PERBANDINGAN METODE SIMPLEX DAN REVISED SIMPLEX PADA PENYELESAIAN PROGRAM LINIER SKRIPSI Diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Teknik Program Studi Teknik Informatika

(1)

SKRIPSI

Diajukan untuk memenuhi salah satu syarat

memperoleh gelar Sarjana Teknik

Program Studi Teknik Informatika

Oleh :

Putu Yunita Kusumawati

NIM : 015314079

PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA

JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2007

(2)

THE COMPARISON OF SIMPLEX METHOD AND

REVISED SIMPLEX METHOD IN FINISHING LINEAR PROGRAM

A Thesis

Presented as Partial Fulfillment of Requirements

to Obtain the Sarjana Teknik

Degree in Informatics Engineering

by :

Putu Yunita Kusumawati

Student number : 015314079

INFORMATICS ENGINEERING STUDY PROGRAM

DEPARTEMENT OF INFORMATICS ENGINEERING

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2007

(3)

(4)

(5)

tidak memuat karya orang lain atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah

disebutkan dalam kutipan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 26 Agustus 2007

Penulis

(Putu Yunita Kusumawati)

(6)

Setulus Hati Kupersembahkan Karya Ini Kepada :

♦

Ida Sang Hyang Widi Waça yang telah memberikan banyak keajaiban

dalam hidupku.

♦

Keluargaku Terkasih : Bapak, Ibu, Ayonk, Febi dan Eca yang senantiasa memberi

dukungan, kasih dan doa.

♦

Viloneetha, sahabat dan kekasihku

♦

MyBestFriend : Dh35n1, X_10, Vindy dan Oti yang memberi warna dalam

hidupku.

♦

Almamaterku tempat aku belajar.

(7)

♣ You’ll never know till you have tried

...

♣ Perjuangan melakukan segala sesuatu dibutuhkan kesabaran, kekuatan serta

keteguhan hati dan pikiran di dalam doa.

(8)

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Ida Sang Hyang Widi Waça,

dengan tangan kasih-Nya yang senantiasa menuntun Penulis sehingga skripsi yang

berjudul

“PERBANDINGAN METODE SIMPLEX DAN REVISED

SIMPLEX PADA PENYELESAIAN PROGRAM LINIER”

ini dapat

diselesaikan.

Skripsi ini secara khusus diajukan kepada Fakultas Sains Dan Teknologi

Jurusan Teknik Informatika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta untuk

memenuhi sebagian syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Teknik.

Terwujudnya skripsi ini juga berkat bantuan dan dorongan dari beberapa

pihak. Untuk itu pada kesempatan ini Penulis ingin mengucapkan terima kasih

yang sebesar-besarnya atas segala bantuan dan jasa yang diberikan dalam

menyelesaikan skripsi ini, khususnya kepada :

1. Romo Ir.Greg.Heliarko SJ.,S.S.,B.S.T.,M.A.,M.Sc., selaku Dekan Fakultas

Sains Dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta

2. Ibu A.M. Polina, S.Kom, M.Sc., selaku Ketua Jurusan Teknik Informatika

Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

3. Bapak Alb.Agung Hadhiatma, S.T.,M.T, selaku Dosen Pembimbing

Akademik Jurusan Teknik Informatika Universitas Sanata Dharma

Yogyakarta.

(9)

5. Para dosen Fakultas Sains Dan Teknologi Jurusan Teknik Informatika

Universitas Sanata Dharma Yogyakarta yang sebelumnya telah membekali

ilmu sebagai landasan dalam menyelesaikan skripsi ini.

6. Segenap staf dan karyawan Fakultas Sains Dan Teknologi atas bantuan

dan kerjasamanya.

7. Segenap staf dan karyawan perpustakaan Universitas Sanata Dharma

Yogyakarta.

8. Bapak dan Ibu tersayang dan tercinta, yang telah memberikan kasih

sayang, cinta, doa, dukungan dan biaya untuk kuliah.

9. Adik-adikku tersayang (Ayonk, Febi, Eca), yang selalu memberi semangat

dan doa.

10. Kekasihku Ok. Tri Setya Kurniawan, kebaikan, kesabaran dan

dukunganmu senantiasa menguatkan aku.

11. Saudara-saudaraku tercinta (Bali & Yogya) yang selalu memberi dukungan

dan doa.

12. My best friends dh35n1, X_10, Vindy dan Oti, thanks buat

persahabatannya.

(10)

13. Teman-teman TI ’01 (adri, anan, dami, oni, sigit, robin, ncep, wahyu,

narko, danu, indra, tanto, theo, candra, mario, manu, putra, wawan, willy,

eka, 3-r, ida, grace cemplung, tiwi, henny, helen, diana, alpons, ace, enjic,

nia, vivi, aris, ucok, tina dll) buat keceriaan, kerjasama dan dukungannya.

14. Teman-teman KMHD “Swastika Taruna” Universitas Sanata Dharma

Yogyakarta.

15. Serta semua pihak yang tidak dapat Penulis sebutkan satu persatu, yang

telah memberikan semangat sehingga skripsi ini dapat terselesaikan.

Penulis menyadari bahwa laporan skripsi ini belum sempurna, karena itu

penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun untuk kebaikan Penulis

di masa yang akan datang. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi kita semua.

Yogyakarta, 26 Agustus 2007

Penulis

(11)

membandingkan waktu komputasi yang terjadi dari dua metode pada program

linier. Adapun metode yang dibandingkan adalah Metode Simplex dan Revised

Simplex.

Sebelum input data dan proses perhitungan dilakukan, soal program linier

yang akan diselesaikan harus sudah dalam bentuk standar simplex (=). Dan bahasa

pemrograman yang digunakan untuk implementasinya adalah MATLAB versi

6.5.1.

Dari hasil percobaan yang sudah dilakukan, secara umum dapat

disimpulkan bahwa Metode Simplex memerlukan waktu yang relatif lebih singkat

daripada Revised Simplex..

