Analisis Kecepatan Terminal
Benda Jatuh Bebas
Ahmad Dien Warits
1206240101
Departemen Teknik Mesin
Fakultas Teknik Universitas Indonesia
Abstrak :
Selama ini kita melakukan analisis kecepatan benda jatuh bebas dengan mengasumsikan bahwa benda hanya dipercepat oleh percepatan gravitasi, yang artinya benda akan mengalami peningkatan kecepatan sampai benda menghantam tanah. Apakah itu benar padahal ada peran gaya drag pada benda yang diakibatkan oleh angin? Apakah kecepatan terminal/maksimal benda terjadi sesaat sebelum benda menghantam tanah?
I. Latar Belakang
Gerak jatuh bebas adalah sesuatu yang menarik untuk dipelajari. Gerak jatuh yang dimaksud adalah gerak benda menuju bumi dari ketinggian tertentu, sedangkan kata bebas merujuk pada tidak adanya gaya awal atau dorongan saat benda dijatuhkan. Kemudian yang menjadi pertanyaan apakah dalam gerak jatuh bebas benda selalu mengalami percepatan sama dengan percepatan gravitasi? Apakah benda jatuh bebas akan terus bertambah kecepatannya sampai benda menyentuh tanah? Padahal seperti kita ketahui bahwa benda yang jatuh bebas juga memiliki aliran angin yang menghantam permukaan benda atau yang biasa disebut gaya drag.
Analisis benda jatuh bebas penting ketika ingin mendesain, misalkan sebuah bom atau parasut. Kita dapat menentukan kecepatan jatuh bom dari ketinggian
dijatuhkannya. Menyesuaikan kecepatan jatuh bom dengan kecepatan bom yang diperbolehkan dari desain. Selain itu juga dapat digunakan untuk menenetukan kekuatan parasut seorang penerjun bebas dan menentukan waktu yang tepat untuk membuka parasut tersebut. Dengan mendapatkan analisis kecepatan dan
ketinggiannya, sebuah parasut dapat didesain dengan mempertimbangkan besarnya kecepatan dan tekanan yang akan ditahan parasut tersebut.
Berangkat dari pentingnya mengetahui kecepatan terminal/maksimal benda jatuh bebas itulah itulah maka perlu dilakukan analisis kecepatan terminal benda jatuh bebas. Apakah benda akan mengalami kecepatan terminal/maksimal ketika menghantam tanah atau ketika masih di udara. Analisis ini digunakan untuk memantapkan pemahaman tentang jatuh bebas serta mengaplikasikannya dalam kehidupan.
II. Permasalahan
Menentukan kecepatan terminal benda jatuh bebas
Menentukan waktu yang dibutuhkan benda untuk mencapai kecepatan terminal
Menentukan ketinggian saat benda jatuh bebas mengalami kecepatan terminal
III. Dasar Teori
Saat benda mengalami gerak jatuh bebas, maka benda memiliki gaya berat (W) yang arahnya ke bawah dan gaya drag (Fd) yang arahnya ke atas. Gaya berat
terjadi karena faktor massa benda dan gravitasi, sedangkan gaya drag terjadi karena permukaan benda melawan arah datangnya angin. Gaya berat dan gaya drag saling berlawanan.
Kecepatan terminal terjadi saat benda memiliki resultan gaya sama dengan nol. Akibatnya tidak ada percepatan pada benda sehingga benda bergerak dengan kecepatan yang konstan yaitu kecepatan terminal.
