MODEL MATEMATIKA MANIPULATOR FLEKSIBEL

MODEL MATEMATIKA

MANIPULATOR FLEKSIBEL

Pada Bab ini akan dibahas mengenai model matematika dari manipulator fleksi-bel. Model matematika yang akan diturunkan akan menggunakan teori balok Tim-oshenko yang akan dibahas pada Subbab 3.1. Karena kita ini ingin mengamati perilaku dari vibrasi pada sistem maka keluaran dari sistem haruslah berupa de-fleksi atau pergeseran dari manipulator yang akan dibahas pada Subbab 3.2 dan 3.3. Sedangkan pada Subbab 3.4 akan dibahas mengenai energi-energi yang terkan-dung pada manipulator fleksibel dan pada Subbab terakhir akan dibahas mengenai persamaan ruang keadaan dari manipulator fleksibel.

3.1

Teori Balok Timoshenko

Lengan robot fleksibel satu link dapat dianggap sebagai sebuah balok. Teori yang cukup terkenal dan klasik dalam menurunkan model matematika untuk sebuah balok adalah Teori Bernoulli. Akan tetapi, Rayleigh memperbaiki model Euler-Bernoulli ini dengan menambahkan efek inersia rotasional yang disebabkan oleh gerak rotasi dari cross-section balok selama getaran melentur (flexural vibration). Akhirnya, Timoshenko [5] memperbaiki teori Rayleigh dengan menambahkan efek

dari gaya geser (shear) dalam cross-section balok dan menunjukkan bahwa efek ini lebih signifikan dibandingkan dengan efek inersia rotasional. Sehingga model balok Timoshenko mempertimbangkan baik efek rotasional maupun efek gaya geser. Dalam bab ini akan diturunkan model matematika untuk lengan robot fleksibel satu link menggunakan teori balok Timoshenko yang dilengkapi dengan dua buah mekanisme redaman yaituexternal viscous air damping dan internal structural vis-coelasticity effect (Kelvin-Voigt). Untuk menyederhanakan masalah maka efek dari gravitasi dan perubahan bentuk dari luar akan diabaikan.

Vibrasi transversal (tranverse vibration) yang terjadi pada balok tergantung pada bentuk geometri, sifat bahan balok, dan torsi dari luar. Secara geometri sifat-sifat dari balok yang utama adalah panjangnyaL, ukuran dan bentuk cross-section seperti luasnya A, momen inersia I terhadap sumbu pusat dari lekukan (bending), dan koefisien geser Timoshenko k yaitu faktor koreksi (k<1) untuk menghitung dis-tribusi shear stress sehingga luas geser efektif sama dengan kA [6], [16]. Sifat-sifat bahan dari balok dikarakteristikan dengan kerapatanρdalam masa per satuan vol-ume, modulus Young atau modulus elastisitas E dan modulus geser atau modulus kekakuan G.

Skema dari gerak rotasi lengan robot fleksibel satu link dapat ditunjukkan dalam Gambar 3.1 [6]. Kerangka koordinat X₀ −Y₀ adalah kerangka acuan diam sedan-gkan kerangka koordinatX−Y adalah kerangka acuan yang berotasi dengan seluruh struktur dari link dengan sumbu-X menyinggung balok terdefleksi di titik pusat (hub). Defleksi dari link fleksibel dihitung dari sumbu-X dan disimbolkan dengan w(x,t). Selanjutnya kita asumsikan bahwa defleksi yang terjadi hanya dalam bidang datar.

Seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.1, lengan robot fleksibel satu link pada dasarnya terdiri dari pusat apitan yang kaku (rigid clamping hub), sebuahlink fleksi-bel, dan beban pada bagian ujung bebaslink. Ketiga bagian ini mempunyai

karak-elemen balok hub beban ( , ) w x t ( )t q X0 Y0 X Y link terdefleksi x y x0 y0

t

, P P M J h J , , , l E I r N

Gambar 3.1: Link fleksibel

teristik fisik yang berbeda-beda. Posisi suatu titik N pada link fleksibel dapat direpresentasikan

y₀(x, t) =xsin(θ(t)) +w(x, t) cos(θ(t)) (3.1) dan untuk θ(t) yang cukup kecil y₀(x, t) dapat dihampiri oleh

y₀(x, t) =xθ(t) +w(x, t). (3.2)

3.2

Defleksi Terhadap Koordinat

X

−

Y

Sekarang kita akan menurunkan persamaan defleksi untuk balok,w(x, t), terhadap acuan koordinat X−Y. Perhatikan sebuah segmen dengan lebar dx pada posisi x dari link terdefleksi seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.2. Karena pengaruh dari gaya geser, segmen yang sebelumnya berbentuk bujur sangkar akan berubah menjadi suatu bentuk seperti jajaran genjang.

