BAB III OPERATOR 3.1 Pengertian Operator Dan Sifat-sifatnya

BAB III OPERATOR

3.1 Pengertian Operator Dan Sifat-sifatnya

Perhatikan persamaan Schrodinger satu dimensi bebas waktu yaitu:

) ( (x) 2 2 2 ) ( + d 2m dx V  x  E x       (3-1) 0 ) ( ) V (E 2m + d (x) 2 2 ) ( 2     x dx x 

(2-4)

Suku-suku yang berada di dalam kurung tersebut adalah operator.

Operator adalah lambang matematika, yang

memberi isyarat untuk mengubah suatu fungsi menjadi fungsi lain sesuai dengan operator yang dioperasikan.

Contoh:

D adalah operator diferensial yang tugasnya menurunkan suatu fungsi terhadap variabel/koordinat x. Pengoperasian D terhadap f(x) adalah D f(x) = f ' (x).

Contoh:

1) D (2x2 + 5x + 6) = 4x + 5.

2) Operator 3 adalah operator yang melipat tigakan suatu fungsi sehingga 3 (x2 + 5 e2x) = 3x2 + 15 e2x .

3) Ada operator-operator lain seperti operator akar, logaritma, operator trigonometri dan lain-lain yang tugasnya mengubah suatu fungsi menjadi fungsi lain.

Secara umum jika operatot A mengubah f (x) menjadi fungsi g (x), maka ditulis Af (x) = g (x).

Jumlah dan selisih dua buah operator A dan B didefinisikan oleh persamaan berikut:









( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( x f B x f A x f B A x f B x f A x f B A               (3-2)

Perkalian dua buah operator A dan B didefinisikan oleh persamaan berikut:

Dengan merujuk pada (3-3) berarti, yang beroperasi lebih dahulu terhadap fungsi adalah operator yang paling kanan baru kemudian operator yang kiri.

Sudah barang tentu jika kita jumpai penulisan:

B.A f(x) maka yang dioperasikan dulu harus A baru kemudian B.

Yang perlu dipertanyakan adalah samakah A B f(x) dengan B Af(x). Pada umumnya A.B  B.A. Tetapi untuk kasus-kasus khusus, dapat saja terjadi A.B =

B.A.

Contoh 1:

Diketahui A = d/dx ; B = 3 sedang f (x) = x2 + 5 . Akan kita selidiki apakah A.B=B.A jika dioperasikan pada f (x) Jawab: A.Bf (x) = d/dx . 3 ( x2 + 5) = d/dx . [3 ( x2 + 5) ] = d/dx ( 3x2 + 15) = 6 x B.A = 3. d/dx ( x2 + 5) =3. [d/dx ( x2 + 5) ]

= 3 ( 2x) = 6 x

Jadi A.B = B. A atau A.B  B.A = 0

Contoh 2:

Diketahui A = d/dx ; B = x2 sedang f (x) = x2 + 5 . Akan kita selidiki apakah A.B = B.A jika dioperasikan pada f (x) Jawab: A.Bf (x) = d/dx . x2( x2 + 5) = d/dx . [x2( x2 + 5) ] = d/dx (x4 + 5x2 ) = 4x3 + 10 x B.A = x2. d/dx ( x2 + 5) = x2. [d/dx ( x2 + 5) ] = x2 ( 2x) = 2x3 Jadi A.B  B. A atau A.B  B.A  0

Commutator, Commute dan Non Commute

Jika kita mempunyai dua operator misal A dan B maka A.B B A disebut commutator A dan B dan ditulis



A,B



.

Jadi



A,B



= A.B  B.A = 0 (3-4) Dua buah commutator disebut

commute jika



A,B



= 0

dan

disebut non commute jika



A,B



0.

Contoh 3:

Diketahui 3 buah operator yaitu operator A = d/dx (supaya praktis d/dx ditulis D) ; operatot B = x dan operator C = 3. Tentukan:

a. Commutekah operator A dan B b. Commutekah operator A dan C

Jawab:

Caranya dicari dulu commutator pasangan tersebut. Untuk soal (a) harus ditentukan dulu commutator



A,B



. Untuk ini



A,B



dioperasikan terhadap sembarang fungsi gelombang misal fungsi F.

a.



A,B



F =



A.B  B.A



F = A  .B F  B.A F = D. x F  x . DF = F + x DF  x DF = F

Jadi



A,B



= 1  A dan B non commute. b.



A,C



F =



A.C  C.A



F

= A.C F  C.A F = D . 3 F  3 D F = 3 DF  3 D F

= 0  pasangan A dan C commute

Contoh 4:

Tentukan harga kuadrat dari ( d/dx + x ). Jawab:

Untuk menentukan ( d/dx + x )2 maka kita operasikan operator tersebut pada sembarang fungsi F, dan

supaya praktis d/dx ditulis D.