Jadi, gerak jatuh benda ini dianalisis untuk mendapatkan besarnya kecepatan terminal yang terjadi setelah beberapa saat pada ketinggian tertentu. Untuk mendapatkannya digunakan beberapa rumus dasar, yaitu
Gaya Berat (W) 𝑊 = 𝑚𝑔 Gaya Drag (Fd) 𝐹𝑑 =1 2𝐶𝑑𝜌𝐴𝑣2 Hukum II Newton ∑ 𝐹 = 𝑚𝑎
Rumus Posisi Berdasarkan Kecepatan dan Waktu 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑣 Rumus Ketinggian 𝐻′= 𝐻 − 𝑥 𝑊 = 𝐺𝑎𝑦𝑎 𝐵𝑒𝑟𝑎𝑡 (𝑁) 𝐹𝑑 = 𝐺𝑎𝑦𝑎 𝐷𝑟𝑎𝑔 (𝑁) ∑ 𝐹 = 𝐺𝑎𝑦𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑁) 𝑣 = 𝐾𝑒𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑈𝑝𝑠𝑡𝑟𝑒𝑎𝑚 (𝑚/𝑠)
𝑔 = 𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 𝐺𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑠𝑖 (𝑚/𝑠2) 𝑚 = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 (𝐾𝑔) 𝜌 = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑗𝑒𝑛𝑖𝑠 (𝐾𝑔/𝑚3) 𝐴 = 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑃𝑒𝑛𝑎𝑚𝑝𝑎𝑛𝑔 (𝑚2) 𝑋 = 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑠𝑖 (𝑚) 𝑎 = 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 (𝑚/𝑠) 𝐻 = 𝐾𝑒𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖𝑎𝑛 𝐴𝑤𝑎𝑙 (𝑚) 𝐻′ = 𝐾𝑒𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖𝑎𝑛 𝑠𝑎𝑎𝑡 𝑡 (𝑚) 𝑡 = 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 (𝑠) 𝐶𝑑 = 𝐾𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝐷𝑟𝑎𝑔
IV. Permodelan dan Metodologi
Permodelan yang dilakukan adalah dengan menggunakan contoh kasus. Kasus tersebut adalah berupa sebuah bom yang dijatuhkan dari pesawat.
Sedangkan metodologi yang digunakan adalah kepustakaan dan analisis. Mengambil dasar-dasar permodelan dan perhitungan dari beberapa buku acuan dan menganalisisnya.
V. Simulasi dan Perhitungan
Simulasi dilakukan dengan mengasumsikan bahwa bom berupa balok sederhana. Berikut adalah free body diagram dari simulasinya:
Properties dari simulasi ini adalah sebagai berikut: Keadaan 1 m = 3000 Kg A = 6 m2 h = 3000 m Cd = 1 Keadaan 2 m = 3000 Kg A = 6 m2 h = 1000 m Cd = 1 Keadaan 3 m = 1000 Kg A = 6 m2 h = 3000 m Cd = 1
Untuk perhitungannya perlu dilakukan dengan menurunkan beberapa rumus terlebih dahulu. Penurunan rumus yang pertama adalah untuk mendapatkan persamaan kecepatan saat t1 dan t2.
𝑎 =∑ 𝐹 𝑚 𝑎 =𝑊 − 𝐹𝑑 𝑚 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝑚𝑔 −12 𝐶𝑑𝜌𝐴𝑣2 𝑚 𝑣′− 𝑣 𝑡′− 𝑡 = 𝑔 − 𝐶𝑑𝜌𝐴𝑣2 2𝑚 𝑣′= 𝑣 + [𝑔 −𝐶𝑑𝜌𝐴𝑣2 2𝑚 ] (𝑡′− 𝑡)
Sedangkan penurunan rumus yang kedua adalah untuk mendapatkan persamaan posisi saat t1 dan t2.
𝑋′− 𝑋
𝑡′− 𝑡 = 𝑣
Setelah mendapatkan bentuk simulasi dan persamaannya digunakan bantuan komputer untuk mendapatkan solusinya. Dalam hal ini digunakan Visual Basic untuk menyelesaikannya. Perhitungan dilakukan dengan iterasi sehingga lebih mudah jika menggunakan bantuan komputer.
