Tentukan invers transformasi dari hasil kali kedua fungsi dalam kawasan frekuensi berikut :

(1)

Tentukan invers transformasi dari hasil kali kedua fungsi dalam kawasan frekuensi berikut : F1(s) = s 1 dan F2(s) = 1 s 1 + Peny:

Invers transformasi Laplace masing-masing fungsi tersebut tentu saja adalah f1(t) = u(t) dan f2(t) = e-t u(t)

dengan menggunakan integral konvolusi yang diberikan oleh persamaan, diperoleh : f(t) = f1(t) * f2(t) =

³

−τ −τ τ t 0 d e ) t ( u =

³

−τ τ=− −τ t 0 0 t e d e = -e-t – (-e-0) = -e-t – 1 = 1 - e-t

6.4 Perluasan Pecahan Parsial

Jika : F(s) = _ni r 1 i i m 0 i i i ) p s ( s b

∏

¦

= = +

→ ni = akar-akar yang sama (6.8)

Perluasan pecahan parsial dari fungsi rasional F(s) adalah : F(s) = bn +

¦¦

= = + r 1 i ni 1 k k i ik ) p s ( c (6.9) Dimana bn = 0 kecuali m = n

Koefisien-koefisien cik diberikan oleh :

cik =

[

]

)

berulang akar akar i ni i k ni k ni i p s ) s ( F ) p s ( ds d )! k n ( 1 − − − − = + − (6.10)

(2)

F(s) = bn +

¦

= + n 1 i i 1 i p s C dan ci1 =

(

s+pi)F(s)

]

s=−pi (6.11) Contoh :

Selidiki fungsi rasional F(s) =

) 2 )( 1 ( 2 2 2 3 2 2 2 2 2 + + + + = + + + + s s s s s s s s

Sehingga perluasan pecahan parsial : F(s) = b2 + ) 2 s ( c ) 1 s ( c₁₁ ₂₁ + + +

Koefisien pembilang dan penyebut (s2) adalah = 1, m = n Koefisien-koefisien c11 dan c21 adalah :

c11 = (s + 1) s 1 ) 2 s )( 1 s ( 2 s 2 s2 − = » ¼ º « ¬ ª + + + + = 1 2 2 1 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 ₋ ₊ = + − + − + − = 1 c21 = (s + 2) s 2 ) 2 s )( 1 s ( 2 s 2 s2 − = » ¼ º « ¬ ª + + + + = 1 2 4 4 1 ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 − + − = + − + − + − = -2 Sehingga : F(s) = 1 + 2 s 2 1 s 1 + − +

6.5 Penerapan Transformasi Laplace Untuk Penyelesaian Persamaan Diferensial Koefisien Linear

Dua golongan persamaan umum :

¦

= = n 0 i i i i x dt y d a , dimana y = keluaran x = masukan ai = koefisien

(3)

Sehingga :

Syarat awal untuk persamaan di atas : 1 n ,...., 1 , 0 k , yo dt y d _k t k k 1 0− ≡ = − =

dimana yok merupakan tetapan-tetapan.

Transformasi Laplace dari persamaan di atas diberikan oleh :

¦

= − = − − » ¼ º « ¬ ª ¸ ¹ · ¨ © § − n 0 i 1 i 0 k k k 1 p i i s Y(s) s yo a = x(s)

¦

= − = − − + = n 0 i 1 i 0 k k k 1 i i i.s Y(s) X(s) s yo a

Transformasi Laplace = Y(s) =

bebas tanggapan i i 1 i 0 k k k 1 i terpaksa tanggapan 0 i i i a .s yo . s s . a ) s ( x » » » » ¼ º « « « « ¬ ª + » » » ¼ º « « « ¬ ª

¦

= = − − =

Sehingga jawab waktu y(t) dari persamaan tersebut adalah :

y(t ) = » » » » ¼ º « « « « ¬ ª α + » » » » ¼ º « « « « ¬ ª α

¦

¦¦

¦

= = − = − − − = − n 0 i i i n 0 i 1 p 0 k k k 1 i i 1 n 0 i i i 1 s a yo s a s a ) s ( x Contoh: 1. dt dx y dt dy dt y d 2 2 = + + / _» ¼ º « ¬ ª 2 2 dt y d

= s2 Y(s) – syo – y(0+) = s2 Y(s)