( D + x )2 F = ( D + x ) ( D + x ) F = A.B F = ( D + x ) ( D F + x F )

= D2F + D x F + x D F + x2 F

= D2F + F + 2 x DF + x2 F = ( D2 + 2 x D + x2 + 1 ) F

Jadi: ( D + x )2 = ( D2 + 2 x D + x2 + 1 ) Catatan:

Dari contoh di atas tampak bahwa kuadrat jumlah operator tidak sama dengan kuadrat jumlah pada operasi aljabar.

3.2 Fungsi Eigen dan Nilai Eigen

Jika operator mengubah fungsi f(x) menjadi fungsi baru yang merupakan kelipatan k kali fungsi asalnya sehingga terdapat hubungan:

Af(x) = k .f(x) (3-5) dengan k adalah konstanta, maka f(x) disebut fungsi eigen dari operator _A sedang k disebut nilai eigen.

Contoh 5 :

Diketahui operator d/dx dan dua buah fungsi yaitu F(x) = sin 3x dan fungsi G(x) = A e3x.

Tentukan fungsi yang mana yang eigen terhadap operator d/dx?

Jawab:

Kita selidiki dulu:

d/dx F(x) = d/dx (sin 3 x ) = 3 cos 3x

F(x) bukan fungsi eigen dari d/dx sebab fungsi

hasilnya yaitu 3 cos 3 x tidak merupakan kelipatan fungsi asalnya yaitu sin 3x.

Selanjutnya kita selidiki operasi d/dx terhadap G(x): d/dx G(x) = d/dx (A e3 x ) = 3 A e3 x = 3 G(x)

Karena hasil operasi merupakan kelipatan fungsi asalnya, maka G(x) merupakan fungsi eigen terhadap operator d/dx dengan nilai eigen = 3.

Contoh 6:

Diketahui bahwa F(x) adalah fungsi eigen dari operator A dengan nilai eigen = c. Buktikan bahwa fungsi cF(x) juga eigen terhadap operator A dengan nilai eigen yang sama.

Jawab :

Dari pernyataan bahwa F(x) adalah fungsi eigen dari operator A dengan nilai eigen = c maka dapat ditulis:

Selanjutnya kita selidiki A cF(x):

Ac F(x) = c AF(x) = c . c F(x)  terbukti

3.3 Operator Mekanika kuantum

Operator mekanika kuantum antara lain operator Hamilton atau operator energi yaitu H dan operator energi kinetik yaitu T.

Menurut persamaan (1-25) dan (1-26) bab I: H =  ₂ 2 2 2 dx d m  + V T =  ₂ 2 2 2 dx d m 

Secara lebih umum d2/dx2 biasa ditulis 2 sehingga : H =  2 2 2m   + V (3-6) T =  2 2 2m   (3-7)

Karena energi potensial hanya merupakan fungsi koordinat (tak gayut waktu) dan sama sekali tidak berhubungan dengan harga momentum, sehingga

energi potensial tidak dipengaruhi oleh prinsip ketidakpastian Heissenberg.

Selain dua jenis operator mekanika kuantum ada

operator momentum linear satu dimensi yaitu p_x .

Dalam mekanika klasik kita tahu bahwa p_x = m v_x

dengan m adalah massa partikel dan v_x kecepatan dalam arah x.

Hubungan antara energi kinetik T dengan p_x dalam mekanika klasik adalah:

T = m p_x 2 2 = ½ mv2 = (m/m).1/2 m.v.v atau p_x = 2mT (3-8)

Jika kita masukkan T pada (3-7) menggantikan T pada (3-8) maka kita peroleh operator momentum linear satu dimensi yaitu:

T =  2 2 2m  (3-7) p_x = 2mT (3-8)

x p = 2 2 2 2   m m  x p = 1 2 2 2 2  m m  x p =  i  dx d = (i/i).-i.  dx d = (/i) dx d (3-9) Analog dengan (3-9) maka:

y p =  i  dy d = (/i) d dy (3-10) z p =  i  dz d = (/i) d dz (3-11)

Untuk Apakah Operator-operator Kuantum itu ?

 fungsi gelombang  dapat memberikan informasi

mengenai gerak partikel yang diwakilinya.

 Jika kita ingin mendapatkan informasi mengenai

momentum, maka kita operasikan operator momentum terhadap .

 Jika ternyata  merupakan fungsi eigen bagi

operator momentum, maka nilai eigennya adalah momentum yang kita cari.

 Jika kita butuh harga energi kinetik, maka kita

operasikan operator energi kinetik terhadap .

 Jika  ternyata merupakan fungsi eigen terhadap

operator energi kinetik maka nilai eigennya adalah energi kinetik yang kita cari.

 Bagaimana jika  tidak merupakan fungsi eigen

bagi operator tertentu ?

Untuk ini maka informasi mengenai suatu besaran, dapat dicari dengan menghitung harga rata-ratanya.