Berikut design dari visual basic-nya:
Dan ini adalah isi dari Command Analisis, Hapus, dan Tutup
1. Analisis:
Private Sub Command1_Click() Dim m, A, h, Cd As Double m = Text1.Text A = Text2.Text h = Text3.Text C = Text4.Text n = 98 e = 0.001 List1.Clear List2.Clear List3.Clear List4.Clear List5.Clear
If Text1.Text = "" Or Text2.Text = "" Or Text3.Text = "" Or Text4.Text = "" Then MsgBox "Data tidak lengkap", , "Peringatan"
Else
If m = 0 Or A = 0 Or h = 0 Or C = 0 Then
MsgBox "Permodelan tidak valid", , "Peringatan" Else
'Iterasi Pertama t = 0
X = 0 P = h + X List1.AddItem 1 List2.AddItem t List3.AddItem P List4.AddItem v List5.AddItem "-" ts = t Vs = v Xs = X 'Iterasi Kedua t = 1 + ts v = Vs + ((9.81 - ((C * 1.2 * (Vs ^ 2) * A) / (2 * m))) * (t - ts)) X = Xs + (v * (t - ts)) P = h - X errorV = Abs((v - Vs) / v) List1.AddItem 2 List2.AddItem t List3.AddItem P List4.AddItem v List5.AddItem errorV ts = t Vs = v Xs = X
'Iterasi Ketiga Sampai Ke-n For i = 3 To n If errorV < e Then Text5.Text = ti Text6.Text = Pi Text7.Text = Vi Else ti = 1 + ts Vi = Vs + ((9.81 - ((C * 1.2 * (Vs ^ 2) * A) / (2 * m))) * (ti - ts)) Xi = Xs + (Vi * (ti - ts)) Pi = h - Xi
errorV = Abs((Vi - Vs) / Vi) List1.AddItem i List2.AddItem ti List3.AddItem Pi List4.AddItem Vi List5.AddItem errorV ts = ti Vs = Vi Xs = Xi End If
Next i
If Pi < 0 Then
MsgBox "Benda tidak mengalami kecepatan terminal", vbInformation, "Peringatan" End If End If End If End Sub 2. Hapus
Private Sub Command2_Click() Text1.Text = "" Text2.Text = "" Text3.Text = "" Text4.Text = "" Text5.Text = "" Text6.Text = "" Text7.Text = "" List1.Clear List2.Clear List3.Clear List4.Clear List5.Clear End Sub 3. Tutup
Private Sub Command3_Click()
pesan = MsgBox("Apa anda yakin ingin keluar dari program ini?", vbQuestion + vbYesNo, "Keluar")
If pesan = vbYes Then Unload Me
End If End Sub
VI. Hasil dan Pembahasan
Berikut adalah hasil dari perhitungan simulasi bom yang jatuh keadaan 1:
Dari hasil didapat nilai t = 36 s, h = 250,6 m, dan v = 90,38 m/s. Artinya bom akan mencapai kecepatan terminal/maksimal sebesar 90,38 m/s setelah 36 detik di ketinggian 250,6 m.
Fenomena kecepatan terminal sebenarnya terjadi ketika besar nilai gaya berat benda (W) sama dengan besar nilai gaya drag (Fd). Gaya berat yang menyebabkan benda jatuh suatu saat akan sama nilainya dengan gaya drag, karena gaya berat bernilai konstan sedangkan gaya drag terus bertambah nilainya. Gaya berat memiliki nilai konstan karena hanya dipengaruhi oleh massa dan gravitasi. Sedangkan gaya drag memiliki nilai yang bervariasi sesuai dengan kecepatan benda.
Untuk benda yang jatuh bebas, gaya yang menyebabkan benda bergerak adalah gaya berat. Karena benda memiliki percepatan gravitasi dari gaya berat maka benda akan bergerak dengan kecepatan yang semakin cepat setiap saat. Namun pada benda jatuh juga terdapat gaya drag yang terjadi pada benda yang
dipengaruhi oleh kecepatan tersebut. Jadi di satu sisi gaya berat menambah kecepatan benda namun di sisi lain dengan bertambahnya kecepatan juga menambah gaya drag.
