B A B I I
R U A N G M E T R I K - 2 D A N T I T I K T E T A P D E N G A N 2 P E M E T A A N Untuk dapat memahami penelitian ini sebelumnya akan dijelaskan beberapa hal yang menipakan teori pendukung pada pembahasan berikutnya, Bab ini akan membahas mengenai ruang metrik dan ruang metrik-2, serta titik tetap dengan dua pemetaan diruang metrik.
2.1. Ruang metrik.
Ruang metrik adalah suatu ruang yang dibangun oleh suatu himpunan dengan suatu metrik yang didefmisikan padanya. Metik dapat dikatakan sebagai suatu fungsi jarak dua titik dengan notasi : d(x,y) = jx-y /
Deflnisi 2.1.1. Misalkan X suatu himpunan tak kosong Fungsi d: X x X —> R adalah metrik untuk X jika untuk setiap x,y,z G X berlaku :
/. d(x,y)>0.
ii. ^(x,y) ^ 0 jika dan hanya j i k a x = y.
iii. d(x,y) ^ d(y,x) ( sifat simetri ).
iv. d(x,y,z) <d(x,z) + d(z,y) ( sifat ketaksamaan segitiga).
Himpunan X bersama-sama dengan metrik d untuk X membentuk suatu ruang metrik yang dinotasikan dengan (X,d).
Deflnisi 2.1.2. Barisan { Xn ) di ruang metrik (X,d) dikatakn konvergen ke .r e X jika untuk setiap E>0 terdapat ih eN sehingga d(x„„xj <B untuk « > 7 ; p a t a u
limit d(x„,x) ^- 0 dengan n - > QO.
Deflnisi 2.1.3. Barisan { x„ } diruang metrik (X,d) dikatakan barisan Cauchy jika untuk setiap e>0 t e r d a p a t e N sehingga dfx^Xn) < e untuk m,n, >no.
Deflnisi 2.1.4. Ruang metrik (X,d) dikatakan lengkap j i k a untuk setiap barisan Cauchy di {X,d) adalah konvergen.
2.2. Ruang Metrik-2.
Ruang metrik-2 didefmisikan oleh Gahler (1964) adalah sebagai berikut .
Definisi 2.2,1. Misalkan X_ suatu himpunan tak kosong. Fungsi d:X x X xX R dikatakan metrik-2 jika berlaku :
/. Untuk setiap pasangan x,y eX dengan x y terdapat zeX sehingga d(x,y,z) P^O.
ii d(x,y,z) 0 , jika sekurangnya dua unsur dari x,j^,z adalah sama iii. d(x,y,z) d(x,z,y) = d(y,z,x).
iv. d(x,y,z) <d(x,y,w) + d(x,w,z) (- d(w,y,z).
Deflnisi 2.2.2. Barisan {x„}di ruang metrik-2 (X,d) dikatakan konvergen pada xeX
jika limit A(x„,x,a) = 0 dan untuk setiap a eX. Maka x adalah limit barisan {x,,}
n—XX) di X.
Deflnisi 2.2.3. Barisan {xnj diruang metrik-2 flY",*^ dikatakan Cauchy j i k a
limit d(xm,x„,a) ^ 0 untuk a eX.
m,n—^ oo
Deflnisi 2.2.4. Ruang metrik-2 fA^t/j dikatakan lengkap j i k a setiap barisan Cauchy di (X,d) adalah konvergen.
Deflnisi 2.2.5. Ruang m&ink-2 {X,d) dikatakan terbatas jika terdapat bilangan real K > 0 sehingga dfx,;^,zj untuk semua x,y,z eX.
Teorema 2.2.6. Jika barisan {xn} konvergen ke x , maka setiap sub barisan dari
(xn) juga konvergen.
B u k t l : Barisan (Xn) dikatakan konvergen ke x jika untuk setiap ^ > 0 terdapat lis f= N sedemikian hingga / x„- x / < g. jika n > n^. Misalkan { Xn^} adalah sub barisan dari {x,, } maka akan ditunjukkan bahwa {x,ik } konvergen ke.r.
Karena Ur 2-/; > maka jx„r - x / < s sehingga {xnk} konvergen ke x.
2.3. Titik Tetap dengan Dua Pemetaan.
Titik tetap mula-mula diperkenalkan oleh Banach (1922) yang terkenal dengan prinsip kontraksi Banach.
Definisi 2.3.L Misalkan (X,d) ruang metrik, suatu pemetaan i: X ~>X dinamakan kontraksi pada X jika ada bilangan positif a < I sehingga untuk setiap x,y e X berlaku d(Tx,Ty) < oc d(x,y).
Teorema 2.3.2. Jika (X,d) suatu ruang metrik lengkap dan pemetaan T: X X suatu kontraksi maka ada satu dan hanya satu x eX sehingga Tx - x.
