BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR)

(1)

12 Thobirin – Herawan, Analisis Real II BAB II

TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR)

Teorema nilai rata-rata menghubungkan nilai suatu fungsi dengan nilai derivatifnya (turunannya), dimana TNR merupakan salah satu bagian penting dalam kuliah analisis real demikian pula dalm kuliah kalkulus diferensial. Pada bab ini akan diberikan teorema penting terkait dengan derivatif suatu fungsi dan beberapa contohnya, dimulai dengan meninjau hubungan antara nilai ekstrem relatif (maksimum atau minimum relatif) suatu fungsi dan nilai derivatifnya

Sebelum pembahasan lebih lanjut, diberikan terlebih dahulu pengertian maksimum dan minimum relatif suatu fungsi.

Fungsi f : [a, b]  R mempunyai nilai maksimum relatif di titik c  [a, b] jika terdapat persekitaran dari titik c dengan radius   0, yaitu 𝑉_𝛿(𝑐)sehingga𝑓 𝑥 ≤ 𝑓 𝑐 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑡𝑖𝑎𝑝 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] ∩ 𝑉_𝛿(𝑐).

Fungsi f : [a, b]  R mempunyai nilai minimum relatif di titik c  [a, b] jika terdapat persekitaran dari titik c dengan radius   0, yaitu 𝑉_𝛿(𝑐)sehingga𝑓 𝑥 ≥ 𝑓 𝑐 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑡𝑖𝑎𝑝 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] ∩ 𝑉_𝛿(𝑐).

Jika fungsi f : [a, b]  R mempunyai nilai maksimum relatif atau minimum relatif di titik c  [a, b]

maka fungsi f dikatakan mempunyai nilai ekstrem relatif di titik c  [a, b]

Pembahasan selanjutnya memberikan justifikasi secara teoritis sebagai suatu proses yang umum untuk menemukan titik dimana fungsi f mempunyai ekstrem relatif dengan mencari harga derivatif fungsi di suatu titik di dalam domainnya agar sama dengan nol. Namun cara tersebut hanya dapat diaplikasikan pada titik-titik interior dari suatu interval. Untuk kejelasan hal ini perhatikan contoh berikut.

Diberikan fungsi f : [0, 1]  R yang didefinisikan dengan 𝑓 𝑥 = 𝑥. Dapat dimengerti bahwa x = 0 adalah satu-satunya titik dimana f mencapai nilai minimum relatif dan x = 1 adalah satu- satunya titik dimana f mencapai nilai maksimum relatif, akan tetapi tak satupun dapat ditemukan harga nol dari derivatifnya.

Sebelum diberikan Teorema 2.1 perlu diberikan terlebih dahulu pengertian titik interior (interior point) suatu himpunan tak kosong dengan topologi biasa pada garis real.

Diberikan S  R, titik c  S disebut titik interior himpunan S, jika terdapat persekitaran c dengan radius   0, yaitu 𝑉_𝛿(𝑐) sehingga berlaku 𝑉_𝛿(𝑐)  S.

Koleksi semua titik interior himpnan S disebut interior (bagian dalam) himpunan S dan dinotasikan dengan 𝑆^𝑜.

Sangatlah mudah dimengerti bahwa interior setiap interval tertutup terbatas [a, b] pada garis real adalah (a, b).

Teorema 2.1 (Teorema Ekstrem Interior)

Diberikan c titik interior interval I = [a, b] dan fungsi f : [a, b]  R mempunyai nilai ekstrem relative. Jika fungsi f mempunyai derivatif di titik c, maka 𝑓^′ 𝑐 = 0.

(2)

13 Thobirin – Herawan, Analisis Real II Bukti:

Dibuktikan untuk kasus f mempunyai nilai maksimum relative. Misalkan 𝑓 𝑐 maksimum relative.

Andaikan 𝑓^′ 𝑐 ≠ 0, maka 𝑓^′ 𝑐  0 atau 𝑓^′ 𝑐  0.

