PENDEKATAN MODEL FUZZY GOAL PROGRAMMING DALAM PENETAPAN PEMBOBOTAN PRIORITAS DARI METODE ANALYTICAL HIERARCHY PROCESS (AHP) SKRIPSI

(1)

Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009.

PENDEKATAN MODEL FUZZY GOAL PROGRAMMING

DALAM PENETAPAN PEMBOBOTAN PRIORITAS

DARI METODE ANALYTICAL HIERARCHY PROCESS (AHP)

SKRIPSI

RIDHA VERA HARTATI

060823024

PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2009

(2)

PENDEKATAN MODEL FUZZY GOAL PROGRAMMING

DALAM PENETAPAN PEMBOBOTAN PRIORITAS

DARI METODE ANALYTICAL HIERARCHY PROCESS (AHP)

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

RIDHA VERA HARTATI

060823024

PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2009

(3)

PERSETUJUAN

Judul : PENDEKATAN MODEL FUZZY GOAL

PROGRAMMING DALAM PENETAPAN PEMBOBOTAN PRIORITAS DARI METODE ANALYTICAL HIERARCHY PROCESS (AHP)

Kategori : SKRIPSI

Nama : RIDHA VERA HARTATI

Nomor Induk Mahasiswa : 060823024

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di

Medan, Februari 2009 Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs.Sawaluddin, M.IT Drs. Marwan Harahap, M.Eng NIP.132 206 398 NIP.130 422 437

Diketahui oleh :

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Dr. Saib Suwilo,M.Sc NIP. 131 796 149

(4)

PERNYATAAN

PENDEKATAN MODEL FUZZY GOAL PROGRAMMING DALAM PENETAPAN PEMBOBOTAN PRIORITAS DARI METODE ANALYTICAL

HIERARCHY PROCESS (AHP)

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Februari 2009

RIDHA VERA HARTATI 060823024

(5)

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT, dengan limpahan dan karunia-Nya kertas kajian ini berhasil diselesaikan dalam waktu yang telah ditetapkan.

Ucapan terima kasih saya sampaikan kepada Drs. Marwan Harahap, M.Eng dan Drs.Sawaluddin, M.IT selaku pembimbing pada penyelesaian skripsi ini yang telah memberikan panduan dan penuh kepercayaan kepada saya untuk menyempurnakan kajian ini. Panduan ringkas,padat dan professional telah diberikan kepada saya agar penulis dapat menyelesaikan tugas ini. Ucapan terima kasih juga ditujukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU Dr. Saib Suwilo, M.Sc. dan Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si, Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, semua dosen pada Departemen Matematika FMIPA USU, pegawai di FMIPA USU, dan rekan-rekan kuliah. Akhirnya, tidak terlupakan kepada kedua orang tua dan semua ahli keluarga dan rekan terdekat saya yang selama ini memberikan bantuan dan dorongan yang diperlukan. Semoga Allah SWT memberikan balasan yang layak.

(6)

Abstrak

Metode Proses Analisis Hirarkis (Analytical Hierarchy Process-AHP) adalah alat bantu sistem pendukung keputusan yang dikenal luas untuk penyelesaian problem pengambilan keputusan multikriteria. Metode ini pada prinsipnya mensintesa perbandingan “judgment” pengambil keputusan yang berpasangan pada setiap level hirarki keputusan. Sehingga masih diperlukan penetapan bobot prioritas relatif setiap elemen keputusan. Bobot ini merepresentasikan intensitas preferensi atas suatu elemen keputusan. Untuk mendapatkan estimasi pembobotannya,biasanya digunakan metode eigenvector dari Saaty.

Telah banyak pendekatan lain dikembangkan dari metode “least-square”sampai linear programming. Tetapi pendekatan tersebut umumnya belum mempertimbangkan ketidakpastian yang bersifat fuzzy mengingat proses penetapan preferensi pada setiap elemen hirarki dari metode AHP ini pada hakekatnya selalu mengandung faktor “imprecise” dan “ambiguity” dari pengambil keputusan.

(7)

Abstract

The Analytical Hierarchy Process (AHP) is well known as one of the most powerful techniques for decision aid in modeling of multicriteria problems. The AHP is generally used to derive priorities based on judgment of the decision maker that is obtained by means of pairwise comparison. The most common technique for estimating relative priority weights is originally proposed by Saaty called the eigen vector method. Recently, a variety of alternative approaches ranging from the least square method to linear programming have been developed. However, the weights to be assigned to the decision elements on each hierarchy in the AHP method are imprecise in nature.

(8)

DAFTAR ISI

Halaman Persetujuan ii Pernyataan iii Penghargaan iv Abstrak v Abstact vi

Daftar Isi vii

Daftar Tabel ix Daftar Gambar x Bab 1. Pendahuluan 1 1.1 Latar Belakang 1 1.2 Perumusan Masalah 3 1.3 Tujuan Penelitian 3 1.4 Kontribusi penelitian 3 1.5 Tinjauan Pustaka 3 1.6 Metode Penelitian 5 1.7 Jadwal Penelitian 6

Bab 2. Landasan Teori 7

2.1 Analytical Hirarchy Process (AHP) 7

2.1.1 Pengertian AHP 7

2.1.2 Prinsip Dasar AHP 8

2.1.3 Penghitungan Bobot Elemen dalam Metode AHP 11

2.2 Model Goal Programming 15

2.2.1 Konsep Dasar dan Unsur-unsur Goal Programming 16 2.2.2 Unsur-unsur Goal Programming 17 2.2.3 Model Keputusan Goal Programming 22 2.2.4 Formulasi Model Keputusan Goal Programming 23 2.3 Formulasi Model Keputusan Fuzzy Goal Programming 24 2.3.1 Model Fuzzy Goal Programming 24

(9)

2.3.2 Fungsi Keanggotaan Fuzzy 25 2.3.3 Model Fuzzy Goal Programming untuk estimasi

penetapan prioritas 26 2.4 Pengenalan Program QM for Windows 27

Bab 3. Pembahasan 31

3.1 Penggunaan Metode AHP dalam perhitungan matematis 31 3.1.1 Menentukan bobot pada tiap elemen 32 3.1.2 Mencari nilai bobot untuk masing-masing elemen 33 3.2 Penyelesaian Pembobotan dengan AHP 34 3.3 Penyelesaian Pembobotan dengan Goal Programming 36 3.4 Penyelesaian Pembobotan dengan Fuzzy Goal Programming 40

Bab 4. Kesimpulan dan Saran 47

4.1 Kesimpulan 47

4.2 Saran 48

(10)

DAFTAR TABEL

Halaman Tabel 2. 1 Skala Penilaian Perbandingan Berpasangan 10 Tabel 2 .2 Matriks Perbandingan Berpasangan 11 Tabel 2. 3 Matriks Perbandingan Berpasangan dengan nilai intensitas 12

Tabel 2. 4 Indeks Random (RI) 14

Tabel 2. 5 Jenis-jenis Kendala Tujuan 18 Tabel 2. 6 Tabel Awal Goal Programming 21 Tabel 3.1 Contoh Matriks Perbandingan Berkebalikan 32 Tabel 3. 2 Penyelesaian Matriks Perbandingan Berkebalikan 32 Tabel 3. 3 Matriks Perbandingan Berkebalikan 34 Tabel 3. 4 Penyelesaian Matrike Perbandingan Berkebalikan 34 Tabel 3. 5 Matriks Penetapan Bobot Pada Tiap Elemen 34 Tabel 3. 6 Tabel Awal Goal Programming 38 Tabel 3. 7 Penyelesaian Goal Programming 38

Tabel 3. 8 Hasil Akhir 38

Tabel 3. 9 Tabel Awal Fuzzy Goal Programming 44 Tabel 3.10 Penyelesaian Fuzzy Goal Programming 44

(11)

