1
WAKTU OPTIMUM PADA PELURU KENDALI DENGAN MANUVER AKHIR MENGHUNJAM VERTIKAL Sari Cahyaningtias 1207 100 046 Dosen Pembimbing: Subchan, Ph.D Abstrak
Peluru kendali adalah senjata berpanduan dan didesain untuk melindungi pulau-pulau terluar dari ancaman Negara lain. Pada tugas akhir ini dibahas peluru kendali dari permukaan-ke-permukaan dengan mengasumsikan target diam dengan manuver akhir menghunjam vertikal.
Sistem dinamik peluru kendali diasumsikan sebagai titik pusat massa dan diformulasikan dalam bentuk sistem persamaan nonlinear 2 dimensi, kendala, dan kondisi batas. Pengendalian peluru kendali tergantung pada daya dorong dan sudut serang dengan menerapkan prinsip minimum Pontryagin. Hasil simulasi numerik dengan menggunakan menunjukkan lintasan peluru kendali terbagi menjadi 3 sub interval yaitu terbang bebas, menanjak, dan menghunjam. Selanjutnya solusi numerik menunjukkan ketinggian minimum peluru kendali sebelum melakukan manuver menghunjam vertikal. Waktu tempuh peluru kendali dipengaruhi oleh ketinggian tempat peluncuran dan kecepatan akhir.
Kata kunci: Peluru Kendali, Pengendalian Optimal, Prinsip Minimum Pontryagin. 1. Pendahuluan
Misil atau peluru kendali adalah senjata roket militer yang bisa dikendalikan atau memiliki sistem pengendali otomatis untuk mencari target atau menyesuaikan arah. Peluru kendali merupakan salah satu contoh dari Wahana Nir Awak (WANA) yang banyak digunakan baik untuk kepentingan militer maupun sipil seperti pada misi pengintaian dan pengawasan, pengamanan hutan dari pembalakkan liar, dan laut dari pencurian. Kemampuan WANA yang bisa dikendalikan dari jarak jauh atau bahkan bisa diprogram untuk terbang sendiri dengan lintasan tertentu, tentu sangat menguntungkan bagi manusia. Keuntungan yang bisa didapat antara lain biaya akan lebih efisien, meminimalisasi resiko bagi manusia, dan lain sebagainya [6]
Lintasan peluru kendali dari permukaan-ke-permukaan (surface-to-surface missile)
terbagi menjadi 3 sub-interval, yaitu: tahap terbang bebas, menanjak dan menghunjam. [5];[7];[8]. Keterbatasan persediaan bahan
bakar pada peluru kendali selama terbang dapat diatasi dengan meminimumkan waktu terbang sehingga dapat mencapai target.
Model matematika peluru kendali dalam tugas akhir ini didapat dari gerak peluru kendali pada pusat massa berbentuk nonlinear 2 dimensi, yang terdiri dari persamaan keadaan, kondisi batas, dan nilai awal.
Pada penelitian ini, dibahas pengendalian peluru kendali yang bergerak dua dimensi pada target diam. Maneuver akhir dari pengendalian optimal berupa hunjaman vertikal, hal ini memungkinkan efek kerusakan yang lebih parah. Pengendalian optimal dilakukan pada gaya dorong dan sudut serang untuk mendapatkan waktu tempuh optimum, dengan menerapkan Prinsip Minimum Pontryagin.