(i) Untuk 𝑓^′ 𝑐  0, analogi dengan sifat limit fungsi (Teorema 12.14 pada Buku Analisis Real I) maka terdapat 𝑉_𝛿(𝑐)  I, sehingga

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐)

𝑥 − 𝑐 > 0, ∀𝑥 ∈ 𝑉_𝛿 𝑐 , 𝑥 ≠ 𝑐.

Jika 𝑥 ∈ 𝑉_𝛿 𝑐 dan 𝑥 > 𝑐 maka 𝑥 − 𝑐 > 0, sehingga diperoleh 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑐 = (𝑥 − 𝑐)𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐)

𝑥 − 𝑐 > 0 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑐 > 0

𝑓 𝑥 > 𝑓 𝑐 .

Hal ini bertentangan dengan 𝑓 𝑐 sebagai maksimum relative.

(ii) Untuk 𝑓^′ 𝑐  0, analogi dengan sifat limit fungsi (Teorema 12.14 pada Buku Analisis Real I) maka terdapat 𝑉_𝛿(𝑐)  I, sehingga

𝑥 − 𝑐 < 0, ∀𝑥 ∈ 𝑉_𝛿 𝑐 , 𝑥 ≠ 𝑐.

Jika 𝑥 ∈ 𝑉_𝛿 𝑐 dan 𝑥 < 𝑐 maka 𝑥 − 𝑐 < 0, sehingga diperoleh 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑐 = (𝑥 − 𝑐)𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐)

𝑥 − 𝑐 > 0 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑐 > 0

𝑓 𝑥 > 𝑓 𝑐 .

Hal ini bertentangan dengan 𝑓 𝑐 sebagai maksimum relative.

Dari (i) dan (ii) terbukti 𝑓^′ 𝑐 = 0.

Bukti untuk kasus f mempunyai nilai minimum relative diserahkan kepada pembaca untuk latihan.

Akibat 2.2

Diberikan f : [a, b]  R fungsi kontinu pada interval [a, b] dan f mempunyai nilai ekstrem relative di c  (a, b), maka derivatif fungsi f di titik c tidak ada atau 𝑓^′ 𝑐 = 0.

Untuk memperjelas pemahaman Akibat 4.2, perhatikan contoh berikut. Diberikan fungsi bernilai real pada [–1, 1] yang didefinisikan dengan 𝑓 𝑥 = 𝑥 maka f mencapai nilai minimum relative di 0  (–1, 1). Tetapi 𝑓^′ 0 tidak ada.

Teorema 2.3 (Teorema Rolle)

Andaikan fungsi f kontinu pada [a, b], derivatif fungsi f ada di setiap titik dalam interval terbuka (a, b) dan 𝑓 𝑎 = 𝑓 𝑏 = 0, maka terdapat paling sedikit satu titik c  (a, b) sehingga 𝑓^′ 𝑐 = 0.

Bukti:

Jika 𝑓 𝑥 = 0 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], maka jelas 𝑓^′ 𝑥 = 0 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏].

Untuk kasus 𝑓 𝑥 ≠ 0 untuk setiap 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), maka 𝑓 𝑥 > 0 untuk setiap 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) atau 𝑓 𝑥 < 0 untuk setiap 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏).

(3)

14 Thobirin – Herawan, Analisis Real II Tanpa menghilangkan keumuman bukti, untuk selanjutnya diasumsikan 𝑓 𝑥 > 0 untuk setiap 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏). Oleh karena f kontinu pada [a, b], berdasarkan Teorema Maksimum-Minimum (Teorema 16.3 pada Buku Analisis Real I) maka f mempunyai nilai maksimum di suatu titik c  [a, b]. Karena 𝑓 𝑎 = 𝑓 𝑏 = 0 maka c  (a, b) dan karena 𝑓^′ 𝑐 ada maka berdasarkan Teorema 2.1 𝑓^′ 𝑐 = 0.

Teorema 2.4 (Teorema Nilai Rata-rata = TNR)

Misalkan fungsi f kontinu pada interval tertutup I = [a, b], derivatif fungsi f ada di setiap titik dalam interval terbuka (a, b), maka terdapat paling sedikit satu titik c  (a, b) sehingga

𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎 = 𝑓^′ 𝑐 (𝑏 − 𝑎).