/ »¼ º «¬ ª dt dy

= s Y(s) – y(0) = s Y(s)

/ »¼ º «¬ ª dt dx = s X(s) – x(0) = s X(s) – x(0) / »¼ º «¬ ª = » ¼ º « ¬ ª + + dt dx L y dt dy dt y d 2 2

s2 Y(s) + s Y(s) + Y(s) = s X(s) – x(0) Y(s) (s2 + 2 + 1) = s X(s) – x(0)

(4)

Y(s) = 1 ) 0 ( ) ( 2 ₊ ₊ − s s x s sX bebas Tanggapan 2 terpaksa Tanggapan 2 Keluaran 1 ) 0 ( ) ( 1 Y(s) + + − + + = s s x s X s s s Contoh :

Untuk jaringan RC dibawah :

a. Buatlah persamaan diferensial yang menghubungkan tegangan keluaran y dan tegangan masukan x

b. Misalkan tegangan awal yang melintasi kapasitor C besarnya VC0 = 1 Volt

dengan polaritas yang terlihat, dan misalkan x = 2e-t. dengan menggunakan teknik transformasi Laplace, carilah y sebagai fungsi waktu y(t).

Penyelesaian : a. Dari HTK :

³

idt+R.i+V −α=0 C 1 0 C y = R . i = 1 . i = i x =

³

idt+i+V_C₀ x = VC0 +

³

y.dt+i x = VC0 +

³

y.dt+y dt dy y dt dx + =

b. Transformasi Laplace dari pers pada bagian a + - _i Teg. Masukan x C=1 + - R=1 + Y = keluaran -

(5)

dt dy y dt dx + =

³

= = b 0 2 ₀ y 2 1 dt sY(s) – y(0+) + Y(s) = sX(s) – x(0+) x = 2e-t → X(s) = α (2e-t)= 1 s 2 + dan x(0+) 2e 2 0 t Lim _t = → −

sehingga untuk mencari y(0+), baas-batasnya diambil di kedua sisi dari persamaan tegangan semula :

X(0+) = » ¼ º « ¬ ª + + → = →

³

+ t C ydt y V t Lim t x t Lim 0 0 (0 ) 0 ) ( 0 X(0+) = VC0 + y(0+) Jadi y(0+) = X(0+) – VC0 = 2 – 1 = 1 Sehingga :

Kemudian transfer fungsi y(t) adalah s Y(s) – y(0+) + Y(s) = s X(s) – X(0+) (s + 1) –1 +Y(s) = s X(s) – X(0+) Y(s) = 1 s 1 1 s 2 ) s ( X 1 s S + + + − + = 1 s 2 1 s 2 . 1 s S + − ¸ ¹ · ¨ © § + + = 1 s 1 ) 1 s ( s 2 parsial Pecahan 2 − ₊ + Yib = ) 1 s ( C ) 1 s ( C ) 1 s ( s 2 ₁₂ 2 11 2 + ₊ + = + C11 = 1 s ) 1 s ( s 2 ) 1 s ( 2 ₂ − = » ¼ º « ¬ ª + + = -2 C12 = 1 s ) 1 s ( s 2 . ) 1 s ( ds d 2 2 − = » ¼ º « ¬ ª + + = 2 Sehingga :

(6)

Y(s) = b + 1 s 1 1 s 2 ) 1 s ( 2 2 + ₊ − ₊ + − = 1 s 1 ) 1 s ( 2 2 + ₊ + − Y(t) = -2 »¼ º «¬ ª + + » ¼ º « ¬ ª + − − 1 1 ) 1 ( 1 1 2 1 s L s L Y(t) = -2te-t + e-t

Jadi persamaan fungsi waktu dari rangkaian diatas adalah : Y(t) = -2te-t + e-t

(7)

2. Untuk jaringan RC dalam skema di bawah

a. Carilah watak sistem atau sebuah persamaan diferensial yang menghubungkan tegangan keluaran y dan tegangan masukan x.

b. Misalkan tegangan awal yang melintasi kapasitor C besarnya Vc0 = 1 volt

dengan polaritas yang terlihat, dan misalkan x = 2e-t. Dengan menggunakan teknik transformasi Laplace.

