BAB IV
PROGRAMA LINIER : METODE GRAFIK
Pada dasarnya, metode-metode yang dikembangkan untuk memecah- kan model programa linier ditujukan untuk mencari solusi dari beberapa alternatif solusi yang dibentuk oleh persamaan-persamaan pembatas sehingga diperoleh nilai fungsi tujuan yang optimum.
Ada dua cara yang biasa digunakan untuk menyelesaikan persoalan- persoalan programa linier, yaitu dengan cara grafik dan dengan metode simpleks.
Cara grafik dapat kita pergunakan apabila persoalan programa linier yang akan diselesaikan itu hanya mempunyai dua variabel. Walaupun demikian, cara ini telah memberikan satu petunjuk penting bahwa untuk memecahkan persoalan-persoalan programa linier, kita hanya perlu memperhatikan titik ekstrim (titik terjauh) pada ruang solusi atau daerah fisibel.
Petunjuk ini telah menjadi kunci dalam mengembangkan metode simpleks.
Metode simpleks merupakan teknik yang paling berhasil dikembangkan untuk memecahkan persoalan programa linier yang mempunyai jumlah variabel keputusan dan pembatas yang besar. Algoritme simpleks ini diterangkan dengan menggunakan logika secara aljabar matriks, sedemikian sehingga operasi perhitungan dapat dibuat lebih efisien.
4.1 Metode Grafik
Metode grafik adalah satu dari sekian banyak metode untuk mencari penyelesaian optimal. Metode ini mudah dilakukan dan sangat sederhana.
Meskipun demikian sesuai dengan kesederhanaannya maka metode ini sangat terbatas pada penyelesaian masalah-masalah sederhana yakni persoalan- persoalan yang hanya mempunyai 2 variabel keputusan yang hendak dicari
nilai-nilai optimalnya, sehingga model pemecahan permasalahannya dapat direpresentasikan dalam bentuk grafik dua dimensi. Untuk persoalan-persoalan yang mempunyai lebih dari dua variabel keputusan metode grafik sulit untuk digunakan.
3.1.1 Contoh Persoalan Maksimasi Metode Grafik
Suatu pabrik dapat menghasilkan dua macam produk A dan B, yang harus diolah melalui mesin jenis I dan mesin jenis II. Untuk mengolah 1 kg produk A dibutuhkan waktu 1 jam pengolahan pada mesin I dan 3 jam pengolahan pada mesin II. Untuk mengolah 1 kg produk B dibutuhkan waktu 2 jam pengolahan pada mesin I dan 1 jam pengolahan pada mesin II. Kapasitas jam pengolahan pada mesin I dan II masing-masing hanya 1.600 jam dan 2.400 jam tiap bulan. Karena terbatasnya persediaan bahan baku serta mengingat daya beli konsumen, maka jumlah seluruh produk A dan B tidak boleh melampaui batas 1.000 kg tiap bulan. Berdasarkan ketentuan ini, maka tentukan jumlah produk A dan B yang harus diproduksi tiap bulan, agar pabrik ini dapat mencapai keuntungan maksimal, jika diketahui bahwa laba dari produk A dan B masing-masing Rp.
1.000,- dan Rp. 1.500,- tiap kg.
Penyelesaian :
Kalau kita misalkan jumlah produk A dan B tiap bulan masing-masing x dan y kg, maka berdasarkan data pabrik ini dapat dibuat tabel sebagai berikut :
Produk A x
Produk B y
Kapasitas
Mesin I 1 2 1.600 jam
Mesin II 3 1 2.400 jam
Jumlah Produk 1 1 1.000 jam
Laba tiap kg Rp. 1.000,- Rp. 1.500,-
Karena itu :
Fungsi objectivenya :
Memaksimumkan : Z = 1.000 x + 1.500 y Fungsi constraintnya :
x + y 1.600 ……… 1) 3 x + y 2.400 ……… 2) x + y 1.000 ……… 3) x 0 ; y 0
Untuk menentukan x dan y, maka :
Pertama :
Kita gambar dulu grafik tiga garis : x + y 1.600
3 x + y 2.400 x + y 1.000
Dengan menggunakan sistem koordinat Cartesius, yakni sumbu mendatar sebagai sumbu x dan sumbu tegak sebagai sumbu y.