Bukti

Didefinisikan fungsi

𝜑 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎 −𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎

𝑏 − 𝑎 𝑥 − 𝑎 ∀𝑥 ∈ 𝐼

Dapat dijelaskan bahwa  merupakan fungsi yang kontinu pada I = [a, b] dan  terdiferensial pada (a, b) serta (a) = (b) = 0. Jelaskan!

Berdasarkan Teorema Rolle, maka terdapat paling sedikit satu titik c  (a, b) sehingga 𝜑^′ 𝑐 = 0.

Perhatikan:

𝜑′ 𝑐 = 𝑓′ 𝑐 −𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎 𝑏 − 𝑎 0 = 𝑓′ 𝑐 −𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎

𝑏 − 𝑎 𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎 = 𝑓^′ 𝑐 (𝑏 − 𝑎).

Teorema 2.5

Misalkan fungsi f kontinu pada interval tertutup I = [a, b], f terdiferensial pada interval terbuka (a, b) dan 𝑓^′ 𝑥 = 0 ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) maka f fungsi konstan pada [a, b].

(a, f(a))

(b, f(b))

y = f(x)

y = (x)

0 Y

c X

a b

(4)

15 Thobirin – Herawan, Analisis Real II Bukti

Cukup dibuktikan bahwa 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎 ∀𝑥 > 𝑎. Berdasarkan TNR, maka terdapat 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑥) sehingga 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎 = 𝑓^′ 𝑐 (𝑥 − 𝑎) untuk 𝑎 < 𝑐 < 𝑥 < 𝑏. Oleh karena 𝑓^′ 𝑐 = 0 untuk 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑥) maka 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎 = 0(𝑥 − 𝑎). Terbukti 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎 .

Akibat 2.6

Jika fungsi-fungsi f dan g keduanya kontinu pada interval tertutup I = [a, b], terdiferensial pada interval terbuka (a, b) dan 𝑓^′ 𝑥 = 𝑔^′ 𝑥 ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), maka terdapat suatu konstanta C sehingga 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 + 𝐶.

Bukti

Didefinisikan suatu fungsi 𝑕 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐼 sehingga 𝑕′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥).

Karena 𝑓^′ 𝑥 = 𝑔^′ 𝑥 maka 𝑕^′ 𝑥 = 0, sehingga berdasarkan Teorema 2.5 𝑕 𝑥 = 𝐶 pada [a, b].

Dengan demikian 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 𝐶 ∀𝑥 ∈ 𝐼 = [𝑎, 𝑏].

Untuk memperjelas teorema tersebut di atas, perhatikan contoh berikut. Diberikan dua fungsi bernilai real f dan g yang masing-masing didefinisikan dengan

𝑔 𝑥 = 3𝑥², ∀𝑥 ∈ [−2, 2] dan 𝑓 𝑥 = 3𝑥²+ 4, ∀𝑥 ∈ [−2, 2]

Perhatikan bahwa 𝑓^′ 𝑥 = 𝑔^′ 𝑥 ∀𝑥 ∈ (−2, 2) dan 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 + 4.

Selanjutnya diberikan pengertian fungsi monoton naik dan fungsi monoton turun sebagai berikut.

a. Fungsi f : [a, b]  R dikatakan monoton naik pada [a, b] jika untuk setiap 𝑥₁, 𝑥₂∈ [𝑎, 𝑏]

dengan𝑥₁< 𝑥₂ berlaku 𝑓(𝑥₁) ≤ 𝑓(𝑥₂).

b. Fungsi f : [a, b]  R dikatakan monoton turun pada [a, b] jika untuk setiap 𝑥₁, 𝑥₂∈ [𝑎, 𝑏]

dengan𝑥₁< 𝑥₂ berlaku 𝑓(𝑥₁) ≥ 𝑓(𝑥₂).

c. Fungsi f : [a, b]  R dikatakan monoton naik tegas pada [a, b] jika untuk setiap 𝑥₁, 𝑥₂∈ [𝑎, 𝑏] dengan𝑥₁< 𝑥₂ berlaku 𝑓(𝑥₁) < 𝑓(𝑥₂).

d. Fungsi f : [a, b]  R dikatakan monoton turun tegas pada [a, b] jika untuk setiap 𝑥₁, 𝑥₂∈ [𝑎, 𝑏] dengan𝑥₁< 𝑥₂ berlaku 𝑓(𝑥₁) > 𝑓(𝑥₂).

e. Fungsi f turun jika fungsi –f naik.