Peny: a. Dari HTK :

³

idt+R.i+V_C₀ C 1 = x x = VC0 +

³

idt+R.i C 1 x = VC0 +

³

idt+R.i x = VC0 +

³

ydt+y karena y = R. i = i

Dengan mendiferensialkan kedua sisi :

dt dx y dt dy = +

b. Transformasi Laplace dari P.D yang didapatkan dalam a) adalah

dt dx y dt dy = + sY(s) – y(0+) + Y(s) = sX(s) – x(0+) dimana X(s) =/ 1 2 ) 2 ( 2 + = − s e t dan x(0+) = 1 s 2 0 t Lim + → = 2 + - _i Teg. Masukan x C=1 + - R=1 t y y

(8)

Untuk mencari y(0+), batas-batasnya diambil di kedua sisi dari persamaan tegangan semula : X(0+) = » ¼ º « ¬ ª + + →

³

t 0 0 C ydt y(t) V 0 t Lim = VC0 + y(0+) Sehingga : Y(0+) = x(0+) – VC0 = 2 – 1 = 1

Kemudian transfer fungsi y(t) adalah

s Y(s) – y(0+) + Y(s) = s X(s) – X(0+) (s + 1) Y(s) = s X(s) – X(0+) + y(0+) Y(s) = 1 s 1 1 s ) 0 ( X ) s ( X 1 s S + + + − + + = 1 s 1 1 s 2 1 s 2 . 1 s S + + + − ¸ ¹ · ¨ © § + + = ) 1 s ( ) 1 s ( 1 s 2 s 1 s 1 ) 1 s ( s 2 2 2 2 + + − − = + − +

Gunakan pecahan parsial Y(s) = b + 1 s C ) 1 s ( C ) 1 s ( C ₁₂ ₂₁ 2 11 + + + + + = 0 1 2 1+ − = 0

(9)

Jawaban :

4.40. Dengan menggunakan integral konvolusi carilah invers transformasi Laplace dari : ) 2 s ( s 1 + Peny : »¼ º «¬ ª + α = »¼ º «¬ ª α− − 2 s 1 dan ) t ( u s 1 1 1 = e-2t u(t), maka

³

+ τ − − τ − = » ¼ º « ¬ ª ¸ ¹ · ¨ © § + ¸ ¹ · ¨ © § α t 0 2 1 _u₍_t ₎_e 2 s 1 s 1 =

³

+ − τ − − = τ t 0 t 2 2 ) e 1 ( 2 1 d e

4.41. Tentukan teorema harga akhir dari fungsi f(t) yang ditransformasi Laplacenya adalah : F(s) = ₂ ) 5 s )( 3 s ( s ) 1 s ( 2 + + +

Dari teorema harga akhir

2 ) 5 s )( 3 s ( s ) 1 s ( s 2 0 s Lim ) s ( sF 0 s Lim + + + → = → = ) 25 )( 3 ( 2 = 75 2

4.4.3. Carilah perluasan pecahan parsial dari fungsi F(s) = ₃ ) 2 s )( 4 s ( 10 + + Peny:

Perluasan pecahan parsial F(s) adalah : F(s) = b4 + ) 4 s ( C ) 2 s ( C ) 2 s ( C ) 2 s ( C ₁₃ ₁₄ 2 12 3 11 + + + + + + + b4 = 0 C11 = (s + 2)3 . F(s) 2 s=−

(10)

= (s + 2)3 . 2 s ) 2 s )( 4 s ( 10 3» ₌₋ ¼ º « ¬ ª + + = 2 10 4 ) 2 ( 10 4 s 10 = + − = + = 5 C12 = 2 s ) 2 s )( 4 s ( 10 ) 2 s ( ds d 3 3 − = ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § » ¼ º « ¬ ª + + + = 2 s 4 s 10 ds d − = »¼ º «¬ ª + = 2 5 4 10 4 ) 2 ( 10 4 s 10 − = − = + − = + C21 = 2 s ) 2 s )( 4 s ( 10 ) 2 s ( ds d )! 1 3 ( 1 3 3 2 2 − = ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § » ¼ º « ¬ ª + + + − = »¼ º «¬ ª +4 s 10 ds d 2 1 = » ¼ º « ¬ ª » ¼ º « ¬ ª ¸ ¹ · ¨ © § +4 s 10 ds d ds d 2 1 = » ¼ º « ¬ ª ¸¸ ¹ · ¨¨ © § + − 2 ) 4 s ( 10 ds d 2 1 = _¸¸ ¹ · ¨¨ © § + + − − 2 2 ) ) 4 s (( ) 8 25 )( 10 ( 0 2 1 = _¸¸ ¹ · ¨¨ © § + − − − 2 2 ) ) 4 s (( ) 80 205 ( 2 1 = 2 s ) ) 4 s (( 80 205 2 1 2 2 ¸¸ ₌₋ ¹ · ¨¨ © § + + = 4 5 32 40 16 40 2 1 ) ) 4 2 (( 80 ) 2 ( 20 2 1 2 2 ¸_¹= = · ¨ © § = ¸¸ ¹ · ¨¨ © § + − + − C14 =

