PENERAPAN KINEJA MODEL JACKSON QUEUEING NETWORK PADA SISTEM PELAYANAN PASIEN
BPJS RSUD H. ABD. MANAN SIMATUPANG KISARAN
SKRIPSI
DESY NATALIA SIPAYUNG 160803027
PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2021
PENERAPAN KINEJA MODEL JACKSON QUEUEING NETWORK PADA SISTEM PELAYANAN PASIEN
BPJS RSUD H. ABD. MANAN SIMATUPANG KISARAN
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
DESY NATALIA SIPAYUNG 160803027
PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2021
PENERAPAN KINEJA MODEL JACKSON QUEUEING NETWORK PADA SISTEM PELAYANAN PASIEN
BPJS RSUD H. ABD. MANAN SIMATUPANG KISARAN
ABSTRAK
Antrian merupakan suatu kejadian yang biasa terjadi di dalam kehidupan sehari–hari.
Hampir semua pelayanan akan mengalami suatu antrian, termasuk pada pelayanan pasien BPJS RSUD H. Abd. Manan Simatupang Kisaran yang mengalami suatu antrian di beberapa titik antrian yang disebabkan oleh terjadinya penumpukan- penumpukan pasien yang membuat pasien harus menunggu lama untuk mendapatkan suatu pelayanan. Solusi untuk mengatasi waktu tunggu pasien yang lama di beberapa titik antrian adalah dengan menerapkan model jaringan antrian Jackson yang dapat meminimalisirkan waktu tunggu seorang pasien dalam antrian. Dalam model ini menggunakan aturan First Come First Service dimana konsumen dapat berpindah dari satu workstation ke workstation lain sebelum meninggalkan sistemnya.
Workstation yang diteliti dalam penelitian ini adalah workstation registrasi, workstation pra konsultasi penyakit dalam, workstation konsultasi klinik penyakit dalam, dan workstation apotik. Perhitungan data selama 5 hari untuk menghitung jumlah kedatangan dan keberangkatan pada setiap titik workstation. Total waktu tunggu pasien sebelum penerapan model Jackson Queuing Network adalah 82 menit.
Dengan penerapan model Jackson Queuing Network, total waktu tunggu pasien dapat berubah menjadi 10 menit jika rumah sakit menambah pegawai di workstation registrasi menjadi 4 server, workstation pra konsultasi penyakit dalam menjadi 3 perawat, workstation konsultasi obat menjadi 4 dokter dan untuk workstation apotek menjadi 7 orang pegawai.
Kata kunci : Antrian, Jaringan Antrian Jackson, Rumah Sakit, Model Sistem Antrian
ii
APPLICATION OF JACKSON QUEUEING NETWORK PERFORMANCE IN PATIENT SERVICE SYSTEM
BPJS RSUD H. ABD. MANAN SIMATUPANG KISARAN
ABSTRACT
Queuing is an event that usually happens in everyday life. Almost all services will experience a queue, including the BPJS patient services at RSUD H. Abd. Manan Simatupang Kisaran who experienced a queue at several queue points caused by accumulation of patients which made patients have to wait a long time to get a service. The solution to overcome long patient waiting times at several queue points is to apply the Jackson queue network model which can minimize the waiting time for a patient in the queue. In this model using the First Come First Service rule where customers can move from one workstation to another before leaving the system. The workstations studied in this study were registration workstations, pre-internal medicine consultation workstations, internal medicine clinic consultation workstations, and pharmacy workstations. Calculation of data for 5 days to calculate the number of arrivals and departures at each workstation point. The total patient waiting time before implementing the Jackson Queuing Network model was 82 minutes. With the application of the Jackson Queuing Network model, the total patient waiting time can change to 10 minutes if the hospital adds employees at the registration workstation to 4 servers, the pre-internal medicine consultation workstation to 3 nurses, the drug consultation workstation to 4 doctors and the pharmacy workstation to 7 people. employees.
Keywords : Queue, Jackson Queueing Network, Hospital, Queueing System Model
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang, dengan limpah karunia-Nya Penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul Penerapan Kinerja Model Jackson Queueing Network Pada Sistem Pelayanan Pasien BPJS RSUD H. Abd Manan Simatupang Kisaran.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dan membimbing penulis dalam penyusunan skripsi ini. Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada:
1. Bapak Dr. Kerista Sebayang, M.S selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam serta seluruh staf pegawai dan juga staf administrasi yang ada di Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
2. Bapak Dr. Suyanto M.Kom selaku Ketua Departemen Matematika dan Bapak Drs. Rosman Siregar M.Si selaku Sekretaris Departemen Matematika dan seluruh dosen yang telah mendidik penulis selama menjalani pendidikan di Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
3. Bapak Dr. Syahriol Sitorus, M.IT selaku dosen pembimbing penulis yang yang senantiasa membimbing dan memberikan pengarahan kepada penulis sehingga skripsi ini dapat diselesaikan.
4. Bapak Drs. Ujian Sinulingga, M.Si dan Bapak Dr. Open Darnius, M.Sc selaku dosen pembanding yang telah memberikan segala saran dan masukan dalam proses penyelesaian skripsi ini.
5. Ibu Mariani, SH Selaku Direktur Kepala Bagian Tata Usaha RSUD H. Abd Manan Simatupang Kisaran dan beserta seluruh pegawai RSUD H. Abd.
Manan Simatupang Kisaran.
6. Orang tua penulis, Ayahanda Jhon Eduart Sipayung, Ibunda Dinaria Tiurma br Sagala dan saudara penulis Jhosua Sipayung dan Jesaya Sipayung atas dukungan doa, finansial, nasihat, serta semangat yang tidak pernah berhenti selama penulis menempuh masa kuliah hingga akhir penulisan skripsi ini.
iv
7. Sahabat-sahabat penulis Candra Napitupulu, Eiby Valentine, Fransisca Nadeak, Grace Nababan, Miranda Simbolon, Nora Octavia, Rindu Simanjuntak, Ruth Elizabeth, yang senantiasa memberikan semangat, motivasi dan keceriaan dalam penyusunan skripsi ini.
8. Seluruh teman-teman Matematika 2016, Teman-teman KKN Motung yang selalu memberi motivasi dan semangat kepada penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini.
Penulis menyadari bahwa masih ada kekurangan dalam penulisan skripsi ini. Maka dari itu diperlukan kritik dan saran dari pembaca untuk penyempurnaan skripsi ini.
