S1- MATEMATIKA I
BAHAN 9
MATRIKS DAN VECTORS
(MATRICES AND VESTORS)
PERSAMAAN SIMULTAN
(SIMULTANEOUS EQUATIONS)
Bahan 9.1.
MATRIKS DAN VECTORS
(MATRICES AND VECTORS)
9.1.1. SIMULTANEOUS EQUATIONS DAN MATRICES DAN VECTORS
1. A simultaneous equation m by n dalam matrix (matriks) dan vector A system of m linear equations in n variables (
x
1, x
2, …, x
n) dengn nkoefisien
a
ij(a
i1, a
i2, …, a
in) :
A simultaneous equation a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = d1
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = d2
….……… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = dm
Matrix punya :
► m baris (rows) : i = i, 2, …, m → untuk koefisien aij
► n kolom (columns): j= 1, 2, ..., n → untuk variabel xj
A simultaneous equation dalam matric dan vectors
A
n xm =
m n m
n n
a a
a
a a
a
a a
a
32 1
2 2 2
2 1
1 1 2
11
m x
n
x x x
x
2 1
1
m x
m
d d d
d
2 1 1
Simultaneous equation dinya-takan dalam matrix dan
vectors :
A
n x
m n
x
x1 = md
x1Jadi,
x
x n 1=
1
A
m x
n m
d
x1 ataudipe-roleh engan Cramer’s rule
A
n x
m = matrix dengan order atau dimensi m by n atau m x n atau m
A
xn denganelemen
a
ij, dimana : i = baris (row) = 1, 2, ..., m; j = kolom (column) = 1, 2, ..., nApabila m = n, maka matrix disebut a square matrix. (A matrix is defined as a rectangular array of its elements consisting of numbers, parameters, or variables) Pada square matrix, elemen dengan i = j yaitu a11, a22, …, ann disebut elemen diagonal
(diagonal elements), jumlah elemen diagonal disebut the trace of A
x
x
n 1 dan m
d
x1 =column vectors, dengan elemen xj dan dj'
1
g
n
x = row vector (pakai tanda ’), dengan elemen gi →
g g gn g 1 2 ...
Vectors juga biasanya ditulis dengan tanda bar (-) :
x
x n
_
1 dan n
d
x_
1, serta
' 1
1
g
m x x
2. Contoh
6 x1 + 3 x2 + x3 = 22
x1 + 4 x2 − 2 x3 = 12
4 x1 + 3 x2 + x3 = 10
5 1
4
2 4
1
1 3
6
3 3Ax
3 2 1
1 3
x x x
x
x
10 12 22
1 3dx
A
x3
3 3
x
x1 = 3d
x1
5 1
4
2 4
1
1 3
6
3 2 1
x x x
10 12 22
3
x
x1= 13 3
A
x 3
d
x19.1.2. MATRIX AND VECTOR OPERATIONS
1. Kesamaan matrices (matrices equality) A = B (kesamaan matrices) syaratnya :
- elemen matrix A = elemen matrix B yaitu
a
ij= b
ijuntuksemua angka i dan j
- dimensi atau ukuran (size) matriks A dan B sama
v = w (kesamaan vectors) juga dengan syarat yang sama seperti di atas
Contoh 1 :
2
A
x2 = 2B
x2 ≠C
2x2
8 2
9 6
=
8 2
9 6
≠
9 6
8 2
dan
y x
=
4 7
berarti x = 7 dan y = 4
Contoh 2 :
A
x3
3 = 3
B
x3 ≠C
3x3 5 1 4 2 4
1 =
5 1 4 2 4 1 ≠ 1 3 4 2 4 1 5 1 6
2. Tambah atau kurang matrix (addition or substraction matrices)
3
A
x3 +/− 3B
x3 = 3C
x3 aij bij cij 22 21 12 11 a a a a +/− 22 21 12 11 b b b b = 22 22 22 21 12 12 11 11 b a a a b a b a = 22 21 12 11 c c c c
(untuk ─ tanda + diganti)
Catatan : Untuk +/─ dimensi m x n matrix A dan B harus sama
(conformable for addition or subtraction).
Contoh : 1 2 9 4 + 7 0 0 2 = 7 1 0 2 0 9 2 4 = 8 2 9 6
A
x33 +/− 3
B
x3 =C
3x3 1 2 9 4 − 7 0 0 2 = 7 1 0 2 0 9 2 4 = 8 2 9 2
3. Perkalian matrix dengan suatu angka (scalar multiplication) km
A
xnk 22 21 12 11 a a a a = 22 21 12 11 a k a k a k a k ½ 1 2 9 4 = 2 1 2 2 2 9 2 4
4. Perkalian antar vectors, matrix dengan vector dan antar matrik
Perkalian matrik dengan vector dan matrix dengan matrix : 3
A
x2b
x1
2 = 3
c
x1
31 32 22 21 a a a a
y =
y a x a y a x a y a x a 32 31 2 2 21 12 11
3
A
x2 2B
x2 = 3C
x2 32 31 22 21 12 11 a a a a a a 22 21 12 11 b b b b = 22 32 12 31 21 32 11 31 22 2 2 12 2 1 21 22 11 21 22 12 12 11 2 1 12 11 11 b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a Catatan :
Syarat : Kolom dari vector/matrik dikali yaitu m
b
x1/mA
xn (dimensi m x 1/m x n) = baris dari vector/matrik pengali yaitu'
1
d
nx /n
B
xm (dimensi 1 x n / n x m) menghasilkan vectorkolom m
c
x1(dimensi m x 1)/matrik mC
xn (dimensi m x n). Jadi, conformable untuk perkalian, jumlah kolom dari matrik/ vector dikali harus sama dengan jumlah baris dari matrik/vector pengali. Perkalian dilakukan antara setiap baris (row) pada matrik dikali
A
x2
3 dengan kolom pada vector pengalim
b
x1, serta antar elemenmasing-masing secara berturut-turut.