Teorema berikut menunjukkan hubungan turun atau naiknya suatu fungsi dengan nilai derivatifnya pada suatu interval.

Teorema 2.7

Diberikan fungsi f : [a, b]  R terdiferensial pada interval [a, b], maka:

a. fungsi f naik pada [a, b] jika dan hanya jika 𝑓^′ 𝑥 ≥ 0 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]

b. fungsi f turun pada [a, b] jika dan hanya jika 𝑓^′ 𝑥 ≤ 0 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]

Bukti

Bukti bagian a.

(i) Syarat perlu

Diketahui f naik pada [a, b], berarti untuk setiap 𝑥₁, 𝑥₂∈ [𝑎, 𝑏] dengan𝑥₁< 𝑥₂ berlaku 𝑓(𝑥₁) ≤ 𝑓(𝑥₂). Diketahui pula f terdiferensial pada [a, b], berarti 𝑓^′ 𝑐 ada untuk 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏].

Ambil sembarang 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏].

(5)

16 Thobirin – Herawan, Analisis Real II Jika 𝑥 < 𝑐, karena f naik maka 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑐) sehingga 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐) ≤ 0

Akibatnya

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐) 𝑥 − 𝑐 ≥ 0.

Jika 𝑥 > 𝑐, karena f naik maka 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑐) sehingga 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐) ≥ 0 Akibatnya juga

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐) 𝑥 − 𝑐 ≥ 0.

Berdasarkan Teorema 12.9 (pada Buku Analisis Real I) maka diperoleh 𝑓^′ 𝑐 = lim

𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐) 𝑥 − 𝑐 ≥ 0.

Karena c sembarang anggota [a, b], maka dapat disimpulkan 𝑓^′ 𝑥 ≥ 0 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏].

(ii) Syarat cukup

Diketahui 𝑓^′ 𝑥 ≥ 0 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. Ambil sembarang 𝑥₁, 𝑥₂∈ [𝑎, 𝑏] dengan 𝑥₁< 𝑥₂. Oleh karena f terdiferensial pada (𝑥₁, 𝑥₂) dan f kontinu pada [𝑥₁, 𝑥₂]. Selanjutnya dengan menggunakan TNR dapat dipilih titik 𝑐 ∈ (𝑥₁, 𝑥₂) sehinga 𝑓 𝑥₂ − 𝑓 𝑥₁ = 𝑓^′ 𝑐 (𝑥₂− 𝑥₁).

Karena 𝑓^′ 𝑐 ≥ 0 dan 𝑥₁ < 𝑥₂ maka 𝑓 𝑥₂ − 𝑓 𝑥₁ = 𝑓^′ 𝑐 (𝑥₂− 𝑥₁) ≥ 0, sehingga diperoleh 𝑓(𝑥₁) ≤ 𝑓(𝑥₂). Kesimpulannya fungsi f naik.

Bukti bagian b diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

Teorema berikut memberikan suatu syarat cukup bagi suatu fungsi agar mempunyai ekstrem relative di titik interior pada suatu interval yang disebut uji derivative pertama.

Teorema 2.8

Diberikan fungsi f : [a, b]  R kontinu pada interval [a, b] dan c titik interior [a, b]. Misalkan f terdiferensial pada (𝑎, 𝑐) dan (𝑐, 𝑏), maka:

a. Jika terdapat 𝑉_𝛿 𝑐  [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑓^′(𝑥) ≥ 0 untuk setiap 𝑥 ∈ (𝑐 − 𝛿, 𝑐) dan 𝑓^′(𝑥) ≤ 0 untuk setiap 𝑥 ∈ (𝑐, 𝑐 + 𝛿) maka f mencapai maksimum relative di titik c.

b. Jika terdapat 𝑉_𝛿 𝑐  [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑓^′(𝑥) ≤ 0 untuk setiap 𝑥 ∈ (𝑐 − 𝛿, 𝑐) dan 𝑓^′(𝑥) ≥ 0 untuk setiap 𝑥 ∈ (𝑐, 𝑐 + 𝛿) maka f mencapai minimum relative di titik c.