Pada posisi x, gaya geser yang terjadi kita lambangkan dengan V(x, t) momen dilambangkan denganM(x,t). Pada bagian lain dari segmen yaitu pada posisix+dx,

dx 2 2 ( , ) w x t Adx t r ¶ ¶ 2 2 ( , )x t Idx t b r ¶ ¶ M M dx x ¶ + ¶ V V dx x ¶ + ¶ V M X Y

sejajar dengan sumbu netral tegak lurus ke muka elemen balok

sejajar dengan sumb-X

b ( , ) w x t x ¶ ¶ σ = sudut shear

Gambar 3.2: Sebuah elemen dari link fleksibel

gaya geser V +dV dan momen M +dM dapat dihitung menggunakan hampiran Taylor orde 1, yaitu

V(x+dx, t) =V(x, t) + ∂V(x, t)

∂x , (3.3)

M(x+dx, t) =M(x, t) +∂M(x, t)

∂x . (3.4)

Teori Timosheonko memperhitungkan efek inersia rotasi maupun perubahan ben-tuk shear. Gambar 3.2 memperlihatkan diagram bebas dari suatu elemen balok [6]. Jika perubahan bentuk akibat gaya geser tidak terjadi, maka garis pusat dari elemen balok akan serupa dengan garis yang tegak lurus ke muka daricross section. Jika perubahan bentuk akibat gaya geser terjadi, maka elemen balok yang tadinya berbentuk persegi panjang akan cenderung berubah bentuk menjadi bentuk seperti belah ketupat tetapi bukan hasil rotasi.

Misalkan β melambangkan kemiringan dari garis pusat yang disebabkan oleh bend-ing (ketika gaya geser diabaikan) dan σ adalah sudut geser di sumbu netral dalam cross section yang sama (lihat gambar 3.2). Maka kemiringan total yang terbentuk

adalah [3]

∂w(x, t)

∂x =β(x, t) +σ(x, t). (3.5)

Gaya geserV(x, t) diberikan oleh [3]

V(x, t) =−kAGσ(x, t) =−kAG ∂w(x, t) ∂x −β(x, t) , (3.6)

dengank adalah faktor koreksi geser yang tergantung pada bentuk daricross section, Aadalah luascross section, dan G adalah modulus geser. Sedangkan untuk momen dari balok diberikan oleh [13]

M(x, t) =EI∂β(x, t)

∂x +KVI

∂2β(x, t)

∂x∂t , (3.7)

denganE adalah modulus elastisitas Young, I adalah momen inersia darilink, dan

K_V adalah koefisien redaman Kelvin-Voight. Selanjutnya terdapat dua persamaan dinamik sebagai berikut [3]-[5]:

(momen) :ρI∂ 2_{β(x, t)} ∂t2 = ∂M(x, t) ∂x −V(x, t), (3.8) (gaya) :ρA∂ 2_{w(x, t)} ∂2t =− ∂V(x, t) ∂x −γ ∂w(x, t) ∂t , (3.9)

dengan suku-suku ρI∂2β_∂t(2x,t), ρA∂ 2_w(x,t)

∂2t , dan γ ∂w(x,t)

∂t berturut-turut

merepresen-tasikan distribusi inersia rotasional, distribusi gaya transversal, dan gaya tahanan udara.