DAFTAR GAMBAR

Halaman Gambar 2.1 Tampilan sementara (splash) dari program QM for Windows 28 Gambar 2.2 Tampilan Awal Program QM for Windows 28 Gambar 2.3 Pilihan modul yang tersedia pada program QM for Windows 29 Gambar 2.4 Baris menu (menu bar) sebelum dipilih modul tertentu 29 Gambar 2.5 Baris menu (menu bar) sesudah dipilih model tertentu 29 Gambar 2.6 Baris tool (toolbar) sebelum dipilih modul tertentu 29 Gambar 2.7 Baris tool (toolbar) sesudah dipilih modul tertentu 30

Gambar 2.8 Ruang Instruksi 30

Gambar 2.9 Baris utilitas (utility Bar – secara default

(12)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Proses analisis kebijakan membutuhkan adanya kriteria sebelum memutuskan pilihan dari berbagai alternatif yang ada. Kriteria menunjukkan definisi masalah dalam bentuk yang konkret dan kadang-kadang dianggap sebagai sasaran yang akan dicapai. Setiap orang, tidak harus pimpinan dapat membuat keputusan akan tetapi dampak keputusan yang ditimbulkan berbeda-beda. Pada umumnya suatu keputusan dibuat dalam rangka untuk memecahkan permasalahan atau persoalan ( problem solving), setiap keputusan yang dibuat pasti ada tujuan yang akan dicapai. Adapun tujuan dari keputusan yang dibuat adalah untuk memuaskan atau memenuhi target atau paling tidak mendekati target yang telah ditentukan menurut skala prioritasnya masing-masing.

Dalam keadaan dimana seorang pengambil keputusan dihadapkan kepada suatu persoalan yang mengandung beberapa tujuan di dalamnya, maka program linier tidak dapat membantunya untuk memberikan pertimbangan yang rasional. Karena program linier hanya terbatas pada analisis tujuan tunggal.Oleh karena itu, maka diperlukan suatu bantuan program tujuan ganda yang dikenal sebagai goal programming atau multiple objective programming yang merupakan modifikasi atau variasi khusus dari program linier selain itu diperlukan metode analytical hierarchy process(AHP) untuk menyelesaikan problem pengambilan keputusan multikriteria (multicriteria decision making).

(13)

AHP dikembangkan oleh Saaty pada pertengahan tahun 1970 (Saaty 1977). Pengembangannya mendasarkan pada kemampuan judgment (pertimbangan)manusia untuk mengkonstruksi persepsi secara hirarkis dari suatu persoalan keputusan multikriteria, juga untuk membuat perbandingan baik yang bersifat tangible (terukur) atau intangible(tak terukur) dari suatu kriteria, atribut atau sifat dari masing-masing elemen keputusan. Untuk bisa memperoleh penetapan bobot prioritas relatif dari setiap elemen keputusan, pendekatan AHP perlu mensintesis judgment pada setiap level hirarki keputusan. Kemudian pada setiap level tersebut, keseluruhan elemen keputusan dikonversikan menjadi keputusan tunggal dimana terjadi hubungan ketergantungan antar elemennya. Karenanya penetapan estimasi bobot prioritas relatif elemen keputusan pada setiap level hirarki menjadi langkah yang terpenting dan menentukan dalam metode AHP.

Umumnya saat pengambil keputusan menetapkan pembobotan relatif antar elemen keputusan dalam metode AHP dilakukan dalam evaluasi lingkungan keputusan yang samar dan subyektif. Misalnya saat harus menetapkan intensitas pembobotan kualitatif kriteria seperti ”sama” penting, ”cukup” penting, ”lebih” penting dan ”sangat ” penting. Dalam kondisi seperti itu tampaknya diperlukan suatu model keputusan yang mempertimbangkan fuzzyness (ketidakpastian) untuk memungkinkan menampung faktor imprecise (tidak jelas) dalam proses penetapan prioritas kriteria.

Penggunaan goal programming sendiri untuk menyelesaikan problem ini memerlukan penetapan tingkat aspirasi subyektif untuk mencapai suatu goal. Karenanya model dalam penelitian ini menggunakan konsep fuzzy hanya pada penetapan tingkat pencapaian suatu goal yang menjadi aspirasi pengambil keputusan. Penetapan preferensi berdasarkan judgment manusia untuk memberikan pembobotan,

(14)

level aspirasi dan prioritas goal pada suatu elemen keputusan sangat berkaitan dengan konsep fuzzy.

Dalam situasi keputusan seperti itu, validitas pendekatan goal programming untuk estimasi pembobotan relatif pada metode AHP dapat ditingkatkan kualitasnya dengan mengembangkannya menjadi tingkat model fuzzy goal programming. Maka penulis berkeinginan untuk menguraikan penyelesaian model fuzzy goal programming dalam penetapan pembobotan prioritas dari metode AHP.

1.2 Perumusan Masalah

Dari latar belakang masalah di atas maka perumusan masalahnya yaitu : menguraikan penyelesaian untuk model fuzzy goal programming dalam penetapan pembobotan prioritas dari metode AHP dengan menggunakan software QM for Windows version 2.0.

1.3 Tujuan Penelitian

Bertujuan untuk menerapkan suatu konsep dalam penetapan bobot prioritas dari metode AHP kemudian mengembangkannya menjadi model goal programming dan fuzzy goal programming.

1.4 Kontribusi Penelitian

Mempermudah dalam penetapan bobot prioritas dengan model fuzzy goal programming. Bermanfaat bagi pengambil keputusan (decision maker) dalam pengambilan keputusan multikriteria (multicriteria decision making).

(15)

Metode AHP menjelaskan tentang pemodelan permasalahan secara bertingkat yang terdiri dari kriteria dan alternatif. [5]

Penggunaan metode AHP untuk menyelesaikan masalah multiobjektif dan multikriteria berdasarkan perbandingan preferensi dari setiap elemen dalam hirarki.[7]

Penggunaan metode AHP dalam menganalisa faktor-faktor yang mempengaruhi pemilihan moda ke kampus.[8] Ditinjau dari berbagai faktor, alternatif jalan kaki dari pondokan merupakan alternatif terbaik (33,2%). Sedangkan carpool (16%) sedikit lebih rendah daripada penggunaan mobil pribadi (18%). Angkutan kampus antar jemput justru lebih rendah daripada carpool (12,4%).

Analisis pemilihan mitra LSM dan optimasi budgeting dengan menggunakan metode AHP dan goal programming. [1] Hasil analisa dengan menggunakan metode AHP yang diintegrasikan dengan goal programming diperoleh suatu model keputusan multikriteria. Digunakan untuk menyelesaikan problema dan optimasi dalam memilih mitra yang paling baik untuk diajak bekerja sama.

Masalah keputusan multikriteria dengan tujuan-tujuan yang saling terbentur dan tidak dapat dibandingkan diselesaikan dengan model Goal Programming. [3]

Gambaran umum dan pengetahuan dasar yang praktis tentang berbagai model program linier dan variasinya. [4] Sebagai teknik-teknik riset operasi yang dapat digunakan dalam penelitian, pengembangan, dan perumusan perencanaan program serta proyek pembangunan yang dihadapi dalam proses pengambilan keputusan.

(16)

Teori himpunan fuzzy dan notasi fuzzy.[9] Misalkan suatu himpunan fuzzy F didalam semesta wacana U dikarakteristikkan dengan fungsi keanggotaan µ_F yang bernilai dalam interval [0,1] atau µ_F: U [0,1].

Himpunan fuzzy dan fuzzy mathematical programming. [2] Adapun model fuzzy linier programming untuk kasus maksimisasi yaitu cTx ≥~z, Ax≤~b x≥0. Dan untuk kasus minimisasi yaitu cTx≤~z, Ax ≥~b x≥0.