Bukti

a. Jika 𝑥 ∈ (𝑐 − 𝛿, 𝑐), maka berdasarkan TNR terdapat 𝑐_𝑥 ∈ (𝑥, 𝑐) sehingga 𝑓 𝑐 − 𝑓 𝑥 = 𝑓^′ 𝑐_𝑥 𝑐 − 𝑥 .

Karena 𝑓^′ 𝑐_𝑥 ≥ 0 maka diperoleh 𝑓 𝑐 − 𝑓 𝑥 ≥ 0. Jadi 𝑓 𝑐 ≥ 𝑓 𝑥 untuk setiap 𝑥 ∈ (𝑐 − 𝛿, 𝑐).

Demikian halnya jika 𝑥 ∈ (𝑐, 𝑐 + 𝛿), maka berdasarkan TNR terdapat 𝑐_𝑥 ∈ (𝑐, 𝑥) sehingga 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑐 = 𝑓^′ 𝑐_𝑥 𝑥 − 𝑐 .

Karena 𝑓^′ 𝑐_𝑥 ≤ 0 maka diperoleh 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑐 ≤ 0. Jadi 𝑓 𝑐 ≥ 𝑓 𝑥 untuk setiap 𝑥 ∈ (𝑐, 𝑐 + 𝛿).

Terbukti f mencapai nilai maksimum relative di c.

b. Bukti bagian b diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

Untuk lebih memperjelas pemahaman Teorema 2.8 perhatikan contoh berikut. Diberikan fungsi bernilai real f yang didefinisikan dengan 𝑓 𝑥 = 3𝑥²+ 6𝑥 untuk setiap 𝑥 ∈ [−3, 1]. Dengan menggunakan uji derivative pertama akan ditentukan nilai ekstrem relative fungsi f.

(6)

17 Thobirin – Herawan, Analisis Real II Perhatikan 𝑓^′ 𝑥 = 6𝑥 + 6 untuk setiap 𝑥 ∈ [−3, 1]. Dapat ditentukan c = –1 dan  = 1, sehingga jika 𝑥 ∈ (𝑐 − 𝛿, 𝑐) maka 𝑥 ∈ (−2, −1), akibatnya diperoleh 𝑓^′ 𝑥 ≤ 0 untuk setiap 𝑥 ∈ (−2, −1).

Selanjutnya jika 𝑥 ∈ (𝑐, 𝑐 + 𝛿) maka 𝑥 ∈ (−1, 0), diperoleh 𝑓^′ 𝑥 ≥ 0 untuk setiap 𝑥 ∈ (−1, 0).

Jadi f mancapai minimum relative di c = –1.

Penerapan Teorema Nilai Rata-rata (Ketidaksamaan) 1. Buktikan bahwa 𝑒^𝑥 ≥ 1 + 𝑥 ∀𝑥 ∈ 𝑅.

Penyelesaian:

Karena 𝑓 𝑥 = 𝑒^𝑥 kontinu dan terdiferensial pada R maka TNR dapat digunakan untuk membuktikan ketidaksamaan tersebut. Selanjutnya akan ditunjukkan dalam 3 kasus, yaitu:

a. Jika 𝑥 = 0, maka benar 𝑒⁰= 1 + 0

b. Jika 𝑥 > 0, dengan menggunakan TNR pada interval [0, 𝑥] terdapat 𝑐 ∈ (0, 𝑥) sehingga 𝑓 𝑥 − 𝑓 0 = 𝑓^′ 𝑐 (𝑥 − 0)

𝑒^𝑥− 𝑒⁰= 𝑒^𝑐𝑥 𝑒^𝑥 = 𝑒⁰+ 𝑒^𝑐𝑥 𝑒^𝑥 = 1 + 𝑒^𝑐𝑥

Oleh karena 𝑐 ∈ (0, 𝑥) maka 𝑒^𝑐 > 1, sehingga diperoleh 𝑒^𝑥 ≥ 1 + 𝑥 ∀𝑥 > 0.