(12)

ABSTRACT

This thesis aimed to try to make an application programm which could be

used to find out the most efficient method by comparing the computation time

which occured from two methods in linear programm. The methods compared in

this thesis were Simplex Method and Revised Simplex.

Before entering data and counting process were done, the problem of

linear programm which was to be accomplished should be in standard simplex

form (=). And the programming language used for the implementation was

MATLAB ver. 6.5.1

The result of the trial showed that Simplex Method needs shorter time than

Revised Simplex

(13)

HALAMAN JUDUL (Inggris) ...………...ii

HALAMAN PERSETUJUAN ...………...iii

HALAMAN PENGESAHAN ...iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ...v

HALAMAN PERSEMBAHAN ...vi

HALAMAN MOTTO ...vii

KATA PENGANTAR ...viii

ABSTRAKSI...xi

ABSTRACT...xiii

DAFTAR ISI...xiv

DAFTAR TABEL...xv

DAFTAR GAMBAR...xvi

BAB I PENDAHULUAN ...1

1.1 Latar Belakang ………1

1.2 Rumusan Masalah ………...2

1.3 Batasan Masalah ……….2

1.4 Tujuan ……….2

1.5 Metode penelitian……… ………….…3

1.6 Sistematika Isi …….………....3

BAB II DASAR TEORI...5

2.1 Pengertian Umum Program Linier………...…5

2.2 Model Program Linier ………...6

2.3 Metode Simplex ………...………..7

2.4 Revised Simplex ………...…………7

2.5 Bagan Alir ………...8

BAB III ANALISA dan DESAIN SISTEM ...30

3.1 Perancangan Antar Muka ...………...30

3.2 Perancangan Proses ...32

(14)

BAB IV IMPLEMENTASI dan PEMBAHASAN ...34

4.1 Implementasi dan Pengujian

Program...34

4.2 Hasil Implementasi ...38

4.3 Percobaan dan Analisa...46

BAB V PENUTUP ...49

5.1 Kesimpulan ...49

5.2 Saran ………49

DAFTAR PUSTAKA ………50

(15)

Tabel 2-1

Tabel Simplex

14

Tabel 4-1

Tabel Percobaan

45

Tabel 4-2

Tabel rata-rata waktu untuk jumlah variabel

46

Tabel 4-3

Tabel rata-rata waktu untuk jumlah kendala

47

(16)

DAFTAR GAMBAR

Gambar

Keterangan

Halaman

Gambar 3-1

Desain Halaman Home

29

Gambar 3-2

Desain Halaman Utama

30

Gambar 3-3(a)

Desain Input Data Fungsi

31

Gambar 3-3(b)

Desain Input Data Kendala

31

Gambar 4-1

Set path/path Browser

34

Gambar 4-2

Browser Folder

35

Gambar 4-3

Halaman Home

37

Gambar 4-4

Halaman Utama

38

Gambar 4-5

Input Data Fungsi

39

Gambar 4-6

Input Data Kendala

40

Gambar 4-7

Kesalahan Jumlah Kendala

41

Gambar 4-8

Peringatan Kesalahan Kendala

41

Gambar 4-9

Kesalahan Jumlah Variabel

42

Gambar 4-10

Peringatan Kesalahan Variabel

42

Gambar 4-11

Halaman Utama (Output)

44

Gambar 4-12

Grafik waktu-jumlah variabel

47

Gambar 4-13

Grafik waktu-jumlah kendala

48

(17)

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Pada perusahaan berskala besar maupun kecil ketepatan dalam mengambil

suatu keputusan merupakan hal yang sangat penting. Jika kesalahan dalam

pengambilan keputusan terjadi akan memberi dampak yang negatif bagi

perusahaan yang bersangkutan. Dalam perusahaan seorang manajer dituntut untuk

bisa mengambil sebuah keputusan yang tepat. Persoalan-persoalan yang dihadapi

manajer dalam perusahaan pada umumnya adalah bagaimana cara yang tepat

mengalokasikan sumber (resources) yang dimiliki agar diperoleh keuntungan

yang maksimal dengan pemakaian biaya yang minimal.

Program linier merupakan satu model umum yang digunakan dalam

pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal

dimana sumber-sumber yang ada diinputkan ke dalam variabel-variabel dan

dikombinasikan untuk mencari solusi yang optimal. Ada beberapa cara untuk bisa

menyelesaikan program linier yaitu dengan Metode Simplex dan Revised

Simplex. Kedua metode tersebut merupakan teknik yang berhasil digunakan

untuk mengatasi kelemahan dari metode grafis yaitu dapat menyelesaikan

program linier dengan jumlah variabel keputusan dan kendala yang besar.

Metode Simplex merupakan prosedur aljabar yang bersifat iteratif, yang

bergerak selangkah demi selangkah yang dimulai dari suatu titik pada daerah

(18)

2

Kemudian muncul Metode Simplex yang direvisi (Revised Simplex).

Metode ini merupakan versi yang disempurnakan dari prosedur aslinya (Metode

Simplex).

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang sudah dipaparkan maka dapat

dirumuskan permasalahnnya yaitu menentukan metode yang terefisien antara

Metode Simplex dan Revised Simplex.

1.3 Batasan Masalah

1. Perbandingan yang dilakukan adalah proses perbandingan kedua metode

dalam hal waktu.

2. Bahasa pemrograman yang digunakan adalah Matlab versi 6.5.1

3. Program akan dibuat dengan batasan jumlah variabel dan jumlah kendala

maksimal 10.

4. Program dibuat hanya untuk soal program linier memaksimumkan dengan

kendala pertidaksamaan ( ).

5. Soal yang akan dihitung sudah dalam bentuk standar (=)

1.4 Tujuan

Adapun tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah :

1. Memenuhi syarat kelulusan dari Fakultas Teknik Jurusan Teknik

(19)

2. Dapat menentukan metode yang lebih efisien antara Metode Simplex dan

Revised Simplex.

1.5 Metodologi Penelitian

Dalam pengerjaan skripsi ini, penulis menggunakan buku-buku atau

referensi yang menyajikan informasi tentang materi yang dibahas, dalam hal ini

tentang Metode Simplex dan Revised Simplex.