Perkalian row vector dengan column vector mengahsilkan matrix, sedangkan sebaliknya row vector kali column vector menghasilkan angka
Contoh perkalian vector dengan vector menghasilkan matrik/angka 2
b
x1 '3 1
d
x =
C
2x3 1 6
1 4 2 =
2 . 1 4 . 1 1 . 1 2 . 6 4 . 6 1 . 6 = 2 4 1 12 24 6 ' 3 1
d
x 3
b
x1 = angka1 4 2 3
1 = 1.64.12.3 = 4
Contoh perkalian matrix dengan vector menghasilkan vector
A
x3
3 3
b
x1 = 3c
x1 5 1 4 2 4 1 1 3 6 2 4 7 = ) 2 . 5 ( ) 4 . 1 ( 7 . 4 ) 2 . 2 ( 4 . 4 7 . 1 ) 2 . 1 ( 4 . 3 7 . 6 = 22 19 52
Contoh perkalian matrix dengan matrik menghasilkan matrix 3
A
x3 3B
x3 =C
x3
3 =
2 0 4 3 0 1 2 1 3 10 1 5 2 0 10 7 5 1 1 10 3 5 1 0 = = ) 10 1 . 2 ( 10 7 . 3 10 3 . 2 ) 10 1 . 2 ( 5 1 . 0 ) 5 1 . 4 ( 0 . 2 ) 1 . 0 ( 0 . 4 ) 10 1 . 3 ( 10 7 . 0 10 3 . 1 5 2 . 3 5 1 . 0 ) 5 1 . 1 ( 0 . 3 ) 1 . 0 ( 0 . 1 ) 10 1 . 2 ( ) 10 7 . 1 ( 10 3 . 3 5 2 . 2 ) 5 1 . 1 ( ) 5 1 . 3 ( 0 . 2 ) 1 . 1 ( 0 . 3 = = 10 2 0 10 12 5 4 0 5 4 0 0 0 10 3 0 10 3 5 6 0 5 1 0 0 0 10 7 10 7 10 9 5 4 5 1 5 3 0 1 0 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Perkalian row vector dengan matrix dengan column vector menghasilkan suatu angka
'
2 1
b
x 2
A
x2 2b
x1 = angkax y
22 11 0 0 a a y
x = a
11 x2 + a22 y2
Contoh :
'
2 1
b
x 2
A
x2 2b
x1 = angka
2 2
0 0 2 2 = ( 2) ( 2)
Kekecualian perkalian matrices (idiosyncrasies of matrix algebra) dikemukakan pada 5.1.4. di bawah.
5. Commutative, associative, and distributive laws Laws : a, b, c adalah variabel
Commutative law of addition : a + b = b + a
Commutative law of multlipication : ab = ba
Associative law of addition : (a + b) + c = a + (b + c)
Associative law of multiplication : (ab)c = a(bc)
Distributive law : a(b + c) = ab + ac
Vector (u,v,w) addition dan matrix (A, B, C) addition
Sesuai dengan commutative law u + v = v + u A + B = B + A
Sesuai dengan associative law (u + v) + w = u + (v + w) (A + B) + C = A + (B + C)
Vector multiplication dan matrix multiplication
Not commutative '
1
d
nx n
b
x1 ≠ mb
x1'
1
d
x n dan mb
x1'
1
b
xn ≠'
1
b
xn nb
x1 A B ≠ B A
Sesuai dengan commutative law, untuk :
k A = A k
Matrix A adalah square matrix
Matrix B adalah identity matrix
Matrix A adalah inverse dari matrix B, yaitu A = B-1
Sesuai dengan associative law
Sesuai dengan distributive law
9.1.3. DETERMINANT DAN NON SINGULARITY 1. Pengertian dan fungsi determinan (determinant)
Determinan (determinant) hanya berlaku dan diperoleh untuk semua matrix square yaitu dengan dimensi atau ukuran (size) m = n.
Determinant dari matrix A dengan notasi |A| adalah suatu angka atau scalar.
Determinant terkecil dari matrix A adalah |A|= |a11| = a11.
Angka determinant juga berfungsi sebagai :
Kriteria untuk uji (testing) independensi antar baris pada suatu matrix (the linear independence of the matrix rows or its nonsingularity).
Input dalam kalkulasi the inverse matrix, misal A−1.
2. Formula determinant
Minor aij, dengan notasi |Mij|, adalah a sub determinant (suatu angka atau a scalar) dari matrik A (m x n dan m = n atau square) yang berkaitan dengan aij elemen dari baris (row) dan kolom
(column) yang dihilangkan dari matrix A dengan dimensi m x n. Dengan metode the Laplace expansion, |Mij| diperoleh dengan
menghilangkan satu row dan satu kolom bersamaan, kemudian dipilih aij dan |Mij| terkait.