c. Jika 𝑥 < 0, dengan menggunakan TNR pada interval [𝑥, 0] terdapat 𝑐 ∈ (𝑥, 0) sehingga 𝑓 0 − 𝑓 𝑥 = 𝑓^′ 𝑐 (0 − 𝑥)

𝑒⁰− 𝑒^𝑥 = 𝑒^𝑐(−𝑥) 1 − 𝑒^𝑥 = −𝑥𝑒^𝑐

Oleh karena 𝑐 ∈ (𝑥, 0) maka 𝑒^𝑐< 1, dan dikarenakan −𝑥 > 0, maka 1 − 𝑒^𝑥 < −𝑥.

Akibatnya 𝑒^𝑥 ≥ 1 + 𝑥 ∀𝑥 < 0.

2. Tunjukkan sin 𝑥 ≤ 𝑥 ∀𝑥 ≥ 0.

Penyelesaian:

Karena 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 kontinu dan terdiferensial pada R maka TNR dapat digunakan untuk membuktikan ketidaksamaan tersebut. Selanjutnya akan ditunjukkan dalam 2 kasus, yaitu:

a. Jika 𝑥 = 0, maka benar sin 0 = 0

sin 𝑥 − sin 0 = (cos 𝑐)𝑥 sin 𝑥 = 𝑥(cos 𝑐)

Oleh karena −1 ≤ cos 𝑐 ≤ 1 maka −𝑥 ≤ 𝑥 cos 𝑐 ≤ 𝑥 yang berakibat −𝑥 ≤ sin 𝑥 ≤ 𝑥, ini ekuivalen dengan sin 𝑥 ≤ 𝑥.

3. Ketidaksamaan Bernoully

Jika 𝛼 > 1 maka (1 + 𝑥)^𝛼 ≥ 1 + 𝛼𝑥, ∀𝑥 > −1.

Bukti:

Jika 𝑓 𝑥 = (1 + 𝑥)^𝛼, maka 𝑓^′ 𝑥 = 𝛼(1 + 𝑥)^𝛼−1, ∀𝑥 > −1. Selanjutnya akan dibuktikan dalam 3 kasus, yaitu:

a. Jika 𝑥 = 0, maka benar (1 + 0)^𝛼 = 1 + 𝛼. 0

(1 + 𝑥)^𝛼− 1 = 𝑥𝛼(1 + 𝑐)^𝛼−1

(7)

18 Thobirin – Herawan, Analisis Real II (1 + 𝑥) = 1 + 𝑥𝛼(1 + 𝑐)

Jika 𝑐 ∈ (0, 𝑥) dan karena 𝛼 > 1, maka (1 + 𝑐)^𝛼−1 > 1. Oleh karenanya (1 + 𝑥)^𝛼 = 1 + 𝑥𝛼(1 + 𝑐)^𝛼−1> 1 + 𝑥𝛼

c. Jika −1 < 𝑥 < 0, dengan menggunakan TNR pada interval [𝑥, 0] terdapat 𝑐 ∈ (𝑥, 0) sehingga 𝑓 0 − 𝑓 𝑥 = 𝑓^′ 𝑐 (0 − 𝑥)

1 − (1 + 𝑥)^𝛼 = −𝑥𝛼(1 + 𝑐)^𝛼−1

−(1 + 𝑥)^𝛼 = −1 − 𝑥𝛼(1 + 𝑐)^𝛼−1

Oleh karena 𝑐 ∈ (𝑥, 0), dan karena 𝛼 > 1, maka (1 + 𝑐)^𝛼−1 < 1. OLeh karenanya

−(1 + 𝑥)^𝛼 = −1 − 𝑥𝛼(1 + 𝑐)^𝛼−1< −1 − 𝑥𝛼 (1 + 𝑥)^𝛼 = 1 + 𝑥𝛼(1 + 𝑐)^𝛼−1> 1 + 𝑥𝛼

Sifat-sifat Nilai Tengah Derivatif

Pada bagian ini diakhiri dengan memberikan suatu teorema menarik yang dikenal dengan teorema Darboux. Teorema tersebut menyatakan bahwa, jika fungsi bernilai real f terdiferensial pada domainnya, maka fungsi 𝑓′ mempunyai nilai tengah. Hal tersebut mempunyai maksud, jika 𝑓′

mengambil pada nilai A dan B maka setiap nilai 𝑓′ juga berada di antara A dan B.