Substitusikan persamaan (3.6) dan persamaan (3.7) ke dalam persamaan (3.8), se-lanjutnya persamaan (3.6) ke persamaan (3.9) maka akan menghasilkan dua buah persamaan gerak balok Timoshenko dengan redaman:

K_VI∂ 3_{β(x, t)} ∂x2∂t +EI ∂2β(x, t) ∂x2 +kAG ∂w(x, t) ∂x −β(x, t) −ρI∂ 2_{β(x, t)} ∂t2 = 0, (3.10) kAG ∂2w(x, t) ∂x2 − ∂β(x, t) ∂x −ρA∂ 2_{w(x, t)} ∂t2 −γ ∂w(x, t) ∂t = 0. (3.11)

Model untuk luas cross-section dan densitas balok kita anggap seragam, kemudian dengan menggabungkan persamaan (3.10) dan (3.11) akan diperoleh:

K_VI∂ 5_{w(x, t)} ∂x4∂t − K_VIρ kG ∂5w(x, t) ∂x2∂t3 +EI ∂4w(x, t) ∂x4 − ρI 1 + E kG+ K_Vγ ρkAG ∂4w(x, t) ∂x2∂t2 + EIγ kAG ∂3w(x, t) ∂x2∂t + ρIγ kAG ∂3w(x, t) ∂t3 +ρA ∂2w(x, t) ∂t2 +γ ∂w(x, t) ∂t = 0 (3.12)

Persamaan defleksi balok w(x,t) yang kita inginkan diperlihatkan dalam persamaan (3.12) yang merupakan persamaan diferensial parsial (PDP) linear homogen orde lima dengan efek redaman internal dan eksternal. Berkaitan dengan PDP pada persamaan (3.12) kita akan gunakan syarat awal dan syarat batas sebagai berikut [6]: Syarat awal : w(x,0) =w₀, ∂w(x, t) ∂t t=0 =w.₀ (3.13) Syarat batas :

1. ujung link yang tidak dapat bergerak bebas :

w(0, t) = ∂w(x, t) ∂x x=0 = 0 (3.14)

2. ujung link yang memiliki beban dan dapat bergerak bebas :

⎧ ⎨ ⎩ M_P∂2w_∂t(2x,t) −∂M_∂x(x,t) x=l= 0 J_P∂3_∂x∂tw(x,t₂)+M(x, t) x=l = 0 (3.15)

denganM_P adalah masa beban dan J_P adalah inersia beban.

rumit untuk dipecahkan. Akan tetapi, dari sedikit metode yang digunakan untuk memecahkan masalah tersebut ada dua buah metode untuk mendekati solusi PDP ini. Metode tersebut adalah metode transformasi Laplace yang akan menghasilkan solusi dalam bentuk integral, dan metode ekspansi fungsi eigen.

Pada kesempatan ini akan digunakan metode ekspansi fungsi-eigen untuk mendekati solusi PDP pada persamaan (3.12). Misalkan solusi dari PDP tersebut berbentuk [6] w(x, t) = ∞ n=1 W_n(x)δ_n(t) = ∞ n=1 1−cos (2n−1)πx 2l δ_n(t) (3.16) yaitu hasil kali dari fungsi yang memuat x saja dan fungsi yang memuat t saja. Dengan mensubstitusikan persamaan (3.16) kedalam persamaan (3.12) kita akan memperoleh persamaan diferensial biasa (PDB) sebagai berikut :

c₁d 4_δ n(t) dt4 + c₂(2n−1)2+c₃d 3_δ n(t) dt3 + c₄(2n−1)2+c₅d 2_δ n(t) dt2 + c₆(2n−1)4+c₇(2n−1)2+c₈dδn(t) dt +c9(2n−1) 4_δ n(t) = 0, (3.17) dengan c₁ = ρ 2_I kG, c2= K_VIρπ2 kGl2 , c3 = ρIγ kAG, c4 = ρIπ2 l2 1 + E kG+ K_Vγ ρkAG , c₅ =ρA, c₆ = KVIπ 4 l4 , c7 = EIγπ2 kAGl2, c8 =γ, c9 = EIπ4 l4 . (3.18)