The cofactor aij, dengan notasi |Cij|=(─ 1)i+j |Mij|, adalah minor
yang telah bertanda (the signed minor) positif (+) atau negative (−).
Determinant matrix A = |A| =
Atas dasar the Laplace expansion method dengan kolom j yang dihilangkan :
=
n m
i ij
a
1 |Cij|=
) )
1 (
1
n m
i
ij j i ij M
a =
) (
) 1 (
1 ij
n m
i
j i
ij angkahasil dari M a
Atas dasar the Laplace expansion method dengan baris i yang dihilangkan :
=
m n
j ij
a
1 |Cij|=
) )
1 (
1
m n
j ij j i ij M
a =
) (
) 1 (
1 ij
m n
j
j i
ij angkahasildari M
a
3. Perhitungan determinant urutan ke n (a nth-order determinant)
Determinant dari matrix A dengan dimensi 2 x 2 (m = n atau square)
a second-order determinant Matrix 2
A
x2 =
22 21
12 11
a a
a a
determinant |A| =
22 21
12 11
a a
a a
=
= (a11 a22 − a21 a22) = angka (a scalar)
Contoh :
Matrix 2
A
x2 =
1 2
9 4
Determinant |A| = 4.1 − 2.9 = − 12
Determinant dari matrix A dengan dimensi 3 x 3 (m = n atau square)
a second-order determinant
Matrix 3
A
x3 =
33 32
31
23 22
21
13 12
11
a a
a
a a
a
a a
a
Determinant :
Dengan baris ke 1 dan kolom 1 (atau dapat juga dengan baris dan kolom yang sama lainnya) dari matrix A yang dihilangkan maka determinant |A| :
Atas dasar elemen dari baris ke 1 yang dihilangkan : a11{(─1)1+1
33 32
23 22
a a
a a
} + a12{(─1)1+2 a3121 a3323 a a
}+ a13{(─1)1+3
32 31
22 21
a a
a a
} =
= a11 {(+ 1) (a22 a33 − a23 a32)} +
+ a12 {(─ 1) (a21 a33 − a23 a31)} +
+ a13 {(─ 1) (a21 a33 − a23 a31)}=
= angka (a scalar) Contoh :
A =
9 8
7
6 5
4
3 1
2
|A| dengan elemen dari baris 1
|A| = 2(+1)(5.9 ─ 8.6) + 1(─1)(4.9─7.6) + 3(+1)(4.8─7.5) = = 2(─3) + (─1)(─6) + 3(─3) = ─ 6 + 6 ─ 9 = ─ 9
Atas dasar elemen dari kolom ke 1 yang dihilangkan : a11{(─1)1+1 32 33
23 22
a a
a a
} + a21{(─1)2+1 32 33
13 12
a a
a a
}+ a31{(─1)3+1
23 22
13 12
a a
a a
} =
= a11 {(+ 1) (a22 a33 − a23 a32)} +
+ a21 {(─ 1) (a12 a33 − a13 a32)} +
+ a31 {(─ 1) (a12 a23 − a13 a22)}=
= angka (a scalar)
Contoh :
3
A
x3 =
9 8
7
6 5
4
3 1
2
|A| dengan elemen dari kolom1
|A| = 2(+1)(5.9 ─ 8.6) + 4(─1)(1.9─8.3) + 7(+1)(1.6─5.3) =
= 2(─3) + (─4)(─15) + 7(─9) = ─ 6 + 60 ─ 63 = ─ 9
Determinant dari matrix A m x n (m = n (square) > 3) an nth (>3rd)-order determinant
Matrix m
A
xn
m n n n
a a
a
a a
a
a a
a
32 31
2 2 2
2 1
1 12
11
Dengan the Laplace expansion method :
Determinant lAl = m m j j j i i i p
s A , , , , , , 2 1 2 1 ) 1 (
.
m m nn m m j j j i i i
A , , , , , , 2 1 2 1 1
Contoh : 4
A
x4 = 4 4 43 4 2 41 3 4 3 3 32 31 2 4 24 2 2 21 1 4 13 1 2 11 a a a a a a a a a a a a a a a a = 5 0 4 2 4 3 2 3 2 1 2 3 4 2 3 2
Berdasarkan formula di atas, maka :
lAl = 3,4 4 , 3 2 , 1 2 , 1 2 1 2 1 . ) 1
( A A 2,4
4 , 3 3 , 1 2 , 1 3 1 2 1 . ) 1
( A A
+ 2,3 4 , 3 4 , 1 2 , 1 4 1 2 1 . ) 1
( A A 1,4
4 , 3 3 , 2 2 , 1 3 2 2 1 . ) 1
( A A
+ 1,3 4 , 3 4 , 2 2 , 1 4 2 2 1 . ) 1
( A A 1,2
4 , 3 4 , 3 2 , 1 4 3 2 1 . ) 1
( A A
= . 03 45 2 3 3 2 ) 1 ( 6 + 5 4 4 2 . 1 3 2 2 ) 1 ( 7
+
+ . 42 03 2 3 4 2 ) 1 ( 8 + 5 2 4 3 . 1 2 2 3 ) 1 ( 8 +
+ .32 30 2 2 4 3 ) 1 ( 9 + 4 2 2 3 . 2 1 4 2 ) 1 ( 10
= (+1)(−13)(15) + (−1)(8)(−6) + (1)(−8)(−12) +
+ (1)(−1)(23) + (−1)(14)(6) + (1)(−8)(16)
= −195 + 48 + 96 −23 − 84 − 128
= −286
Dengan metode lain :
Theorem :
Apabila matrix B diperoleh dari matrix A dengan melakukan tambahan pada salah satu baris (kolom) sebesar k (a scalar)
kali setiap elemen dari salah satu baris (kolom), maka |
B| = |A|.
