Universitas Gadjah Mada 1
BAB VII
Inferensi Statistik Dua Populasi Normal
Bab ini membahas inferensi statistik selisih dua mean dan perbandingan dua variansi populasi normal, berdasarkan dua sampel independen. Disamping itu juga dibahas inferensi statistik selisih dua mean, berdasarkan dua sampel dependen berpasangan.
7.1 Inferensi Statistik Selisih Dua Mean Teorema 7.1
Misalkan X11, X12, ..., Xin1 dan X11, X12, ..., Xin2 adalah dua sampel random yang independen satu sama lain, masing masing diambil dari populasi yang berdistribusi normal dengan mean i dan 2; variansi dan maka variabel random
berdistribusi normal standar
berdistribusi t dengan derajat bebas
dengan adalah pooled variance
Universitas Gadjah Mada 2
Estimasi Interval Selisih Mean Dua Populasi
Berdasarkan teorema 7.1 dan statistik yang diperoleh dan dua sampel random tersebut, yaitu X11, X12, dan disusun suatu inferensi statistik untuk selisih mean dua populasi (i - 2). Interval Konfidensi (1-α)100% untuk (i - 2) adalah
a. Bila dan diketahui maka
b. Bila dan tidak diketahui , maka
Universitas Gadjah Mada 3 Contoh 7.1
Dipunyai data hasil pertanian (kg/ha) padi varietas A dan B yang diambil dari populasi normal sebagai berikut:
Dari data di atas diperoleh ringkasan sebagai berikut :
Kesimpulan :
Interval konfidensi 95% untuk i - 2 pada kolom terakhir tabel di atas baik untuk anggapan variansi sama maupun untuk variansi tidak sama.
Universitas Gadjah Mada 4
Uji Hipotesis Selisih Mean Dua Populasi Normal
Ingin diuji suatu hipotesis bahwa mean selisih dua populasi i - 2 sama dengan harga 0. Dengan n1 dan n2 sembarang dapat disusun uji hipotesis sebagai berikut:
2. Ditentukan nilai tingkat siginifikansi a 3. Statistik Penguji
berdistribusi t dengan derajat bebas
Universitas Gadjah Mada 5 4. Daerah Kritik: Daerah dimana hipotesa nol ditolak, yakni dengan melihat hipotesis alternatif
A. Ho ditolak bila t>tk,α/2 atau t<- tk,α/2 B. Ho ditolak bila t> tk,α
C. Ho ditolak bila t<- tk,α
t adalah nilai yang dihitung dari statistik penguji
tk,α dan tk,α/2 adalah nilai kuantil α dan α/2 dari tabel t (Tabel 5). 5. Kesimpulan
Berdasarkan langkah 4 dan hasil hitungan statistik penguji langkah 3, di ambil kesimpulan apakah Ho ditolak atau tidak ditolak pada tingkat signifikansi α
Contoh 7.2
Diberikan data jumlah pemasukan suatu statsiun TV dari iklan spot acara olahraga dan film. Di asumsikan bahwa data pemasukan iklan ini berdistribusi normal. Ringkasan sampel data diberikan dalam tabel berikut
Lebih lanjut, kita asumsikan bahwa = . Pihak manajer ingin merubah jam tayang dari kedua acara tersebut. Namun untuk itu, mereka ingin mengetahui apakah memang ada perbedaan pemasukan ikian dari kedua mata acara ini. Lakukan uji dengan menggunakan α = 5%.
Jawab :
Uji hipotesis dilakukan sebagai berikut 1. Hipotesis
Universitas Gadjah Mada 6 3. Statistik Penguji
Disini dan tidak diketahui, namun bisa diasumsikan bahwa = , maka
dengan statistik t berdistribusi t dengan derajat bebas k = n1+ n2— 2 = 13+15-2 = 26. 4. Daerah Kritik: Daerah dimana hipotesa nol ditolak, yakni dengan melihat hipotesis aiternatif
Hitungan:
Sehingga
5. Kesimpulan
Berdasarkan langakah 4 dan hasil hitungan statistik penguji langkah 3, di ambit kesimpulan apakah Ho ditolak pada tingkat signifikansi 5%. Disimpulkan bahwa data menunjukkan adanya perbedaan yang signifikan jumlah pemasukan ikian antara acara olahraga dan film. Sehingga pihak manager berani mengambil keputusan merubah jam tayang kedua acara tersebut.