1.6 Sistematika Isi

BAB I PENDAHULUAN

Pada bab ini akan dibahas tentang latar belakang masalah, rumusan

masalah, batasan masalah, tujuan, metode penulisan dan sistematika isi.

BAB II LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan diuraikan tentang dasar teori dan konsep dari Metode

Simplex dan Revised Simplex.

BAB III ANALISA dan DESAIN SISTEM

Bab ini akan menjelaskan tahap-tahap perancangan program meliputi

perancangan input, proses dan output yang akan mambantu pada tahap

implementasi program.

BAB IV IMPLEMENTASI dan PEMBAHASAN

Bab ini akan mengimplementasikan hasil perancangan yang telah

dikerjakan pada bab sebelumnya (bab III) dan pembahasan hasil dari

(20)

4

BAB V PENUTUP

Bab ini terdiri atas dua bagian yaitu kesimpulan dari hasil implementasi

dan analisa pada bab IV dan saran pengembangan untuk program yang sudah ada.

(21)

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Pengertian Umum Program Linier

Untuk pengalokasian sumber daya yang terbatas dalam melaksanakan

kegiatan pada sebuah perusahaan dan industri dibutuhkan pemodelan. Pemodelan

yang standar digunakan adalah model pemrograman linier. Model ini merupakan

model matematis perumusan masalah umum pengalokasian sumber daya untuk

berbagai kegiatan. Model ini digunakan dalam penyelesaian persoalan program

linier.

Program linier adalah suatu cara untuk menyelesaikan persoalan

pengalokasian sumber daya yang terbatas diantara beberapa aktivitas tertentu

yang bersaing dalam hal penggunaan sumber daya langka yang dibutuhkan untuk

melaksanakan aktivitas tersebut. Beberapa contoh antara lain : masalah

pengalokasian penjadualan produksi, solusi pengiriman barang, solusi permaian

dan masih banyak lagi. Ciri khas dari situasi tersebut adalah keharusan untuk

mengalokasikan sumber daya terhadap aktivitas.

Program linier menggunakan model matematis untuk menjelaskan

persoalan yang dihadapi. Sehingga dapat dikatakan bahwa program linier adalah

perencanaan aktivitas-aktivitas untuk memperoleh suatu hasil yang optimal, yaitu

suatu hasil yang mencapai tujuan terbaik diantara semua alternatif yang fisibel.

Permasalahan pemrograman linier dapat diselesaikan dengan banyak

metode yaitu metode grafik, metode simplex dan metode revised simplex.

(22)

6

kurang dari tiga variabel. Hal inilah yang menyebabkan bahwa metode grafik

sangat jarang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan pemrograman linier

pada perusahan yang berskala besar dimana biasanya perusahaan akan

mengunakan lebih dari tiga variabel.

2.2 Model Program Linier

Dalam program linier dikenal dua fungsi yaitu fungsi tujuan (objectives

functions) dan fungsi kendala (constrain functions).

2.2.1 Fungsi Tujuan

Fungsi tujuan menggambarkan tujuan di dalam permasalahan

pemrograman linier yang berkaitan dengan peraturan secara optimal

sumber-sumber daya untuk memperoleh keuntungan yang maksimal atau biaya yang

minimum.

Bentuk standar dari fungsi tujuan :

Maksimumkan /Minimumkan Z = C1X1+C2X2 + C3X3 +…+CnXn

2.2.2 Fungsi Kendala

Fungsi kendala merupakan bentuk penyajian secara matematis

kendala-kendala kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke

berbagai kegiatan.

Kendala : a11x1 + a12x2 + a13x3 +…..+a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 +…..+a2nxn = b2

...

(23)

am1x1 + am2x2 + am3x3 +…..+amnxn = bn

2.2.3 Variabel Slack

Variabel slack ditambahkan jika kendala-kendala dari permasalahan

program linier berbentuk pertidaksamaan (belum standar). Fungsi dari variabel

slack adalah untuk mengkonversikan pertidaksamaan menjadi bentuk persamaan

yang merupakan bentuk standar dari program linier. Variabel slack biasanya

diberi nilai 0.

2.3 Metode Simplex

Metode simplex merupakan suatu metode secara matematis dimulai dari

suatu pemecahan yang memungkinkan ke pemecahan dasar yang lainnya dan ini

dilakukan secara berulang-ulang dengan jumlah ulangan yang terbatas sehingga

tercapai suatu pemecahan dasar yang optimal. Pada setiap langkah menghasilkan

nilai dan fungsi tujuan yang selalu lebih besar atau lebih kecil dari

langkah-langkah sebelumnya.

2.4 Metode Revised Simplex

Metode Revised simplex menggunakan prinsip dasar yang sama dengan

metode simplex . Yang berbeda hanya pada waktu menghitung data baru untuk

(24)

8

2.5 Bagan Alir

Maks : ada j cj-zj > 0 Min : ada j cj-zj < 0 Tidak

Ya

Tidak Soal Asli

Jadikan soal bentuk standar

Ada Im

Tabel awal simplex Tambah variabel semu :

Maks : koef = -M

Min : koef = M

Hitung zj Hitung nilai fungsi Z

Hitung cj-zj

Ada variabel semu yang bernilai positif Revisi tabel

Penyelesaian Optimal Soal tidak feasible

sehingga fungsi

tidak memiliki

penyelesaian yang

optimal

(25)

a. Revisi tabel untuk Metode Simpleks

Program utama

Pilih variabel basis baru :

Maks : pilih m cm-zm= maks {cm-zm > 0}

Min : pilih m cm-zm= min {cm-zm < 0}

Ada ajm

Penyelesaian tak terbatas

i= bi ; aim> 0

aim

Pilih n= Min { i}

(XB)n = keluar dari basis

anm= elemen kunci

Ganti (XB)n dengan Xm

Ganti (CB)n dengan Cm

Perhitungan aij baru :

i = n : aij * = anj ; bi*= bn

anm anm

i n : aij* = aij - anjaim ; bi*= bi - bnaim

anm anm

Tidak

(26)