Medan, 16 Februari 2021 Penulis
Desy Natalia Sipayung
DAFTAR ISI
Halaman
PENGESAHAN TUGAS AKHIR i
ABSTRAK ii
ABSTRACK iii
PENGHARGAAN iv
DAFTAR ISI vi
DAFTAR TABEL viii
DAFTAR GAMBAR ix
DAFTAR LAMPIRAN x
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Rumusan Masalah 3
1.3 Batasan Masalah 3
1.4 Tujuan Penelitian 4
1.5 Manfaat Penelitian 4
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 5
2.1 Pengertian Teori Antrian 5
2.2 Sistem Antrian 5
2.2.1 Karakteristik Antrian 6
2.2.2 Distribusi Poisson dan Distribusi Eksponensial 9
2.2.3 Notasi Sistem Antrian 10
2.3 Model Sistem Antrian 11
2.3.1 Model Antrian (M/M/1):(FCFS/∞/∞) 11
2.3.2 Model Antrian (M/M/s):(FCFS/∞/∞) 12
2.4 Jaringan Antrian 12
2.4.1 Jaringan Antrian Terbuka 13
2.4.2 Jaringan Antrian Tertutup 13
2.4.3 Jaringan Antrian jackson 14
BAB 3 METODE PENELITIAN 18
3.1 Tempat dan Waktu Penelitian 18
3.2 Jenis Data 18
3.3 Metode Pengumpulan Data 18
3.4 Metode Analisis Data 19
3.5 Alur solusi penerapan jaringan antrian jackson 21
vi
BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN 22
4.1 Sistem Antrian Rawat Jalan Rumah Sakit 22
4.2 Analisis Data 22
4.2.1 Data Tingkat Kedatangan (λ) 23
4.2.2 Data Tingkat Keberangkatan (µ) 24
4.3 Analisis Performasi Model Antrian Awal 24
4.3.1 Kondisi Steady State 24
4.3.2 Model Antrian Awal 25
4.4 Penerapan Model Jaringan Antrian Jackson 33
4.4.1 Probabilitas Perpindahan Antar Workstation 33
4.4.2 Tingkat Keberangkatan (𝜇) Baru 36
4.5 Rekomendasi dan Simulasi 37
BAB 5 PENUTUP 40
5.1 Kesimpulan 40
5.2 Saran 40
DAFTAR PUSTAKA 42
LAMPIRAN 44
DAFTAR TABEL
Nomor
Tabel Judul Halaman
2.1 Simbol-simbol Karakteristik Notasi Kendall-lee 10
4.1 Jumlah Kedatangan Pasien 22
4.2 Data tingkat kedatangan pasien 23
4.3 Data tingkat keberangkatan pasien 24
4.4 Nilai 𝜌 25
4.5 Performasi model antrian awal 32
4.6 Performasi model antrian baru 38
4.7 Perbandingan Ws berdasarkan jumlah pegawai 39
4.8 Perbandingan Ws berdasarkan jumlah pegawai 39
viii
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Gambar Judul Halaman
2.1 Komponen Sistem Antrian 5
2.2 Struktur Antrian Single Channel-Single Phase 7
2.3 Struktur Antrian Single Channel-Multi Phase 8
2.4 Struktur Antrian Multi Channel-Single Phase 8
2.5 Struktur Antrian Multi Channel-Multi Phase 9
2.6 Open Queueing Network 13
2.7 Closed Queueing Network 14
2.8 Contoh Diagram Skema Jaringan Antrian 16
3.1 Diagram Alur Jaringan Antrian RSUD H. Abd Manan 19
Simatupang Kisaran 3.2 Kerangka Penelitian 21
DAFTAR LAMPIRAN
Nomor
Lampiran Judul Halaman 1 Data Penelitian Jumlah Pasien RSUD H. Abd. Manan 44 Simatupang Kisaran
2 Data Penelitian Setiap Workstation 45 3 Data Tingkat Kedatangan dan Keberangkatan 89 4 Surat Izin Pengambilan Data dari Direktur KA. Bagian 91 Tata Usaha di RSUD H. Abd. Manan Simatupang Kisaran
5 Surat Pengantar Izin Pengambilan Data di RSUD H Abd. Manan 92 Simatupang Kisaran dari FMIPA Universitas Sumatera Utara
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Antrian merupakan salah satu fenomena yang sering terjadi dalam kehidupan sehari- hari dan sering ditemui dalam fasilitas-fasilitas pelayanan umum. Antrian akan terjadi bila banyaknya pelanggan yang dilayani melebihi kapasitas layanan yang tersedia. Teori tentang antrian pertama kali ditemukan dan dikembangkan oleh A.K Erlang (1913) yang mempelajari fluktuasi permintaan telepon dan keterlambatan pelayanannya. Menurut Hamdy Toha (1997), proses antrian adalah suatu proses yang berhubungan dengan kedatangan pelanggan pada suatu fasilitas pelayanan kemudian menunggu dalam baris antrian jika belum dapat dilayani, kemudian dilayani, dan akhirnya meninggalkan fasilitas tersebut setelah dilayani.
RSUD H. Abd. Manan Simatupang Kisaran adalah salah satu dari rumah sakit pemerintah daerah yang terletak di Jl. Sisingamangaraja No 310 Kisaran Kabupaten Asahan, Sumatera Utara. RSUD H. Abd. Manan Simatupang Kisaran merupakan salah satu rumah sakit yang menjadi rujukan pasien yang berada di tengah Kota Kisaran. Hal ini terlihat dari jumlah pasien rawat inap pada tahun 2011 yang mencapai 8.912 pasien rawat inap. RSUD H. Abd. Manan Simatupang Kisaran merupakan salah satu rumah sakit milik Pemerintah Kabupaten Asahan yang juga mengemban fungsi sosial sebagai rumah sakit, namun tetap juga suatu organisasi yang menjadi sumber penerimaan tenaga kerja asli daerah kabupaten Asahan.
Rumah Sakit Umum Daerah (RSUD) H. Abd. Manan Simatupang Kisaran adalah salah satu Rumah Sakit yang ditunjuk oleh BPJS Kesehatan sebagai sarana untuk melayani pengguna BPJS Kesehatan dan diharapkan dapat memberikan pelayanan yang terbaik sehingga pasien rawat jalan peserta BPJS Kesehatan merasa puas. Pada pelayanan pasien BPJS di loket pendaftaran RSUD H. Abd. Manan Simatupang Kisaran hampir tidak pernah sepi setiap jam kerjanya. Terlalu banyak pasien yang berobat menggunakan BPJS membuat tumpukan antrian semakin banyak sehingga dapat menyebabkan pasien harus menunggu untuk dilayani. Terjadinya antrian yang panjang tidak hanya di loket pendaftaran saja tetapi juga antrian panjang terjadi di poli penyakit dalam dan pengambilan obat di apotik yang disediakan rumah
sakit. Oleh sebab itu antrian yang panjang membuat kualitas pelayanan pada rumah sakit kurang baik dimata pasien yang hendak berobat.
Jaringan antrian merupakan sekelompok workstation dimana pelanggan atau barang dapat mengantri dan berpindah dari satu workstation ke workstation lain (Owoloko dkk, 2015). Terdapat dua tipe jaringan antrian yaitu jaringan antrian terbuka dan tertutup. Dalam model jaringan antrian terbuka (Open Queueing Network), pelanggan yang masuk ke dalam sistem jaringan antrian dapat berasal dari dalam ataupun luar sistem antrian dan pasien dapat keluar dari sistem jaringan antrian jika sudah selesai menerima layanan yang dikehendaki. Sedangkan, dalam model jaringan antrian tertutup (Closed Queueing Network) memiliki jumlah pelanggan yang tetap dalam sistem antriannya, tidak ada pelanggan baru yang masuk dari luar sistem antrian dan tidak ada yang keluar dari sistem antrian.
Sistem antrian instalasi rawat jalan RSUD H. Abd. Manan Simatupang Kisaran memiliki karakteristik jaringan antrian Jackson terbuka karena jaringannya terdiri atas beberapa antrian yang saling berhubungan dengan peluang tertentu dan memungkinkan kedatangan dan keberangkatan pasien di luar jaringannya.
Puspaningrum et al. (2016) dalam penelitian yang berjudul “Implementasi Sistem Antrian Jackson Pada Rumah Sakit” mengemukakan bahwa algoritma Jackson Network Queue dapat digunakan untuk membuat sistem antrian pada rumah sakit dengan kapasitas antrian yang besar dan penyajian metode Jackson Network Queue dengan aturan FCFS (First Come First Serve) untuk estimasi waktu tunggu menjadi lebih tepat dengan standar waktu pelayanan maksimal.
Dalam penelitian tersebut untuk mencapai kualitas pelayanan kesehatan, rumah sakit perlu mengubah paradigma dari orientasi obat ke orientasi pasien. Melalui Network Queue Jackson, setiap server atau node dapat menyediakan layanan independen yang memungkinkan untuk menganalisis setiap node secara terpisah
Selanjutnya penelitian yang terkait dengan model jaringan antrian Jackson adalah penelitian dari E.A Owoloko et al. (2015) dalam penelitian yang berjudul “On the Application of the Open Jackson Queuing Network” menyimpulkan bahwa Bagi seorang pasien untuk masuk ke sistem dan tidak menghabiskan lebih dari tiga puluh menit, ini menunjukkan bahwa Pusat Kesehatan Universitas akan membutuhkan
lebih banyak server di setiap node sehingga meningkatkan waktu tunggu untuk efisiensi nya yang lebih baik..