Universitas Gadjah Mada 7
7.2 Inferensi Statistik Perbandingan Dua Variansi Teorema 7.2
Bila dan adalah dua variable random chi-kuadrat yang sating independen, masing-masing dengan derajat bebas k, dan k2, maka variabel random
berdistribusi F dengan derajat bebas pembilang k1 dan derajat bebas penyebut k2.
Teorema 7.3
Misalkan X11, X12, ..., Xin1 dan X11, X12, ..., Xin2 adalah dua sampel random yang independen satu sama lain, masing masing diambil dan populasi yang berdistribusi normal dengan mean Li dan 112; variansi 61 dan 62 maka menurut teorema 7.2 Statistik F
berdistribusi F dengan derajat bebas pembilang n1-1 , derajat bebas penyebut n2-1.
Catatan :
Disini kita dapatkan hubungan
Estimasi Interval Perbandingan Dua Variansi
Berdasarkan teorema 7.3 diperoleh Interval konfidensi adalah
dengan
Contoh 7.3
Universitas Gadjah Mada 8 Dari tabel distribusi F, kita peroleh F 20;18;0,025 = 2,56 dan F18;20;0,025 = 2,51
Sehingga interval konfidensi 95% untuk rasio adalah
Interval di atas tidak melewati angka 1 sehingga dapat disimpulkan bahwa kedua variansi berbeda.
Uji Hipotesis Variansi Dua Populasi Normal
Ingin diuji suatu hipotesis bahwa variansi dua populasi normal dan sama. Dengan dasar penyusunan inferensi yang sama seperti dalam estimasi interval, dapat disusun uji hipotesis sebagai berikut
1. Hipotesis
2. Ditentukan nilai tingkat signifikansi α
3. Statistik Penguji yang berdistribusi F (n1-1;n2-1) (7,12) 4. Daerah Kritik: Daerah dimana hipotesa nol ditolak
F adalah nilai yang dihitung dari statistik penguji
adalah nilai kuantil α
Universitas Gadjah Mada 9 5. Kesimpulan
Berdasarkan Iangkah 4 dan hasil hitungan satatistik penguji Iangkah 3, di ambit kesimpulan apakah Ho ditolak atau tidak ditolak pada tingkat signifikansi α.
Contoh 7.4
Dari contoh diatas (data ikian), kits ingin lakukan uji untuk mengecek bahwa variansi dua populasi adalah sama = 10%).
Jawab :
Uji hipotesis dilakukan sebagai berikut 1. Hipotesis
2. Ditentukan nilai tingkat signifikansiα= 10%
3. Statistik Penguji yang berdistribusi F(12;14)
4. Daerah Kritik: Daerah dimana hipotesa nol ditolak, yakni dengan melihat hipotesis alternatif
5. Kesimpulan
Berdasarkan langkah 4 dan hasil hitungan satatistik penguji langkah 3, di ambit kesimpulan apakah Ho tidak ditolak pada tingkat signifikansi a = 10%. Jadi dapat disimpulkan bahwa variansi kedua populasi di atas sama. Berdasarkan uji ini nantinya dalam melakukan uji hipotesis dua mean, kita memakai asumsi bahwa kedua populasi mempunyai mean yang sama.
Universitas Gadjah Mada 10
7.3 Inferensi Statistik Dua Populasi Normal Berpasangan
Sampel random berupa pasangan data (X1,Y1), .... ,(Xn,Yn), ingin dilakukan inferensi terhadap µD (rata-rata selisih) tiap pasangan dan populasi, berdasarkan statistik Di = Xi - Yi. Dalam hal ini meskipun antara pasangan (X1,Y1) independen untuk semua i = 1,...,n , namun X1dan Y1, sendiri tidaklah independen. Karena Y1 diambil dari individu / objek yang sama terhadap data X1. Inferensi dua populasi di atas tidaklah cocok untuk data tipe ini. Dengan menganggap D1, adalah sampel random yang berasal dari distribusi N(µD, ) , yaitu dari satu populasi saja , didefinisikan statistik t
Ingin diuji suatu hipotesis bahwa mean selisih dua populasi µD sama dengan harga µ0. 1. Hipotesis
2. Ditentukan nilai tingkat siginifikansi α 3. Statistik Penguji
Universitas Gadjah Mada 11 4. Daerah Kritik: Daerah dimana hipotesa nol ditolak, yakni dengan melihat hipotesis
alternatif A. H1: µD µ0
H0 ditolak bila t > tn-1;α/2 atau t < -tn-1;α/2
D.H1: µD > µ0
H0 ditolak bila t > tn-1;α
E. H1: µD < µ0
H0 ditolak bila t < -tn-1;α
t adalah nilai yang dihitung dari statistik penguji
tn-1;α dan tn-1;α/2 adalah nilai kuartil α dan α/2 dari tabel t (tabel 5) 5. Kesimpulan
Berdasarkan Iangkah 4 dan hasil hitungan statistik penguji Iangkah 3, di ambil kesimpulan apakah Ho ditolak atau tidak ditolak pada tingkat signifikansi α
Contoh 7.5
Dimiliki data hasil penjualan harian berurutan dari dua buah restoran di bawah ini
Diketahui bahwa hasil penjualan dari dua restoran ini cenderung turun dan naik bersamaan dalam hari -hari yang sama selama minggu itu. Lakukan uji selisih mean penjualan diantara dua restoran ini.(a = 5% ).