Jadi : 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a = 33 32 33 31 23 22 23 21 13 12 13 11 a a a k a a a a k a a a a k a = 23 33 22 32 21 31 23 22 21 13 12 11 a k a a k a a k a a a a a a a
|A| |B| = |A| |B*| = |A|
Contoh, dengan matrik 4
A
x4 = 5 0 4 2 4 3 2 3 2 1 2 3 4 2 3 2
Maka, |A| = 32 24 30 45 2 1 2 3 4 2 3 2 =
dengan mengubah elemen a13 = 0 dan a33 = 0, diperoleh :
|A| = |B| =
5 0 4 2 2 ) 3 ( 4 1 ) 3 ( 3 2 ) 3 ( 2 3 ) 3 ( 3 2 1 2 3 2 ) 2 ( 4 1 ) 2 ( 2 2 ) 2 ( 3 3 ) 2 ( 2 = = 5 0 4 2 2 0 8 6 2 1 2 3 8 0 1 8 = 1(−1)2+3 5 4 2 2 8 6 8 1 8 =
seterusnya, dengan menerapkan the Laplace
expansion method terhadap determinant 4 x 4 yang dihasilkan, maka diperoleh determinant matrix 3 x 3, kemudian dilanjutkan penerapan theorem atas untuk menjadikan elemen pada determinant 3 x 3 dimaksud yaitu a11 = 0 dan a13 = 0, sehingga :
selanjutnya, diterapkan lagi the Laplace expansion method pada determinant 3 x 3 yang dihasilkan, sehingga :
= −1.−1(−1)1+2
37 30
62 58
= −1(58.37 − 30.62) =
= −2146 + 1860 = −286 (sama dengan penerapam sepenuhnya the Laplace expansion method, di atas)
9.1.4. JENIS MATRICES
1. Diagonal matrix dan identity matrix Diagonal matrix :
a square matrix dengan elemen sepanjang diagonal matrix aij
(i = j) angka termasuk 1, sedangkan elemen lainnya di luar diagonal adalah angka 0 (nol).
Contoh :
2
A
x2 = 11 220
0
a a
dan 3
B
x3 =
33 22
11
0 0
0 0
0 0
a a
a
Identity matrix :
a square matrix dengan elemen sepanjang diagonal matrix angka 1, sedangkan elemen lainnya di luar diagonal adalah angka 0 (nol), dengan notasi I atau In.
Contoh :
I2 = 0 1
0 1
dan I3 = 00 10 01 0 0
1
Ketentuan untuk identity matrix
I A = A dan A I = A
A I B = (AI) B = A B A : m x n, I : n x n, B : n x p
A In = (In)2 = In maka (In)k = In dimana k = 1, 2, …
2. Idempotent matrix
Suatu matrix yang mempunyai ciri atau sifat (property) seperti : Ik = I dan AA = A
3. Null matrix
A null matrix atau a zero matrix berfungsi seperti angka 0 (nol) : A non square matrix atau a square matrix dimana semua elemen adalah 0 (nol), dengan notasi 0.
Contoh : 2
0
x2 = 00 00 dan 20
x3 = 00 00 00 Ketentuan
A
n x
m + m
0
xn =mA
xn danm0
xn +mA
xn=
A
n x m
A
n x
m n
0
x p=m0
xp dan p0
xm mA
xn=
0
n x p
4. Kekecualian perkalian matrices (idiosyncrasies of matrix algebra) Dalam hal scalar ab = 0 berarti a atau b = 0. Tetapi tidak dalam
perkalian matrices :
2
A
x2 2B
x2 =
2 1
4 2
2 1
4 2
=
0 0
0 0
Jadi, AB = 0 padahal baik matrix A maupun matrix B bukan null matrix.
Dalam hal scalar cd = ce (dengan c ≠ 0) berarti d = e. Tapi tidak dalam perkalian matrices :
2
C
x2 2D
x2 = 2E
x2
9 6
3 2
2 1
1 1
=
2 3
1 2
5. Transpose matrix dan symmetric matrix Transpose matrik :
Matrix yang telah diubah kolom (columns) menjadi baris (rows) atau sebaliknya dari kolom dan baris pada matrix asal A, dengan notasi A’ (the transpose of A).
Contoh :
A
x32 = 1 0 4
9 8
3
' 2 3
A
x = 49
0 8
1 3
B
x2
2 = 1 7 4 3
' 2 2
B
x= 34 17
Sifat (properties) dari transpose
(A’)’ = A
(A + B)’ = A’ + B’
(A B)’ = B’ A’
Symmetric matrix : suatu square matrix dimana A’ = A 3
A
x3 = 04 37 274 0
1
= '
3 3
A
x = 4 7 2
7 3
0
4 0
1
6. Singular matrix
matrix yang mengandung baris yang merupakan kelipatan dari baris lainnya (a matrix that contains a row which is a multiple of another row), seperti :
2
A
x2 =
2 1
4 2
2
B
x2 =
2 1
4 2
C
2x2 =
9 6
3 2
7. Inverse matrix A
adalah A─1 yang hanya diperoleh apabila :
- matrix A adalah square,
- A A─1 = A─1A = I not commutative matrix multiplication
Catatan :
Square matrix yang mempunyai inverse disebut nonsingular matrix. Tapi tidak semua square matrix mempunyai inverse atau sebagai nonsingular matrix.