Berdasarkan latar belakang diatas dan beberapa penelitian tersebut dapat diketahui bahwa dengan menerapkan jaringan antrian Jackson dapat meminimalisirkan waktu tunggu pasien atau pelayanan untuk ditangani dalam suatu jaringan antrian. Oleh karena itu, penulis tertarik untuk membuat penelitian dengan judul “Penerapan Kinerja Model Jackson Queueing Network Pada Sistem Pelayanan Pasien BPJS RSUD H. Abd. Manan Simatupang Kisaran”.
1.2 Rumusan Masalah
Mengenai tentang antrian adalah suatu kejadian yang biasa terjadi di dalam kehidupan sehari–hari. Selama ini masih banyak yang fokus pada satu antrian saja.
Pada permasalahan nyata, seorang pasien pada RSUD H. Abd. Manan Simatupang Kisaran, akan mengantri di beberapa kali lebih dari satu antrian dan antrian tersebut mengalami terjadinya penumpukan-penumpukan pasien yang membuat pasien harus menunggu lama untuk melakukan pelayanan. Oleh karena itu, diperlukan suatu penerapan jaringan antrian Jackson yang dapat meminimalisirkan waktu tunggu pasien untuk ditangani antar workstation didalam suatu antrian. Berdasarkan latar belakang dan keterangan diatas yang menjadi permasalahan dalam penelitian ini adalah bagaimana cara meminimalisirkan waktu tunggu antrian terhadap pasien BPJS RSUD H. Abd. Manan Simatupang Kisaran dengan menggunakan model jaringan antrian Jackson.
1.3 Batasan Masalah
Batasan masalah perlu dilakukan untuk memfokuskan kajian penelitian sehingga prosesnya menjadi terarah dan hasilnya mampu menjawab pertanyaan penelitian.
Beberapa batasan masalah yang dipilih sebagaimana dijelaskan dibawah ini yaitu:
1. Penelitian dilakukan selama 3 minggu di RSUD H. Abd. Manan Simatupang Kisaran data yang dikumpulkan berupa jumlah kedatangan dan jumlah keberangkatan antar workstation selama 4 jam dari pukul 8:00 sampai 12:00 dimana pengamatan dan pengumpulan data dilakukan di waktu yang bersamaan
2. Penelitian ini menggunakan model antrian Jackson terbuka untuk diterapkan dalam sistem antrian pada RSUD H. Abd. Manan Simatupang Kisaran
3. Antrian jaringan pada RSUD H. Abd. Manan Simatupang Kisaran mempunyai 4 titik antrian, antara lain antrian pada loket registrasi pendaftaran, antrian ruang pra konsultasi pada perawat, antrian ruang konsultasi dokter, antrian apotik rumah sakit
4. Berdasarkan survey awal di RSUD H. Abd. Manan Simatupang Kisaran peneliti berfokus hanya pada masalah titik antrian yang terjadi pada pasien hingga mendapatkan pelayanan.
1.4 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah untuk meminimalisirkan waktu tunggu seorang pasien dalam antrian dibeberapa workstation RSUD H. Abd. Manan Simatupang Kisaran hingga mendapatkan pelayanan menggunakan model jaringan antrian Jackson.
1.5 Manfaat Penelitian Manfaat penelitian ini adalah :
1. Dapat menjadi bahan pertimbangan atau masukan terhadap pihak rumah sakit dalam meningkatkan sistem pelayanan antrian terhadap pasien BPJS RSUD H. Abd. Manan Simatupang kisaran agar waktu tunggu pasien menjadi lebih sedikit
2. Dapat memberikan sumbangan pemikiran dalam memperkaya wawasan konsep mengenai jaringan antrian Jackson
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Pengertian Teori Antrian
Teori antrian merupakan cabang ilmu matematika terapan mengenai antrian yang di dalamnya membahas alternatif model matematika yang dapat diterapkan pada suatu sistem antrian untuk menentukan optimalisasi sistem antrian tersebut. Teori antrian pertama kali diperkenalkan oleh seorang ahli matematika dari Denmark yang bernama A.K. Erlang melalui buku yang ditulisnya yang berjudul “Solution of Some Problem in the Theory of Probability of Significance in Automatic Telephone Exchange”. Teori antrian ini menggunakan asumsi disiplin antrian, distribusi kedatangan, distribusi waktu pelayanan, laju tingkat kedatangan dan pelayanan, serta sistem antrian steady state (Aminuddin, 2005). Proses antrian (Queueing process) merupakan suatu proses kedatangan pelanggan yang datang pada suatu fasilitas pelayanan, kemudian menunggu dalam suatu barisan atau antrian hingga mendapatkan pelayanan lalu meninggalkan fasilitas pelayanan tersebut (Rangkuti, 2013).
2.2 Sistem Antrian
Sistem antrian merupakan himpunan pelanggan, pelayan dan suatu aturan yang mengatur kedatangan pelanggan dan pelayanannya (Rangkuti, 2013). Sistem antrian adalah proses kelahiran-kematian dari populasi yang terdiri dari pelanggan yang menunggu untuk dilayani dan pelanggan yang sedang dilayani.
Gambar 2.1 : Komponen sistem antrian
2.2.1 Karakteristik Antrian
Terdapat tiga komponen didalam sistem antrian : 1. Kedatangan atau masuknya sistem
Kedatangan memiliki karakteristik seperti ukuran populasi, perilaku dan sebuah distribusi statistik. Pada umumnya, suatu proses kedatangtan terjadi secara acak dan tidak dapat diprediksi kapan pelanggan akan datang, dengan kedatangan pasien yang datang secara tidak pasti maka probabilitas yang cocok digunakan adalah distribusi Probabilitas Poisson. Jalur yang digunakan dalam siste antrian merupakan jalur tunggal, maka terdapat satu rata-rata kedatangan dan ini sesuai dengan distribusi poisson yang mempunyai satu parameter yaiu lamda (λ).
2. Disiplin antrian atau antrian itu sendiri
Karakteristik antrian mencakup apakah jumlah antrian terbatas atau tidak terbatas panjangnya dan materi atau orang-orang yang ada didalamnya.
Disiplin Antrian adalah aturan dimana para pelanggan dilayani, atau disiplin pelayan (service discipline) yang memuat urutan (order) para pelanggan menerima layanan. Ada 4 bentuk disiplin antrian menurut kedatangan yaitu :
a. First Come First Served (FCFS) atau First in First Out (FIFO)
Yaitu pelanggan yang datang lebih awal akan mendapatkan pelayanan lebih dahulu.
ini merupakan antrian yang umum digunakan, misalnya antrian pada loket pembelian tiket bioskop.
b. Last In Random Order (LCFS) atau Least In First Out (LIFO)
Yaitu pelanggan yang datang paling akhir akan dilayani terlebih dahulu, misalnya sistem antrian pada lift untuk lantai yang sama.
c. Service In Random Order (SIRO) atau Random Selection for Service (RSS) Yaitu pelayanan berdasarkan pada peluang secara random atau pelayanan dilakukan secara acak, misalnya antrian pada barisan dimana penarikan berdasarkan nomor undian.
d. Prioritas Service (PS)
Yaitu prioritas pelayanan diberikan kepada pelanggan yang mempunyai prioritas lebih tinggi dibandingkan dengan pelanggan yang mempunyai prioritas yang lebih rendah, meskipun telrebih dulu tiba digaris tunggu adalah yang terakhir datang.
Disiplin antrian ini biasnya terjadi ditempat praktek dokter dimana seorang pasien
yang mempunyai penyakit yang lebih berat atau kritis dbandingkan orang lain akan diprioritaskan untuk dilayani terlebih dahulu.
3. Fasilitas pelayanan
Karakteristik fasilitas pelayanan meliputi desain dan distribusi waktu pelayanan.
Pola pelayanan ditentukan oleh waktu pelayanan yaitu waktu yang dibutuhkan untuk melayani pelanggan dalam sistem pelayanan. Distribusi probabilitas untuk waktu layanan biasanya menggunakan distribusi probabilitas eksponensial.