Kedua :
Kita tentukan daerah yang memenuhi fungsi constraint, yang disebut feasible region. Untuk soal ini, daerah tersebut ialah daerah yang dibatasi :
- Sumbu x dan diatas sumbu x
- Sumbu y dan disebelah kanan sumbu y
- Garis-garis 1), 2), dan 3) dan daerah di bawah ketiga garis tersebut.
Ketiga :
Kita tentukan koordinat titik-titik yang merupakan titik sudut dari feasible region, yakni :
- Titik asal 0 (0, 0)
- Titik K (800, 0), yakni titik potong garis 2) : 3 x + y = 2.400 dengan sumbu x - Titik L, adalah titik potong antara garis 2) dan 3) :
2) : 3 x + y = 2.400 3) : x + y = 1.000
2 x = 1.400 Jadi x = 700 dan y = 300
Sehingga koordinat L (700, 300)
- Titik M adalah titik potong antara garis 1) dan 3) : 1) : x + y = 1.600
3) : x + y = 1.000
y = 600, sehingga x = 400 Koordinat titik M (400, 600)
- Titik N adalah titik potong antara garis 1) dengan sumbu y : X = 0 2 y = 1.600 y = 800
Jadi N = (0, 800)
y
2.400
2)
1.000
3)
800 M N L
K 1)
0 800 1.000 1.600 x
Keterangan :
1) = kurva garis x + 2 y = 1.600 2) = kurva garis 3 x + y = 2.400 3) = kurva garis x + y = 1.000
Segilima OKLMN adalah fesibel region
Garis - - - adalah garis yang gradiennya – 2/3 yang diperoleh dari fungsi objective Z = 1.000 x + 1.500 y = 0
Yakni = - 1.000 /1.500 = - 2/3
Jadi fesibel region ialah segilima 0KLMN
Keempat :
Langkah terakhir ialah menetapkan pilihan di antara koordinat titik : K, L, M dan N yang memenuhi fungsi objective Z = 1.000 x + 1.500 y , yakni agar Z mencapai harga maksimum.
Untuk K (800, 0) Z = 1.000 (800) + 1.500 (0) = 800.000
Untuk L (700, 300) Z = 1.000 (700) + 1.500 (300) = 1.150.000 Untuk M (400, 600) Z = 1.000 (600) + 1.500 (400) = 1.300.000 Untuk N (0, 800) Z = 1.000 (0) + 1.500 (800) = 1.200.000
Ternyata koordinat titik M (400, 600) akan menghasilkan Z maksimum, yakni untuk :
x = 400 kg produk A y = 600 kg produk B
dan Z max = Rp. 1.300.000,-
Selain dengan cara mencoba memasukkan koordinat titik-titik sudut pada fungsi objective (cara “trial and error”) maka titik sudut yang memenuhi fungsi objective, secara langsung dapat juga ditentukan dengan menggeser garis : Z = 1.000 x + 1.500 y = 0 dan y = - 2/3 x sejajar ke kanan atas sampai menyinggung titik terjauh dari (0,0) pada feasibel region yaitu pada titik M.
4.1.2 Contoh Persoalan Minimasi Metode Grafik
Suatu jenis makanan ternak harus mempunyai komposisi minimum terdiri dari : 240 unit karbohidrat, 80 unit protein dan 30 unit zat mineral. Jenis makanan ini
dapat diperoleh dengan mencampur bahan makanan I dan bahan makanan II.
Kalau tiap ons bahan makanan I terdiri dari 6 unit karbohidrat, 4 unit protein dan 1 unit zat mineral, sedangkan 1 ons bahan makanan II terdiri dari 12 unit karbohidrat, 2 unit protein dan 1 unit zat mineral dan harga dari bahan makanan I dan II masing-masing ialah Rp. 70,- dan Rp. 50,- tiap ons, maka tentukan berapa ons bahan makanan I dan II yang harus dicampur untuk menghasilkan jenis makanan dengan komposisi minimum dan biaya yang terendah.