A adalah inverse dari A─1.
Apabila A adalah n x n ataun
A
xn, maka A─1 juga n x n atau1
A
n x
n .
Inverse matrix adalah unik. Bukti :
AB = BA = I dimana B adalah the inverse matrix A AC = CA = I terdapat matrix C sehingga AC = CA = I Maka, CAB = CI = C
Jadi, IB = C
Berarti, B = C terbukti bahwa B dan C adalah matrik yang sama, yaitu hanya satu the inverse matrix A, berarti unik
Sifat (properties) the inverse matrix)
(A─1)─1 = A
(AB)─1 = B─1A─1 (A’)─1 = (A─1)’
Memperoleh the inverse matrix A (square matrix) atau n
A
xn, yaituA
1n x
n dan untuk n
B
xn yaitu1
B
n x n
n
A
xn =
m n m
n n
a a
a
a a
a
a a
a
3 2 1
2 22
21
1 12
11
atau
B
n x
n
The adjacent of A = adj A atau adj B
Setiap elemen matrix A atau B mempunyai cofactor Cij ,
sehingga diperoleh matrix dimana elemennya semua cofactor yaitu matrix
C
nxn= Cij.Transpose matrix C yaitu
C
'n x
n yang juga disebut the adjoint of
A atau B dengan notasi adj A ( atau adj B) =
C
n x n = n n n n n n C C C C C C C C C 2 1 2 22 2 1 1 12 11 ... ... ... ...
C
'n x
n = adj A =
n n n n n n C C C C C C C C C 2 1 2 2 2 12 1 2 1 11 ... ... ... ...
Formula
A
1n x
n =
A adj A
1
atau
B
1n x
n =
B adj B
1
Contoh 1 2 2
A
x dari 2
A
x22
A
x2 = 0 1 2 3 C
x22 =
3 2 1 0 ' 2 2
C
x = adj A =
3 1 2 0
A = C11 + C12 = 3.0 ─ 2.1= C11 + C21 = 3.0 ─ 1.2 =
─2 ≠ 0
1
2 2
A
x =
A adj A
1
= 12 3 1 2 0 = 2 3 2 1 1 0
Cek : 2
A
x2 12 2
A
x =
1
2 2
A
x 2
A
x2 = I2 Contoh 1
3 3
B
x dari 3
B
x3
B
x3
3 =
7 0 3 2 3 0 1 1 4
C
'n x
n = adj B =
12 3
9
8 31
6
5 7
21
B = b11C11 + b12C12 + b13C13 =
= 4(+)(3.7 ─ 0) + 1(─)(0 ─ 3.2) + (─1)(+)(1.2 ─ 3.3) = 84 + 6 + 9= 99 atau
= b11 C11 + b21 C21 + b31 C31 =
= 4(+)(3.7 ─ 0) + 0(─)(1.7 ─ 0) + 3(+)(1.2 ─ 3.─1) = 84 + 0 + 15 = 99
1
3 3
B
x =
B adj B
1
= 991
12 3
9
8 31
6
5 7
21
Cek : 3
B
x3 13 3
B
x =
1
3 3
B
x 3
B
x3 = I3Bahan 9.2.
PERSAMAAN SIMULTAN
(SIMULTANEOUS EQUATIONS)
DAN
PEROLEHAN ANGKA VARIABEL
DENGAN INVERSE MATRIK DAN CRAMER’S RULE
1. Contoh 1 dengan inverse matrix dan Cramer’s rule Dengan inverse matrix
3
A
x3x
x1
3 = 3
d
x1 nx
x1=1
A
m x
n m
d
x13
A
x3x
x1
3 = 3
d
x1 5 1 4 2 4 1 1 3 6 3 2 1 x x x 10 12 22 3
x
x1= 13 3
A
x 3
d
x11
2 2
A
x =
A adj A
1
= 521
21 18 17 13 26 13 10 16 18
3
x
x1= 13 3
A
x 3
d
x1 3 2 1 x x x= 521
21 18 17 13 26 13 10 16 18 10 12 22 = 1 3 2
Dengan Cramer’s rule 3
x
x1= 13 3
A
x 3
d
x1 3 2 1 x x x= 521
21 18 17 13 26 13 10 16 18 10 12 22 = 1 3 2
Cramer’s rule :
A AA A
j j
j
x 1
j
A adalah determinant dari matrix A setelah
kolom j diganti dengan column vector d
Contoh atas dasar
3
A
x3 3x
x1 = 3d
x1 5 1 4 2 4 1 1 3 6 3 2 1 x x x 10 12 22 3
x
x1= 13 3
A
x 3
d
x1A1 =
5 1
10
2 4
12
1 3
22
=
= 22(+)(4.5 - -1.-2) + 3(-)(12.5 - 10.-2) + 1(+)(12.-1 – 10.4) = = 22(18) + 3(-)(80) + 1(-52) = 396 – 240 – 52 = 104
x
1 252 104
(sama dengan hasil atas dasar inverse matrix)
Dan seterusnya untuk
x
2 danx
3.2. Contoh 2 dengan inverse matrix dan Cramer’s rule : Market Model
c1 P1 + c2 P2 = - c0
γ1 P1 + γ2 P2 = - γ0 2
A
x2 2x
x1 = 2d
x1
1 2
2 1 c
c
2 1
P P
=
0 0
C
A = C11 + C12 = C1 γ2 ─ C2 γ1 = C11 + C21 = C1 γ2 ─ C2 γ
Dengan inverse matrix
C
x2
2 =
c c2 1
1
2
'
2 2
C
x = adj A =
c c
1 1
2 2
2 1
P P
= adj A
A
1
1 2 2
1
1
C
C
c c
1 1
2 2
0 0
C