Terdapat empat macam fasilitas pelayanan yang biasa terjadi :
a. Single Channel-Single Phase (Satu jalur dan satu tahap pelayanan)
Single channel berarti hanya ada satu jalur yang memasuki sistem pelayanan atau ada satu fasilitas pelayanan. Single phase berarti hanya ada satu 26 pelayanan.
Dikenal pula sebagai sistem antrian jalur tunggal yang juga disebut single channel, sementara single server merupakan sistem antrian dimana hanya terdapat satu pemberi layanan serta satu jenis layanan yang diberikan.
Gambar 2.2 : Struktur Antrian Single Channel-Single Phase b. Single Channel-Multi Phase (Banyak jalur dengan satu tahap pelayanan)
Istilah multi phase menunjukkan ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakan secara berurutan. Sistem antrian jalur tunggal tahapan berganda (single channel multi server) berarti dalam sistem antrian tersebut terdapat lebihdari satu jenis layanan yang diberikan, tetapi dalam setiap jenis layanan hanya terdapat satu pemberi layanan.
Antrian Pelayanan
Gambar 2.3 : Struktur Antrian Single Channel-Multi Phase c. Multi Channel-Single Phase (Satu jalur dengan tahap pelayanan)
Sistem multi channel single phase terjadi di mana ada dua atau lebih fasilitas pelayanan dialiri oleh antrian tunggal. Sistem antrian ini juga dikenal sebagai jalur berganda satu tahap (multi channel single server) yaitu terdapat satu jenis layanan dalam sistem antrian tersebut, namun terdapat lebih dari satu pemberi layanan.
Gambar 2.4 : Struktur Antrian Multi Channel-Single Phase d. Multi Channel-Multi Phase (Banyak jalur dan banyak tahap pelayanan)
Sistem antrian multi channel multi phase sama dengan antrian multi channel multi server atau sistem antrian dengan jalur berganda dengan tahapan berganda yaitu sistem antrian dimana terdapat lebih dari satu jenis layanan dan terdapat lebih dari satu pemberi layanan dalam setiap jenis layanan. Sebagai contoh, pelayanan kepada pasien di rumah sakit mulai dari pendaftaran, diagnosa, penyembuhan sampai pembayaran.
Antrian
Pelayanan
Antrian Pelayanan
Antrian Pelayanan
Gambar 2.5 : Struktur Antrian Multi Channel-Multi Phase 2.2.2 Distribusi Poisson dan Distribusi Eksponensial
a. Distribusi Poisson
Distribusi poisson merupakan distribusi yang dikembangkan dari satu bentuk distribusi binomial yang mampu mencari probabilitas dengan kemungkinan sukses yang sangat kecil dengan jumlah eksperimen yang besar. Distribusi poisson biasa digunakan dalam distribusi tingkat kedatangan, dimana kedatangan pasien bersifat bebas dan acak (Taha,1997). Variabel acak diskrit X dikatakan berdistribusi Poisson dengan parameter λ jika fungsi peluangnya sebagai berikut.
f (x) = λ
xe−λ
x! x = 0 1, 2, ... (2.1) dimana :
λ = rata-rata tingkat kedatangan
x = jumlah kedatangan persatuan waktu b. Distribusi Eksponensial
Distribusi eksponensial biasanya diterapkan dalam menggambarkan distribusi waktu pelayanan atau waktu antar kedatangan pelanggan pada suatu fasilitas layanan, dimana waktu yang diperlukan tersebut bersifat bebas dan acak. Waktu yang dihabiskan untuk melayani pelanggan tidak bergantung pada lamanya waktu yang dihabiskan untuk melayani pelanggan sebelumnya (Taha, 1997). Variabel X dikatakan distribusi eksponensial, Variabel acak diskrit X dikatakan berdistribusi Eksponensial dengan parameter µ jika fungsi peluangnya sebagai berikut.
f(x) = µe−µx , x ≥ 0 (2.2) Antrian Pelayanan
dimana :
µ = rata-rata waktu pelayanan e = bilangan euler (2,718281828) x = waktu pelayanan
2.2.3 Uji Kesesuaian Distribusi
Untuk mengetahui distribusi yang sesuai dengan kelompok frekuensi yang diamati dengan kelompok yang diasumsikan sesuai dengan harapan dengan harapan maka dilakukan uji kecocokan distribusi. Pengujian ini dilakukan dengan menggunakan uji Chi Square.
Uji Chi Square digunakan untuk menguji hipotesis dari distribusi kontinu dan diskrit yang memiliki jumlah sampel yang besar. Langkah pengujian distribusi adalah sebagai berikut:
1. Menentukan Hipotesis
𝐻0 : Data menyebar poisson/eksponenesial 𝐻1 : Data tidak menyebar poisson/eksponensial
2. Pengujian hipotesis dengan chi square sebagai berikut:
𝑋ℎ𝑖𝑡2 = ∑ ∑ (𝑜𝑖−𝐸𝑖)2
𝐸𝑖 𝑘𝑗=1 𝑏𝑖=1
dimana :
𝑜𝑖 = banyaknya elanggan yang diamati pada garis i kolom j 𝐸𝑖 = banyaknya pelanggan yang diharapkan pada garis i kolom j 𝑏 = jumlah baris
𝑘 = jumlah kolom 𝑋2 = jumlah chi square
Nilai 𝐸𝑖 dapat dicari dengan rumus : 𝐸𝑖 = 𝑛𝑖𝑥𝑛𝑗
𝑛
dimana :
𝑛𝑖 = jumlah baris ke i 𝑛𝑗 = jumlah kolom j
Demikian pula misalnya didapat:
𝐸1 = 𝑛1𝑥𝑛1
𝑛 ; 𝐸1 𝑛1𝑥𝑛2
𝑛
𝐸2 = 𝑛2𝑥𝑛1
𝑛 ; 𝐸2 𝑛2𝑥𝑛2
𝑛
Kriteria keputusan yang digunakan dalam pengujian adalah 𝐻0 diterima apabila 𝑋ℎ𝑖𝑡2 ≤ 𝑋𝑡2. Dan dalam hal ini 𝐻0 ditolak, dengan taraf nyata 𝛼 = 5%, dan nilai Degree of Freedom (d.f) = (b-1) (k-1) yang diperoleh oleh tabel chi square.
2.2.4 Notasi Sistem Antrian
Notasi untuk memodelkan suatu sistem antrian pertama kali diperkenalkan oleh D.G.
Kendall dan dikenal sebagai notasi kendall yang berbentuk a/b/c. A.M. Lee menambahkan notasi tersebut dengan simbol d dan e sehingga terbentuk notasi baru yang disebut dengan notasi Kendall-Lee. Kemudian Taha (1997) menambahkan notasi f sehingga karakteristik antrian dinotasikan dalam format (a/b/c):(c/d/f).
Dimana :
Tabel 2.1 Simbol-simbol Karakteristik Notasi Kendall-Lee
Notasi Simbol Keterangan
a dan b M Markov menyatakan kedatangan dan kepergian berdistribusi poisson (waktu eksponensila
D Deterministik menyatakan waktu antar kedatangan atau waktu pelayanan konstan
𝐸𝑘 Waktu antar kedatangan atau waktu pelayanan berdistribusi erlang
GI Distribusi independen umum dari kedatangan (atau waktu antar kedatangan)
G Distribusi umum dari keberangkatan (atau waktu pelayanan
d FCFS/FIF
O
First Come First Served/ First In First Out
LCFS/LIF O
Last Come First Served/ Last In Out
SIRO Service in Random Order
PS Priority Service c, e, f 1, 2, 3, ...∞ N
2.3 Model Sistem Antrian
2.3.1 Model Antrian (M/M/1):(FCFS/∞/∞)
Model Antrian (M/M/1):(FCFS/∞/∞) adalah model antrian dengan pelayanan tunggal tanpa s kapasitas, baik dari kapasitas sistem maupun kapasitas sumber kedatangan. Dalam model ini, tingkat keberangkatan jumlah individu/satuan waktu (𝜆) dan tingkat keberangkatan jumlah individu/satuan waktu (𝜇) mengikuti distribusi poisson dan waktu pelayanan (1
𝜇) mengikuti distribusi eksponensial (Taha, 1997). Laju kedatangan dalam model ini diasumsikan tidak bergantung pada jumlah sistem sehingga λn = 𝜆 untuk semua n.