Pendekatan fuzzy AHP dan fuzzy MCDM untuk pengalokasian fasilitas. Fuzzy AHP diterapkan untuk mendefinisikan bobot kriteria keputusan dari setiap evaluator. Fuzzy MCDM diterapkan untuk mensintesa keputusan kolektif. [6]

Panduan Program Aplikasi dengan menggunakan Software QM for Windows versi 2.0 dalam menyelesaikan persoalan model goal programming. [10]

1.5 Metode Penelitian

Secara umum, penelitian dilakukan dengan beberapa tahapan, yaitu: 1. Penetapan pembobotan prioritas dengan metode AHP.

2. Menguraikan masalah estimasi pembobotan relatif pada AHP untuk suatu level hirarki yang dinyatakan dalam bentuk Goal Programming.

3. Pengembangan model Goal Programming untuk estimasi pembobotan prioritas relatif dari metode AHP menjadi model Fuzzy Goal Programming.

(17)

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Analytical Hierarchy Process (AHP)

Metode Analytical Hierarchy Process (AHP) merupakan salah satu metode pengambilan keputusan yang menggunakan faktor-faktor logika,instuisi, pengalaman,pengetahuan,emosi dan rasa untuk dioptimalisasikan dalam suatu proses yang sistematis. Metode AHP ini mulai dikembangkan oleh Thomas L. Saaty, seorang ahli matematika yang bekerja pada Universitas of Pittsburg di Amerika Serikat, pada awal tahun 1970-an.

Pada perkembangannya, AHP dapat memecahkan masalah kompleks atau tidak berkerangka dengan aspek atau kriteria yang cukup banyak. Kompleksitas ini disebabkan oleh struktur masalah yang belum jelas, ketidakpastian persepsi pengambilan keputusan, serta ketidakpastian terjadinya atau bahkan tidak ada sama sekali data statistik yang akurat. Adakalanya timbul masalah keputusan yang dirasakan dan diamati perlu diambil secepatnya, tetapi variasinya rumit sehingga datanya tidak mungkin dapat dicatat secara numerik, hanya secara kualitatif saja yang dapat diukur, yaitu berdasarkan persepsi, pengalaman, dan intuisi. Namun tidak menutup kemungkinan bahwa model-model lainnya ikut dipertimbangkan pada saat proses pengambilan keputusan dengan pendekatan AHP, khususnya dalam memahami para pengambil keputusan individual pada saat proses penerapan pendekatan ini.

(18)

AHP mempunyai landasan aksiomatik yang terdiri dari :

1. Resiprocal Comparison, yang mengandung arti bahwa matriks perbandingan berpasangan yang terbentuk harus bersifat berkebalikan. Misalnya A adalah k kali lebih penting daripada B maka B adalah 1/k kali lebih penting dari A.

2. Homogenity, yang mengandung arti kesamaan dalam melakukan perbandingan. Misalnya, tidak dimungkinkan membandingkan jeruk dengan bola tenis dalam hal rasa, akan tetapi lebih relevan jika membandingkan dalam hal berat.

3. Dependence, yang berarti setiap jenjang (level) mempunyai kaitan (complete hierarchy) walaupun mungkin saja terjadi hubungan yang tidak sempurna (incomplete hierarchy).

4. Expectation, yang artinya menonjolkan penilaian yang bersifat ekspektasi dan preferensi dari pengambilan keputusan. Penilaian dapat merupakan data kuantitatif maupun yang bersifat kualitatif.

2.1.1 Prinsip Dasar AHP

Dalam menyelesaikan persoalan dengan metode AHP ada beberapa prinsip dasar yang harus dipahami antara lain :

1. Decomposition

Pengertian decomposition adalah memecahkan atau membagi problema yang utuh menjadi unsur-unsurnya ke dalam bentuk hirarki proses pengambilan keputusan, dimana setiap unsur atau elemen saling berhubungan. Untuk mendapatkan hasil yang akurat, pemecahan dilakukan terhadap unsur-unsur sampai tidak mungkin dilakukan pemecahan lebih lanjut, sehingga didapatkan beberapa tingkatan dari persoalan yang hendak dipecahkan. Struktur hirarki keputusan tersebut dapat dikategorikan sebagai complete dan incomplete. Suatu hirarki keputusan disebut complete jika semua elemen pada suatu tingkat memiliki hubungan terhadap semua elemen yang ada pada tingkat berikutnya,sementara hirarki keputusan

(19)

incomplete kebalikan dari hirarki yang complete.Bentuk struktur dekomposisi yakni :

• Tingkat pertama : Tujuan keputusan (Goal)

• Tingkat kedua : Kriteria-kriteria

• Tingkat ketiga : Alternatif-alternatif

Gambar 2.1 Struktur Hirarki

2. Comparative Judgment

Comparative Judgment dilakukan dengan penilaian tentang kepentingan relatif dua elemen pada suatu tingkat tertentu dalam kaitannya dengan tingkatan diatasnya. Penilaian ini merupakan inti dari AHP karena akan berpengaruh terhadap urutan prioritas dari elemen-elemennya. Hasil dari penilaian ini lebih mudah disajikan dalam bentuk matriks pairwise comparisons yaitu matriks perbandingan berpasangan memuat tingkat preferensi beberapa alternatif untuk tiap kriteria . Skala prefrensi yang digunakan yaitu skala 1 yang menunjukkan tingkat yang

Goal

Kriteria I Kriteria II Kriteria III Kriteria N

2 1 2 1 1 2 1 2 M M M M Alternatif

(20)

paling rendah (equal importance) sampai dengan skala 9 yang menunjukkan tingkatan yang paling tinggi (extreme importance).

3. Synthesis of Priority

Synthesis of Priority dilakukan dengan menggunakan eigen vector method untuk mendapatkan bobot relatif bagi unsur-unsur pengambilan keputusan.

4. Logical Consitency

Logical Consitency merupakan karakteristik penting AHP. Hal ini dicapai dengan mengagresikan seluruh eigen vektor yang diperoleh dari berbagai tingkatan hirarki dan selanjutnya diperoleh suatu vektor composite tertimbang yang menghasilkan urutan pengambilan keputusan.

Secara naluriah, manusia dapat mengestimasi besaran sederhana melalui inderanya. Proses yang paling mudah adalah membandingkan dua hal dengan keakuratan perbandingan tersebut dapat dipertanggungjawabkan. Penetapan skala kuantitatif 1 sampai 9 untuk menilai secara perbandingan tingkat kepentingan suatu elemen dengan elemen lain.( Saaty,Thomas L. ,and Luis G.Vargas, 1994, The Analytical Hierarchy Process vol.VII).

(21)

Tabel 2.1 Skala Penilaian Perbandingan Berpasangan Identitas

Kepentingan

Keterangan Penjelasan

1 Kedua elemen sama

pentingnya

Dua elemen mempunyai pengaruh yang sama besar terhadap tujuan

3 Elemen baris sedikit lebih penting daripada elemen kolom

Pengalaman dan penilaian sedikit menyokong suatu elemen dibanding elemen lainnya.

5 Elemen baris lebih penting daripada elemen kolom

Pengalaman dan penilaian sangat kuat menyokong suatu elemen dibanding elemen lainnya.

7 Elemen baris sangat lebih penting daripada elemen kolom

Satu elemen yang kuat disokong dan dominannya telah terlihat dalam praktek.

9 Elemen baris mutlak lebih penting daripada elemen kolom

Bukti yang mendukung elemen yang satu terhadap elemen lain memiliki tingkat penegasan tertinggi ysng mungkin menguatkan.