10

b. Revisi tabel untuk Revised Simplex

Program utama

Ada ajm

Penyelesaian tak terbatas

i= bi ; aim> 0

aim

Pilih n= Min { i}

anm= elemen kunci

Perhitungan aij baru :

Pn* = B-1 . Pn ; Pn= vektor kolom dari xj

B = sebuah matriks dari basis Program

utama

Tidak

(27)

Cj C1 C2………..Cn

(CB)i

Xj

(XB)i

X1 X2……….Xn

b

i Koef isie n var ia bel basis Variab el Ba

sis Matrik kendala

dalam bentuk standar. A = Am*n = [aij]

Ko ef isie n ru as k anan k end al a P eng ecek an v ariab el yang k eluar d ari ba sis (Rat io ) Zj Cj-Zj

Z = Nilai fungsi (CB)i bi

Sebagai contoh, pada soal :

Maksimumkan : Z = 3x1 + 2x2

Kendala I = x1 + 2x2 20

Kendala II = 3x1 + x2 20

x1, x2 0

A. Diselesaikan dengan Metode Simplex

Iterasi I

• Langkah 1

Nyatakan masalah program linier dalam bentuk standar dan

(28)

12

m

(CB)i aij

i =1 Maksimumkan Z = 3x1 + 2x2 + 0x3 + 0x4

Kendala : x1 + 2x2+ x3 = 20

: 3x1 + x2 + x4 = 20

x1 0, x2 0, x3 0, x4 0

Tabel awal Simplex:

Cj 3 2 0 0

(CB)I

Xj

(XB)i

X1 X2 X3 X4

b

i

1 2 1 0

3 1 0 1

20

Zj

Cj-Zj

Z =

• Langkah 2

Ternyata feasible, jadi tidak perlu menentukan M buah variabel

sebagai penyelesaian feasible awal.

• Langkah 3

(29)

Cj 3 2 0 0

(CB)I

Xj

(XB)i

X1 X2 X3 X4

b

i

0

X3

X4

1 2 1 0

3 1 0 1

20

Zj

Cj-Zj

0 0 0 0

3 2 0 0

Z = 0

• Langkah 4

Ternyata fungsi belum optimal karena masih terdapat nilai Cj-Zj >

0 sehingga perlu dicari nilai terbesar untuk mendapat kolom kunci.

Cj 3 2 0 0

(CB)i

Xj

(XB)i

X1 X2 X3 X4

b

i

0

X3

X4

1 2 1 0

3 1 0 1

20

Zj

Cj-Zj

0 0 0 0

3 2 0 0

Z = 0

positif terbesar

• Langkah 5

Hitung nilai ratio ( ) untuk menentukan variabel yang harus

(30)

14

Cj 3 2 0 0

(CB)i

Xj

(XB)i

X1 X2 X3 X4

b

i

0

X3

X4

1 2 1 0

3 1 0 1

20

20/1 = 20

20/3

Zj

Cj-Zj

0 0 0 0

3 2 0 0

Z = 0

Ternyata min dimiliki oleh X4dan kolom kunci berada pada X1

sehingga X4keluar dari basis dan digantikan X1

• Langkah 6

Perhitungan

a

ijyang baru untuk membentuk tabel yang baru.

a11= 0

a12= 2 – (1)(1) = 5/3

3

a13= 1 – (0)(1) = 1

3

a14= 0 – (1)(1) = -1/3

3

b1= 20 – (20)(1) = 40/3

3

(31)

m

(CB)i aij

i =1 a22 =1 : 3 = 1/3

a23 = 0 : 3 = 0

a14 = 1/3

b2 = 20/3

Sehingga diperoleh tabel simplex yang baru sebagai berikut :

Cj 3 2 0 0

(CB)i

Xj

(XB)I

X1 X2 X3 X4

b

i

0

3

X3

X1

0 5/3 1 -1/3

1 1/3 0 1/3

40/3

20/3

Zj

Cj-Zj

Z =

Iterasi 2

• Langkah 3

Menghitung nilai Zj, nilai fungsi (Z) dan Cj-Zj. Dimana Zj =

Cj 3 2 0 0

(CB)i

Xj

(XB)i

X1 X2 X3 X4

b

i

0

3

X3

X1

0 5/3 1 -1/3

1 1/3 0 1/3

40/3

20/3

Zj

Cj-Zj

3 1 0 1

0 1 0 -1

(32)

16

• Langkah 4

Cj 3 2 0 0

(CB)i

Xj

(XB)i

X1 X2 X3 X4

b

i

0

3

X3

X1

0 5/3 1 -1/3

1 1/3 0 1/3

40/3

20/3

Zj

Cj-Zj

3 1 0 1

0 1 0 -1

Z = 20

positif terbesar

• Langkah 5

meninggalkan basis.

Cj 3 2 0 0

(CB)i

Xj

(XB)i

X1 X2 X3 X4

b

i

0

3

X3

X1

0 5/3 1 -1/3

1 1/3 0 1/3

40/3 20/3 8 20 Zj Cj-Zj

3 1 0 1

0 1 0 -1

(33)

• Langkah 6

Perhitungan

a

ijyang baru untuk membentuk tabel yang baru.

a11 = 0 : 5/3 = 0

a12= 5/3 : 5/3 = 1

a13 = 1 : 5/3 = 3/5

a14 = -1/3 : 5/3 = -1/5

b1 = 40/3 : 5/3 = 8

a21 = 1 – (0)(1/3) = 1

5/3

a22= 0

a23= 0 – (1)(1/3) = -1/5

5/3

a24= 1/3 – (-1/3)(1/3) = 2/5

5/3

b2= 20/3 – (40/3)(1/3) = 4

(34)

18

m

(CB)i aij

i =1 Sehingga diperoleh tabel simplex yang baru sebagai berikut :