2 2. Metode Peneliitian
Metode yang digunakan pada tugas akhir dalam menyelesaikan permasalahan adalah:
1. Studi literatur
2. Penyelesaian masalah pengendalian optimal
3. Simulasi bentuk pengendali optimal 4. Analisis hasil simulasi
5. Penarikan kesimpulan dan saran 3. Tinjauan Pustaka
3.1 Sistem Dinamik Peluru Kendali
Pembentukan lintasan dari sebuah peluru kendali merupakan suatu studi lanjutan pada pengarahan lintasan misil yang digunakan dalam komputasi lintasan secara keseluruhan pada jalur optimal. Studi ini merupakan fondasi dari studi kasus masalah pembuatan lintasan misil. Tujuannya adalah untuk bisa mencapai target (diam) dengan tepat dan meminimumkan waktu peluncuran [8]
Gambar 1
Sistem persamaan dinamik peluru kendali terhadap titik pusat massa peluru kendali yang bergerak dua dimensi diberikan sebagai berikut [4] Variabel keadaan antara lain V kecepatan, sudut terbang peluru kendali, x posisi
horizontal, h ketinggian peluru kendali. Dengan kontrol variabel antara lain T gaya dorong peluru kendali dan sudut serang (gambar 1). Gaya hambat dan gaya angkat merupakan fungsi dari ketinggian h, kecepatan V, sudut serang .
Gaya aerodinamik (gaya hambat dan angkat) diformulasikan sebagai berikut:
dimana merupakan kerapatan udara, didefinisikan sebagai berikut:
dan S adalah daerah referensi peluru kendali, m massa dan g percepatan gravitasi.
Tabel 1 Parameter dan Nilainya
Parameter Nilai Unit
M 1005 Kg G 9.81 m/s² S 0.3376 m² A1 -1.9431 A2 -0.1499 A3 0.2359 B1 21.9 B2 0 C1 3.312 10-9 Kg m-5 C2 -1.142 10-4 Kg m-4 C3 1.224 Kg m-3
Tabel 2 Kondisi batas dan kendala Parameter Nilai Unit
V(0) 210 m/s2 0 Rad 0 m 30, 100, 200 m 290, 310 m/s2 rad 10000 meter 6000 N 1000 N
Kondisi batas pada variabel keadaan ditetapkan:
3 Kontrol terbatas
Permasalahan dalam tugas akhir ini adalah mendapatkan waktu tempuh optimum pada peluru kendali. Fungsi tujuan dari permasalahan ini merupakan fungsi waktu diberikan sebagai berikut:
dimana t merupakan waktu tempuh, dengan waktu awal dan waktu akhir.
3.2 Teori Pengendalian Optimal
Dalam teori pengendalian, persoalan pengendalian optimal adalah untuk mendapatkan kendali pada sistem dinamik yang sesuai dengan target atau variabel keadaan dan pada waktu yang sama dapat dilakukan optimasi maksimum/minimum pada fungsi tujuan.
3.3 Prinsip minimum Pontryagin
Prinsip minimum digunakan untuk memperoleh kontrol terbaik pada sistem dinamik dari keadaan awal hingga keadaan akhir, yaitu dengan meminimalkan fungsi tujuan dimana kendali terbatas. Hal ini telah dikembangkan oleh L. S. Pontryagin dan rekan kerjanya pada tahun 1950 yang diaplikasikan untuk semua masalah kalkulus variasi. Oleh karena itu, prinsip ini biasa disebut dengan Prinsip Minimum Pontryagin. Secara umum meminimalkan mempunyai pengertian yang sama dengan memaksimalkan dengan mengalikan (-1) pada fungsi tujuan, oleh karena itu juga dapat dinamakan Prinsip Maksimum Pontryagin. Misal diberikan permasalahan dengan suatu kontrol terbatas sebagai berikut: Meminumumkan fungsi tujuan
(6) dengan kendala
Bentuk fungsi Hamiltonian:
Untuk kondisi pada persamaan Hamiltonian tersebut digeneralisasi dengan memaksimalkan fungsi tujuan (2.3) yang dapat dinyatakan sebagai berikut :
(7) Agar optimal maka harus memenuhi persamaan:
1. Kondisi stasioner
2. Persamaan keadaan dan ko-keadaan
Dari persamaan (7) dapat diperoleh bentuk optimal kontrol . Untuk kemudian disubtisusikan pada fungsi tujuan (6) untuk kemudian mendapatkan nilai optimum yang dicari.