Berdasarkan data numerik pada Lampiran A ternyata koefisien dari d4δn(t)

dt4 dan d3δn(t)

dt3

sangat kecil dibandingkan dengan suku-suku PDB yang mempunyai orde lebih kecil. Oleh karena itu, persamaan (3.17) dapat kita reduksi menjadi PDB orde dua :

cf₁δ.._n(t) +cf₂δ._n(t) +cf₃δ_n(t) = 0, (3.19) dengan

Persamaan (3.19) merupakan bentuk umum PDB orde dua dari sistem linear pegas dengan redaman. Dengan menggunakan syarat awal, δ_n(0) dan δ._n(0), solusi dari PDB ini adalah δ_n(t) =C_ne−ξωnt_{cos (ω} dt−ψn)δn(t) =Cne−ξωntcos (ωdt−ψn), (3.20) dengan ω_n= cf3 cf1 = c9(2n−1)4 c4(2n−1)2+c5, ζ_n = cf2 2cf1ωn = c6(2n−1)4+c7(2n−1)2+c8 2(c4(2n−1)2+c5)ωn , ωd=ωn 1−ζ_n2, C_n = . δn(0)+δn(0)ζnωn ωd 2 + [δ_n(0)]2, ψ_n = arctan . δn(0)+δn(0)ζnωn ωdδn(0) , n= 1,2,3....

Defleksi dari manipulator fleksibel satu link yang diperoleh dari persamaan Timo-shenko dengan redaman (persamaan (3.12)), akhirnya diformulasikan sebagai berikut:

w(x, t) = ∞ n=1 C_ne−ξωnt_{cos (ω} dt−ψn) 1−cos (2n−1)πx 2l . (3.21)

3.3

Defleksi Terhadap Koordinat

X

₀

−

Y

₀

Sekarang kita anggap acuan dari gerakan balok adalah koordinatX₀−Y₀. Sehingga defleksi balok yang terjadi adalah

y₀(x, t) =xθ(t) +w(x, t).

Persamaan defleksi dalam koordinat X₀−Y₀ sebenarnya hampir sama dengan den-gan persamaan defleksi balok pada koordinat X − Y hanya saja defleksi w(x, t) sekarang menjadi y₀(x, t). Oleh karena itu, persamaan diferensial pada persamaan

(3.10) dan (3.11) menjadi berbentuk K_VI∂ 3_{β(x, t)} ∂x2∂t +EI ∂2β(x, t) ∂x2 +kAG ∂y₀(x, t) ∂x −β(x, t) −ρI∂ 2_{β(x, t)} ∂t2 = 0, (3.22) kAG ∂2y₀(x, t) ∂x2 − ∂β(x, t) ∂x −ρA∂ 2_y 0(x, t) ∂t2 −γ ∂y₀(x, t) ∂t = 0. (3.23)

Perhatikan persamaan (3.23) diatas dapat dituliskan sebagai:

∂β(x, t) ∂x = ∂2y₀(x, t) ∂x2 − ρ kG ∂2y₀(x, t) ∂t2 − γ kAG ∂y₀(x, t) ∂t . (3.24)

Koefisien-koefisien ρ/kGdan γ/kAGsangatlah kecil jika dibandingkan dengan koe-fisien lainnya yaitu ρ/kG= 2,7126·10−6 dan γ/kAG= 11,3778·10−6 (lihat Lam-piran A). Oleh karena itu, koefisien-koefisien tersebut akan kita abaikan. Jadi, persamaan (3.24) menjadi

∂β(x, t)

∂x =

∂2y₀(x, t)

∂x2 . (3.25)

Untuk memperoleh ekspresi β(x, t) dalam w(x, t), substitusikan y₀(x, t) = xθ(t) +

w(x, t) ke dalam persamaan (3.23), kemudian integralkan, diperoleh

β(x, t) = _x 0 ∂2w(s, t) ∂s2 ds+g(t). (3.26) Karena di titik pusat balok tidak mengalami perubahan bentuk maka sudut lekukan di titik pusat adalah nol (β(0, t) = 0). Jadi,

β(x, t) = _x 0 ∂2w(s, t) ∂s2 ds. (3.27)

Persamaan (3.16) merupakan solusi dari PDP pada persamaan (3.12). Khususnya untuk n=1 persamaan (3.16) berbentuk

w(x, t) = 1−cosπx 2l δ(t). (3.28)

Persamaan (3.28) juga merupakan solusi dari PDP persamaan (3.12). Oleh karena itu, untuk menyederhanakan permasalahan vibrasi transversal w(x, t) berbentuk seperti ditunjukkan pada persamaan (3.28).