Cj 3 2 0 0

(CB)i

Xj

(XB)i

X1 X2 X3 X4

b

i

2

3

X2

X1

0 1 3/5 -1/5

1 0 -1/5 2/5

8

4

Zj

Cj-Zj

Z =

Iterasi 3

• Langkah 3

Cj 3 2 0 0

(CB)i

Xj

(XB)i

X1 X2 X3 X4

b

i

2

3

X2

X1

0 1 3/5 -1/5

1 0 -1/5 2/5

8

4

Zj

Cj-Zj

3 2 3/5 4/5

0 0 3/5 -4/5

(35)

• Langkah 4

Ternyata fungsi sudah optimal. Hal ini dapat dilihat pada kolom

Cj-Zj yang semuanya bernilai 0 atau negatif. Sehingga iterasi dapat

dihentikan dan didapat nilai Z yang maksimum dengan nilai X1 =

4, X2 = 8, X3 = 0, X4 = 0 dan Z = 28

B. Diselesaikan dengan Revised Simplex

Iterasi 1

• Langkah 1

Nyatakan masalah program linier dalam bentuk standar dan

masukkan ke dalam tabel awal simplex dan menentukan vektor

kolom (Pn).

Maksimumkan Z = 3x1 + 2x2 + 0x3 + 0x4

Kendala : x1 + 2x2+ x3 = 20

: 3x1 + x2 + x4 = 20

x1 0, x2 0, x3 0, x4 0

P1= 1 ; P2 = 2 ; P3 = 1 ; P4 = 0 ; b = 20

3 1 0 1 20

• Langkah 2

Ternyata feasible, jadi tidak perlu menentukan M buah variabel

(36)

20

m

(CB)i aij

i =1

• Langkah 3

Cj 3 2 0 0

(CB)I

Xj

(XB)i

X1 X2 X3 X4

b

i

0

X3

X4

1 2 1 0

3 1 0 1

20

Zj

Cj-Zj

0 0 0 0

3 2 0 0

Z = 0

• Langkah 4

Cj 3 2 0 0

(CB)i

Xj

(XB)i

X1 X2 X3 X4

b

i

0

X3

X4

1 2 1 0

3 1 0 1

20

Zj

Cj-Zj

0 0 0 0

3 2 0 0

Z = 0

(37)

• Langkah 5

meninggalkan basis.

Cj 3 2 0 0

(CB)i

Xj

(XB)i

X1 X2 X3 X4

b

i

0

X3

X4

1 2 1 0

3 1 0 1

20 20 20 20/3 Zj Cj-Zj

0 0 0 0

3 2 0 0

Z = 0

• Langkah 6

Gunakan operasi matriks untuk mendapat tabel baru.

B = [ P3, P1]

= 1 1

0 3

B-1 = 1 -1/3 0 1/3

p1 = B-1 . P1 = 1 -1/3 1 = 1

(38)

22

m

(CB)i aij

i =1 p2 = B-1 . P2 = 1 -1/3 2 = 5/3

0 1/3 1 1/3

p3 = B-1 . P3 = 1 -1/3 1 = 1

0 1/3 0 0

p4 = B-1 . P4 = 1 -1/3 0 = -1/3

0 1/3 1 1/3

b = B-1 . bi = 1 -1/3 20 = 40/3 0 1/3 20 20/3

Sehingga diperoleh tabel simplex yang baru

Cj 3 2 0 0

(CB)i

Xj

(XB)i

X1 X2 X3 X4

b

i

0

3

X3

X1

0 5/3 1 -1/3

1 1/3 0 1/3

40/3 20/3 Zj Cj-Zj Z = Iterasi 2

• Langkah 3

(39)

Cj 3 2 0 0

(CB)i

Xj

(XB)i

X1 X2 X3 X4

b

i

0

3

X3

X1

0 5/3 1 -1/3

1 1/3 0 1/3

40/3

20/3

Zj

Cj-Zj

3 1 0 1

0 1 0 -1

Z = 20

• Langkah 4

Cj 3 2 0 0

(CB)i

Xj

(XB)i

X1 X2 X3 X4

b

i

0

3

X3

X1

0 5/3 1 -1/3

1 1/3 0 1/3

40/3

20/3

Zj

Cj-Zj

3 1 0 1

0 1 0 -1

Z = 20

positif terbesar

• Langkah 5

(40)

24

Cj 3 2 0 0

(CB)i

Xj

(XB)i

X1 X2 X3 X4

b

i

0

3

X3

X1

0 5/3 1 -1/3

1 1/3 0 1/3

40/3 20/3 8 20 Zj Cj-Zj

3 1 0 1

0 1 0 -1

Z = 20

• Langkah 6

Gunakan operasi matriks untuk mendapat tabel baru.

B = [P2,P1] = 2 1

1 3

B-1 = 3/5 -1/5 -1/5 2/5

p1= B-1 . P1 = 3/5 -1/5 1 = 0

-1/5 2/5 3 1

p2= B-1 . P2 = 3/5 -1/5 2 = 1

-1/5 2/5 1 0

p3= B-1 . P3= 3/5 -1/5 1 = 3/5

(41)

m

(CB)i aij

i =1 p4= B-1 . P4 = 3/5 -1/5 0 = -1/5

-1/5 2/5 1 2/5

bi = B-1 . bi = 3/5 -1/5 20 = 8 -1/5 2/5 20 4

Sehingga diperoleh tabel simplex yang baru yaitu :

Cj 3 2 0 0

(CB)I

Xj

(XB)i

X1 X2 X3 X4

b

i

2

3

X2

X1

0 1 3/5 -1/5

1 0 -1/5 2/5

8 4 Zj Cj-Zj Z = Iterasi 3

• Langkah 3

Cj 3 2 0 0

(CB)i

Xj

(XB)i

X1 X2 X3 X4

b

i

2

3

X2

X1

0 1 3/5 -1/5

1 0 -1/5 2/5

8

4

Zj

Cj-Zj

3 2 3/5 4/5

0 0 3/5 -4/5

(42)

26

• Langkah 4

Ternyata fungsi sudah optimal. Hal ini dapat dilihat pada kolom

Cj-Zj yang semuanya bernilai 0 atau negatif. Sehingga iterasi dapat

dihentikan dan didapat nilai fungsi Z yang optimal dengan nilai X1

(43)

BAB III

ANALISA DAN DESAIN SISTEM

Desain (perancangan) sistem merupakan tahap penting yang perlu

dilakukan sebelum melakukan tahap implementasi. Tahap perancangan

dimaksudkan untuk mempermudah pada saat pembuatan program. Pada

perancangan sistem akan dipersiapkan kebutuhan yang diperlukan pada proses

implementasi.