Jawab :
Disini asumsi independensi dad dua sampel tidak terpenuhi karena diketahui bahwa hasil penjualan dari dua restoran ini cenderung turun dan naik bersamaan dalam hari hari yang sama selama minggu itu. Karenanya kita akan lakukan uji dua sampel berpasangan.
Universitas Gadjah Mada 12 1. Hipotesis
2. Ditentukan nilai tingkat siginifikansi a=5% 3. Statistik Penguji
4. Daerah Kritik: Daerah dimana hipotesa nol ditolak, yakni dengan melihat hipotesis alternatif
Dan data dapat kita hitung XD = 82 dan SD = 32, sehingga 5. Kesimpulan
Berdasarkan Iangkah 4 dan hasil hitungan satatistik penguji Iangkah 3, di ambit kesimpulan Ho ditolak pada tingkat signifikansisi 5%. Data dengan kuat menunjukkan adanya perbedaan mean dari penjualan dari dua restoran tersebut. Hasil output dalam SPSS dapat anda lihat di bawah ini.
Universitas Gadjah Mada 13
Latihan :
1. Sebuah perusahaan obat-obatan mengikiankan bahwa obat pelangsing ABC mampu menurunkan berat badan orang yang meminumya sampai 5 kg jika diminum secara teratur dalam waktu 3 minggu. Yayasan Lembaga Konsumen Indonesia mengadakan penelitian terhadap masalah ini dan diperoleh data primer sebagai berikut :
Lakukanlah Uji hipotesa di atas dengan alpa 5 %.
2. Diduga kenaikan konsentrasi substrat akan mempengaruhi kecepatan reaksi ( pada suatu proses kimia). Percobaaan dengan konsntrasi 1 mo1/1 dilakukan sebanyak 12 kali dan konsentrasi 2 mol/I sebanyak 10 kali, diperoleh hasil
Universitas Gadjah Mada 14 Dianggap kedua populasi berdistribusi normal. Berdasarkan hasil percobaan di atas a) Apakah variabilitas kecepatan reaksi berbeda ?
b) Apakah fakta mendukung dugaan di atas ? Lakukanlah Uji hipotesa di atas dengan alpa 5 %.
3. Berdasarkan soal not . Hitunglah interval konfidensi 99% untuk selisih berat badan sebelum dan sesudah minum obat pelangsing.
4. Berdasarkan soal no2. Hitunglah interval konfidensi 95% untuk selisih rata-rata kecepatan reaksi.
5. Untuk menguji pengaruh pupuk baru terhadap hasil kacang tanah, sebidang tanah dibagi menjadi 42 petak kecil yang sama luasnya. Pengaruh-pengaruh lain seperti air, sinar matahari, kegemburan tanah dan sebagainya dianggap sama. Pupuk baru digunakan pada tanaman kacang sebanyak 21 petak, sedangkan sisanya dengan pupuk lama, diperoleh hasil sebagai berikut:
a) Dengan tingkat signifikansi 2%, apakah dapat disimpulkan bahawa variansi berat kacang tanah dengan pupuk lama dan pupuk baru berbeda ?
b) Dengan tingkat signifikansi 5%, Apakah dapat disimpulkan bahwa pupuk baru lebih baik dari pupuk lama ?
c) Dengan tingkat signifikansi 5%, Apakah dapat disimpulkan bahwa pupuk baru meningkatkan hasil kacang tanah lebih dari 5 kg dari pada pupuk lama?