Jika suatu aktivitas aij mendapat suatu angka bila dibandingkan

dengan aktivitas aij maka aij mempunyai nilai kebalikannya bila

dibandingkan dengan aij (aij = 1/ aij )

2.1.2 Penghitungan Bobot Elemen Dalam Metode AHP

Pada dasarnya formulasi pada model AHP dilakukan dengan menggunakan suatu matriks. Misalnya dalam suatu subsistem operasi terdapat n elemen operasi

(22)

A1,A2,...,An maka hasil perbandingan secara berpasangan elemen-elemen operasi

tersebut akan membentuk matriks perbandingan. Perbandingan berpasangan dimulai dari hirarki yang paling tinggi, dengan suatu kriteria digunakan sebagai dasar pembuatan perbandingan. Selanjutnya perhatikan elemen-elemen yang akan dibandingkan pada tabel 2.2 berikut ini :

Tabel 2.2 Matriks Perbandingan Berpasangan

A1 A2 ... An A1 w₁/w₁ w₁/w₂ ... w₁/w_n A2 w₂ /w₁ w₂ /w₂ ... w₂ /w_n . . . . . . . . . . . . . . . An w_n /w₁ w_n /w₂ ... w_n /w_n

Contoh matriks yang diperlihatkan dalam tabel 2.2 adalah sebuah matriks A berukuran (nxn) merupakan matriks perbandingan berpasangan. Dan diasumsikan terdapat n elemen yaitu w₁,w₂,...,w_n yang akan dinilai secara perbandingan. Nilai (judgment) perbandingan secara berpasangan antara (w_i,w_j) dapat direpresentasikan seperti matriks pada tabel 2.2.

n j i untuk a w w ij j i ,..., 2 , 1 , = = (1)

maka akan diperoleh hubungan persamaan berikut :

0

. _j − _i =

ij w w

a (2)

(23)

w dan w_j = variabel keputusan untuk pembobotan relatif dari setiap elemen keputusan 1 dan j yang terkait pada suatu level hirarki tertentu.

ij

a = elemen-elemen yang terdapat dalam matriks dengan i,j = 1,2...,n

indeks Ω={(1,2),(1,3),...,(1,n),(2,3),...(2,n),...,(n-1,n)}sebagai himpunan perbandingan judgment yang ditetapkan secara berpasangan oleh pengambil keputusan. (1,j) =Setiap pasangan elemen keputusan yang menyatakan perbandingan

preferensi elemen keputusan Ai dengan elemen keputusan Aj.

Dari persamaan (1) bisa diperoleh hubungan berikut ini : 1 . _=      i j ij w w a (3)

atau untuk keseluruhan elemen keputusan ϕ ={1,2,...,n}akan didapat :

n w w a n i i j ij =     

∑

=1 . (4)

dituliskan dalam bentuk persamaan lain sebagai : i

j ij w nw

a . = .

∑

(5)

Dalam hal ini matriks perbandingan adalah matriks A dengan unsur-unsurnya adalah

aij dengan i,j = 1,2,...,n.Unsur-unsur matriks tersebut diperoleh dengan

membandingkan satu elemen operasi terhadap elemen operasi lainnya untuk tingkat hirarki yang sama. Matriks ini dikenal dengan sebutan Pairwise Comparison Judgment Matrix (PCJM).

(24)

W, dengan →

W= (w₁,w₂,...,w_n),maka intensitas kepentingan elemen operasi A1

terhadap A2 yakni wi /wj yang sama dengan a12 sehingga matriks perbandingan dapat dinyatakan sebagai berikut :

Tabel 2.3 Matriks Perbandingan Berpasangan dengan Nilai Intensitas

A1 A2 ... An A1 w₁/w₁ w₁/w₂ ... w₁/w_n A2 w₂/w₁ w₂/w₂ ... w₂/w_n . . . . . . . . . . . . . . . An w_n /w₁ w_n/w₂ ... w_n/w_n

Bila matriks ini dikalikan dengan vektor kolom → W= (w₁,w₂,...w_n) maka diperoleh hubungan : A → W = n → W (6)

Dalam teori matriks, formula tersebut menyatakan bahwa : →

W = eigen vektor dari matriks A n = eigen value

Bila ditulis secara lengkap maka persamaan tersebut akan terlihat seperti rumus berikut ini :

(25)

USU Repository © 2009             =                                   n n n n n n n n w w w n w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w          2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 . . (7)

Variabel n pada persamaan diatas dapat digantikan secara umum dengan sebuah vektor λsebagai berikut :

A → W = λ → W (8) dimana :

λi= eigen value dengan λ = (λ1,λ2,...λn) vektor

→

W= eigen vektor

Karena matriks A adalah suatu matriks yang resiprokal dengan nilai aij =

ji a 1 untuk semua i maka :

∑

= = n i i n 1 λ (9) dimana:

λi= eigen value dengan λ = (λ1,λ2,...λn) untuk i = 1,2...,n

Apabila matriks A adalah matriks yang konsisten maka semua eigen value bernilai nol kecuali satu yang bernilai sama dengan n. Bila matriks A adalah matriks yang tidak konsisten, variasi kecil atas aij akan membuat nilai eigen value terbesar, λmaks dapat

dicari dengan persamaan berikut : A

→

W = λmaks

→

(26)

I = matriks identitas

λmaks = nilai eigen value terbesar

Nilai vektor bobot →

Wdapat dicari dengan mensubsitusikan nilai λmaks ke dalam

persamaan tersebut.Dalam prakteknya, konsistensi tidak mungkin didapat. Nilai aij

akan menyimpang dari rasio w_i /w_j dan dengan demikian persamaan diatas tidak dapat dipenuhi. Deviasi maksimum dari n merupakan suatu parameter Consistency Index (CI) sebagai berikut :

1 − − = n n CI λmaks ₍₁₁₎ dimana :

CI = Consistency Index (Indeks Konsistensi)

λmaks = nilai eigen value terbesar

n = ordo matriks

Nilai CI tidak akan berarti bila tidak terdapat acuan untuk menyatakan apakah CI menunjukkan suatu matriks yang konsisten. Thomas L. Saaty memberikan acuan dengan melakukan perbandingan acak terhadap 500 buah sampel.

Thomas L.Saaty berpendapat bahwa suatu matriks yang dihasilkan dari perbandingan yang dilakukan secara acak merupakan suatu matriks yang mutlak tak konsisten. Dari matriks acak tersebut didapat pula nilai Consistensy Index, yang disebut dengan Random Index (RI).

Indeks konsistensi matriks random dengan skala (1-9) beserta kebalikannya disebut sebagai indeks random (Random Index) RI. Berdasarkan perhitungan Thomas

(27)

L. Saaty dengan menggunakan 500 sampel diperoleh nilai rata-rata indeks random (RI) untuk setiap ordo matriks tertentu sebagai berikut :

Tabel 2.4 Indeks Random (RI) Ordo Matriks RI Ordo Matriks RI Ordo Matriks RI 1 2 3 4 5 0 0 0,58 0,9 1,12 6 7 8 9 10 1,24 1,32 1,41 1,45 1,49 11 12 13 14 15 1,51 1,48 1,56 1,57 1,59 (Sumber : Saaty,Thomas L. ,and Luis G.Vargas, 1994, The Analyitcal Hierarchy Process vol.VII : “Decision Naking in Economic, Political, Social, Technological Environments, 1st Edition,RWS Publication, Pittsburgh,p.9)

2.2. Model Goal Programming

Program tujuan ganda yang dalam bahasa asingnya dikenal sebagai Goal Programming atau multiple objective programming merupakan modifikasi atau variasi khusus dari program linier yang sudah kita kenal. Analisis Goal Programming bertujuan untuk meminimumkan jarak antara atau deviasi terhadap tujuan, target atau sasaran yang telah ditetapkan dengan usaha yang dapat ditempuh untuk mencapai target atau tujuan tersebut secara memuaskan sesuai dengan syarat ikatan yang ada, yang membatasinya berupa sumber daya yang tersedia, teknologi yang ada, kendala tujuan, dan sebagainya.