Sekarang substitusikan persamaan (3.28) pada persamaan (3.27) kemudian sele-saikan integral tersebut, diperoleh

β(x, t) = π 2lsin _πx 2l δ(t). (3.29)

Jadi, defleksi yang terjadi pada koordinat X₀−Y₀ adalah

y₀(x, t) =xθ(t) + 1−cosπx 2l δ(t). (3.30)

Untuk sudut geser σ(x, t) pada koordinat X₀−Y₀ menjadi berbentuk

σ(x, t) = ∂y0(t)

∂x −β(x, t) =θ(t). (3.31)

Apabila kita tidak mengabaikan koefisien-koefisien yang cukup kecil pada persamaan (3.24) maka kita tidak akan memperoleh sudut shearσ(x, t) tepat sama denganθ(t).

3.4

Energi Kinetik dan Energi Potensial Balok

Energi kinetik dan energi potensial dari sebuah link fleksibel yang disebabkan oleh internal bending moment dan gaya geser adalah [6]

T = 1 2 _l 0 ρA ∂y₀(x, t) ∂t ₂ dx+ 1 2 _l 0 ρI ∂β(x, t) ∂t ₂ dx+1 2Jh ˙ θ(t) 2 +1 2JP ˙ θ(t) + ∂ 2_{w(x, t)} ∂x∂t x=l ₂ + 1 2MP ∂y₀(x, t) ∂t x=l ₂ , (3.32) U = 1 2 _l 0 EI ∂β(x, t) ∂x ₂ dx+1 2 _l 0 kAG[σ(x, t)]2dx. (3.33)

Sedangkan energi disipasi dissipated energy yang disebabkan oleh efek redaman da-pat dituliskan sebagai [6]

D= 1 2 _l 0 γ ∂y₀(x, t) ∂t 2 dx+ 1 2 _l 0 K_VI ∂3y₀(x, t) ∂x2∂t dx. (3.34)

Substitusikan persamaan (3.28), (3.29) dan (3.30) ke dalam ekspresi energi pada persamaan (3.32), (3.33) dan (3.34), diperoleh ekspresi energi sebagai berikut:

T = 1 2 _l 0 ρA xθ˙(t) + 1−cos _πx 2l ˙ δ(t) ₂ dx + 1 2 _l 0 ρI _π 2lsin _πx 2l ˙ δ(t) ₂ dx+ 1 2Jh ˙ θ(t) ₂ + 1 2JP ˙ θ(t) + π 2l ˙ δ(t) ₂ + 1 2MP lθ˙(t) + ˙δ(t) ₂ , (3.35) U = 1 2 _l 0 EI _π 2l 4 cos2 _πx 2l δ2(t)dx+1 2 _l 0 kAG[θ(t)]2dx, (3.36) D = 1 2 _l 0 γ xθ˙(t) + 1−cos _πx 2l ˙ δ(t) ₂ dx + 1 2 _l 0 K_VI _π 2l ₂ cos _πx 2l ˙ δ(t) . (3.37)

3.5

Persamaan Ruang Keadaan Gerak Balok

Kita akan menggunakan persamaan gerak Lagrange untuk menurunkan persamaan dinamik dari link fleksibel, [2]

d dt ∂L ∂q˙_i − ∂L ∂q_i + ∂D ∂q˙_i =Fi, i= 0,1,2, ... (3.38) dengan L = T −U disebut Lagrangian dan F_i adalah gaya luar yang berkaitan dengan koordinat diperumumq_i.

Kita misalkan q₀ = θ(t) yaitu pergeseran rotasional dari link dan q₁ = δ(t) yaitu pergeseran transversal pada ujung link (x = l).