Perancangan dilakukan dengan tujuan untuk memberi gambaran yang jelas

tentang sistem yang akan dibangun sehingga akan mempermudah penggunaan

sistem selanjutnya.

Pada tahap ini akan dilakukan beberapa perancangan yaitu :

1. Perancangan Input

2. Perancangan Output

3. Perancangan Proses

Secara garis besar, program akan dimulai dengan menginputkan data baik

data fungsi maupun data kendala. Dan untuk mempermudah user maka data

tersebut akan ditampilkan pada layar. Setelah semua data diinputkan, maka proses

perhitungan (pemecahan masalah program linier) dilakukan untuk mendapatkan

solusi yang optimal (fungsi sasaran – Z ). Disamping solusi (fungsi sasaran Z),

pada output juga ditampilkan Xn, bi, waktu dalam satuan detik dan jumlah operasi

(44)

28

Flowchart berikut ini menggambarkan jalannya program secara umum. :

♦ Untuk revisi tabel

Soal standar

Tabel awal

Hitung Zj, nilai fungsi Z dan Cj-Zj

Maks : ada j cj-zj > 0 Min : ada j cj-zj < 0

Penyelesaian optimal

Revisi tabel

Ya

Tidak

Program utama

i= bi ; aim> 0

aim

Pilih n= Min { i}

anm= elemen kunci

Perhitungan aij baru

(45)

Sebagai awal akan dibuat desain halaman Home yang merupakan judul

dari program yang dibuat. Lalu dilanjutkan dengan perancangan input dan output

yang akan ditampilkan pada halaman Utama.

• Halaman Home

Halaman Home merupakan halaman pertama pada program yang dibuat.

Halaman ini merupakan identitas program. Pada desain di atas terdapat tombol

aksi “Lanjutkan” dan dengan mengklik tombol tersebut maka program akan lanjut

menuju halaman Utama.

Perbandingan Metode Simplex Dan Revised Simplex

Pada Penyelesaian Program Linier

Disusun Oleh :

Putu Yunita Kusumawati

01 5314 079

Lanjutkan

(46)

30

3.1 Perancangan Antar Muka

• Halaman Utama

Perbandingan Metode Simplex Dan Revised Simplex

Pada Penyelesaian Program Linier

Pada halaman Utama terlihat adanya penggabungan desain input dan output.

Input data dilakukan dengan terlebih dulu mengklik tombol aksi “Masukan” lalu

akan muncul tampilan seperti di bawah ini: Xn

Simplek Revised Simplek

Waktu bi

Z

Waktu bi

Z

Masukan

(47)

a.

b.

Pada tampilan (a) input data mulai dilakukan dengan memasukkan data

fungsi dari sebuah persamaan linier. Jumlah kendala dan jumlah variabel diisi

sesuai dengan persamaannya. Namun jika jumlah kendala dan jumlah variabel

yang diinputkan melebihi jumlah maksimal (10) maka akan muncul error dialog Masukan Data

Data Kendala[x1 x2 x3 -x10]

bi

OK Cancel

Gambar 3-3 (b) : Desain input data kendala Masukan Data

Data Fungsi[x1 x2 x3 -x10]

Jumlah Kendala

Jumlah Variabel

OK Cancel

(48)

32

yang berisi bahwa jumlah kendala atau variabel melebihi batas. Setelah semua

data diinputkan lalu klik tombol “OK”.

Setelah tombol diklik maka program langsung menuju tampilan (b) untuk

melakukan input data kendala dan bi. Setelah semua data terisi dan dilanjutkan

dengan mengklik button “OK” maka data akan langsung diproses sehingga

diperoleh solusi yang optimal dan output yang dihasilkan akan muncul pada

halaman Utama untuk output.

Pada desain output akan ditampilkan untuk masing-masing metode yaitu

Xn merupakan indeks dari variabel fungsi,bi adalah koefisien ruas kanan kendala

yang akan menjadi nilai variabel dari fungsi,Z adalah nilai fungsi sasaran. Selain

itu juga ditampilkan waktu proses dalam satuan detik selama proses perhitungan

pada masing-masing metode.

3.2 Perancangan Proses

Sebelum dilakukan proses perhitungan, dipastikan dahulu soal / masalah

program linier sudah dalam bentuk standar simplex (=). Jika soal masih dalam

bentuk pertidaksamaan, maka diubsh ke dalam bentuk standar dengan

menambahkan variabel slack.

Pada saat input data, yang diinputkan adalah koefisien variabel dari fungsi

dan kendala (data fungsi dan data kendala) pada soal asli. Adapun jumlah variabel

(49)

Pada saat perhitungan, ada beberapa perhitungan penting yang dilakukan

antara lain : perhitungan nilai Cj, Cj-Zj, ratio dan nilai fungsi sasaran Z. Selain itu

perhitungan juga dilakukan untuk lamanya waktu yang diperlukan.

Pada perhitungan data / tabel baru, pada Revised Simplex menggunakan

operasi matriks yaitu untuk menghitung invers. Dimana invers tersebut akan

digunakan untuk menghitung data baru yaitu dengan mengalikan vektor kolom

dari xjdengan invers . Matriks yang digunakan untuk menghitung matrik adalah

(50)

34

Gambar 4-1 : Set path/Path browser

BAB IV

IMPLEMENTASI DAN PEMBAHASAN

4.1 Implementasi dan Pengujian Program

4.1.1 Mempersiapkan Berkas Sumber

Sebelum mengaktifkan program terlebih dahulu mempersiapkan letak

berkas sumber. Pada jendela perintah (command window) Matlab, masuk ke menu

(51)

Gambar 4-2 : Browser

Pada set path terdapat folder berkas, namun secara default biasanya

berkas sumber banyak diletakkan pada folder C:\MATLAB6p5p1\work. Dan

untuk mempermudah kerja, maka jika kita memiliki file yang akan dijalankan

sebaiknya file tersebut diletakkan terlebih dulu pada berkas sumber dalam hal ini

folder work.