(

)

4 s ) 2 s )( 4 s ( 10 4 5 ₃ − = » ¼ º « ¬ ª + + + = 4 s ) 2 4 ( 10 3 ₌₋ + − = 4 5 8 10 ) 2 4 ( 10 3 − = − = + −

(11)

Jadi F(s) = ) 4 s ( 4 5 ) 2 s ( 4 5 ) 2 s ( 2 5 ) 2 s ( 5 2 3 + ₊ − ₊ + − + f(t) = st2e-2t – 2 s e-2t + 4 s e-2t – 2 s e-4t

4.46. Dengan menggunakan teknik transformasi Laplace, carilah tanggapan terpaksa dari persamaan diferensial

x 2 dt dx 3 y 4 dt dy 4 dt y d 2 2 + = + + , dimana x(t) = e-3t, t > 0 ) s ( Y s ) 0 ( y sYo ) s ( Y s dt y d 2 2 2 2 = − − = » ¼ º « ¬ ª α + x(t) = e-3t ) s ( sY ) 0 ( y ) s ( sY dt dy = − = »¼ º «¬ ª α + x(s) =

[ ]

3 s 1 e 3t + = α − 1 ) s ( sX ) 0 ( X ) s ( sX dt dx − = − = »¼ º «¬ ª α + dan x(0+) = 0 t Lim → = e -3t = 1 Sehingga :

s2 Y(s) + 4s Y(s) + 4 Y(s) = 3 (sX(s) –1) + 2 X(s) Y(s) (s2 + 4s + 4) = 35 X(s) – 3 + 2 X(s) Y(s) (s2 + 4s + 4) = 35 X(s) + 2 X(s) – 3 Y(s) = ) 4 s 4 s ( 3 ) s ( X 2 ) s ( sX 3 2 + + − + = 4 s 4 s 3 4 s 4 s ) s ( X 2 ) s ( sX 3 2 2₊ ₊ − ₊ ₊ + = bebas tanggapan 2 terpaksa tanggapan 2 ) 2 s ( 3 ) 2 s ( ) s ( X ) 2 s 3 ( + − + + Yb = 3 s 1 ) s ( X , ) 2 s ( ) s ( X ) 2 s 3 ( 2 = ₊ + + =

(

)

(12)

Penyelesaiannya menggunakan pecahan parsial : Yb = b3 + ) 3 s ( C ) 2 s ( C ) 2 s ( C ₁₂ ₃₁ 2 11 + + + + + b3 = 0 C11 = (s+2)2 2 s ) 3 s ( ) 2 s ( 2 s 3 2 ¸¸ ₌₋ ¹ · ¨¨ © § + + + = 1 2 6 ) 3 2 ( ) 2 ) 2 ( 3 ( − + = + − + − = -4 C12 = 2 s ) 3 s ( ) 2 s ( 2 s 3 ) 2 s ( ds d 2 2 − = ¸¸ ¹ · ¨¨ © § + + + + = 2 s 3 s ) 2 s 3 ds d − = »¼ º «¬ ª + + = ₂ ) 3 s ( ) 2 s 3 ( ) 3 s ( 3 + + − + = ₂ ₂ ₂ ) 3 2 ( 7 2 s ) 3 s ( 7 ) 3 s ( 2 s 3 9 s 3 + − = − = + = + − − + = 7 C31 = 3 s ) 3 s ( ) 2 s ( 2 s 3 ) 3 s ( ₂ − = ¸¸ ¹ · ¨¨ © § + + + + = 1 7 ) 2 3 ( 2 ) 3 ( 3 ) 2 s ( 2 s 3 2 2 − = + − + − = + + = -7 Sehingga : Yb = 0 – 3 s 7 2 s 7 ) 2 s ( 4 2 + ₊ − ₊ + = 3 s 7 ) 2 s ( 4 2 s 7 2 − ₊ + − + karena :

