Universitas Gadjah Mada 1
BAB IV
INFERENSI STATISTIK SATU POPULASI SEMBARANG
Bab ini akan membahas inferensi statistik terhadap mean suatu populasi sembarang dan proporsi suatu populasi dikotomi/binomial. Ukuran sampel random yang diambil cukup besar, sehingga dapat menerapkan teorema limit pusat.
4.1. Inferensi Statistik Untuk Mean Estimator Titik Untuk Mean
Estimator titik untuk µ (mean) adalah mean sampel
Disini nilai dan Var
Estimator Interval Untuk Mean
Untuk kasus ukuran sample n besar (>30), berdasarkan Teorema Limit Pusat, maka variable random
akan mendekati distribusi normal standar (mean=0, variansi=1)
Interval konfidensi (1-0100% untuk µ diturunkan dengan menggunakan sifat dari variable random Z di atas, dan didapat
dengan
Dalam perhitungan, biasanya a2 (variansi dari populasi) tidak di ketahui, tetapi dapat di ganti dengan variansi sampel
Jika batas kesalahan estimasi D =max IX-µ I diberikan, kits dapat menentukan ukuran sample n yang dapat menjamin batas kesalahan tersebut dengan tingkat konfidensi a menggunakan formula
Universitas Gadjah Mada 2 Contoh 4.1
Kursi yang kosong dalam suatu penerbangan udara mengakibatkan pengurangan pendapatan. Misalkan suatu perusahaan penerbangan ingin mengestimasi rata-rata jumlah kursi yang kosong untuk setiap penerbangan dalam setahun yang lalu. Diambil sampel random 225 penerbangan dan diperoleh data R=11,6 dan s=4,1 tempat duduk. Tentukan Interval konfidensi 40% untuk ii
Jawab :
Diketahui : ̅ =11,6, s = 4,1 dan α = 0,1 Dari tabel 4 diperoleh Zα/2 =Z0,05 = 1.645
Pakai SPSS Z0,05= IDF.NORMAL(0,45,0,1)= 1.645 , sehingga diperoleh
Jadi Interval Konfidensi 40% untuk µ adalah 11,15 < µ < 12.05.
Uji Hipotesis Untuk Mean
Ingin di uji hipotesis bahwa mean suatu populasi sama dengan harga tertentu dengan n besar (>30). Langkah-langkah uji hipotesis ini adalah sebagai berikut
1. Tentukan Hipotesis
2. Tentukan tingkat siginifikansi 3. Statistik Penguji
atau ( bila a tidak diketahui, maka a diganti dengan s)
Universitas Gadjah Mada 3 5. Kesimpulan
Berdasarkan Iangkah 4 dan hasil hitungan statistik penguji Iangkah 3, di ambit kesimpulan apakah Ho di tolak atau tidak ditolak pada tingkat siginifikansi α.
Contoh 4.2
Sebuah pabrik sereal ingin mengetes unjuk kerja dari mesin pengisinya. Mesin tersebut dirancang untuk mengisi 12 ons setiap boksnya. Dan sekitar 100 boks yang diteliti diperoleh rata-rata 11.85 ons dan s = 0.5 ons. Ujilah kinerja mesin pengisi di atas dengan menggunakan α = 0.01.
Jawab:
Karena kita ingin mengecek apakah mesin pengisi mengisi dengan tepat 12 ons maka kita menggunakan uji dua sisi .
1. Tentukan Hipotesis
2. Tentukan tingkat siginifikansi α = 0,01 3. Statistik Penguji
(karena a tidak diketahui, maka a diganti dengan s)
4. Daerah Kritik : Ho di tolak bila Z>2,575 atau Z<-2,575 Hitungan : dari data diperoleh Zhit = -3.
5. Kesimpulan Karena Zhit masuk daerah kritis maka kita tolak Ho. Dan karena jatuh pada daerah sebelah kin maka kesimpulan kita adalah bahwa mesin pengisi itu mengisi rata-rata kurang dari 12 ons. Tentu saja hal ini merugikan pembeli.
4.2. Inferensi Statistik untuk Proporsi Estimasi Titik Untuk Proporsi
Universitas Gadjah Mada 4
Dapat digunakan statistik dari sampel random binomial xi, x2, ..., xn dimana jumlah sukses dalam sampel, sebagai estimator titik untuk proporsi.
Disini ̂akan mempunyai mean p dan variansi
Estimasi Interval Untuk Proporsi
Dari estimator titik dari proporsi diatas, dapat diturunkan estimasi interval bagi proporsi. Untuk n besar, ̂( ̂) akan mendekati ( ), sehingga dengan Teorema Limit Pusat, diperoleh hasil variabel random
Universitas Gadjah Mada 5 sehingga
yakni akan mendekati berdistribusi variabel normal standar. Sehingga dapat diturunkan interval konfidensi populasi), adalah:
dengan
Contoh 4.3
Ingin diketahui Proporsi keluarga di suatu kecamatan yang mempunyai TV sebagai media komunikasi. Dad sampel random sebanyak 500 RT (rumah tangga) , 364 diantaranya mempunyai TV. Jika total rumah tangga di kecamatan tersebut ada 30.000, hitunglah
a. Interval konfidensi 45 % proporsi RT pemilik TV
b. Interval konfidensi 45% total Rumah tangga pemilik TV di kecamatan tersebut. Jawab :
Dari data, diperoleh ̂
. Z0,025 = 1,96 sehingga
a. Jadi diperoleh interval konfidensi 45% untuk proporsi RT pemilik TV
b. Interval konfidensi 45% total Rumah tangga pemilik TV di kecamatan tersebut
Uji Hipotesis untuk Proporsi
Kita ingin menguji suatu hipotesis bahwa proporsi jenis tertentu dalama populasi sama dengan harga tertentu po dalam kasus n besar. Uji ini dapat dilakukan dalam langkah Iangkah sebagai berikut :
Universitas Gadjah Mada 6 2. Tentukan tingkat siginifikansi α
3. Statistik Penguji
dengan x adalah jumlah “sukses” dalam sampel
4. Daerah Kritik : Ho di tolak H1 bila
5. Kesimpulan
Berdasarkan Iangkah 4 dan hasil hitungan statistik penguji Iangkah 3, di ambit kesimpulan apakah Ho di tolak atau tidak ditolak pada tingkat siginifikansi α.
