Dasar-dasar Logika
Intro
Logika berhubungan dengan kalimat-kalimat dan hubungan antar kalimat.
Tujuan: menentukan apakah suatu kalimat / masalah bernilai
benar (TRUE) atau salah (FALSE)
Kalimat Deklaratif (proposition): bernilai benar atau salah, tapi tidak keduanya. Dilambangkan dengan
(p, q, r...) Contoh:
a. 2 + 2 = 4 (benar)
b. 4 adalah bilangan prima (salah)
Lawan kalimat deskriptif adalah Kalimat Terbuka contoh:
x + y = 2 (nilai kebenaran tergantung x dan y) Di manakah letak pulau Bali? (kalimat tanya)
Connectivity
Connective
(penghubung): menghubungkan
dua buah propositions
syntactics rule
(aturan sintaktik):
aturan yang diperlukan untuk
menggabungkan propositions dan connectives,
sehingga menghasilkan
sentences
(kalimat
logika)
Syntactics Rule (Aturan Sintaktik)
Simbol
Arti
Bentuk
atau ~
Tidak / not / negasi NOT...Dan / And / Konjungsi ... AND / BUT ...
Atau / Or / Disjungsi ... OR ...
Implikasi IF ... THEN ...
Bi-implikasi / Equivalence ... IF AND ONLY-IF ...
¬
∨
∧
Note: bentuk “tetapi” mempunyai arti sama dengan “dan”
→
Contoh
p : “hari ini panas” (proposition # 1)
q: “hari ini cerah” (proposition # 2)
Hari ini tidak panas tetapi cerah:
~
p
q
Hari ini tidak panas dan tidak cerah:
~
p
~q
Tidak benar bahwa hari ini panas dan cerah:
~(p
q)
Semantic Rules (Aturan Semantik)
Interpretasi: pemberian “truth value” (TRUE atau FALSE) pada penghubung (connective) dari suatu kalimat logika (sentences).
Semantic Rules: suatu aturan yang digunakan untuk menentukan truth value dari suatu sentence, yaitu :
1. Negation Rule (Aturan NOT)
2. Conjunction Rule (Aturan AND) 3. Disjunction Rule (Aturan OR)
4. Implication Rule (Aturan IF-THEN)
5. Bi-implication/Equivalence Rule (Aturan IF -AND ONLY IF -) 6. Conditional Rule (Aturan IF–THEN-ELSE)
Semantic Rule (Aturan Semantik)
Negation Rule
(Aturan NOT)
p
not p
true
false
Semantic Rule (Aturan Semantik)
Conjunction Rule
(Aturan AND)
Conjunction bernilai “benar” bila dua buah penyusunnya
bernilai benar
p
q
p and q
true
true
true
true
false
false
false
true
false
Semantic Rule (Aturan Semantik)
Disjunction Rule
(Aturan OR)
Disjunction bernilai “salah” bila dua buah penyusunnya
bernilai salah
p
q
p or q
true
true
true
true
false
true
false
true
true
Sifat aljabar logika untuk conjunction dan disjunction
Hukum Idempoten
p or p = p
p and p = p
Hukum Komutatif
p or q = q or p
p and q = q and p
Hukum Assosiatif
(p or q) or r = p or (q or r)
(p and q) and r = p or (q or r)
Sifat aljabar logika untuk conjunction dan disjunction
Hukum Distributif
p or (q and r) = (p or q) and (p or r)
p and (q or r) = (p and q) or (p and r)
Hukum Identitas
p or false = p
p and true = p
p or true = true
Sifat aljabar logika untuk conjunction dan disjunction
Hukum Komplemen
p or not p = true
p and not p = false
not (not p) = p
Hukum De Morgan
negasi dari konjungsi dan disjungsi
not (p or q) = not p and not q
Semantic Rule (Aturan Semantik)
Implication Rule
(Aturan IF-THEN)
Implikasi bernilai “salah” bila anteseden (p) benar dan
konsekuen (q) salah.
p
q
if p then q
true
true
true
true
false
false
false
true
true
Semantic Rule (Aturan Semantik)
Implication Rule
(Aturan IF-THEN)
Jika adalah implikasi, maka : adalah konvers
adalah invers
adalah kontraposisi
Jika bernilai benar, maka:
belum tentu , , bernilai benar.