4.1.2 Implementasi Program

Sebelum proses perhitungan dilakukan terlebih dahulu membentuk matrik

data kendala (data xb dan data bi).

%ukur data xb

[size_xb_baris,size_xb_kolom] = size(data_xb);

%salin data xb ke data xb awal

for loop = 1:size_xb_baris

for loop2 = 1:size_xb_kolom

data_xb_awal(loop,loop2) = data_xb(loop,loop2);

(52)

36

end

%salin data bi ke data bi awal

for loop = 1:size_xb_baris-1

data_bi_awal(loop) = data_bi(loop);

end

Setelah tabel terbentuk, langkah selanjutnya adalah menghitung nilai Zj,

nilai Cj-Zj dan fungsi sasaran (Z), terlihat pada potongan program dibawah ini:

for loop = 1:size_xb_kolom

data_zj(loop) = 0;

end

% cari nilai zj

for loop2 = 2:size_xb_baris

data_zj(loop)=data_zj(loop)+(data_cb(loop21)* data_xb((loop2),loop));

temp_kali = temp_kali + 1;

temp_plus = temp_plus + 1;

end

%cari nilai cj-zj

data_cjzj(loop) = data_xb(1,loop) - data_zj(loop);

temp_minus = temp_minus + 1;

end

% cari nilai fungsi sasaran(z)

data_z = 0;

for loop = 1:(size_xb_baris-1)

data_z = data_z +(data_cb(loop) * data_bi(loop));

temp_kali = temp_kali + 1;

temp_plus = temp_plus + 1;

(53)

Gambar 4-3 : Halaman Home

Kemudian cari nilai positif terbesar dari nilai cj-zj yang sudah

dihitung, yang nantinya digunakan untuk menghitung nilai ratio.

%cari nilai terbesar cj-zj dan ratio

[nilai_besar,indeks_besar] = max(data_cjzj);

for loop = 1:(size_xb_baris -1)

if data_xb(loop+1,indeks_besar) <= 0

data_rasio(loop) = 10000;

else

data_rasio(loop) = data_bi(loop) / data_xb(loop+1,indeks_besar);

temp_bagi = temp_bagi +1;

end

4.2 Hasil Implementasi

Pada jendela perintah ketik HalHome untuk mengaktifkan jendela figure

(54)

38

Gambar 4-4 : Halaman Utama

Halaman Home merupakan awal dari program yang dibuat. Pada figure

tersebut terdapat sebuah tombol aksi. Dan untuk memulainya terlebih dulu user

menekan tombol ‘Lanjutkan’ yang kemudian akan langsung menuju halaman

berikutnya yaitu halaman Utama. Dimana pada halaman ini merupakan gabungan

antara input dan output. Input ditampilkan dengan tombol aksi “Masukan” seperti

terlihat pada tampilan dibawah ini.

Pada figure utama terdapat tampilan untuk input dan output dan terdapat

tombol “Masukan” yang merupakan awal dari proses input. Setelah tobol di klik,

maka program akan langsung menuju ke halaman input data yang terdiri atas 2

(55)

Gambar 4-5 : Input data fungsi

Soal : Maksimumkan : Z = 3x1 + 2x2

Kendala I : x1 + 2x2 20

: 3x1 + 4x2 20 ; x1, x2 0

Setelah diubah ke dalam bentuk standar,

Maksimumkan Z = 3x1 + 2x2 + 0x3 + 0x4

Kendala : x1 + 2x2+ x3 = 20

: 3x1 + x2 + x4 = 20

x1 0, x2 0, x3 0, x4 0

4.2.1 Proses Input Data Fungsi

Setelah button “Masukan” diklik, maka program akan langsung menuju

tampilan input data fungsi. Data yang dimasukkan adalah data fungsi yang berupa

koefisien dari masing-masing variabel pada soal program linier. Pada contoh soal

di atas terdapat 2 data fungsi, 2 kendala dan 2 variabel. Data fungsi yang

diinputkan hanya data asli tanpa variabel buatan (slack), meskipun fungsi sasaran

(56)

40

Gambar 4-6 : Input kendala (1)

Gambar 4-6 : Input kendala (2)

Button “OK” akan membawa program menuju tampilan selanjutnya yaitu

untuk input data kendala.

4.2.2 Proses Input Data Kendala

Pada contoh soal terlihat bahwa jumlah kendala yang dimiliki adalah 2

sehingga input data kendala dilakukan sebanyak dua kali. Proses input data

kendala terlihat pada tampilan berikut :

a. Kendala I

b. Kendala II

Kendala pertama data yang diinputkan adalah 1 dan 2 yang merupakan

(57)

Gambar 4-7: Kesalahan jumlah kendala

Gambar 4-8 : Peringatan kendala

kedua data kendalanya 3 dan 1 juga merupakan koefisien x1 dan x2 pada

kendala 2 dengan nilai bi 20.

Jika terjadi kesalahan pada waktu input jumlah variabel dan jumlah

kendala akan muncul peringatan sebagai berikut:

(58)

42

Gambar 4-9 : Kesalahan jumlah variabel

Gambar 4-10 : Peringatan variabel b. Kesalahan Jumlah Variabel

Peringatan-peringatan di atas terjadi jika jumlah kendala dan jumlah

varibel melebihi batas maksimal yaitu masing-masing 10. Setelah tombol

“OK” diklik maka user diharapkan mengisi jumlah kendala dan variabel yang

baru dengan menekan tombol “Masukan” pada halaman Utama sehingga

(59)

4.2.3 Proses Output

1. Perhitungan Nilai Fungsi Sasaran (Z)

Nilai fungsi sasaran (Z) diperoleh dari jumlah hasil kali antara koefisien

CB dan nilai ruas kanan (bi) dari masalah program linier.