Begitu pula kecepatan pelayanan dalam sistem tersebut diasumsikan mempunyai konstan yaitu 𝜇𝑛= 𝜇 untuk semua n. Jika 𝜆 menyatakan laju kedatangan rata-rata (jumlah pasien per satuan waktu) dan laju pelayanan rata-rata 𝜇 (jumlah pasien per satuan waktu), maka waktu antar kedatangan adalah 1
𝜆 , waktu pelayanan adalah 1
𝜇
dan steady state tcrcapai jika p = 𝜆
𝜇 < 1. Untuk mengtahui performance suatu model antrian memenuhi syarat (M/M/1):(FCFS/∞/∞) dilakukan perhitungan 𝐿𝑞, 𝐿𝑠, 𝑊𝑞, 𝑊𝑠.
1. Rata–rata jumlah pasien dalam sistem antrian 𝐿𝑞 𝐿𝑞 = 𝜆
2
𝜇(𝜇−𝜆) (2.3)
2. Rata-rata jumlah pasien dalam antrian 𝐿𝑠 𝐿𝑠 = 𝜆
𝜇−𝜆 (2.4)
3. Rata-rata waktu menunggu dalam sistem antrian 𝑊𝑠 𝑊𝑠 = 1
𝜇−𝜆 (2.5)
4. Rata-rata waktu menunggu dalam antrian 𝑊𝑞 𝑊𝑞 = 𝜆
𝜇(𝜇−𝜆) (2.6)
Dimana :
𝜆 = Tingkat rata-rata kedatangan persatuan waktu (unit/waktu) 𝜇 = Tingkat rata-rata pelayanan persatuan waktu (unit/waktu) 2.3.2 Model Antrian (M/M/s):(FCFS/∞/∞)
Model antrian ini hampir sama dengan model antrian (M/M/1):(FCFS/∞/∞), perbedaannya hanya satu yaitu model ini mempunyai sr fasilitas pelayanan atau server. Sehingga dalam model ini, maksimum sr pelanggan dapat dilayani secara bersamaan oleh server sebanyak sr (Taha, 1997). Persamaan-persamaan untuk model ini tergantung pada 𝑃0 yakni Probabilitas semua fasilitas yang menganggur.
Persamaan yang digunakan pada model ini adalah :
Probabilitas bahwa tidak ada individu dalam sistem (semua server menganggur) :
𝑃0 =
{
1
∑ (𝜆/µ
𝑛! )𝑛 + (𝜆/µ
𝑠𝑟 )𝑆𝑟( 1
1−( 𝜆 𝑠𝑟.µ) 𝑆𝑟−1 )
𝑛=0
}
(2.7)
Rata-rata jumlah individu yang menunggu dalam antrian (Lq) :
Lq =
𝜆µ (𝜆
µ)𝑆𝑟
(𝑆𝑟−1)! (𝑆𝑟µ− 𝜆 )2 𝑃0 (2.8) Rata-rata jumlah individu yang menunggu dalam sistem antrian (Ls)
Ls = Lq + 𝜆
µ (2.9) Rata-rata waktu menunggu dalam antrian (Wq)
Wq =𝐿𝑞
𝜆 (2.10) 2.4 Jaringan Antrian
Jaringan antrian merupakan sekelompok workstation dimana pelanggan atau barang dapat mengantri dan berpindah dari satu workstation ke workstation lain, atau dengan kata lain jaringan antrian menggambarkan situasi dimana kedatangan pelanggan dari satu antrian adalah ouput dari satu atau lebih antrian yang ada
(Owoloko dkk, 2015). Contoh dari jaringan antrian dikehidupan sehari-hari adalah antrian pasien di Rumah Sakit dimana pasien akan mengantri di beberapa workstation seperti mengantri di loket registrasi dan dll.
Kumpulan jenis jaringan antrian antara lain, Feedforward (Tandem) Queueing Network, Jackson Queueing Network, Gordon-Newell Queueing Network dan BCMP Queueing Network. Terdapat dua tipe jaringan antrian yaitu jaringan antrian terbuka dan tertutup.
2.4.1 Jaringan Antrian Terbuka
Dalam model jaringan antrian terbuka (Open Queueing Network), pelanggan yang masuk ke dalam sistem jaringan antrian dapat berasal dari dalam ataupun luar sistem antrian dan pasien dapat keluar dari sistem jaringan antrian jika sudah selesai menerima layanan yang dikehendaki. Jaringan antrian terbuka dapat dibagi menjadi dua kategori yaitu open feed forward queueing network dan open feedback queueing network. Dalam open feed forward queueing network, seorang pelanggan tidak dapat mengantri atau masuk lagi kedalam workstation yang sudah dilaluinya lebih dari satu kali. Sedangkan dalam open feedback queueing network, seorang pelanggan dapat masuk dan mengantri lagi lebih dari satu kali ke dalam workstation yang sudah dilaluinya (Owoloko dkk, 2015).
Gambar 2.6 : Open Queueing Network 2.4.2 Jaringan Antrian Tertutup
Model jaringan antrian tertutup (Closed Queueing Network) memiliki jumlah pelanggan yang tetap dalam sistem antriannya. Tidak ada pelanggan baru yang masuk dari luar sistem antrian dan tidak ada yang keluar dari sistem antrian. Jumlah pelanggan tetap dan hanya bersirkulasi dari satu workstation ke yang lain dalam satu sistem jaringan antrian tersebut. Pelanggan yang ada dalam sistem jaringan antrian berasal dari dalam sistem antrian itu sendiri dan pasien tidak dapat keluar dari sistem jaringan antrian.
Gambar 2.7 : Closed Queueing Network 2.4.3 Jaringan Antrian Jackson
Perkembangan mengenai jaringan antrian mengalami kemajuan dengan hasil kontribusi model jaringan antrian dari Jackson pada tahun 1957 yang lebih dikenal dengan model Jaringan Antrian Jackson (Jackson Network Queue) (Amri, 2018).
Jaringan antrian Jackson adalah suatu antrian dimana pelanggan dapat berpindah dari satu workstation ke workstation lain sebelum meninggalkan sistem.
Jaringan antrian Jackson terdiri dari jaringan Jackson terbuka dan tertutup.
Jaringan Jackson tertutup lebih dikenal dengan nama jaringan antrian Gordon-Newell Queueing Network.
Dalam model jaringan antrian Jackson, kedatangan pelanggan ke workstation membentuk distribusi Poisson yang memiliki displin antrian First Come First Serve (FCFS) dan waktu pelayanan dari suatu workstation membentuk distribusi Eksponen.
Pindahnya pasien berupa probabilitas perpindahan ke workstation berikutnya setelah selesasi dilayani di workstation sebelumnya dengan layanan tertentu. Jaringan antrian Jackson memiliki sifat berkesinambungan di setiap workstation dimana untuk masing-masing antrian bersifat independen, sehingga memungkinkan dapat menganalisis setiap workstation secara terpisah (Siqman, 1990).
Beberapa kondisi yang diasumsikan dalam jaringan antrian Jackson antara lain : a. Pelanggan datang dari luar jaringan antrian dengan tingkat kedatangan λi
mengikuti distribusi poisson dan semua kedatangan bersifat independen b. Waktu pelayanan pelanggan setiap antrian mengikuti distribusi eksponensial c. Setiap pelanggan yang telah dilayani pada workstation ke i akan berpindah ke
workstation ke j dengan probabilitas Pij yang bersifat bebas
d. Displin pelayanan setiap workstation adalah FCFS (First Come First Served) Terdapat beberapa langkah dalam perhitungan pada model jaringan antrian Jackson.