Penyelesaian : Misalkan :
Bahan makanan I = x ons Bahan makanan II = y ons
Maka data jenis makanan ternak yang merupakan campuran bahan makanan I dan bahan makanan II ialah :
I X
II Y
Kapasitas Minimum
Karbohidrat 6 12 240
Protein 4 2 80
Zat mineral 1 1 30
Sehingga fungsi objectivenya : Minimumkan : Z = 70 x + 50 y dan fungsi constraintnya :
6 x + 12 y 240 ……… 1) 4 x + 2 y 80 ……… 2) x + y 30 ……… 3) x 0, y 0
Feasibel region untuk persoalan ini ialah daerah yang dibatasi oleh sumbu mendatar, sumbu tegak dan daerah di atas sumbu mendatar serta di sebelah kanan sumbu tegak dan daerah yang dibatasi oleh garis-garis :
6 x + 12 y 240 4 x + 2 y 80 x + y 30
dan daerah yang terletak diatas garis tersebut, sebab constraint berbentuk b.
y 40 A
30
Feasibel Region
20 B
C 10
D
0 10 20 30 40 x
Karena itu daerah yang memenuhi constraint ini ialah daerah yang dibatasi garis patah : ABCD dan daerah terbuka di kanan atas garis ini.
- Koordinat titik A (0, 40) ialah titik potong antara garis 4 x + 2 y = 80 dengan sumbu tegak.
- Koordinat titik B (10, 20) ialah titik potong antara garis 4 x + 2 y = 80 dan x + y = 30.
- Koordinat titik C (20, 10) ialah titik potong antara garis x + y = 30 dan 6 x + 12 y = 240.
- Koordinat titik D (40, 0) ialah titik potong antara garis 6 x + 12 y = 240 dengan sumbu mendatar.
Untuk menentukan koordinat titik sudut mana yang meminimumkan fungsi objective Z = 70 x + 50 y, kita substitusikan koordinat dari 4 titik sudut A, B, C dan D dalam fungsi objective tersebut, yakni :
x y Z
A (0, 40) B (10, 20) C (20, 10) D (40, 0)
0 10 20 40
40 20 10 0
70 . (0) + 50 . (40) = 2.000 70 . (10) + 50 . (20) = 1.700 70 . (20) + 50 . (10) = 1.900 70 . (40) + 50 . (0) = 2.800
Ternyata Z minimum = 1700, dicapai kalau x = 10 ons dan y = 20 ons sehingga makanan ternak harus merupakan campuran dari 10 ons bahan makanan I dan 20 ons bahan makanan II dengan biaya minimum Rp. 1.700,- atau Rp.
1.700/30 = Rp. 56,67,- per ons.
Makanan ternak ini memenuhi komposisi minimum, yakni terdiri dari : Karbohidrat : (10 x 6) + (20 x 12) = 300 unit
Protein : (10 x 4) + (20 x 2) = 80 unit Zat mineral : (10 x 1) + (20 x 1) = 30 unit
Ternyata karbohidrat melebihi batas minimum yakni 60 unit di atas batas minimum 240 unit.
4.2 Algoritme Tentang Metode Grafik
Berdasarkan contoh persoalan di atas metode penyelesaian grafis dapat disistimatisir sebagai algoritme berikut ini :
1. Membangun Model Matematis
Tentukan variabel keputusan dari permasalahan yang dihadapi
Tentukan fungsi tujuan dari permasalahan yang dihadapi, apakah fungsi tujuan tersebut maksimasi atau minimasi
Tentukan fungsi-fungsi pembatas berdasar sumber-sumber yang tersedia dan teknologi yang ada
2. Membangun Model Grafik
Buat sistem koordinat X dan Y yang merepresentasikan variabel keputusan X dan Y.