3.4 Teori Pengendalian Bang-bang
Kesulitan dalam menerapkan prinsip Pontryagin, dapat diatasi dengan menggunakan
singular control dan bang-bang control. Hal ini
muncul ketika persamaan Hamiltonian bergantung secara linear dengan kontrol u.
Kontrol optimal berada pada busur singular jika [1];[2]:
1. Persamaan Hamiltonian,
2. Kondisi Kelley yang dinyatakan oleh persamaan sebagai berikut:
Kondisi ini disebut juga kondisi Generalisasi
Legendre-Clebs. Dengan kata lain, Generalisasi
Legendre-Clebs akan menjamin bahwa
disepanjang busur singular, persamaan Hamiltonian akan optimal.
4. Hasil Penelitian
4.1 Penyelesaian Masalah Pengendalian Optimal
Untuk menyelesaikan model waktu optimum pada peluru kendali dengan menggunakan teori pengendalian optimal, hal pertama yang harus dilakukan adalah membentuk fungsi
4 Hamiltonian dari persamaan (1), (2), (3), (4), dan (5) Kondisi stasioner: dengan sehingga diperoleh C2h+C3V2S)+12 mVB1C1h2+C2h+C 3V2S+ mVTcos =0 C3V2S+ mVTcos = mV12B1C1h2+ h+C3V2S (10) Nilai dari dari persamaan (10) tidak bisa didapatkan secara eksplisit karena merupakan persamaan nonlinear, sehingga harus diselesaikan secara pendakatan numerik. Tetapi dalam tugas akhir ini, tidak ditekankan pada pembahasan secara analisis numerik. Sehingga nilai kontrol optimal diperoleh dari komputasi dengan menggunakan software Matlab versi 7.6. (11) Kondisi ko-keadaan (12) dengan hVcos (13) dengan sehingga didapatkan Pengendali muncul secara linier dalam Hamiltonian (5) sehingga optimal tidak dapat ditentukan pada kondisi stasioner. Karena pengendali terbatas, maka dapat ditetapkan Hamiltonian yang minimum seperti dibawah ini[10]:
Dengan fungsi switching didefinisikan dari kondisi stasioner pada persamaan (11) sebagai berikut:
T optimal berada pada batasnya (
)
5 Maka Kontrol T optimal pada batas-batasnya jika memenuhi syarat kondisi optimal .
o
o
Pada keadaan ini optimal diperoleh dari persamaan (10)
T optimal ketika (singular
control)
Sebelumnya telah dijelaskan bahwa bentuk Hamiltonian yang didapatkan linier terhadap kontrol . Selanjutnya dengan menerapkan teori bang-bang control untuk mendapatkan kontrol diturunkan parsial terhadap untuk mendapatkan nilai .
maka sin mV− sin VmV2=0 Dengan mensubtitusikan persamaan (1), (12), dan (13) pada persamaan (14), maka diperoleh
(14)
Persamaan (14) merupakan hukum kontrol umpan balik linier dan berlaku pada busur singular jika memenuhi [1];[2] :
1.
2.