Dalam hal Tx ^ x, x disebut titik tetap.
Bukti : lihat [9].
Berikut ini akan ditunjukkan suatu teorema yang membuktikan ada titik tetap tunggal pada ruang metrik dengan dua pemetaan. Misalkan (X,d) suatu ruang metrik
lengkap dan 5,7' pemetaan dari A'terhadap diri sendiri. Misalkan terdapat bilangan positif ai, ai, 33, 84, 35 sedemikian sehingga berlaku :
ai, a2, as, a4, as < 1 (2.3.1) ai = a2 atau 33 = 8 4 (2.3.2) untuk sebarang x,y e X berlaku:
d(^xjy) <ai d(x,Sx) + a2d(y,ry) + a^dfxjy) + a4d{y,Sx) + asdfxj') (2.3.3) Selanjutnya akan dibuktikan teorema berikut.
I'eorema 2.3.1. Misalkan S dan 7 adalah pemetaan dari suatu ruang metrik lengkap iXjI) terhadap dirinya sendiri. Misalkan terdapat bilangan real positif (/|, (12, (/I. o-u <i'^ yang memenuhi (2.3.1), (2.3.2), dan (2.3.3). Maka setiap pasangan >S' dan 7'mempunyai titik tetap tunggal yang berimpit.
B u k t i . Misalkan .x„ e X . Defenisikan
• Untuk /7 0 makax\ = Sxo dan X2 ^ Tx\.
Dari (2.3.3) diperoleh, d(x,,X2) = diSx^Jx,)
< a^d{x,^,.SX,) + a^dix^,Tx^) + a,c/(.r„, />,)
+ a,d{x„Sx^,) + a,d(x,„x,)
= a,d{x^^, j r , ) + a 2 < = / ( . r , , ) + a^dix^.x^) ^/(.r, , . r , ) 4-6?,<:/(.r„,.r,)
= a|C/(x„,j:|) + « 2 J ( . r | , X 2 ) + a,£/(.)c„,X2 ) + a^^ •{) + a^d(x,^,x^ )
= (c/i )d{x^^, j r , ) + a^dix^,.v^) + a^d{x,,,.v,)
< ( w , + « , )c/(Jf„, X , ) + a2d{x^, j r ^ ) + a , (i:/(.v„,.v, ) + d{x^,.Vj))
< (<7, +<:/, )£/(.r„, A-|) + a^dix^,x^) + u.dix,,,.v,) + a,d{x^,.v^))
<(<-;, + (7, )<:/(jr,,, j c , ) + ( a ^ + )<;/(-f,, )
J ( . Y , , . r 3) - ( « 2 +o,)J(.r|,,V2)<(a,+t;, +a, )d{x„,x,)
( l - c / j - a, )t/(jr,,.r2 ) < ( « , + « , + c/, )c/(..v„,.x,)
J ( . t, , X 2 ) < - i - ^ '-d{x„,X,) 1 - «2 - a,
Misalkan r^"''^^'^^' maka cl{x,,.x,)<rd{x^,x,) (2,3.4)
• Untuk n ^ 0 maka xj = Tx\ dan untuk /? =1 maka xi, = .Sjr2 Dari (2.3.3) diperoleh,
d(x„X2) = d{Sx2Jx,)
< a ^ d { x 2 , S x 2 ) + Ojdix^J'x^) + a^dix^J'x^) + a,^d{x^,Sx2) + a^d{x2,x^)
= a I (/(Xj, X,) + a^t/C A,, ^ 2 ) + <;/,c/(x2, x^) + ^ 4 <:/(X|, x,) +a, 6/(X|, x^)
= a I J( X j , X,) + c/jJCx,, Xj) + • 0 + a, (/(x,, x , ) + a,c/(x,, x , )
= £/1 (/(Xj, X,) + (aj + a, )(:/(X|,Xj) + c/^(/(x,, x , )
< a,<;/(x2,x,) + ( a 2 + )<:/(X|,X2) + a,,{d{x,,Xj) + (/(x,,x,))
< c / |< / ( x 2 , X 3 ) + (tfj + a, ) < : / ( X | , X 2 ) + a,d{x^,x^) + a.dix^,x,)
<{a,+a_^)d{x2,x^) + {a2+o^ +a^)d{x,,X2) ( / ( X j , , v , ) - ( ^ i + a , , ) c/(x2,x,) <(aj + a, + c / , ) d { x ^ , x , )
( l - a , - a , ) ( : / ( . X 2 , X 3) < ( a 2 + )c/(x,.x^)
d{x2,x,)<^^ ^ d i x ^ ^ x ^ )
Misalkan , v = ^ ^ ^ l ^ ^ i ^ maka ^ ( X j . x O < .V^/(-T, ..v^) (2 3.5)
Dari (2.3 4) dan (2.3.5) dengan beberapa pengulangan, untuk /? ^ 0, 1,2 akan diperoleh:
^n-h.,n:^^2„.2)^rd(x,„^x,„^,) (2.3.6)
d{x,„,,.x„„,,)<sd{x (2.3.7)
Dari (2 3.6) dan (2.3.7) serta menggunakan induksi matematika akan diperoleh.