2. Perhitungan Ratio ( )

Basis yang memiliki ratio terkecil akan keluar dari tabel dan digantikan

dengan basis baru. Ratio dihitung dengan cara membagi koefisien ruas

kanan (bi) dengan elemen kunci (pivot).

Setelah proses input data selesai dilakukan, maka program akan

melakukan proses perhitungan sehingga menghasilkan solusi yang nantinya akan

(60)

44

Gambar 4-11 : Halaman Utama (output)

Hasil dari contoh soal dapat dilihat pada tampilan output sebagai berikut :

4.3 Percobaan dan Analisa

Percobaan dilakukan dengan cara melakukan perulangan sebanyak 5 kali

untuk masing-masing data. Adapun dari percobaan tersebut diperoleh waktu baik

untuk Metode Simplex maupun Revised Simplex, namun yang diambil untuk

dianalisa adalah rata-rata waktu dalam satuan detik.

Untuk mendukung percobaan ini, digunakan komputer dengan spesifikasi

sebagai berikut :

- Processor INTEL-PENTIUM 4-1,5 GHz (256KB)-400 MHz

(61)

-Harddisk 20 GB – 7200 RPM

Di bawah ini adalah tabel hasil percobaan yang telah dilakukan :

Rata-rata waktu (detik) Jumlah variabel Jumlah kendala

Simplex Revised Simplex

3 2 0.016 0.028

4 2 0.006 0.006

4 3 0.01 0.018

5 2 0.01 0

5 3 0.01 0.004

5 4 0.01 0.015

6 2 0.016 0.018

6 3 0.008 0.014

6 4 0.004 0.004

6 5 0.006 0.024

7 2 0.012 0.106

7 3 0.034 0.024

7 4 0.012 0.018

7 5 0.01 0

7 6 0.016 0.018

8 2 0.01 0.015

8 3 0.01 0.004

8 4 0.008 0.0162

8 5 0.032 0.156

8 6 0.04 0.078

8 7 0.01 0.004

9 2 0.006 0.006

9 3 0.01 0

9 4 0.034 0.026

9 5 0.014 0.02

9 6 0.006 0.04

9 7 0.01 0.02

9 8 0.01 0

10 2 0.004 0.015

10 3 0.024 0.06

(62)

46

Tabel 4-1 : Tabel Percobaan

Tabel 4-2 : Tabel rata-rata waktu untuk jumlah variabel

10 5 0.018 0.012

10 6 0.006 0.022

10 7 0.01 0.032

10 8 0.004 0.026

10 9 0.047 0.036

Di bawah ini adalah tabel yang menunjukkan waktu rata-rata untuk jumlah

variabel tertentu.

Rata-rata waktu (dt) jumlah

variabel _{Simplex Revised} Simplex

3 0.016 0.028 4 0.008 0.012

5 0.01 0.0063

(63)

Gambar 4-12 : Grafik waktu-jumlah variabel

Tabel 4-3 : Tabel rata-rata waktu untuk jumlah kendala

grafik rata waktu terhadap jumlah variabel

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

0 2 4 6 8 10 12

jumlah variabel

rata waktu

Rata-rata waktu (dt) Simplex Rata-rata waktu (dt) Revised Simplex

Berdasarkan jumlah variabel pada tabel dan grafik variabel, rata-rata waktu yang

diperlukan pada Metode Simplex relatif lebih cepat daripada revised Simplex.

Ini adalah tabel yang menunjukkan waktu rata-rata untuk jumlah kendala tertentu.

Rata-rata waktu (dt) jumlah

kendala _{Simplex Revised} Simplex

(64)

48

Gambar 4-13 : Grafik waktu-jumlah kendala

Grafik rata waktu terhadap jumlah kendala

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

jumlah kendala

rata waktu

Rata-rata waktu (dt) Simplex Rata-rata waktu (dt) Revised Simplex

Berdasarkan jumlah kendala pada tabel dan grafik kendala, rata-rata waktu yang

diperlukan pada Metode Simplex relatif lebih cepat daripada revised Simplex.

Dari hasil analisa tabel dan grafik, terlihat bahwa Metode Simplex

memerlukan waktu yang relatif lebih cepat dibandingkan dengan Revised

Simplex. Jumlah variabel dan jumlah kendala tidak terlalu mempengaruhi waktu.

(65)

BAB V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Dari hasil analisa program perbandingan Metode Simplex dan Revised

Simplex dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :

1. Metode Simplex lebih efisien jika dibandingkan dengan Revised Simplex

hal ini dapat dilihat dari lamanya waktu yang dibutuhkan selama proses

penyelesaian masalah program linier.

2. Jumlah variabel dan jumlah kendala tidak terlalu mempengaruhi waktu.

5.2 Saran

Dari hasil penelitian skripsi ini, Penulis dapat memberi saran sebagai berikut:

1. Program bisa menyimpan data sebelumnya, sehingga user dapat melihat

kembali jika diperlukan.

2. Perlu ditampilkan jumlah operasi aritmatika yang terjadi pada

masing-masing metode sebagai bahan pertimbangan selain waktu untuk

(66)

50

DAFTAR PUSTAKA

Dimyati, Tjutju Tarliah & Dimyati Ahmad, Operations Research-Model Model

Pengambilan Keputusan, Bandung, Sinar Baru, 1994.

Duane Hanselman & Bruce Littlefield,MATLAB Bahasa Komputasi Teknis, Penerbit ANDI, Yogyakarta, 2000

Frederick S.Hiller, Gerald J.Lieberman,Pengantar Riset Operasi, Edisi V, Jilid I, Erlangga, 1994

Gunaidi Abdia Away, The Shortcut of MATLAB Programming, Informatika, Bandung, 2006

Hamdy A. Taha, Operations Research An Introduction, Fourth Edition,