Langkah pertama menentukan tingkat kedatangan dan keberangkatan.
𝜆 =𝑟𝑎𝑡𝑎−𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒𝑑𝑎𝑡𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑠𝑖𝑒𝑛
𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 𝑝𝑒𝑛𝑔𝑎𝑚𝑎𝑡𝑎𝑛 (2.11)
𝜇 =𝑟𝑎𝑡𝑎−𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒𝑏𝑒𝑟𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑠𝑖𝑒𝑛
𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 𝑝𝑒𝑛𝑔𝑎𝑚𝑎𝑡𝑎𝑛 (2.12) 𝜆𝑖 = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑁 (2.13) 𝜆𝑗= 𝑎𝑗+ ∑𝑁𝑖=1𝜇𝑖𝑃𝑖,𝑗, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑁 (2.14) 𝜇𝑖 = ∑𝑁𝑗=1𝜇𝑖𝑃𝑖,𝑗, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑁 (2.15) Dimana :
ai = tingkat kedatangan eksternal ke workstation i bi = tingkat kedatangan internal ke workstation i λi = tingkat kedatangan total ke workstation i µi = tingkat keberangkatan total dari workstation i
Pi,j = probabilitas perpindahan pelanggan dari workstation i ke workstation j N = jumlah workstation
Langkah kedua adalah menentukan stabilitas sistem antrian. Model sistem antrian jaringan Jackson memiliki sifat steady state. Kondisi steady state yaitu keadaan sistem yang tidak bergantung pada kejadian awal maupun waktu yang telah dilalui.
Jika terdapat n pelanggan dalam sistem pada waktu t yang tidak bergantung pada waktu.
Kondisi steady state dalam model antrian M/M/1 terjadi ketika ρ < 1.
ρ = 𝜆
𝜇 < 1 (2.16) Sedangkan untuk kondisi steady state model antrian M/M/s dengan s adalah jumlah pelayan atau server maka utilitas sistem ρ < s.
ρ = 𝜆
𝜇𝑠 < 1 (2.17) dimana :
ρ = utilitas sistem (tingkat kesibukan pelayanan) λ = tingkat kedatangan pelanggan
µ = tingkat keberangkatan pelanggan
s = jumlah pelayanan (server)
Langkah ketiga adalah menentukan matriks transisi Jackson. Antar workstation dalam jaringan antrian Jackson akan membentuk suatu diagram skema yang menggambarkan kemungkinan perpindahan pelanggan dari satu workstation ke workstation yang lain seperti pada gambar
Gambar 2.8 : contoh diagram skema jaringan antrian
Berdasarkan diagram skema tersebut dapat membentuk persamaan linier yang menggambarkan probabilitas setiap kedatangan dan keberangkatan pelanggan dari workstation tertentu. Matriks transisi Jackson merupakan matriks yang menunjukkan probabilitas perpindahan pelanggan dari satu workstation ke workstation yang lain dalam sistem antrian.
P = (
𝑃1,1 𝑃2,1 𝑃3,1 ... 𝑃𝑁,1
𝑃1,2 𝑃2,2 𝑃3,2 ... 𝑃𝑁,2
…
𝑃1,𝑁 𝑃2,𝑁 𝑃3,𝑁
... 𝑃𝑁,𝑁)
, ∑𝑁𝑗=1𝑃𝑖,𝑗 = 1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑁 (2.18)
Langkah selanjutnya adalah menentukan performansi sistem antrian. Ukuran performansi antrian adalah ukuran yang menunjukkan efektifitas dan efesiensi dari antrian tersebut. Performans dari antrian dilihat dari rata-rata lamanya pasien menunggu sampai dilayani (Wq ), rata-rata lamanya pasien didalam sistem antrian (Ws ), rata-rata jumlah pasien yang mengantri (Lq ), rata-rata jumlah pasien dalam sistem antrian (Ls ) serta probabilitas tidak ada pasien dalam antrian (P0 ).
Untuk menghitung ukuran performansi tergantung pada model antrian dari sistem antrian tersebut.
Langkah terakhir adalah membuat persamaan matematika untuk tingkat keberangkatan baru berupa persamaan matematika
𝜆𝑗 = ∑𝑁𝑖=1𝑃𝑖,𝑗𝜇𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑁 (2.19) Sebelum memasuki tahapan perhitungan tersebut, dilakukan perhitungan untuk menemukan nilai 𝜆 baru sesuai dengan metode Jackson.
𝜆𝑗 = 𝑎𝑗(𝐼 − 𝑃)−1 (2.20) Dengan I adalah matriks identitas dan P adalah matrix probabilitas nxn.
Tujuan dari penerapan sistem jaringan antrian Jackson adalah untuk meminimalkan waktu menunggu pelanggan sehingga akan mengurangi panjang antrian dalam sistem antrian. Kedatangan pelanggan dari luar maupun dalam sistem tidak bisa dibatasi tetapi keluarnya pelanggan dari sistem antrian dapat dipercepat sehingga antrian dalam sistem berkurang. Hal itu dapat terlaksana dengan beberapa cara seperti, menambah pelayan (server) maupun membatasi waktu pelayanan.
Perhitungan tersebut menggunakan persamaan linier tingkat keberangkatan yang baru berdasarkan diagram skema jaringan antrian dan tingkat kedatangan serta probabilitas perpindahan pelanggan (Owoloko dkk, 2015).
BAB 3
METODE PENELITIAN
3.1 Tempat dan waktu penelitian
Tempat penelitian yang dilakukan adalah di RSUD H.Abd Manan Simatupang Kisaran untuk pasien BPJS. Untuk memeriksakan kesehatan paisen melewati empat workstation dimana workstation tersebut mempunyai antrian yang panjang.
Workstation tersebut antara lain, workstation loket registrasi pendaftaran, pra konsultasi perawat di poli penyakit dalam, konsultasi dokter di poli penyakit dalam, dan Apotik tempat pengambilan obat. Penelitian dilakukan selama 3 minggu yaitu pada tanggal 13 Juli 2020 sampai dengan tanggal 31 Juli 2020 pada pukul 08.00 WIB – 12.00 WIB.
3.2 Jenis Data
Jenis data yang diambil dalam penelitian ini adalah data primer. Data yang dicatat langsung oleh peneliti dan digunakan dalam penulisan Tugas Akhir ini.
3.3 Metode Pengumpulan data
Dalam penelitian ini metode pengumpulan data yang dilakukan oleh penulis adalah sebagai berikut :
1. Studi Literatur
Metode ini digunakan untuk mengumpulkan teori-teori yang berkaitan dengan penelitian ini. Literatur tersebut dapat berupa buku, jurnal ilmiah maupun sumber-sumber lain yang berkaitan pada penelitian ini.
2. Observasi
Dengan pengamatan langsung terhadap pasien yang sedang mengantri pada 4 workstation di RSUD H. Abd Manan Simatupang Kisaran.
3. Wawancara
Melakukan tanya jawab dengan pihak yang berhubungan dengan sesuatu yang akan diteliti, dimana peneliti mewawancarai salah satu pegawai yang bertugas di instalasi rawat jalan rumah sakit mengenai sistem antrian secara keseluruhan dan antrian yang diterapkan.
3.4 Metode Analisi Data
Analisis data adalah suatu cara untuk mengolah data menjadi sebuah informasi, sehingga membuat karakteristik dan tersebut dapat dipahami dan juga bermanfaat untuk sebuah solusi permasalahan. Langkah-langkah untuk menganalisis data adalah sebagai berikut :
1. Uji kesesuaian distribusi dari data yang sudah dikumpulkan.
2. Data yang sudah dikumpulkan akan dianalisis berdasarkan sistem dan model antrian. Pertama menghitung rata-rata tingkat kedatangan dan tingkat keberangkatan setiap workstation.