untuk pengendali
maka akan diperoleh kondisi stasioner pada pengendali T
Karena pengendali T muncul secara linier pada Hamiltonian, maka untuk mendapatkan turunan ke dua dari bentuk Hamiltonian terhadap pengendali T, terlebih dahulu diturunkan parsial terhadap t waktu sehingga diperoleh (15) Selanjutnya dengan mensubtitusikan persamaan keadaan dari persamaan (1) dan persamaan ko-keadaan (12) dan (13) pada persamaan (15) maka akan didapatkan
(16) Untuk mendapatkan turunan kedua pada pengendali T, maka persamaan (16) yang telah memuat T, diturunkan lagi terhadap pengendali sehingga didapatkan Karena pengendali tidak muncul secara linier pada Hamiltonian (9), maka untuk mendapatkan turunan kedua Hamiltonian terhadap pengendali tidak perlu diturunkan parsial terhadap t terlebih dahulu. Sehingga akan diperoleh
6 (18) dengan mensubtitusikan sehingga diperoleh
Selanjutnya bentuk Hamiltonian (9) diturunkan parsial terhadap tiap-tiap kontrol, maka diperoleh
(19.a)
(19.b) Generalisasi Legendre-Clebs (Bell DJ dan Jacobson DH, 1975) pada persamaan (17) – (19) dapat ditulis kembali dalam bentuk matriks:
Karena matriks tersebut bernilai nol, sehingga determinannya juga sama dengan nol. Dengan kata lain sistem persamaan (16) – (19) dapat diselesaikan dengan menyelesaikan determinan matriks yang dibentuk.
Sehingga diperoleh persamaan baru,
(20)
Pada persamaan sebelumnya, (11) didapatkan
Agar memenuhi kondisi optimum pada busur singular, maka harus persamaan (11) dan (20). Kedua persamaan tersebut dapat ditulis kembali dalam bentuk matriks
Karena dan tidak mungkin bernilai nol pada nilai yang sama maka agar bernilai nol
Dengan kata lain determinan matriks sama dengan nol
Persamaan (21) tidak mungkin dipenuhi, sehingga syarat kondisi optimum pada kondisi singular tidak dipenuhi. Dapat disimpulkan bahwa kondisi optimum tidak terdapat pada busur singularnya.
4.2 Simulasi dan Analisis
Gambar 2 Grafik lintasan ketinggian peluru kendali terhadap waktu (normalisasi)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 WAKTU (Normalisasi) K E T IN G G IA N ( M e te r) V(tf)=310 V(tf)=290 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 200 220 240 260 280 300 320 WAKTU (Normalisasi) K E C E P A T A N ( m /d e ti k ) V(tf)=310 V(tf)=290
Gambar 3 Grafik lintasan kecepatan peluru kendali terhadap waktu (Normalisasi)
7
Lintasan peluru kendali dari permukaan-ke-permukaan dengan manuver menghunjam vertikal terbagi menjadi 3 sub interval:
1. Tahap terbang bebas
Pada Tahap ini ketinggian peluru kendali konstan pada awal peluncuran, tergantung pada ketinggian awal peluru kendali (Gambar 2). Gaya dorong peluru kendali berada pada batas atas yaitu 6000 N, sedangkan kecepatannya naik sampai pada tahapan selanjutnya. Waktu yang dibutuhkan pada tahap ini relatif lebih singkat dari tahap-tahap sesudahnya.
2. Tahap menanjak
Pada tahapan ini kecepatan terus menggalami penurunan sampai pada ketinggian yang diperlukan untuk melakukan manuver menghunjam. Gaya dorong tetap maksimal sampai pada waktu normalisasi ke 0.6 terjadi switch menuju ke batas bawah 1000 N, ini terjadi ketika peluru kendali berbelok akan melakukan manuver menghunjam.
3. Tahap menghunjam
Pada tahap ini kecepatan kembali meningkat sampai pada kecepatan akhir yang dikondisikan pada peluru kendali, Sedangkan gaya dorong masih pada batas bawah (1000 N). Sudut serang berjalan konvergen pada –pi/40 radian.
Pada Tabel 3 disajikan hasil dari beberapa simulasi dengan kondisi yang berbeda-beda agar mengetahui waktu optimum peluru kendali.