d(x,„,,^x,„,,)<r{rsrd{x,.x,)
d(x,,„„x,„^,)<(rsr'\j{x„x,)
oo 00
Karena rs < I dan '^d{x^,,x,,,^^) < {\ + r)'^{rs)" d(x^^,x^) maka barisan {.v„j
merupakan barisan Cauchy. Karena {X, d) merupakan ruang metrik lengkap dan {.V,,} adalah barisan Cauchy maka {x„) akan konvergen ke satu titik x&X sedemikian sehingga limc/(j:,,,.x) = 0 atau lirax,, = .v.
Akan ditunjukkan bahwa x adalah titik tetap dari S dan 7':
• Misalkan d{x,Sx) < dix^x^,,,^) + (ii^'^in.i^^^^)
= d{xJx,„,,) + d{SxJx,„^,)
Dengan menggunakan formula (2.3.3) diperoleh:
d{Sx, Ix^,,,,) < a,d{x,Sx) + a^dix^,,,,,Tx2„_,,) + a,d{x^ 7A-,„,, )
+ a,d{x2„,,,Sx) + a,d{x,X2,„,)
c/(.S:X,.V3„.,2 ) < r7,J(.V,.SA) + 02J(.X2„,,,X2„^2 ) + a , J ( A ' , . r j „ , , )
+ a,d{x2„,^,Sx) + a^d(x,x
l i m J ( X r , A 2 „ ^ 2 ) < a , \md{x,Sx) +lim<:/(.r2„,,,A,„,2) + ^'i lim(/(A,A^,,,^ )
+ a, limc/(A2„„,.SA) + a, \\md{x,X2,„,)
(/(Sx,x) < u^d{x,Sx) + Ujdix^x) + a^d{x,x) + a^d(x,Sx) + a^d{x,x)
< a,d{x,Sx) + c/j • 0 + a, • 0 + a,^d{x^ Sx) + c/, • 0
< a,d(x,Sx) + a^d{x,Sx)
< (a^ +a,,)d{x,Sx)
Karena a\ + < \ maka d{Sx, x) = 0 sehingga Sx = x dengan .r adalah titik tetap dari Sx.
• Misalkan d(x,'l'x)<d{x,X2„_^^) + d{x2„^^,'l'x)
= d(x,Sx2,,+d{Sx2„,Tx)
Dengan menggunakan formula (2.3.3) diperoleh:
d{Sx2„ Jx)< a,d(x2,„Sx2„) + a^dix,Tx) + a.dix^,,, Ix)
+1/.,, d{x, Sx^,,) + a, t / ( , -V)
d{x2„,,,Tx) < « , f / ( . X 3„ , . T 2 , „ , ) 4 - o^dix,Tx) + a,d{x,„Jx)
+ a,,d(x,X2,„_^) + a,d(x2„,x)
Iim</(.\;,„.,,,/.r) < c/| \\md{x2„,X2„^^) + a2 Wmdix.Tx) + a, limc/(.rj„,/x) 4-n,, lirnc/(jr,jr2„,|) + c/, lini(/(.r,„,.v)
d{x, Tx) < «,<:/(.\-,.v) + ^ / / ( x , 7.V) + a^d{x. Tx) + a^d{x,x) + a^d{x.x)
< c/, -0 4-a,(i(x,Tx) + a^d(x,Tx) + a,, • 04- • 0
< Ojdix, 'Tx) + a^d{x,Tx)
<(a2 +a,)d(xjx)
Karena + r/i < I maka d{x, Tx) = 0 sehingga Tx = .v dengan x adalah titik tetap dari 7x.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa x adalah titik tetap tunggal untuk dan 7' Andaikan x adalah titik tetap untuk Sx dan y titik tetap untuk 7y, maka akan ditunjukkan x = v.
d{x,y) = cl{Sx, Ty)
< a,(J{x, Sx) + a^cJiy, Ty) + a^d{x, 7y) + a,^d{y, Sx) + a^d(x,y)
= a^d{x,x) + a2d{y,y) + a^d{x,y) + a,^d(y,x) + a^d{x,y)
= a, - Q + cij •0 + a^d{x,y) + a^d{y,x) + ar,d(x,y)
= ayd(x,y) + a^d{y,x) + a,d{x,y)
< ( a , +a^)d{x,y)
Karena oi. i a,\ +(7, < 1 maka d{x, y) = 0 sehingga x ^ y.