(28)

Dalam keadaan dimana seseorang pengambil keputusan dihadapkan kepada suatu persoalan yang mengandung beberapa tujuan didalamnya, maka program linier tidak dapat membantunya untuk memberikan pertimbangan yang rasional. Karena program linier hanya terbatas pada analisis tujuan tunggal (single objective function). Oleh karena itu, maka persoalan tersebut memerlukan bantuan program tujuan ganda. Dunia nyata yang kita hadapi ini adalah dunia yang penuh dengan berbagai tujuan sebagai target dan sasaran. Oleh karena itu maka Goal Programming merupakan alat analisis yang tepat untuk itu. Goal Programming berusaha untuk meminimumkan deviasi berbagai tujuan, sasaran, atau target yang telah ditetapkan.

Dengan analisis Goal Programming maka kita mencoba untuk memuaskan atau memenuhi target paling tidak mendekati target yang telah kita tentukan menurut skala prioritasnya masing-masing.

Charnes dan Cooper yang mengembangkan Goal Programming sebagai pendekatan untuk menyelesaikan masalah yang infeasibility (tidak layak) pada program linier yang disebabkan oleh tujuan yang bertentangan. Ijiri dan Jaaskelainen kemudian melanjutkan dan melengkapinya sehingga dapat dipakai secara operasional. Lee mengkontribusikan menjadi ke tingkat yang lebih baik cara kerjanya,prestasi dari Goal Programming. Pada bagian P1 selalu lebih besar dari bagian prioritas ranking

yang lebih rendah P2. Ignizio membentuk dan mengaplikasikan bilangan bulat yang

tepat pada algoritma Goal Programming dan juga mampu bekerja dalam Program Non Linier.

Goal Programming berusaha untuk meminimumkan deviasi atau simpangan diantara berbagai tujuan atau sasaran yang telah ditetapkan sebagai targetnya, artinya nilai ruas kiri suatu persamaan kendala sebisa mungkin mendekati nilai ruas

(29)

kanannya.Dalam Goal Programming terdapat dua tipe kendala yaitu kendala teknologi (technological constraint) yang merupakan permasalahan kapasitas sumber dan kendala lainnya yang bukan terhadap tujuan, kendala tujuan (goal constraint) yang mewakili atau menggambarkan target dari objek-objek dalam urutan prioritas.

2.2.1 Konsep Dasar dan Unsur-unsur Goal Programming

Agar memahami dengan baik bidang yang dipelajari, pembaca selalu harus mengerti istilah-istilah dan lambang-lambang khusus yang digunakan dalam bidang studi itu. Berikut ini adalah definisi dari beberapa istilah dan lambang yang biasa digunakan dalam Goal Programming.

Decision variables (Variable keputusan ) merupakan seperangkat variable yang tidak diketahui (dalam model Linier Goal Programming dilambangkan dengan xj, dimana j

=1,2,...,n) yang akan dicari nilainya.

Right hand side values atau RHS (Nilai sisi kanan ) merupakan nilai-nilai yang biasanya menunjukkan ketersediaan sumber daya (dilambangkan dengan bi) yang

akan ditentukan kekurangan atau kelebihan penggunaannya.

Goal (tujuan) merupakan keinginan untuk meminimumkan angka penyimpangan dari suatu nilai RHS pada suatu goal constraint tertentu .

Goal Constraint (kendala tujuan) merupakan sinonim dari istilah goal equation, yakni suatu tujuan yang diekspresikan dalam persamaan matematika yang memasukkan variabel simpangan.

Preemtive priority factor merupakan suatu sistem urutan yang dilambangkan dengan

Pk, dimana k = 1,2,...,k dan k menunjukkan banyaknya tujuan dalam model) yang

memungkinkan tujuan-tujuan disusun secara ordinal dalam model Linier Goal Programming.

(30)

Sistem urutan itu menempatkan tujuan-tujuan dalam susunan dengan hubungan sebagai berikut :

P1> P2 >>>Pk

P1 merupakan tujuan yang paling penting

P2 merupakan tujuan yang kurang penting dan seterusnya

Deviational variables (variabel simpangan) merupakan variabel-variabel yang menunjukkan kemungkinan penyimpangan negatif dari suatu nilai RHS kendala tujuan (dalam model Linier Goal Programming dilambangkan dengan d_i−, dimana i = 1,2,...,m dan m adalah banyaknya kendala tujuan dalam model) atau penyimpangan positif dari suatu nilai RHS (dilambangkan dengan d_i+).Variabel-variabel ini serupa dengan slack variable dalam Linier Programming.

Differential weight (bobot) merupakan timbangan matematika yang diekspresikan dengan angka kardinal (dilambangkan dengan wki dimana k = 1,2,...,k; i = 1,2,...,m)

dan digunakan untuk membedakan variabel simpangan i didalam suatu tingkat prioritas k.

Technological coefficient (koefisien teknologi) merupakan nilai-nilai numerik (dilambangkan dengan aij) yang menunjukkan penggunaan nilai bi per unit untuk

menciptakan xj.

2.2.2 Unsur-unsur Goal Programming

Setiap model Linier Goal Programming paling sedikit terdiri dari tiga komponen, yaitu : sebuah fungsi tujuan, kendala-kendala tujuan, dan kendala non negatif.

1. Fungsi Tujuan

(31)

∑

= + − ₊ = m i i i d d Z 1

Fungsi tujuan yang pertama digunakan jika variabel simpangan dalam suatu masalah tidak dibedakan menurut prioritas atau bobot.

2. Minimumkan Z P

(

d_i d_i

)

untuk k K m i k 1,2..., 1 = + = − + =

∑

Fungsi tujuan yang kedua digunakan dalam suatu masalah dimana urutan tujuan diperlukan, tetapi variabel simapangan di dalam setiap tingkat prioritas memiliki kepentingan yang sama.

3. Minimumkan Z w P

(

d_i d_i

)

untuk k K m i k ki 1,2..., 1 = + = − + =

∑

Dalam fungsi tujuan ketiga, tujuan-tujuan diurutkan dan variabel simpangan pada setiap tingkat prioritas dibedakan dengan menggunakan bobot yang berlainan wki.

Jadi, fungsi tujuan yang digunakan akan tergantung pada situasi masalahnya.Perlu diperhatikan bahwa dalam model Linier Goal Programming tidak ditemukan variabel keputusan pada fungsi tujuan.

Penulis masih mencari, seperti yang dilakukan model Linier Programming, nilai

xj yang tidak diketahui, tetapi akan melakukannya secara tidak langsung melalui

minimisasi simpangan negatif dan positif dari nilai RHS kendala tujuan. Linier Programming mencari nilai solusi xj secara langsung melalui minimisasi

penyimpangan-penyimpangan dari nilai RHSnya. 2. Kendala Tujuan

Ada enam jenis kendala tujuan yang berlainan. Maksud setiap jenis kendala itu ditentukan oleh hubungannya dengan fungsi tujuan.

(32)

Tabel 2.5 Jenis-jenis Kendala Tujuan Kendala Tujuan Variabel

Simpangan Dalam Fungsi Tujuan Kemungkinan Simpangan Penggunaan Nilai RHS yang diinginkan i i j ijx d b a + − = di− Negatif = bi i i j ijx d b a − + = di+ Positif = bi i i i j ijx d d b

a + − − + = di− Negatif dan positif bi atau lebih

i i i j

ijx d d b

a + − − + = di− Negatif dan positif bi atau kurang i i i j ijx d d b a + − − + = di− dan + i

d Negatif dan positif = bi

i i j

ijx d b

a − + = di+ (artf.) Tidak ada Pas = bi

Terlihat bahwa setiap jenis kendala tujuan harus punya satu atau dua variabel simpangan yang ditempatkan pada fungsi tujuan. Dimungkinkan adanya kendala-kendala yang tidak memiliki variabel simpangan. Kendala-kendala-kendala ini sama seperti kendala-kendala persamaan linier. Persamaan pertama pada tabel 2.5 maknanya serupa dengan kendala pertidaksamaan ≤ dalam masalah program linier maksimisasi. Persamaan kedua maknanya serupa dengan kendala pertidaksamaan ≥ pada masalah program linier minimisasi.

