 ribu rupiah; untuk daerah B, 48 ribu rupiah dan 22 ribu rupiah. Berdasarkan data-data tahun sebelumnya dapat dianggap deviasi standar penghasilan kedua daerah tersebut berbeda. Dengan tingkat signifikansi 5%, apakah kesimpulan si peneliti ?

3. Dari suatu survay yang dilakukan di kota A diperoleh 250 balita dari 350 sampel random balita dinyatakan kekurangan protein. Sedangkan hasil survay yang dilakukan di kota B diperoleh 150 balita dari 250 sampel random balita dinyatakan kekurangan protein. Berdasarkan hash! survay tersebut, benarkah pernyataan seorang nutrisionis bahwa

a. Proporsi balita yang kekurang protein di kota A lebih tinggi dari pada di kota B.

b. Proporsi balita yang kekurang protein di kota A lebih tinggi dari pada di kota B paling sedikit 10% Gunakan tingkat segnifikansi 5%

4. Berdasarkan data soal no. 2. Hitunglah interval konfidensi 95% untuk selisih mean penghasil buruh di kedua kota A dan B.

5. Berdasarkan data soal no. 3. Hitunglah interval konfidensi 99% untuk selisih proporsi balita yang kekurangan protein di kedua kota A dan B.

6. Ingin diketahui apakah suatu metode pembiakan tanaman pisang yang menggunakan cara modem menghasilkan pisang dengan berat yanglebih besar daripada pisang yang dikembangkan dengan caratradisional. Diperoleh informasi sebagai berikut

(12)

Ujilah apakah terdapat perbedaan yang nyata dan basil kedua metode pembiakan di atas dengan alga 3%. Setelah mengetahui hasilnya saran apakah yang dapat anda berikan kepada petani pisang. Anggaplah kedua variansinya sama.