3. Lalu dilanjutkan dengan memeriksa kondisi sistem antrian tersebut termasuk steady state atau tidak.
4. Selanjutnya menghitung ukuran performansi sistem antrian yang terdiri dari rata-rata lamanya pasien menunggu sampai dilayani (Wq ), rata-rata lamanya pasien didalam sistem antrian (Ws ), rata-rata jumlah pasien yang mengantri (Lq ), rata-rata jumlah pasien dalam sistem antrian (Ls ) serta probabilitas tidak ada pasien dalam antrian (P0 ).
5. Perhitungan menggunakan Metode Jaringan Antrian Jackson.
Memasuki tahapan pehitungan jaringan jackson. Pertama membuat model matematika dari persamaan linier dengan menggunakan persamaan (2.14) tingkat kedatangan dan (2.15) tingkat keberangkatan dari setiap workstation serta berdasarkan diagram alur jaringan antrian pasien instalasi rawat jalan pada gambar (3.1), persamaan linier memuat 3 variabel,
𝜆 = rata-rata tingkat kedatangan ke workstation µ = rata-rata tingkat keberangkatan dari workstation
P = bobot atau peluang perpindahan pasien dari workstation i ke workstation j
Gambar 3.1 Diagram Alur Jaringan antrian RSUD H. Abd. Manan Simatupang Kisaran
Rata-rata tingkat kedatangan dan keberangkatan sudah diketahui berdasarkan data yang telah dikumpulkan sehingga nilai yang perlu dicari adalah P (probabilitas perpindahan pasien). Skema diagram jaringan antrian dapat dibentuk menjadi persamaan linier yang menggambarkan probabilitas perpindahan pasien dalam jaringan antrian tersebut dengan P sebagai variabel persamaan tersebut.
𝜆1 = 𝑎1 + 𝜇4𝑃4,1 (3.1)
𝜆2= 𝜇1𝑃1,2 (3.2)
𝜆3= 𝜇1𝑃1,3 + 𝜇2𝑃2,3 (3.3)
𝜆4= 𝜇3𝑃3,4 (3.4)
𝜇1 = 𝜇1𝑃1,2 + 𝜇1𝑃1,3 (3.5)
𝜇2 = 𝜇2𝑃2,3 (3.6)
𝜇3 = 𝜇3𝑃3,4 + 𝜇3𝑃3,𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟 (3.7)
𝜇4 = 𝜇4𝑃4,1+ 𝜇4𝑃4,𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟 (3.8)
Persamaan tersebut akan dibentuk menjadi perkalian matriks 𝜆 = 𝜇𝑃 lalu untuk mencari nilai matriks p, matriks 𝜇 diinverskan dan dikalikan dengan matriks 𝜆. Dan jika matriks 𝜇 tidak bisa diinverskan karena determinan dari matriks 𝜇 = 0, maka untuk mencari invers dari matriks 𝜇 menggunakan Moore-Penrose (Pseudo invers).
pinv(𝜇) = ( 𝜇𝑇. 𝜇)−1(𝜇)𝑇 (3.9) setelah diketahui nilai dari probabilitas perpindahan dari workstation i ke j, tahap selanjutnya adalah membentuk model matematika untuk tingkat keberangkatan baru agar total waktu tunggu pasien dalam sistem antrian harus lebih cepat dari pada perhitungan sebelumnya. Model matematika baru menggunakan persamaan linier (3.1) sampai (3.4).
Dengan dapatnya nilai tingkat kedatangan yang baru maka performasi sistem antrian tiap workstation juga berubah, sehingga perlu adanya pengecekan ukuran performasi antrian agar dapat dibandingan dengan performasi antrian yang sebelum diterapkannya model jaringan antrian Jackson.
6. Rekomendasi
Dari hasil simulasi perhitungan menggunakan metode jaringan antrian jackson didapat suatu rekomendasi agar waktu tunggu pasien dalam antrian di setiap workstation lebih cepat dari pada perhitungan sebelumnya.
3.5 Alur solusi penerapan antrian jaringan Jackson
Adapun alur yang diusulkan jaringan antrian Jackson untuk antrian pasien BPJS RSUD H. Abd. Manan Simatupang Kisaran adalah sebagai berikut :
Gambar 3.2 Kerangka Penelitian
Mulai Mengamati
sistem antrian
Mengumpulkan data
Data kedatangan dankeberangkatan
Analisis model antrian rumah sakit
Menghitung tingkat kedatangan dan
keberangkatan Memeriksa
kondisi steady state Menghitung ukuran
performasi sistem antrian awal sebelum diterapkan jaringan antrian jackson
Simulasi jaringan antrian jackson Menghitung peluang
perpindahan antar workstation (Matriks
Transisi Jackson)
Membentuk persamaan matematika tingkat keberangkatan baru
Menghitung ukuran performasi sistem
antrian sesudah diterapkan jaringan
antrian jackson
Hasil simulasi dan rekomendasi
Selesai
BAB 4
HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Sistem Antrian Rawat Jalan Rumah Sakit
RSUD H. Abd Manan Simatupang Kisaran mempunyai berbagai jenis poli kesehatan yang tersedia, antara lain poli mata, poli penyakit dalam, poli neurologi, poli kesehatan jiwa, poli kebidanan & kandungan, poli anak, poli THT-KL, poli bedah, poli kulit dan kelamin, poli gigi dan mulut, poli paru, poli orthopedi dan traumatolgi, dan poli jantung. Berdasarkan pengamatan yang dilakukan selama 5 hari kerja poli kesehatan yang mempunyai banyak pasien adalah poli penyakit dalam.
Selain dilengkapi banyaknya jenis poli kesehatan, instalasi rawat jalan rumah sakit memiliki sebuah apotik untuk pasien BPJS dimana terdapat 2 pelayan yang bertugas dan 3 pelayan yang bertugas pada bagian loket pendaftaran/registrasi untuk pasien BPJS.
4.2 Uji Kesesuai Distribusi
Dalam kedatangan pasien BPJS diasumsikan berdistribusi poisson dan wkatu pelayanan diasumsikan besdistribusi eksponensial. Untuk menguji kebenarannya maka dilakukan uji chi square.
Hipotesis kedatangan pasien BPJS di RSUD H. Abd. Manan Simatupang Kisaran dalam penelitian ini sebagai berikut:
𝐻0 = Kedatangan pasien BPJS di RSUD H. Abd. Manan Simatupang Kisaran berdistribusi poisson.
𝐻1 = Kedatangan pasien BPJS di RSUD H. Abd. Manan Simatupang Kisaran tidak berdistribusi poisson.
Hipotesis waktu pelayanan pasien BPJS di RSUD H. Abd. Manan Simatupang Kisaran dalam penelitian ini sebagai berikut:
𝐻0 = Waktu pelayanan pasien BPJS di RSUD H. Abd. Manan Simatupang Kisaran berdistribusi eksponensial.
𝐻1 = Waktu pelayanan pasien BPJS di RSUD H. Abd. Manan Simatupang Kisaran tidak berdistribusi eksponensial.
Tabel 4.1 Jumlah Kedatangan Pasien
Hari, Tanggal
Jumlah pasien (orang)
Senin, 27 Juli 2020 90
Selasa, 28 Juli 2020 92
Rabu, 29 Juli 2020 89
Kamis, 30 Juli 2020 78
Jumat, 31 Juli 2020 73
Jumlah 422
Tabel 4.2 Data Jumlah Pasien BPJS dan Rata-rata Waktu Pelayanan Pasien (menit)
Hari
Waktu Pelayanan
8:00-9:00 9:00-10:00 10:11:00 11:00-12:00 Total
Pasien Perhari (orang)
Total Rata-rata
Waktu pelayanan
(menit) Jumlah
Pasien (orang)
Rata-rata Waktu pelayanan
(menit)
Jumlah Pasien (orang)
Rata-rata Waktu pelayanan
(menit)
Jumlah Pasien (orang)
Rata-rata Waktu pelayanan
(menit)
Jumlah Pasien (orang)
Rata-rata Waktu pelayanan
(menit)
Senin 25 6,76 19 8,8947 22 8,0454 24 7,9166 90 31,6167
Selasa 27 6,6667 21 8,5238 23 8 22 7,6363 92 30,8268
rabu 24 7,4166 22 7,6363 20 8,9 22 8,1363 89 32,0892
Kamis 19 8,3684 20 8,75 21 8,3333 18 9,3888 78 34,8405
Jumat 21 8,1428 18 9,7222 18 9,7222 16 9,625 73 37,2122
Total 116 37,3545 100 43,527 104 43,0009 102 42,703 422 166,5854
4.2.1 Uji Chi Square Terhadap Kedatangan Pasien
Kedatangan Pasien diasumsikan berdistribusi Poisson. untuk menyakinkannya maka dilakukan uji Chi Square. Dari data hasil penelitian, kedatangan pasien perinterval waktu satu jam digunakan untuk melakukan pengujian kedatangan pasien.