Lemma 2.9

Diberikan interval 𝑎, 𝑏  𝑅, fungsi f : [a, b]  R , 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] dan f terdiferensial di c, diperoleh:

a. Jika 𝑓^′(𝑐) > 0 maka terdapat bilangan 𝛿 > 0 sehingga 𝑓(𝑥) > 𝑓 𝑐 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] dengan 𝑐 < 𝑥 < 𝑐 + 𝛿.

b. Jika 𝑓^′(𝑐) < 0 maka terdapat bilangan 𝛿 > 0 sehingga 𝑓(𝑥) > 𝑓 𝑐 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] dengan 𝑐 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑐.

Bukti

a. Bukti bagian a ini diserahkan kepada pembaca untuk latihan b. Jika

𝑓^′ 𝑐 < 0 maka

lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐) 𝑥 − 𝑐 < 0

berdasarkan sifat limit fungsi (Teorema 12.14 pada Buku Analisis Real I) maka terdapat 𝑉_𝛿(𝑐) sehingga

𝑥 − 𝑐 < 0, ∀𝑥 ∈ 𝑉_𝛿 𝑐 ∩ 𝑎, 𝑏 , 𝑥 ≠ 𝑐.

Berarti ada 𝛿 > 0 sehingga untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 dengan 0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 berlaku 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐)

𝑥 − 𝑐 < 0.

Jika 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] dan 𝑐 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑐 maka 𝑥 − 𝑐 < 0, sehingga diperoleh 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑐 = (𝑥 − 𝑐)𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐)

𝑥 − 𝑐 > 0 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑐 > 0

𝑓 𝑥 > 𝑓 𝑐 .

(8)

19 Thobirin – Herawan, Analisis Real II Teorema 2.10 (Teorema Darboux)

Jika fungsi bernilai real f terdiferensial pada interval 𝑎, 𝑏  𝑅 dan k suatu bilangan di antara 𝑓^′ 𝑎 dan 𝑓^′ 𝑏 maka terdapat paling sedikit satu titik 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) sehingga 𝑓^′ 𝑐 = 𝑘.

Bukti

Kemungkinan dapat terjadi (i) 𝑓^′ 𝑎 < 𝑘 < 𝑓^′ 𝑏 atau (ii) 𝑓^′ 𝑏 < 𝑘 < 𝑓^′ 𝑎 . Kita buktikan untuk kemungkinan (i).

Misalkan 𝑓^′ 𝑎 < 𝑘 < 𝑓^′ 𝑏 . Didefinisikan fungsi 𝑔: 𝑎, 𝑏 → 𝑅 dengan 𝑔 𝑥 = 𝑘𝑥 − 𝑓 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 .

Karena f terdiferensial pada 𝑎, 𝑏 maka f kontinu pada 𝑎, 𝑏 . Oleh karenanya g memiliki nilai maksimum pada 𝑎, 𝑏 . Perhatikan bahwa 𝑔′ 𝑥 = 𝑘 − 𝑓′ 𝑥 . Oleh karena 𝑓^′ 𝑎 < 𝑘 maka 𝑔′ 𝑎 = 𝑘 − 𝑓′ 𝑎 > 0. Berdasarkan Lemma 2.9 bagian a, maka ada 𝛿 > 0 sehingga 𝑔(𝑥) > 𝑔(𝑎) untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] dengan 𝑎 < 𝑥 < 𝑎 + 𝛿. Jadi 𝑔(𝑎) bukan nilai maksimum g. Selanjutnya karena 𝑘 < 𝑓^′ 𝑏 maka 𝑔′ 𝑎 = 𝑘 − 𝑓′ 𝑏 < 0. Berdasarkan Lemma 2.9 bagian b, maka ada 𝛿 > 0 sehingga 𝑔(𝑥) > 𝑔(𝑏) untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] dengan 𝑏 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑏. Jadi 𝑔(𝑏) juga bukan nilai maksimum g. Jadi nilai maksimum g tidak dicapai baik di a maupun di b. Oleh karena itu ada titik 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) sehingga 𝑔(𝑐) maksimum, dan berdasarkan Teorema 𝑔′ 𝑐 = 0.