³

− »¼ º «¬ ª + 1 2 s 1 = e-2t

³

− » ¼ º « ¬ ª + 1 2 ) 2 s ( 1 = te-2t

(13)

³

− »¼ º «¬ ª + 1 3 s 1 = e-3t maka : y(t) = 7 »¼ º «¬ ª + α − » ¼ º « ¬ ª + α − »¼ º «¬ ª + α− − − 3 s 1 7 ) 2 s ( 1 4 2 s 1 1 2 1 3 y(t) = 7e-2t – 4te-2t – 7e-3t Contoh :

Untuk jaringan RC dibawah :

c. Buatlah persamaan diferensial yang menghubungkan tegangan keluaran y dan tegangan masukan x

d. Misalkan tegangan awal yang melintasi kapasitor C besarnya VC0 = 1 Volt

dengan polaritas yang terlihat, dan misalkan x = 2e-t. dengan menggunakan teknik transformasi Laplace, carilah y sebagai fungsi waktu y(t).

Penyelesaian : c. Dari HTK :

³

idt+R.i+V −α=0 C 1 0 C y = R . i = 1 . i = i x =

³

idt+i+V_C₀ x = VC0 +

³

y.dt+i x = VC0 +

³

y.dt+y dt dy y dt dx + = + - _i Teg. Masukan x C=1 + - R=1 + Y = keluaran -

(14)

d. Transformasi Laplace dari pers pada bagian a dt dy y dt dx + =

³

= = b 0 2 0 y 2 1 dt sY(s) – y(0+) + Y(s) = sX(s) – x(0+) x = 2e-t → X(s) = α (2e-t)= 1 s 2 + dan x(0+) 2e 2 0 t Lim _t = → −

sehingga untuk mencari y(0+), baas-batasnya diambil di kedua sisi dari persamaan tegangan semula :

X(0+) = » ¼ º « ¬ ª + + → = →

³

+ t 0 0 C ydt y(0 ) V 0 t Lim ) t ( x 0 t Lim X(0+) = VC0 + y(0+) Jadi y(0+) = X(0+) – VC0 = 2 – 1 = 1 Sehingga :

Kemudian transfer fungsi y(t) adalah s Y(s) – y(0+) + Y(s) = s X(s) – X(0+) (s + 1) –1 +Y(s) = s X(s) – X(0+) Y(s) = 1 s 1 1 s 2 ) s ( X 1 s S + + + − + = 1 s 2 1 s 2 . 1 s S + − ¸ ¹ · ¨ © § + + = 1 s 1 ) 1 s ( s 2 parsial Pecahan 2 − ₊ + Yib = ) 1 s ( C ) 1 s ( C ) 1 s ( s 2 ₁₂ 2 11 2 + ₊ + = + C11 = 1 s ) 1 s ( s 2 ) 1 s ( 2 ₂ − = » ¼ º « ¬ ª + + = -2 C12 = 1 s ) 1 s ( s 2 . ) 1 s ( ds d 2 2 − = » ¼ º « ¬ ª + + = 2

(15)

Sehingga : Y(s) = b + 1 s 1 1 s 2 ) 1 s ( 2 2 + ₊ − ₊ + − = 1 s 1 ) 1 s ( 2 2 + ₊ + − Y(t) = -2 »¼ º «¬ ª + α + » ¼ º « ¬ ª + α− − 1 s 1 ) 1 s ( 1 1 2 1 Y(t) = -2te-t + e-t

Jadi persamaan fungsi waktu dari rangkaian diatas adalah : Y(t) = -2te-t + e-t

Soal :

1. Tentukan y(t) dari persamaan transformasi Laplace di bawah ini : X(s) = ) 3 s ( ) 1 s ( ) 2 s ( 10 2 + + + 2. L + +

³

idt C 1 Ri dt di = x(t), y(t) =

³

idt C 1 L Ri y dt di + + = x(t) L dy dt di R dt di 2 2 + + + -L=1 R=2 V(t) C=1 it y X = 2e-2t

(16)