Gambarkan masing-masing fungsi pembatas dan tentukan daerah feasibel-nya didalam sistem koordinat tersebut.
Tentukan daerah feasibel yang memenuhi seluruh pembatas yang ada.
Berarti nilai-nilai optimal ada didaerah feasibel yang memenuhi fungsi- fungsi pembatas
Gambarkan fungsi tujuan kedalam sistem koordinat dan melalui titik (0,0).
Geser fungsi tujuan sejauh mungkin sehingga menyinggung pada suatu titik yang merupakan pembatas daerah feasibel yang telah ditentukan sebelumnya berdasarkan fungsi pembatas yang ada.
Titik terjauh dari (0,0) tersebut merupakan solusi optimal dari permasalahan yang dihadapi.
Untuk menentukan jumlah (output) dari kedua variabel maka langkah-langkah penyelesaiannya dapat dinyatakan dengan diagram berikut :
Gambar 4.1 Langkah-langkah Penyelesaian Programa Linier dengan Metode Grafik
Tentukan hubungan matematik dari : 1. Fungsi objective
2. Himpunan constraint : Mungkin berbentuk Mungkin berbentuk Mungkin berbentuk =
Gambarkan grafik garis-garis yang memenuhi constraint
Tentukan feasible region
Tentukan :
Koordinat titik-titik sudut dari fesible region
Tentukan :
1. Koordinat titik sudut yang memenuhi fungsi objective
2. Hitunglah nilai optimal fungsi objective
LATIHAN SOAL :
1. Suatu perusahaan sepatu “BARTOLI” (bar di enggo mrotoli) membuat dua macam sepatu. Macam pertama merk A dengan sol dari karet, dan macam kedua merk B dengan sol dari kulit. Untuk membuat sepatu-sepatu itu perusahaan memiliki tiga macam mesin. Mesin pertama khusus membuat sol dari karet, mesin kedua membuat sol dari kulit, dan mesin ketiga membuat bagian atas sepatu dan melakukan asembling bagian atas dengan sol. Setiap lusin sepatu merk A mula-mula dikerjakan di mesin pertama selama 120 menit, kemudian tanpa melalui mesin kedua terus dikerjakan di mesin ketiga selama 6 jam. Sedang sepatu merk B tidak diproses di mesin pertama, tetapi pertama kali diproses pada mesin kedua selama 180 menit jam, kemudian di mesin ketiga selama 300 menit. Jam kerja maksimum setiap hari untuk mesin pertama 8 jam, mesin kedua 15 jam dan mesin ketiga 30 jam. Sumbangan terhadap laba untuk setiap lusin sepatu merk A sebesar Rp. 30.000,- sedangkan merk B sebesar Rp.
50.000,-. Masalahnya adalah menentukan berapa lusin sebaiknya sepatu merk A dan merk B yang dibuat agar bisa memaksimumkan laba.
2. Sebuah pabrik perabotan kecil menghasilkan meja dan kursi. Diperlukan waktu 2 jam untuk merakit sebuah meja dan 30 menit untuk merakit sebuah kursi. Perakitan dikerjakan oleh 4 karyawan atas dasar shift tunggal selama 8 jam per hari. Para pelanggan biasanya membeli paling banyak 4 kursi untuk setiap meja, yang berarti bahwa pabrik tersebut harus memproduksi jumlah kursi yang paling banyak 4 kali lebih banyak dari meja. Harga penjualan adalah $135 per meja dan $50 per kursi. Tentukan bauran produksi harian untuk meja dan kursi yang akan memaksimumkan
pendapatan harian total untuk pabrik tersebut dan komentari arti penting dari pemecahan yang diperoleh.