p → q
(
)
q → p(
)
¬p → ¬q(
)
¬q → ¬p(
)
p → q(
)
q → p(
)
(
¬p → ¬q)
(
¬q → ¬p)
Semantic Rule (Aturan Semantik)
Bi-Implication/Equivalence Rule (Aturan IF -AND ONLY IF -) Bi-implication bernilai “benar”, jika penyusun proposisi
bernilai sama
p
q
p if and only if q
true
true
true
true
false
false
false
true
false
Semantic Rule (Aturan Semantik)
Conditional Rule
(Aturan IF–THEN-ELSE)
Jika p bernilai benar maka q berlaku; Jika p bernilai salah maka r berlaku
p
q
r
if p then q else r
true
true
true
true
true
true
false
true
true
false
true
false
true
false
false
false
false
true
true
true
false
true
false
false
false
false
true
true
Logika selalu berhubungan dengan
pernyataaan-pernyataan yang ditentukan
nilai kebenarannya
Untuk menentukan sebuah kesimpulan,
didasarkan pada sejumlah kalimat yang
diketahui nilai kebenarannya
Argumen: rangkaian kalimat-kalimat
Semua kalimat-kalimat tersebut disebut hipotesa (asumsi/premise), kecuali kalimat kesimpulan
Argumen valid: semua hipotesa BENAR, kesimpulan BENAR
Argumen tidak valid: semua hipotesa BENAR, kesimpulan SALAH
Inferensi Logika (Pengambilan Kesimpulan)
p1 p2 .... pn ⎫ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ hipotesa ____________
Prosedur Inferensi:
Tentukan hipotesa dan kesimpulan kalimat
Buat tabel yang menunjukkan nilai kebenaran untuk semua hipotesa dan kesimpulan (jumlah kombinasi 2n
di mana n = jumlah proposisi )
Carilah baris kritis, baris di mana semua hipotesa bernilai benar
Dalam baris kritis tersebut, jika semua nilai kesimpulan benar, maka argumen valid.
Jika di antara baris kritis tersebut ada baris dengan nilai kesimpulan yang salah, maka argumen invalid
Tentukan apakah argumen di bawah ini
valid:
p
∨ q ∨ r
(
)
¬r
∴ p ∨ q
Contoh Soal
Jawaban Soal
Ada dua hipotesa, masing-masing
dan . Kesimpulannya
Baris ke- p q r 1 T T T T T F T 2 T T F T T T T 3 T F T T T F T 4 T F F F T T T 5 F T T T T F T 6 F T F T T T T 7 F F T T T F F 8 F F F F F T F q ∨ r p ∨ q ∨ r( ) ¬r p ∨ qMaka, argumen tersebut valid
baris kritis baris kritis baris kritis
Modus Ponens
Contoh:
Jika seseorang itu adalah pengusaha ia pasti kaya Pak Jalal adalah seorang pengusaha
Pak Jalal pasti kaya
p → q
p ∴q
Modus Tollens
Contoh:
Jika Pak Jalal adalah pengusaha yang baik maka ia pasti tidak bangkrut
Pak Jalal bangkrut
Pak Jalal bukan pengusaha yang baik
p → q
¬q ∴¬p
Penambahan Disjungtif
Contoh:
Udin adalah siswa SMA (Sekolah Menengah Atas) Jadi, Udin adalah siswa sekolah menengah
(SMP atau SMA)
Metode Inferensi Logika (3)
p
∴ p ∨ q
q
Penyederhanaan Konjungtif
Contoh:
Asrul menguasai bahasa C dan PHP
Asrul menguasai bahasa C
Metode Inferensi Logika (4)
p ∧ q
∴ p
p ∧ q
Silogisme Disjungtif
Contoh:
Kunci kamarku ada di sakuku atau tertinggal di rumah Kunci kamarku tidak ada di saku
Kunci kamarku pasti tertinggal di rumah
Metode Inferensi Logika (5)
p ∨ q ¬p ∴q p ∨ q ¬q ∴ p
Silogisme Hipotesis
Contoh:
Jika ia rajin maka ia pasti pandai Jika ia pandai maka ia pasti sukses
Jika ia rajin maka ia pasti sukses
Metode Inferensi Logika (6)
p → q
q → r
Dilema
Contoh:
Nanti malam, pertandingan bola dimenangkan oleh Barcelona atau Manchester United
Jika Barcelona menang, saya akan senang
Jika Manchester United menang, saya akan senang
Nanti malam saya akan senang
Metode Inferensi Logika (7)
p ∨ q
p → r
q → r
Konjungsi
Contoh:
Saya adalah seorang mahasiswa Saya adalah seorang pengusaha
Saya adalah seorang mahasiswa sekaligus pengusaha
Metode Inferensi Logika (8)
p q