Berikut adalah Tabel Kontingen Waktu Kedatangan Pasien BPJS RSUD H. Abd.
Manan Simatupang Kisaran.
Tabel 4.3 Tabel Kontingen waktu Kedatangan Pasien
I II III IV Total
8:00-9:00 9:00-10:00 10:00-11:00 11:00-12:00 Senin 25
(24,7393)
19 (21,3270)
22 (22,1800)
24 (21,7535)
90 Selasa 27
(25,2890)
21 (21,8009)
23 (22,6729)
22 (22,2369)
92
Rabu 24
(24,4644)
22 (21,0900)
20 (21,9336)
22 (21,5118)
89 Kamis 19
(21,4407)
20 (18,4834)
21 (19,2227)
18 (18,8530)
78 Jumat 21
(20,0663)
18 (17,2985)
18 (17,9905)
16 (17,6445)
73
Total 116 100 104 102 422
Setelah diperoleh nilai-nilai harapan diatas, maka nilai 𝑋ℎ𝑖𝑡2 pada masing-masing waktu untuk pasien dihitung dengan persamaan rumus ( ):
𝑋ℎ𝑖𝑡2 = ∑ ∑ (𝑜𝑖−𝐸𝑖)
2 𝐸𝑖 𝑘𝑗 𝑏𝑖
Maka nilai 𝑋ℎ𝑖𝑡2 pada waktu 8:00-12:00 WIB:
𝑋ℎ𝑖𝑡2 = (25−24,7393)2
24,7393 + (27−25,2890)2
25,2890 + (24−24,4644)2
24,4644 + (19−21,4407)2
21,4407 + (21−20,0663)2 20,0663 +
(19−21,3270)2
21,3270 + (21−21,8009)2
21,8009 + (22−21,0900)2
21,0900 + (20−18,4834)2
18,4834 + (18−17,2985)2 17,2985 +
(22−22,1800)2
22,1800 + (23−22,6729)2
22,6729 + (20−21,9336)2
21,9336 + (21−19,2227)2
19,2227 + 18−17,9905)2 17,9905 +
(24−21,7535)2
21,7535 + (22−22,2369)2
22,2369 + (22−21,5118)2
21,5118 + (18−18,8530)2
18,8530 + (16−17,6445)2 17,6445
𝑋ℎ𝑖𝑡2 = 0,0027 + 0,1157 + 0,0088 + 0,2778 + 0,0434 + 0,2539 + 0,0294 + 0,0392 + 0,1244 + 0,0284 + 0,0014 + 0,0047 + 0,1704 + 0,1643 + 0,5016 + 0,2319 + 0,0025 + 0,0110 + 0,0385 + 0,1532
𝑋ℎ𝑖𝑡2 = 2,2032
dan nilai Degree of Freedom (d.f) = (b - 1) (k - 1) (d.f) = (b - 1) (k - 1)
(d.f) = (5 - 1) (4 - 1) = 12
Dari tabel Chi Square pada lampiran dengan taraf 𝛼 = 5% sehingga diperoleh 𝑋𝑡2 = 𝑋(0,0 ;1)2 = 21,026 dengan demikian 𝑋ℎ𝑖𝑡2 = 2,2032 < 𝑋𝑡2 = 21,026 maka 𝐻0 diterima.
Artinya kedatangan pasien berdistribusi poisson.
4.2.2 Uji Chi Square Terhadap Waktu Pelayanan Pasien
Pelayanan Pasien diasumsikan berdistribusi Eksponensial. untuk menyakinkannya maka dilakukan uji Chi Square. Dari data hasil penelitian, waktu pelayanan pasien perinterval waktu satu jam digunakan untuk melakukan pelayanan pasien.
Berikut adalah Tabel Kontingen Waktu Kedatangan Pasien BPJS RSUD H. Abd.
Manan Simatupang Kisaran.
Tabel 4.4 Tabel Kontingen waktu Pelayanan Pasien
I II III IV Total
8:00-9:00 9:00-10:00 10:00-11:00 11:00-12:00 Senin 6,76
(7,0896)
8,8947 (8,2611)
8,0454 (8,1612)
7,9166 (8,1047)
31,6167 Selasa 6,6667
(6,9124)
8,5238 (8,0547)
8 (7,9573)
7,6363 (7,9022)
30,8268 Rabu 7,4166
(7,1955)
7,6363 (8,5808)
8,9 (8,2832)
8,1363 (8,2258)
32,0892 Kamis 8,3684
(7,8125)
8,75 (9,1034)
8,3333 (8,9934)
9,3888 (8,9311)
34,8405 Jumat 8,1428
(8,3443)
9,7222 (9,7231)
9,7222 (9,6056)
9,625 (9,5390)
37,2122
Total 37,3545 43,527 43,0009 42,703 166,5854
Setelah diperoleh nilai-nilai harapan diatas, maka nilai 𝑋ℎ𝑖𝑡2 pada masing-masing waktu untuk pasien dihitung dengan persamaan rumus ( ):
𝑋ℎ𝑖𝑡2 = ∑ ∑ (𝑜𝑖−𝐸𝑖)
2 𝐸𝑖 𝑘𝑗 𝑏𝑖
Maka nilai 𝑋ℎ𝑖𝑡2 pada waktu 8:00-12:00 WIB:
𝑋ℎ𝑖𝑡2 = (6,76−7,0896)2
7,0896 + (6,6667−6,9124)2
6,9124 + (7,4166−7,1955)2
7,1955 + (8,3684−7,8125)2 7,8125 +
(8,1428−8,3443)2
8,3443 + (8,8947−8,2611)2
8,2611 + (8,5238−8,0547)2
8,0547 + (7,6363−8,5808)2 8,5808 +
(8,75−9,1034)2
9,1034 + (9,7222−9,7231)2
9,7231 + (8,0454−8,1612)2
8,1612 + (8−7,9573)
2
7,9573 + (8,9−8,2832)2 8,2832 +
(8,3333−8,9934)2
8,9934 + (9,7222−9,6056)2
9,6056 + (7,9166−8,1047)2
8,1047 + (7,6363−7,9022)2 7,9022 +
(8,1363−8,2258)2
8,2258 + (9,3888−8,9311)2
8,9311 + (9,625−9,5390)2 9,5390
𝑋ℎ𝑖𝑡2 = 0,0153 + 0,0087 + 0,0067 + 0,0395 + 0,0048 + 0,0485 + 0,0273 + 0,1039 + 0,0137 + 0,8330 + 0,0016 + 0,0002 + 0,0459 + 0,0484 + 0,0014 + 0,0043 + 0,0089 + 0,0009 + 0,0234 + 0,0007
𝑋ℎ𝑖𝑡2 = 1,2371
dan nilai Degree of Freedom (d.f) = (b - 1) (k - 1) (d.f) = (b - 1) (k - 1)
(d.f) = (5 - 1) (4 - 1) = 12
Dari tabel Chi Square pada lampiran dengan taraf 𝛼 = 5% sehingga diperoleh 𝑋𝑡2 = 𝑋(0,0 ;1)2 = 21,026 dengan demikian 𝑋ℎ𝑖𝑡2 = 1,2371 < 𝑋𝑡2 = 21,026 maka 𝐻0 diterima.
Artinya pelayanan pasien berdistribusi eksponensial.