P1 =
1 2 2
1
0 2 2
0
C C
C C
dan P2 =
1 2 2
1
1 0 0
1
C C
C C
Dengan Cramer’s rule
A1 =
2 0
2 0
= ─ C0 γ2 + C2 γ0 A2 =
0 1
0 1
= ─ C1 γ0 + C0 γ1
P1 = AA1 =
1 2 2 1
0 2 2 0
C C
C C
dan P2 = AA2 =
1 2 2
1
1 0 0
1
C C
C C
3. Contoh 3 dengan inverse matrix dan Cramer’s rule :
National Income Model
Y = C + I0 + G0 Y − C = I0 + G0
C = a + b Y −bY + C = a (a > 0, 0 < b < 1
A
x2
2 2
x
x1 = 2d
x1
1 1 1
b
C Y
=
a
G I0 0
A = C11 + C12 = 1.1 ─ -b.-1 = C11 + C21 = 1.1 - -b.-c = 1 - b
A1 = 1
1
0 0
a
G
I
= I0 + C0 + a A2 = b a G I
0 0
1
= a + b(I0 + G0)
Y = AA1
= I0 1Gb0 a
dan P2 = AA2
= a b1(I0b G0)
4. Contoh 4 dengan Cramer’s rule : IS-LM Model for a Closed Economy
IS curve : the goods market (the real sector) in a close economy
---Y = C + I + G an identity equation C = a + b(1-t) Y a functional equation I = d − ei a functional equation G = G0 a functional equation
LM curve : the money market (the financial sector)
---MD = k Y − h i a functional equation
of demand for money MS = M0 a functional equation of
money supply
MD = MS kY − hi = M0 (money market
(financial sector) equilibrium)
IS−LM (together : real and financial sector) persamaan simultan menjadi :
Y − C − I = G0
b (1− t) Y − C = − a I + e i = d
A
x44 4
x
x1 = 4d
x1
h k
e t
b
0 0
1 0
0
0 0
1 )
1 (
0 1
1 1
k Y − h i = M0
i
I C
=
0
M d
a
A =
0 0
0 1
) 1
(
1 1
1 )
(
k t b
e
+
1 0
0
0 1
) 1 (
1 1
1 )
(
h b t =
= ( )( ) 11 01
e
k +
1 )
1 (
1 1 )
)( ( 1
t b
h =
= −ek(0 − 1) −h[−1 − {b(1 − t)(−1)}] = ek + h – hb + hbt Y = AA1
=
h M
e d
a G
0 0
1 0
0 0
1
0 1
1
0 0
/ (ek + h – hb + hbt) = ( (1 0) ) 0
bt b h ek
eM G
d a h
Jadi :
Money multiplier (kelipatan dari M0) = ekh(1ebbt)
Government expenditure (G0) = ekh(11bbt)
5. Contoh 5 dengan inverse matrix dan Cramer’s rule :
Leontief Input-Output Models
Tambahan lain :
1. The notation (p.56 -)
2. Vector space and linear independence 3. Syarat untuk nonsingularity matrix (p.84 -)
4. Properties of determinants (p.85 + 94-)
5. Rank of a matrix (p.97 -)
6. Finite Markov chains
Bahan 9.3.
DETERMINANT ≠ 0
SYARAT UNTUK
NONSINGULAR MATRIX DAN INVERSE MATRIX
DAN
TERDAPAT SOLUSI BAGI
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
(HOMOGENEOUS DAN NON HOMOGENEOUS SYSTEM)
1. Syarat perlu (necessary condition) dan
syarat cukup (sufficient condition) untuk matrix nonsingular
Di atas pada bagian 5.1.4. butir 7. disebutkan bahwa matrix square yang mempunyai inverse (matrix inverse) disebut matrix nonsingular. Tapi
tidak semua matrix square mempunyai inverse karena merupakan matrix singular.
Matrix nonsingular pasti mempunyai determinant bukan 0 (nol) – nonzero determinant, yang merupakan syarat mutlak terdapatnya :
Matrix inverse,
yang kemudian menjadi syarat mutlak diperolehnya,
Solusi unik (unique solution) bagi persamaan simultan atau sistem persamaan linear (a linear equation system) baik yang bercirikan non homogeneous maupun homogeneous.
Untuk menjadi matrix nonsingular membutuhkan 2 (dua) syarat sebagai berikut :
1). Necessary condition :
Matrix non singular harus berupa matrix square, yaitu matrix berdimensi atau mempunyai ukuran n x n atau m x m, jadi jumlah baris (m ─ rows) sama dengan jumlah kolom (n ─ columns).