3. Persamaan matematis suatu programa linier adalah sebagai berikut : Maksimasi : z = 3x1 + 2x2
Dengan batasan :
4x1 + 5x2 60 2x1 + 2x2 30 x1 , x2 0 Carilah harga x1 dan x2
4. Persamaan matematis suatu programa linier adalah sebagai berikut : Minimasi : z = 6x1 + 7,5x2
Dengan batasan :
7x1 + 3x2 210 6x1 + 12x2 180
4 x2 120
x1 , x2 0 Carilah harga x1 dan x2
5. Sebuah perusahaan dapat mengiklankan produknya dengan menggunakan radio lokal dan stasiun TV. Anggarannya membatasi pengeluaran periklanan tersebut pada $1000 per bulan. Setiap menit iklan radio memerlukan biaya $5, dan setiap menit iklan TV memerlukan biaya $100.
Perusahaan tersebut ingin mengunakan radio setidaknya dua kali lebih banyak daripada TV. Pengalaman masa lalu memperlihatkan bahwa setiap menit iklan TV biasanya menghasilkan 25 kali lebih banyak penjualan daripada setiap menit iklan radio. Tentukan alokasi optimum dari anggaran bulanan untuk iklan radio dan TV.
6. Seorang petani memiliki 200 ekor sapi yang mengkonsumsi 90 lb makanan khusus setiap hari. Makanan ini disiapkan sebagai campuran dari jagung dan kedelai dengan komposisi berikut ini :
Pon per Pon Makanan
Makanan Kalsium Protein Serat Biaya ($/lb)
Jagung 0,001 0,09 0,02 0,20
Kedelai 0,002 0,60 0,06 0,60
Kebutuhan makanan sapi adalah :
Paling banyak 1 % kalsium
Setidaknya 30 % protein
Paling banyak 5 % serat
Tentukan campuran makanan harian berbiaya minimum.
7. Persamaan matematis suatu programa linier adalah sebagai berikut : Maksimasi : z = 5x1 + 6x2
Dengan batasan :
x1 - 2x2 2 -2x1 + 3x2 2
x1 , x2 tidak dibatasi dalam tanda.
Carilah harga x1 dan x2
8. Sebuah pabrik perakitan radio memproduksi dua model, HiFi-1 dan HiFi-2, di sebuah jalur perakitan yang sama. Jalur perakitan tersebut terdiri dari tiga stasiun kerja. Waktu perakitan di ketiga stasiun tersebut adalah :
Menit per Unit
Stasiun Kerja HiFi-1 HiFi-2
1 6 4
2 5 5
3 4 6
Setiap stasiun kerja tersedia selama maksimum 480 menit per hari. Tetapi, stasiun kerja tersebut mmerlukan pemeliharaan harian, yang berjumlah 10%, 14%, dan 12% dari waktu harian yang tersedia selama 480 menit tersebut untuk stasiun kerja 1,2, dan 3, secara berurutan. Perusahaan tersebut berkeinginan untuk menentukan jumlah unit harian yang dirakit untuk HiFi-1 dan HiFi-2 untuk meminimumkan jumlah waktu yang tidak dipergunakan di ketiga stasiun kerja tersebut.
9. Sebuah pabrik menghasilkan dua macam barang A dan B. Masing-masing barang diproses melalui dua mesin. Setiap unit barang A diproses selama 4 menit di mesin pertama dan 2 menit di mesin kedua, sedangkan tiap unit barang B diproses selama 2 menit di mesin pertama dan 4 menit di mesin kedua. Kapasitas pengoperasian mesin pertama 900 menit dan mesin kedua 720 menit per hari. Dari setiap penjualan satu unit A diperoleh laba bersih Rp. 8.000,- sedangkan dari penjualan satu unit B diperoleh laba bersih Rp. 6.000,- . Dengan asumsi setiap barang yang dihasilkan senantiasa laku terjual, berapa unit masing-masing barang diproduksi setiap harinya agar laba pabrik tersebut maksimum.
10. Dua produk dihasilkan dengan melalui tiga buah mesin secara berurutan.
Waktu per mesin yang dialokasikan untuk kedua produk tersebut dibatasi sampai 10 jam per hari. Waktu produksi dan laba per unit untuk setiap produk adalah :
Menit per Unit
Produk Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3 Laba
1 10 6 8 $2
2 5 20 15 $3
Tentukan bauran yang optimal dari kedua produk.