Contoh 4.4
Seorang calon manager Bank, meneliti tentang persentase nasabah yang merasa tidak puas dengan layanan Bank tersebut. Dia berpikiran jika nasabah yang kurang puas Iebih dari 5% maka dia akan memperbaharui sistem pelayanan yang ada sekarang. Dari 400 nasabah yang ditanyai 376 nasabah menyatakan puas dengan pelayanan, sedangkan sisanya tidak puas. Dengan tingkat signifikansi 5% apakah tindakan yang diambil oleh sang calon manager tadi ?
Jawab: 1. Hipotesis
2. Tentukan tingkat siginifikansi α = 0,05 3. Statistik Penguji
̂ √ ( )
, dengan x adalah jumlah "nasabah yang tidak puas" dalam sampel
Universitas Gadjah Mada 7 Hitungan : diperoleh
5. Kesimpulan
Ho tidak ditolak pada a= 0,05. Calon manager tadi sebaiknya tidak merombak sistem pelayanan yang ada, karena belum cukup bukti untuk mengatakan bahwa dengan sistem itu nasabah yang tidak puas lebih dari 5%.
4.3. Hubungan Antara Interval Konfidensi dan Uji Hipotesis
Untuk melihat hubungan tersebut, kits mengambil contoh hubungan antara interval konfidensi (1-α)*100% untuk µ dan uji hipotesis untuk µ. Diatas telah di berikan bahwa interval konfidensi (1-α)*100 % untuk µ adalah
dan daerah penerimaan Ho dalam uji dua sisi adalah
Terlihat bahwa bahwa Ho : µ = µo untuk uji dua sisi tidak ditolak pada tingkat signifikansi α apabila µo terletak dalam interval konfidensi (1-α)*100% untuk µ. Dengan kata lain, interval tersebut akan memuat semua nilai µo yang tidak akan ditolak dalam uji hiopotesa pada tingkat signifikansi α.
Contoh 4.5
Anda perhatikan contoh 4.2 di atas. Diperoleh
Maka diperoleh Interval Konfidensi 44% untuk µ adalah 11,72125 µ 11,47875. Maka jika kita punya Ho : µ = 12 , dengan α = 1% terlihat pada interval konfidensi di atas tidak memuat angka 12. Sehingka Ho di atas kita tolak , seperti pada uji hipotesis di atas.
4.4. Uji Hipotesis Menggunakan P-Value
p-value adalah nilai α terkecil dan data yang masih menolak Ho. Besarnya a telah ditentukan sebelumnya oleh pengguna statistik penguji, sedang p-value dihitung dari statistik.penguji. Jika p-value < α maka dapat disimpulkan bahwa data mendukung
Universitas Gadjah Mada 8 penolakan Ho. Penggunaan p-value ini sering dilihat pada tampilan komputer analisis statistik, seperti SPSS, MINITAB, SAS, MICROSTA, dll. (Namun kita dapat menghitung nilai p-value )
Contoh 4.6:
Akan diuji hipotesis untuk mean populasi
Misalkan dengan mengambil sampel sebanyak 100, diperoleh hasil ̅ = 21 dan ̅ = 4. Ujilah dengan menggunakan α = 5% dan hitunglah p-value uji ini.
Jawab:
karena sampel besar, maka kita gunakan statistik Z
Untuk α = 5%, daerah penolakan Ho adalah Z >1,645. Karena Z=2,5 > 1,645 maka ditolak pada tingkat siginifikansi α = 5%.
Dengan menggunakan tabel normal standar, kita dapat menghitung p-value p-value = P ( Z > 2,5 ) = 0,0062
ternyata p-value < 0,05, sehingga dapat kita simpulkan bahwa Ho ditolak pada tingkat signifikansi α = 5%.
Latihan
1. Disuatu kebun jeruk terdapat 800 pohon jeruk yang slap panen. Untuk mengestimasi jumlah panen jeruk dikebun tersebut, secara random dipilih 44 pohon. Dad 44 pohon ini diketahui hasil panen rata-rata 42 kg dengan deviasi standar 12 kg.
a. Berapakah estimasi jumlah panen jeruk di kebun tersebut ?
b. Hitunglah interval konfidensi 40% untuk rata-rata hasil panen per pohon !
c. Dengan tingkat signifikansi 5%, apakah dapat disimpulkan bahwa rata-rata hasil panen per pohon lebih dari 40 kg ?
d. Hitunglah interval konfidensi 40% untuk jumlah panen jeruk dikebun tersebut
2. Dalam suatu survai tentang pengambilan matakuliah matematika dan statistika oleh mahasiswa fakulats MIPA. Diambil suatu sampel random yang terdiri dari 400 mahasiswa di fakultas tersebut. Dari sampel diketahui data pengambilan mata kuliah matematika dan statistika mereka sebagai berikut:
Universitas Gadjah Mada 9 a) Tentukan interval konfidensi 45% untuk proporsi mahasiswa yang mengambil mata
kuliah statistika 1 kali.
b) Dengan tingkat signifikansi 5%, apakah proporsi mahasiswa yang mengambil mata kuliah matematika lebih dari 2 kali secara nyata lebih dari 30% ?