Syarat ini disebut syarat perlu (necessary condition) yang merupakan prasyarat (prequisite) atau only if atau if … then atau this implies that.
Pengertian necessary condition ini dapat dijelaskan sebagai berikut, misal :
Ayah berarti (only if atau implies atau then atau ) laki-laki, atau ayah laki-laki atau benar disebut ayah hanya apabila (only if) laki-laki.
2). Sufficient condition :
Setiap baris (m rows) dari matrix non singular harus bercirikan tidak merupakan kelipatan dari baris lainnya (linearly independent among rows), dan begitupula untuk semua kolom (n columns) juga bersiaft linearly independent among columns.
Syarat ini dimaksudkan sebagai syarat cukup (sufficient condition), jadi benar disebut X apabila Y, atau X if Y atau X Y.
Pengertian sufficient condition ini dapat dijelaskan sebagai berikut, misal :
Untuk pernyataan, Polan hari ini kembali ke Jakarta (X) benar apabila (if) Polan hari ini terbang ke Jakarta (Y), jadi X jika (if) Y atau X Y.
Syarat lengkap dari linearly independent rows and columns dari matrix nonsingular :
Matrix square yang memiliki linearly independent among rows and columns, yaitu matrix nonsingular, syaratnya :
Baris dan kolom matrix nonsingular masing-masing tidak merupakan kelipatan dari baris dan kolom lainnya.
Jadi, linearly independent rows linearly independent columns.
Atas dasar butir 1). di atas, maka setiap baris atau kolom dari matrix nonsingular tidak dapat dijadikan mempunyai elemen nol (nol).
Atas dasar butir 2). di atas, maka determinant matrix nonsingular tidak menjadi 0 (nol).
3). Necessary and sufficient conditions :
Syarat ini disebut “jika hanya apabila” (“if only if” atau ), X Y. Pengertian necessary and sufficient conditions ini dapat dijelaskan sebagai berikut, misal :
Terdapat bulan yang kurang dari 30 hari (X) bulan Pebruary kurang dari 30 hari (Y).
Adapun necessary and sufficient conditions bagi suatu matrix menjadi matrix nonsingular, harus :
a. Berupa matrix square
b. Baris (rows) dan kolom dari matrix square itu bersifat tidak merupakan kelipatan satu sam lain (linearly independent among rows and linearly independent among columns).
2. Syarat-syarat terdapatnya matrix inverse
dan solusi bagi persamaan simultan
Necessary and sufficient conditions bagi suatu matrix menjadi matrix nonsingular di atas ternyata juga merupakan persyaratan mutlak diperolehnya :
|A| ≠ 0 (determinant matrix square A tidak sama dengan 0/nol),
yang berarti juga merupakan persyaratan
atau if only if atau necessary and sufficient conditions :
matrix A memiliki linearly independent rows linearly independent columns
atau,
matrix A adalah matrix nonsingular atau,
matrix inverse A-1 diperoleh
atau,
solusi untuk variabel pada vector kolom x diperoleh yaitu x* = A-1 d
serta,
rank matrix A adalah sebanyak jumlah baris (m) atau jumlah kolom (n), yaitu m atau n karena m = n atau matrix A adalah matrix square
Contoh :
Tidak diperoleh solusi unik (no unique solutions) karena matrix singular (bukan matrix non singular), seperti terlihat di bawah ini.
A x = d →
2 5
4 10
y x
=
b a
dimana misal
b a
=
6 12
Matrix A adalah matrix square tetapi barisnya linearly dependent (tidak linearly independent), yaitu baris pertama adalah kelipatan 2 dari baris kedua (juga kolom pertama 2½ kali dari kolom kedua), sehingga :
|A| = (10.2 − 5.4) = 0,
maka untuk persamaan simultan di atas tidak diperoleh solusi unik tapi solusinya tidak terbatas karena 2 persamaan pada hakekatnya merupakan 1 persamaan untuk 2 variabel x dan y yang tidak diketahui atau dicari solusinya, yaitu :
Dengan a = 2b, misal b = 6 dan berarti a = 12, maka :
10x + 4 y = 12 hakekatnya sama dengan 5x + 2y = 6,
yaitu penyelesaian secara simultan : 10x + 4y = 12
5x + 2y = 6 -/-
5x + 2y = 6
sehingga diperoleh solusi tak terbatas jumlahnya yang memenuhi 2 persamaan tersebut
Dengan a ≠ b, misal a = 12 dan b = 0, maka dua persamaan itu tidak konsisten. Jadi dua persamaan dimaksud tidak mempunyai solusi atau nilai x dan y yang memenuhi dua persamaan dimaksud tidak ada, yaitu penyelesaian secara simultan : 10x + 4y = 12
5x + 2y = 0 5x + 2y = 12
3. Derajat matrix (matrix rank)
1). Jumlah linearly independent rows or columns menyatakan matrix rank
Baik matrix square dan matrix rectangular (non square) mempunyai linearly independent rows dan linearly independent columns :
Jumlah linearly independent rows atau linearly independent
columns menyatakan derajat matrix (matrix rank).
Matrix rank dari matrix berdimensi m x n, maksimum m atau n, mana yang terendah.
Untuk matrix square m x n dimana m = n, maka matrix rank adalah m linearly independent rows n linearly independent columns.