Gaya drag merupakan gaya penahan yang disebabkan oleh aliran fluida terhadap benda yang bergerak. Dengan bertambahnya gaya drag dan konstannya gaya berat maka suatu saat akan terdapat keseimbangan, yang artinya besar gaya drag sama dengan besar gaya berat. Sesuai dengan Hukum II Newton, maka resultan gaya yang bekerja pada benda akan sama dengan 0. Dan sesuai dengan Hukum I
Newton, ketika resultan gaya yang bekerja pada benda sama dengan 0 maka benda cenderung tetap diam atau bergerak dengan kecepatan konstan. Untuk simulasi ini, benda yang jatuh akan mempertahankan nilai kecepatannya ketika gaya beratnya sama dengan gaya dragnya. Kecepatan yang nilainya konstan inilah yang dinamakan kecepatan terminal
Oleh karena itu, untuk kecepatan terminal benda jatuh bebas juga merupakan kecepatan maksimalnya. Sehingga untuk simulasi kasus ini, bom akan memiliki kecepatan terminal atau kecepatan maksimalnya sebesar 90,38 m/s di ketinggian 250,6 m setelah 36 detik dijatuhkan. Artinya besar gaya berat akan sama dengan gaya drag ketika kecepatan bom sama dengan 90,38 m/s. Dari data ini, yaitu data berupa besar kecepatan terminal, ketinggian dan waktunya dapat dianalisis lebih lanjut untuk kepentingan lainnya
Berikut adalah hasil dari perhitungan simulasi bom yang jatuh keadaan 2:
Keadaan 2 adalah pembanding terhadap keadaan 1. Dimana pada keadaan 2 bom
dijatuhkan dari ketinggian yang lebih rendah yaitu 1000 m. Didapat hasil perhitungan t = 36 s, h = -1749,40 m, dan v = 90,38 m/s. Artinya bom tidak mengalami gaya berat = gaya drag, atau bom tidak mengalami kecepatan
terminal/maksimal ketika masih di udara. Untuk mengalami kecepatan terminal di udara bom harus dijatuhkan lebih dari 1000 m + 1749,40 m. Sehingga dapat dilihat di box iterasi, untuk keadaan ini bom memiliki kecepatan maksimal ketika menghantam tanah saat t = 5 s dan h = 43,57 m sebesar v = 87,80 m/s.
Keadaan 3 juga adalah pembanding terhadap keadaan 1. Dimana pada keadaan 3
massa bom yang dijatuhkan lebih ringan yaitu 1000 kg. Didapat hasil perhitungan t = 21 s, h = 2055,195 m, dan v = 52,19 m/s. Artinya bom mengalami gaya berat = gaya drag, atau bom mengalami kecepatan terminal/maksimal ketika masih di udara dengan waktu yang lebih cepat di ketinggian yang lebih tinggi namun dengan kecepatan terminal yang lebih rendah. Sehingga dapat dilihat di box iterasi, untuk keadaan ini bom memiliki kecepatan maksimal di udara ketika t = 21 s dan h = 2055,19 m sebesar v = 52,19 m/s.
VII. Kesimpulan
Ketika benda mengalami gerak jatuh bebas terdapat fenomena yang dinamakan kecepatan terminal. Yaitu kecepatan maksimal yang dialami benda. Kecepatan terminal tidak selalu terjadi saat benda menghantam permukaan bumi, namun juga bisa terjadi ketika benda masih di udara.
Kecepatan terminal yang terjadi di udara dikarenakan adanya keseimbangan antara gaya berat dan gaya drag. Gaya berat meningkatkan kecepatan benda, namun seiring meningkatnya kecepatan benda gaya drag juga semakin meningkat. Sehingga ada keadaan dimana besar gaya berat sama dengan besar gaya drag. Di saat itulah terjadi kecepatan terminal.
Namun untuk beberapa contoh kasus, benda jatuh tidak mengalami kecepatan terminal di udara karena ketika di udara besar gaya berat dan gaya drag tidak mencapai keseimbangan. Hal ini dipengaruhi oleh massa yang terlalu besar atau ketinggian menjatuhkan yang terlalu rendah.
Analisis kecepatan terminal benda jatuh bebas ini menjadi sangat aplikatif, seperti pada contoh kasus menjatuhkan bom. Dari hasil analisis kecepatan terminal, sebuah kasus dapat ditinjau lebih dalam lagi dengan disiplin ilmu lainnya.
VIII. Daftar Pustaka
Munson, Young, Okiishi, Huebsch; Fundamentals of Fluid Mechanics, 6th Edition, John Wiley & Sons, Inc., NJ, 2009.
Chapra, Steven C.; Applied Numerical Methods with Matlab for Engineers and Scientists, Fundamentals of Physics, Third Edition, The McGraw-Hill Companies, Inc., NJ, 2012.