Persamaan ketiga, keempat dan kelima semuanya memperbolehkan penyimpangan dua arah, tetapi persamaan kelima mencari penggunaan sumber daya yang diinginkan sama dengan bi.

(33)

Ini serupa dengan kendala persamaan dalam Linier Programming, tetapi tidak menempel pada solusi karena dimungkinkan adanya penyimpangan negatif dan positif. Jika kendala persamaan dianggap perlu dalam perumusan model Linier Goal Programming, ia dapat dimasukkan dengan menempatkan sebuah artificial variabel

+ i

d , seperti pada persamaan keenam. Persamaan ketiga dan keempat memperbolehkan adanya penyimpangan positif dan negatif dari nilai RHSnya. Dalam kendala Linier Programming tak ada pembanding untuk persamaan ketiga dan keempat.

3. Kendala Non Negatif

Seperti dalam Linier Programming, variabel-variabel model Linier Programming biasanya bernilai lebih besar atau sama dengan nol. Semua model Linier Goal Programming terdiri dari variabel simpangan dan variabel keputusan, sehingga pernyataan non negatif dilambangkan sebagai xj, di−,

+ i d ≥ 0

2.2.3 Kendala Struktural

Disamping ketiga komponen yang telah disebutkan itu, dalam model Linier Goal Programming kadang-kadang terdapat komponen yang lain, yaitu, kendala struktural artinya kendala-kendala lingkungan yang tidak berhubungan langsung dengan tujuan-tujuan masalah yang dipelajari. Variabel simpangan tidak dimasukkan dalam kendala ini, karena itu, kendala ini tidak diikut sertakan dalam fungsi tujuan.

Minimumkan

∑

(

)

= − + ₊ = m i i i i d d W Z 1 =

∑

= − − + + ₊ m i i i i i d W d W 1 Syarat ikatan : (Kendala Tujuan) _j _i _i _i m i ijx d d b a + − − + = =

∑

1

(34)

∑

= ≥ ≤ n j k j kjx atau c g 1 Untuk k = 1,2,...,p j = 1,2,...,n Dan xj, di−, + i d ≥ 0 d_i−+ d_i+= 0 dimana : + i

d dan d_i− : jumlah unit deviasi yang kekurangan (-) atau kelebihan (+) terhadap tujuan ( bi)

− +

i i danW

W : timbangan atau bobot yang diberikan terhadap suatu unit deviasi yang kekurangan atau kelebihan terhadap tujuan ( bi) aij : koefisien technologi fungsi kendala tujuan, yaitu yang

berhubungan dengan tujuan peubah pengambilan keputusan (xj)

xj : peubah pengambilan keputusan bi : tujuan atau target yang ingin dicapai gkj : koefisien teknologi fungsi kendala biasa ck : jumlah sumber daya k yang tersedia

Model tersebut merupakan persoalan pengoptimuman untuk meminimumkan jumlah agregat dari semua deviasi positif dan negatif yang individual dari tujuan yang telah ditetapkan.Dalam perumusan Goal Programming dapat dimasukkan satu tujuan atau lebih yang langsung berhubungan dengan fungsi objektif dalam bentuk variabel deviasi. Algoritma simpleks menjamin persyaratan non negatifitas.

(35)

Berhubung tidak dapat mencapai deviasi plus dan deviasi minus dari tujuan atau target yang ditetapkan secara sekaligus atau simultan, maka salah satu dari variabel atau kedua-duanya akan menjadi nol (0),yang berarti target terpenuhi dengan sangat memuaskan dan tepat.

Tabel 2.6 Tabel Awal Goal Programming

1 2 3 4 5

1 2

3

Baris 1 : Variabel keputusan Xj dan variabel deviasi d1− Kolom 5 : Nilai sebelah kanan

Kolom 3 : Koefisien variabel keputusan aij

Kolom 4 : Matriks identitas menunjukkan pemasukan variabel deviasi negatif d₁− x X1 X2 . . . Xk … Xn d1 … d1 … dn Value WiPi Cb 0 0 ... 0 … 0 w1… w1 … wn ∑w_ib_i W1P1 d₁+ a11 a12 … a1k … a1n 1 … 0 … 0 b1 W2P2 d₂+ a21 a22 …. a2k … a2n 0 … 0 … 0 b2 ... ... ……… … W1P1 d₁+ al1 al2 … alk … aln 0 … 1 … 0 b1 ... ... ……….. … WnPn d_n+ an1 an2 … ank … an 0 … 0 … 1 bn Zj - Cj

(36)

Kolom 1 : Faktor prioritas Pi dan bobot Wi untuk setiap variabel deviasi

positif (yakni variabel basis) dan memasukkan variabel deviasi artificial seperti ditampilkan dalam kolom 2.

Kolom 2 : Nilai total deviasi absolut, yang mewakili jumlah total deviasi dari semua tujuan untuk tiap tabel sebagai iterasi proses pendapatan.

Baris 2 : Vektor baris dari penunjuk nol pada proses perhitungan.

Baris 3 : Bobot Wi untuk setiap variabel deviasi yang dimasukkan dalam

fungsi objektif.

2.2.4 Model Keputusan Goal Programming

Oleh karenanya persamaan (2) dapat dinyatakan sebagai fungsi kendala goal dalam term model Goal Programming yaitu :

Ω ∈ = − + −w n p untuk i j w aij. j i ij ij 0 (, ) (12)

Variabel nij dan pij sebagai variabel deviasi baru dalam fungsi kendala goal. Kendala

persamaan (12) merepresentasikan penyimpangan, over atau underachievement dari suatu tingkat aspirasi goal yang ditetapkan. Tujuan pemodelannya adalah menemukan jawab pengambil keputusan yang mendekati konsisten. Artinya melakukan minimalisasi penyimpangan dari deviasi nilai pencapaian aspirasi subyektifnya. Oleh sebab itu, sebagai kriteria optimasi dari fungsi obyektif model ini adalah meminimumkan penjumlahan variabel deviasi nij dan pij.

Misal untuk suatu problem diperoleh solusi nij dan pij = 0, maka persamaan (2)

dapat terpenuhi. Hal ini berarti diperoleh jawab konsisten sempurna, inkonsistensinya =0. Sebaliknya, bila terjadi deviasi dari tingkat aspirasi yang ditetapkan, diperoleh

(37)

nilai nij dan pij ≥ 0, penetapan judgment pengambil keputusan kurang konsisten.

Kendala lain yang perlu ditambahkan dalam model :

1. Kendala untuk normalisasi pembobotan wi, penjumlahan keseluruhan bobot

prioritas ∑w_i =1 .

2. Kendala ekivalensi penjumlahan variabel deviasi pada setiap kendala yang relevan, untuk menghindari munculnya dual degeneration.

2.2.5 Formulasi Model Keputusan Goal Programming

Secara umum estimasi pembobotan relatif pada AHP untuk suatu level hirarki dapat dinyatakan dalam problem Goal Programming sebagai berikut :

Minimize

∑

Ω ∈ ∈Ω + = ) , (i j (i,j ) ij ij n p Z (13) s.t ) , , ( 0 . ϕ ∈ Ω ∈ = − + − j i dan j i untuk p n w w aij j i ij ij (14) 1 = ∑w_i untuk i ∈ϕ (15) wi ≥ 0 untuk i ∈ϕ (16) nij,pij ≥ 0 untuk (i,j)∈Ω (17) dimana:

(38)

wi dan wj = variabel keputusan untuk pembobotan relatif dari setiap elemen

keputusan 1 dan j yang terkait pada suatu level hirarki tertentu. nij,pij = variabel deviasi baru dalam fungsi kendala goal.