Jadi 𝑔′ 𝑐 = 𝑘 − 𝑓′ 𝑐 = 0. Dengan demikian diperoleh𝑓^′ 𝑐 = 𝑘.

Contoh 2.11

Diberikan fungsi signum g yang dibatasi (restriksi) pada domain [−1, 1], 𝑔: [−1, 1] → 𝑅, yaitu 𝑔 =

1 , 𝑥 > 0 0 , 𝑥 = 0

−1 , 𝑥 < 0

Dapat dimengerti bahwa fungsi g tidak memenuhi sifat nilai tengah derivative pada [−1, 1]. Oleh karenanya menggunakan Teorema Darboux, tidak terdapat fungsi f sehingga 𝑓^′ 𝑥 = 𝑔(𝑥) untuk setiap 𝑥 ∈ [−1, 1]. Dengan kata lain tidak ada fungsi pada [−1, 1] yang mempunyai turunan fungsi g.

LATIHAN 2

1. Tentukan ekstrem relative, interval dimana fungsi naik dan interval dimana fungsi turun a. 𝑓 𝑥 = 𝑥 +¹

𝑥 , 𝑥 ≠ 0 b. 𝑔 𝑥 = ¹

𝑥²+1 , 𝑥 ∈ 𝑅

c. 𝑕 𝑥 = 𝑥 − 2 𝑥 + 2 , 𝑥 > 0 d. 𝑘 𝑥 = 2𝑥 +_𝑥¹₂ , 𝑥 ≠ 0

2. Tentukan ekstrem relative fungsi-fungsi berikut dengan domain tertentu.

a. 𝑓 𝑥 = 𝑥²− 1 , −4 ≤ 𝑥 ≤ 4 b. 𝑔 𝑥 = 1 − (𝑥 − 1)³ ² , 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 c. 𝑕 𝑥 = 𝑥 𝑥²− 12 , −2 ≤ 𝑥 ≤ 3 d. 𝑘 𝑥 = 𝑥 𝑥 − 8³ , 0 ≤ 𝑥 ≤ 9

3. Gunakan Teorema Nilai Rata-rata untuk membuktikan bahwa sin 𝑥 − sin 𝑦 ≤ 𝑥 − 𝑦 , ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅

(9)

20 Thobirin – Herawan, Analisis Real II 4. Gunakan Teorema Nilai Rata-rata untuk membuktikan bahwa

𝑥 − 1

𝑥 < log 𝑥 < 𝑥 − 1, untuk 𝑥 > 1

5. Diberikan 𝑓: [𝑎, 𝑏] → 𝑅 fungsi kontinu pada 𝑎, 𝑏 dan terdiferensial pada (𝑎, 𝑏), Tunjukkan bahwa, jika lim_𝑥→𝑎𝑓^′(𝑥) = 𝐴, maka 𝑓^′(𝑎) = 𝐴

6. Diberikan 𝑓: 𝑅 → 𝑅 didefinisikan dengan

𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2𝑥²sin1

𝑥 , 𝑥 ≠ 0

0 , 𝑥 = 0

Tunjukkan bahwa fungsi f mempunyai minimum mutlak di 𝑥 = 0, tetapi derivatifnya mempunyai nilai positif dan negative di sekitar 0.

7. Diberikan 𝑔: 𝑅 → 𝑅 didefinisikan dengan

𝑔 𝑥 = 𝑥 + 2𝑥²sin1

𝑥 , 𝑥 ≠ 0

0 , 𝑥 = 0

Tunjukkan bahwa fungsi 𝑔^′ 0 = 1, akan tetapi di sekitar 0 manapun derivatifnya mempunyai nilai positif dan negative, jadi fungsi g tidak monoton di sekitar 0.