Misalkan τ adalah torsi yang bekerja pada koordinat pertama (F₁ =τ), sedangkan pada koordinat kedua tidak ada gaya luar yang bekerja (F₂ = 0). Selanjutnya kita

cari suku-suku untuk d

dt ∂∂Lq˙i ,

∂L ∂qi, dan

∂D

∂q˙i (lihat Lampiran B), maka berdasarkan persamaan gerak Lagrange diperoleh persamaan dinamik untuk link fleksibel sebagai berikut: _l 0 ρAx xθ¨+ 1−cos _πx 2l ¨ δ dx+J_hθ¨+J_P ¨ θ+ π 2l ¨ δ +M_Pl lθ¨+ ¨δ +kAGlθ+ _l 0 γx xθ˙+ 1−cos _πx 2l ˙ δ dx=τ, (3.39) _l 0 ρA 1−cos _πx 2l x ¨ θ+ 1−cos _πx 2l ¨ δ dx + _l 0 ρI _π 2l ₂ sin2 _πx 2l ¨ δ dx+J_P ¨ θ+ π 2l ¨ δ _π 2l +MP lθ¨+ ¨δ + _l 0 EI _π 2l ₄ cos2 _πx 2l δdx + _l 0 γ 1−cos _πx 2l x ˙ θ+ 1−cos _πx 2l ˙ δ dx + _l 0 K_VI _π 2l ₄ cos2 _πx 2l ˙ δdx= 0. (3.40)

Dua persamaan dinamik di atas dapat disederhanakan menjadi berbentuk:

M ⎡ ⎣ θ¨ ¨ δ ⎤ ⎦+Q ⎡ ⎣ θ˙ ˙ δ ⎤ ⎦+H ⎡ ⎣ θ δ ⎤ ⎦= ⎡ ⎣ τ 0 ⎤ ⎦, (3.41)

denganM ∈R2×2 disebut matriks massa, Q∈ R2×2 disebut matriks redaman, dan

H ∈R2×2 disebut matriks kekakuan (stiffness). Elemen-elemen dari matriks M, Q, dan H dapat dilihat pada Lampiran B.

Persamaan ruang keadaan dari link fleksibel dapat dengan mudah dibentuk dari persamaan dinamik di atas. Kita misalkan x₁(t) = θ(t), x₂(t) = δ(t), x₃(t) = ˙θ(t), dan x₄(t) = ˙δ(t) maka persamaan (3.41) menjadi berbentuk:

M ⎡ ⎣ x˙3(t) ˙ x₄(t) ⎤ ⎦+Q ⎡ ⎣ x3(t) x₄(t) ⎤ ⎦+H ⎡ ⎣ x1(t) x₂(t) ⎤ ⎦= ⎡ ⎣ τ 0 ⎤ ⎦. (3.42)

Persamaan terakhir ini dapat dituliskan sebagai ⎡ ⎣ x˙3 ˙ x₄ ⎤ ⎦=−M−1H ⎡ ⎣ x1 x₂ ⎤ ⎦₋M−1Q ⎡ ⎣ x3 x₄ ⎤ ⎦+M−1 ⎡ ⎣ τ 0, ⎤ ⎦ (3.43)

dengan syarat bahwa det (M)= 0. Tulis ulang persamaan (3.48) dalam bentuk: ˙ x=Ax+Bu, denganx= x₁ x₂ x₃ x₄ T ,u=τ dan A= ⎡ ⎣ 02 I2 −M−1H −M−1Q ⎤ ⎦, B = ⎡ ⎣ 02 M−1 ⎤ ⎦ ⎡ ⎣ 1 0 ⎤ ⎦.

Perilaku dari sistem dapat diamati dari keluarannya (output). Untuk sistem link fleksibel ini keluaran yang diinginkan adalah sudut rotasional, defleksi dan posisi dari ujunglink. Oleh karena itu, kita misalkan keluaran dari sistem berbentuk

y=C ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ x₁ x₂ x₃ x₄ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , dengan C = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦.

Asumsikan bahwa x(0) = 0, maka kita peroleh persamaan ruang keadaan untuk manipulator fleksibel sebagai berikut:

˙

x=Ax+Bu, x(0) = 0, (3.44)

y=Cx. (3.45)

Setelah persamaan ruang keadaan untuk manipulator fleksibel terbentuk maka langkah selanjutnya adalah merancang sistem kontrol. Sistem kontrol ini terdiri dari plant yaitu objek yang akan dikontrol dan pengontrol untuk plant tersebut. Pengontrol untuk sistem kontrol ini dicari dengan menggunakan kontrol suboptimal H_∞. Ek-sistensi dari pengontrol suboptimal ini telah ditunjukkan pada Teorema 2.1.