Tabel 3. Nilai fungsi tujuan dari hasil simulasi Ketinggian awal (meter) Kecepatan akhir (m/detik)
Nilai fungsi tujuan (detik) 30 290 48.0781385 310 44.8815557 100 290 47.9329181 310 44.8199641 200 290 47.7656314 310 44.6765635
Gambar 4 Grafik lintasan Sudut terbang peluru kendali terhadap waktu (normalisasi)
Gambar 5 Grafik lintasan jarak peluru kendali terhadap waktu (Normalisasi)
Gambar 6 Grafik lintasan gaya dorong peluru kendali terhadap waktu (Normalisasi)
Gambar 7Grafik lintasan sudut serang peluru kendali terhadap waktu (Normalisasi)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 WAKTU (Normalisasi) S U D U T T E R B A N G ( ra d ia n ) V(tf)=310 V(tf)=290 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 WAKTU (Normalisasi) J A R A K ( M e te r) V(tf)=310 V(tf)=290 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 WAKTU (Normalisasi) G A Y A D O R O N G ( N e w to n ) V(tf)=310 V(tf)=290 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 WAKTU (Normalisasi) S U D U T S E R A N G ( ra d ia n ) V(tf)=310 V(tf)=290
8 5. Kesimpulan dan Saran
Berdasarkan analisis dan pembahasan yang telah dilakukan pada model peluru kendali dari permukaan-ke-permukaan maka dapat disimpulkan bahwa
1. Lintasan peluru kendali terbagi menjadi 3 sub interval: Tahap terbang bebas, tahap menanjak, dan tahap menghunjam. Ketika terbang bebas ketinggian peluru kendali konstan pada kondisi awal peluncuran. Sedangkan pada tahap menanjak kecepatan peluru kendali mengalami penurunan sampai pada saat memasuki tahap menghunjam pada ketinggian minimum yang harus dicapai. Ketika memasuki tahapan menghunjam kecepatan akan terus meningkat hingga pada kecepatan akhir yang ditentukan untuk mencapai target. Proses menghunjam vertikal terjadi pada ketinggian 30 m diatas target dengan sudut terbang -90 deg
2. Waktu tempuh peluru kendali dipengaruhi oleh ketinggian tempat peluncuran dan kecepatan akhir. Semakin tinggi tempat peluncuran dan semakin besar kecapatan akhir ketika menghunjam, maka akan semakin minimum waktu tempuh.
Saran yang diajukan tugas akhir ini untuk penelitian selanjutnya adalah
1. Pada pembahasan tugas akhir ini telah dijelaskan pengendalian optimal dengan tujuan meminimumkan waktu. Selanjutnya bisa dikembangkan menjadi meminimumkan waktu dan energi pada lintasan peluru kendali
2. Pergerakan peluru kendali masih dalam bentuk dua dimensi, selanjutnya dapat dikembangkan peluru kendali yang bergerak tiga dimensi.
Daftar Pustaka
[1] Bell, DJ. dan Jacobson, DH. 1975. Singular Optimal Control Problem. London: Academic Press INC.
[2] Bryson, A.E., dan Ho, Y.C. 1975. Applied Optimal Control Optimization, Estimation, and Control. Washington DC: Hemisphere Publishing Corporation. [3] Jennings, L.S., Fisher, M.E., Teo, K.L. dan
Goh, C.J. 2002. Miser3 Optimal Control Software. Australia: The University of Western Australia.
[4] Siouris, G. 2003. Missile Guidance and Control Systems. USA: Springer
[5] Subchan, S. Trajectory Shaping of urface-to-Surface Missile with Terminal Impact angle Constraint. Makara Teknologi. 11(2):65-70, 2007.
[6] Subchan, S., dkk. 2008. Pythagorean Hodograph Path Planning for Tracking Airborne Contaminant usingg Sensor Swarn. IEEE International Instrumentation ans Measurement Technology Conference Victoria, Vancouver Island, Canada, May 2008.
[7] Subchan, S. dan Zbikowski, R. Computational Optimal Control of the Terminal Bunt Manoeuvre – Part 2: Minimum-Time Case. Optimal Control Applications and Methods. 2007; 28:355-379
[8] Subchan, S. dan Zbikowski, R. 2009. Computational Optimal Control : Tools and Practice. UK: John Wiley & Sons Ltd.