Ai = prioritas judgment relatif dari pengmabil keputusan yang

berkaitan dengan perbandingan preferensi antar elemen keputusan 1 dan elemen keputusan j pada suatu level hirarki relevan.

Z = fungsi obyektif yang mengukur inkonsistensi judgment dari pengambil keputusan.

ϕ = elemen keputusan ϕ = {1,2,...n}

Ω = sebagai himpunan perbandingan judgment yang ditetapkan secara berpasangan oleh pengambil keputusan untuk

Ω={(1,2),(1,3),...,(1,n),(2,3),...(2,n),...,(n-1,n)}.

2.3 Model Fuzzy Goal Programming

Pemaparan teori himpunan fuzzy untuk masalah Goal Programming pertama kali dikemukakan oleh Hannan (1981) juga Ignizio (1982). Secara komprehensif berbagai aspek teori keputusan dengan menggunakan pendekatan fuzzy goal programming didiskusikan oleh Rubin dan Narasimhan (1984) juga Tiwari dkk (1986). Aplikasinya untuk pemodelan keputusan untuk berbagai aspek yang luas, misalnya untuk persoalan manajemen lingkungan diungkapkan oleh Tiwari dkk (1985).

Model fuzzy goal programming yang dikemukakan dalam tulisan ini menggunakan konsep Tiwari dkk (1987) berupa model simple additive method. Pendekatan itu diadopsi dikarenakan kesamaan struktur keputusan dan

(39)

kesederhanaannya dibandingkan model yang lain. Tiwari dkk (1987) merumuskan persoalan fuzzy goal programming sebagai berikut :

Cari nilai X Agar memenuhi Gs(X) ~ < gs atau Gs(X) ~ > gs untuk s = 1,2,...,m (18) s.t. AX ≥ b (19) X≥ 0 (20) dimana:

X = vektor variabel keputusan AX≥ b sebagai kendala sistem simbol

~

< dan ~

> menyatakan ketidaksamaan fuzzy kendala goal Gs(X)

~

< gs atau

Gs(X)

~

> gs.

Gs(X) merupakan fungsi goal

gs adalah goal yang menjadi aspirasi pengambil keputusan.

Persamaan fuzzy kendala goal mewujudkan aspirasi yang bersifat imprecise. Model fuzzy ini perlu diubah ke dalam persamaan crips dengan mensubstitusikan fungsi tersebut pada fungsi keanggotaan fuzzy liniernya yang relevan.

2.3.1 Fungsi Keanggotaan Fuzzy

Fungsi keanggotaan fuzzy linier untuk fungsi kendala goal yang diformulasikan Tiwari dkk (1987) adalah sebagai berikut :

1. Untuk problem fungsi kendala fuzzy goal Gs (X)

~

(40)

Ls adalah batas toleransi aspirasi terendah yang ditetapkan subyektif oleh pengambil

keputusan untuk fungsi kendala fuzzy goal Gs (X).

2. Untuk problem kendala fuzzy goal Gs (X)

~ < gs :        ≤ ≤ ≤ − − ≤ = s s s s s s s s s s s i U X G jika U X G g jika g U X G U g X G jika ) ( 0 ) ( ) ( ) ( 1 µ (22) dimana :

Us adalah batas tingkat aspirasi toleransi tertinggi yang ditetapkan subyektif oleh

pengambil keputusan.

Model keputusan ini adalah problem optimasi dalam bentuk linier programming yang dapat diselesaikan dengan algoritma standar. Model memiliki fungsi obyektif dengan kriteria tunggal yaitu maksimasi derajat keanggotaan µ_suntuk keseluruhan aspirasi goal. Fungsi kendalanya bisa dalam bentuk crisp atau fuzzy. Misalkan untuk aspirasi goal : Gs(X)

~

> gs diperoleh model keputusan sebagai berikut

: Maximize

∑

= = 1 ) ( s s V µ µ (23) s.t.

(41)

( )

s s s s i L g L X G − − = µ ₍₂₄₎ AX≤ b (25) 1 ≤ s µ (26) m s X,µ_s ≥0, =1,2,..., dimana :

V = fungsi obyektif yang mengukur inkonsistensi judgment dari pengambil keputusan.

AX≤ b sebagai kendala sistem.

µ = derajat keanggotaan fuzzy. Gs(X) = fungsi goal.

gs = goal yang menjadi aspirasi pengambil keputusan.

X = vektor variabel keputusan.

Ls = batas toleransi aspirasi terendah yang ditetapkan subyektif oleh pengambil

keputusan.

Us = batas tingkat aspirasi toleransi tertinggi yang ditetapkan subyektif oleh

2.3.2 Model Fuzzy Goal Programming Untuk Estimasi Penetapan Prioritas

Telah dipaparkan dari persamaan (13) sampai (17) pengembangan model goal programming untuk estimasi pembobotan prioritas relatif dari metode AHP.

Kesulitan utama dari pendekatan ini adalah adanya faktor inkonsistensi penetapan judgment pembobotan elemen keputusan. Karenanya ratio perbandingan judgment

(42)

yang disusun tidak selalu bisa memenuhi sifat resiprokalitas dan transitivity dari matriks. Ketidakpastian ini akan berkaitan dengan konsep fuzzy.

Misalkan pengambil keputusan telah menetapkan batas level tertinggi toleransi intensitas jawab konsistensi tertinggi (Us) dan batas level toleransi nilai terendah (gs).

Nilai-nilai ini mencerminkan tingkat aspirasi subyektif. Keduanya diasumsikan berkorespodensi dengan intensitas jawab inkonsistensi yang masih bisa ditoleransi oleh pengambil keputusan. Saaty (1977,1980,1990,1994) merekomendasikan nilai rasio konsistensi (CR) sekitar < 10%.

Berdasarkan alasan itu, fungsi obyektif dari model goal dalam persamaan (13) dapat dipandang sebagai fungsi aspirasi goal (fungsi Gs) yang bersifat fuzzy. Fungsi

keanggotaan fuzzy linier didapat dengan melakukan substitusi pada setiap fungsi kendala goal (persamaan 13) ke dalam fungsi keanggotaan fuzzy yang relevan (persamaan 21).

Fungsi pencapaiannya berbentuk “additive goal programming” dengan criteria berupa maksimasi nilai keanggotaan fuzzy dengan tambahan pada kendala batas nilai maksimumnya (µ_s ≤1).

Pada setiap level hirarki dan untuk sejumlah s fungsi kendala goal diperoleh model fuzzy dalam bentuk cara linier programming biasa seperti berikut :

Maximize V =

∑

s s µ µ) ( (27) s.t

(43)

∑

,∈Ω) (

∑

,∈Ω) µ (28) untuk s = 1,2,…m 0 . _j − _i+ _ij − _ij = ijw w n p a (29) untuk (i,j) ∈Ω dan i,j∈ϕ

) 33 ( ) , ( 0 . ) 32 ( ) ( 0 ) 31 ( ,..., 2 , 1 1 ) 30 ( 1 Ω ∈ ≥ ∈ ≥ = ≤ ∈ =

∑

j i untuk p n i untuk w m s untuk i untuk w ij ij i s i i ϕ µ ϕ dimana :

V = fungsi obyektif yang mengukur inkonsistensi judgment dari pengambil keputusan.

wi dan wj = variabel keputusan untuk pembobotan relatif dari setiap elemen

keputusan 1 dan j yang terkait pada suatu level hirarki tertentu. nij,pij = variabel deviasi baru dalam fungsi kendala goal.

ij

a = elemen-elemen yang terdapat dalam matriks dengan i,j = 1,2...,n

µ = derajat keanggotaan fuzzy.

gs = batas toleransi aspirasi terendah yang ditetapkan subyektif oleh

Us = batas tingkat aspirasi toleransi tertinggi yang ditetapkan subyektif

oleh pengambil keputusan.