2). Metode echelon matrix untuk penentuan matrix rank
Metode penentuan matrix rank atau jumlah linearly independent rows atau linearly independent columns dengan the echelon matrix :
Perolehan the echelon matrix didasarkan atas 3 cara operasi baris (the 3 elementary row operations) pada suatu matrix :
a. Tukar menukar baris
b. Perkalian suatu baris dengan suatu angka (scalar) k ≠ 0 c. Tambah kurang dari hasil kali pada butir b. di atas terhadap
baris lain.
Contoh perolehan the echelon matrix A =
0 1
4
2 6
2
4 11
0
→ A1 =
11 4 0
2 6
2
0 1
4
→ A2 =
11 4 0
2 6
2
0 4
1 1
→
Pertama-tama cek keberadaan zero elemen di kolom 1 matrix A. Apabila ada, maka pindahkan elemen zero itu ke paling bawah.
Karena itu, matrix A1 berasal dari matrik A setelah baris 1 dan 3 matrix A ditukar .
dan
Matrix A2 berasal dari matrik A1 setelah baris 1 A1 dibagi 4 agar a11 menjadi 1
dengan
tujuan akhir menjadikan kolom 1 menjadi vector kolom
0 0 1
1
e
→ A3 =
11 4
0
2 2
1 5 0
0 4
1 1
→ A4 =
0 0
0
11 4 1
0
0 4
1 1
Matrix A3 berasal dari matrik A2 setelah baris 2 A2 dikurangi hasil kali -2 terhadap
baris 1 A2
dan
Matrix A4 berasal dari matrik A3 setelah baris 2 A2 dibagi 5½ dan baris 3 A2
dikurangi hasil kali -2 terhadap baris 2. Tujuannya menjadikan terdapat angka 1 elemen pada baris kedua dengan posisi sebelah kanan dari angka 1 elemen pada baris 1.
The echelon matrix A4 mempunyai ciri struktur :
► Baris nonzero (baris dimana terdapat minimal 1 nonzero elemen) di atas baris zero (zero rows)
► Elemen nonzero pertama pada setiap baris nonzero (nonzero rows) adalah angka 1
► Angka 1 pada setiap nonzero row terdapat sebelah kiri dari angka 1 pada nonzero row berikutnya
Jumlah nonzero rows pada the echelon matrix A4
menyatakan derajat matrix (matrix rank) A, yaitu r(A) = 2
4. Sistem Persamaan Linear : Homogeneous vs. Non Homogeneous Pengertian
Seperti telah dikemukakan pada bagian 5.1. di atas,
A x = d
menyatakan sistem persamaan linear dengan m persamaan dan n variabel (a system of m linear equations in n variables (
x
1, x
2, …,
x
n) dengn n koefisiena
ij(a
i1, a
i2, …, a
in).
Apabila :
d ≠ 0 yaitu tidak semua elemen vector kolom d adalah 0 (nol), maka sistem persamaan itu disebut suatu nonhomogenou-equation system
d = 0 yaitu semua elemen vector kolom d adalah 0 (nol), maka sistem persamaan itu disebut homogeneous equation system
Ringkasan syarat bagi homogeneous dan nonhomogeneous persamaan simultan mempunyai solusi
Sistem persamaan simultan A x = d, dimana matrix A dan vector kolom diketahui, sehingga dicari solusi untuk semua variabel pada vector kolom x.
Solusi itu ditentukan oleh keberadaan matrix inverse A-1, yang
berarti matrix A harus matrix nonsingular atau mempunyai nonzero determinant → |A| ≠ 0.
Untuk secara keseluruhan, ringkasannya sbagai berikut :
Sistem persamaan linear (a linear equation system) :
d
x
A
nx nx
nxn 1 1
→
x
nx1 nxn
A
d
nx11
Solusi adalah mencari nilai atau angka untuk varaibel-variabel pada vector kolom x
Determinant A atau |A|
Nonhomogeneous equation system (d ≠ 0)
Homogeneous equation system (d = 0)
|A| ≠ 0 atau matrix A nonsingular
Diperoleh solusi unik atau x* ≠ 0
Diperoleh solusi unik tapi x* = 0
|A| = 0 atau matrix A singular :
►Persamaan dependen
►Persamaan inkonsisten
Diperoleh takterbatas solusi
Tidak diperoleh solusi
Diperoleh takterbatas solusi
Tidak mungkin
Catatan :
Nol dibagi nol (0/0) tidak sama dengan nol tetapi tidak terdefinisi (undefined)
Dengan Cramer’s rule :
0 ( 1,2,..., ) 0
0
*
n j
A Aj j
x
0( ) ( 1,2,..., )
0 0
*
n j
solution unique
no atau undefined A
Aj j
x
Contoh :
a11x1 a12x2 0 a21x1 a22 x2 0 →
0 0
2 1 22 21
12 11
x x a a
a a
Maka, kalau A adalah matrix singular karena baris 1 dan 2 adalah kelipatan satu sama lain, jadi |A| = 0, serta hanya terdapat 1 persamaan untuk 2 variabel yang dicari solusinya, dimana solusinya :
2
11 12 1 a x
a
x
→ kalau a11 ≠ 0, maka terdapat solusi takterbatas jumlahnya
untuk setiap bilangan x2.
Kenyataan itu juga berlaku jumlah n variabel yang dicari yang terdapat pada vector kolom x