(44)

Ω = sebagai himpunan perbandingan judgment yang ditetapkan secara berpasangan oleh pengambil keputusan untuk

Ω={(1,2),(1,3),...,(1,n),(2,3),...(2,n),...,(n-1,n)}.

2.4 Pengenalan Program QM for Windows

Program QM for Windows merupakan paket program komputer untuk menyelesaikan persoalan-persoalan metode kuantitatif, manajemen sains atau riset operasi. QM for Windows merupakan gabungan dari program terdahulu DS dan POM for Windows, jadi jika dibandingkan dengan program POM for Windows modul-modul yang tersedia di QM for Windows lebih banyak. Namun ada modul-modul yang hanya tersedia di program POM for Windows, atau hanya tersedia di program DS for Windows dan tidak tersedia di QM for Windows.

Program-program QM for Windows, DS dan POM for Windows, disediakan oleh penerbit Prentice Hall (www.prentice-hall.com), dan sebagian program merupakan bawaan dari beberapa buku terbitan Prentice Hall.Tampilan sementara (splash) setelah program QM for Windows dijalankan tampak pada Gambar 2.1 (bagian yang di blok hitam sebenarnya berisi tulisan License to...)

(45)

Gambar 2.2 Tampilan sementara (splash) dari program QM for Windows

Setelah tampilan sementara (splash) berakhir, akan muncul tampilan awal seperti Gambar 2.2, yang berarti program sudah siap untuk menjalankan modul-modul yang akan dipilih.Pilihan modul ada pada menu Module yang dapat diaktifkan dengan meng-klik (pakai mouse) tulisan Module di baris menu atau dengan menekan tombol Alt+M. Modul-modul dari Assignment (metode penugasan) hingga Waiting Lines

(antrian) dapat dipilih,disesuaikan dengan persoalan yang hendak diselesaikan (Gambar 2.3)

(46)

(47)

Gambar 2.4 Pilihan modul yang tersedia pada program QM for Windows

Gambar 2.5 Baris Menu (menu bar) sebelum dipilih Modul tertentu

Gambar 2.6Baris Menu (menu bar) sesudah dipilih Modul tertentu

Gambar 1.6 Baris Tool (toolbar) sebelum dipilih Modul tertentu Gambar 2.7 Baris Tool (toolbar) sebelum dipilih Modul tertentu

(48)

Gambar 2.8 Baris Tool (toolbar) sesudah dipilih Modul tertentu

Gambar 2.9 Ruang instruksi

(tampilan ruang instruksi ini dapat diatur melalui menu View – Instruction - ...)

Gambar 2.10 Baris Utilitas (utility bar) – secara default terletak di bagian bawah

Baris tool (toolbar) dan baris utilitas (utility bar) dapat diatur sesuai dengan selera/kebutuhan dengan cara meng-klik kanan mouse, ketika kursor mouse berada pada toolbar. Toolbar dan utility bar dapat juga dipindahkan tempatnya dengan cara men-drag & drop bagian paling kiri dari toolbar atau utility bar tersebut; atau dengan menu View –Toolbar – Customize.

(49)

BAB 3

PEMBAHASAN

3.1 Penggunaan Metode AHP dalam Perhitungan Matematis

Kaidah pembobotan menyatakan bahwa :

1. Nilai bobot setiap kolom antara 0-1 atau 0% - 100% jika kita menggunakan presentase.

2. Jumlah total bobot harus bernilai 1 (100%) 3. Tidak ada bobot yang bernilai negatif (-)

Berikut ini adalah langkah-langkah yang digunakan dalam menentukan bobot dengan menggunakan AHP:

1. Menentukan Prioritas

Biasanya orang lebih mudah mengatakan bahwa elemen A lebih penting daripada elemen B, elemen B kurang penting dibanding dengan elemen C dan sebagainya, namun mengalami kesulitan menyebutkan seberapa penting elemen A dibandingkan elemen B atau seberapa kurang pentingnya elemen B dibandingkan dengan elemen C. Untuk itu kita perlu membuat tabel konversi dari pernyataan prioritas ke dlam angka-angka.

2. Membuat Tabel Perbandingan Prioritas

Tabel perbandingan prioritas setiap elemen dibentuk dengan membandingkan masing-masing elemen. Sebagai contoh : Jika kita mempunyai 4 elemen, maka kita

(50)

membuat matriks perbandingan ke-4 elemen tersebut. Misalkan dari proses membandingkan antar elemen diperoleh nilai prioritas elemen sebagai berikut :

Tabel 3.1 Contoh Matriks Perbandingan Berkebalikan

ELEMEN A ELEMEN B ELEMEN C ELEMEN D

ELEMEN A 1 ½ 1/5 1/3

ELEMEN B 2 1 1/3 1

ELEMEN C 5 3 1 ½

ELEMEN D 3 1 2 1

Cara mengisinya adalah dengan menganalisa prioritas antara elemen baris dibandingkan dengan elemen kolom. Sesuai dengan persamaan matematika yang menyebutkan jika A:B = X, maka B:A =1/X. Contoh : jika prioritas elemen B (baris) : elemen A (kolom) = 2, maka prioritas elemen A (baris) : elemen B (kolom) = ½. Sehingga prioritas setiap elemen antara elemen A : elemen A = 1, elemen C : elemen A = 5, elemen C : elemen B = 3,elemen D : elemen A = 3, elemen D : elemen B =1, elemen D : elemen C = 2.

3.1.1 Menentukan Bobot Pada Tiap Elemen

Selanjutnya adalah menentukan bobot pada tiap elemen, nilai bobot ini berkisar antara 0-1, dan total bobot untuk setiap kolom adalah 1. Cara menghitung bobot adalah angka pada setiap kotak dibagi dengan menjumlahkan semua angka dalam kolom yang sama. Contoh bobot dari (elemen A,elemen A) = 1/ (1+2+5+3) = 0.090, elemen B,elemen A) = 2/(1+2+5+3) = 0.181. Dengan perhitungan yang sama bobot prioritas tabel ELEMEN diatas menjadi :

(51)

Tabel 3.2 Penyelesaian Matriks Perbandingan Berkebalikan

ELEMEN A ELEMEN B ELEMEN C ELEMEN D

ELEMEN A 0.091 0.091 0.057 0.118

ELEMEN B 0.182 0.182 0.094 0.353

ELEMEN C 0.455 0.545 0.283 0.176

ELEMEN D 0.273 0.182 0.566 0.353

Mencari Nilai Bobot Untuk Masing-masing Elemen

Selanjutnya adalah mencari nilai bobot untuk masing-masing elemen. Caranya adalah dengan melakukan penjumlahan setiap nilai bobot prioritas pada setiap baris tabel dibagi dengan jumlah elemen. Sehingga diperoleh bobot masing-masing elemen adalah : ELEMEN A = (0.091 + 0.091 + 0.057 + 0.118)/ 4 = 0.089 (8.9%) ELEMEN B = (0.182 + 0.182 + 0.094 + 0.353)/ 4 = 0.203 (20.3%) ELEMEN C = (0.455 + 0.545 +0.283 + 0.176 )/ 4 = 0.365 (36.5%) ELEMEN B = (0.273 + 0.182 + 0.566 + 0.353 )/ 4 = 0.343 (34.3%) 3.1.2 Perancangan Flowchart

Gambaran secara umum proses yang terjadi dalam model fuzzy goal programming dalam penetapan pembobotan prioritas dari metode AHP yaitu:

(52)

Gambar 3.1Flowchart yang terjadi dalam penetapan bobot prioritas

Tampilkan Hasil

Perhitungan pembobotan dengan software QM for Windows

Perumusan fungsi dan kendala dalam suatu hirarki

Penambahan variable deviasi positif (di+)

dan deviasi negatif (di-)

Pengembangan dalam model fuzzy goal programming

Table Perbandingan Prioritas

Perhitungan CI dan CR

Mulai