Dipostulatkan bahwa jika Operator p_x adalah operator yang berhubungan dengan besaran b, maka rata-rata harga b dinyatakan oleh:

< b > = * d space



  all B (3-11)

dengan * adalah konjugate dari .

Untuk fungsi real * =  sedang untuk fungsi kompleks, * adalah  yang i-nya diganti i.

Contoh 1:

Dengan menggunakan fungsi gelombang partikel dalam kotak satu dimensi, tentukan:

a) harga p_x

b) harga rata-rata p_x2

3.4 Persamaan Schrodinger 3 Dimensi Untuk Banyak Partikel

Persamaan Schrodinger Bebas Waktu 3 dimensi untuk sebuah partikel adalah:

 2 2 2   m  + V  = E  (3-12) 2 2 2   m  + V  operator Hamilton H , jadi H = 2 2 2   m  + V (3-13)

dengan 2 adalah operator Laplace, yang dalam koordinat rektangular adalah:

(3-14) 2  = ₂ 2 x   + ₂ 2 y   + ₂ 2 z  

2  = 1₂ r .r  .r2 r   +  sin 1 2 r .  .sin     +  sin 1 2 2 r 2 2    (3-15) Suku pertama ruas kanan persamaan Hamilton (3-13) disebut operator energi kinetik, yaitu:

T = 2 2 2   m  (3-16) Sekarang kita akan membahas sistem yang terdiri atas n partikel. Kita misalkan partikel ke i mempunyai massa m_i dan koordinat



x_i , y_i , z_i



dengan i = 1, 2, 3, . . . . n.

Energi kinetik sistem adalah total dari energi kinetik masing-masing partikel, jadi:

T = ₁2 1 2 2   m  ₂ 2 2 2 2   m  ₂ 3 3 2 2   m  . . . 2 2 2m_n n   (3-17) atau

T=



   n i i i m 1 2 2 2  (3-18) Selanjutnya kita amati fungsi energi potensialnya.

Kita tahu untuk 1 buah partikel 1 dimensi, energi potensialnya hanya ditentukan oleh koordinat x, jadi:

V = V(x)

Untuk 1 partikel dalam 3 dimensi, energi potensial ditentukan oleh masing-masing sebuah koordinat x, y dan z, jadi:

V = V ( x, y, z)

Jika sistem terdiri atas n partikel dalam 3 dimensi, maka energi potensialnya tentu ditentukan oleh 3n koordinat, yaitu:

V = V( x₁, y₁, z₁ , x₂ , y₂ , z₂ . . . x_n , y_n z_n ) (3-19)

Dengan demikian operator Hamilton untuk n partikel dalam 3 dimensi adalah:

H =



   n i i i m 1 2 2 2  + V (x₁ . . . . z_n ) (3-20) Selanjutnya persamaan Schrodinger untuk sistem n partikel dalam 3 dimensi adalah:

) z . . . . . . (x V 2 1 n 1 2 2         



 n i i i m   = E  (3-21)

dengan  adalah fungsi gelombang bebas waktu n partikel dalam 3 dimensi, jadi:

 =  (x₁ . . . z_n ) (3-22)

Sebagai contoh:

Untuk dua partikel yang koordinatnya (x₁, y₁ , z₁ ) dan (x₂ , y₂ ,z₂) sehingga jaraknya adalah { (x₁ – x₂ )2 + (y₁ – y₂ )2 + (z₁ – z₂ )2 }1/2, maka energi potensialnya (berbanding terbalik dengan jaraknya) adalah V =



 

 





₂



1/2 2 1 2 2 1 2 1 2 y z x x y z c      ,

jadi persamaan Schrodinger bebas waktunya adalah: E                          ₂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2m x y z m x y z              



 

 







_           2 1/2 2 1 2 2 1 2 1 2 y z x x y z c  (3-23)  =  (x₁ , y₁ , z₁ , x₂ , y₂ , z₂ )

Dipostulatkan oleh Bohr, untuk sistem 1 partikel dalam 1 dimensi, probabilitasnya adalah:

dx t

x, )2 (

 (3-24)

Untuk sistem 1 partikel dalam 3 dimensi, probabilitasnya adalah: dz dy ) , , , (x y z t 2dx  (3-25)

Untuk sistem n partikel dalam 3 dimensi, probabilitasnya adalah: n 2 1 1 1 2 n 2 1 1 1, , , . . . z , ) dy dz dx . . .dz (x y z x t dx  (3-26)

Sedang kondisi normalisasinya adalah:

  

          2 _{1 1 1 2 n} n 2 1 1 1, , , . . .z , ) dy dz dx . . .dz ( ... x y z x t dx = 1 (3-27)

Dalam mekanika kuantum, (3-26) biasa ditulis:



d 2

 (3-28)

Sedang (3-27) biasa ditulis:

Catatan:

1)

Penulisan fungsi gelombang dengan psi kapital

, berarti fungsi koordinat dan waktu,

2)

jika ditulis dengan psi huruf kecil atau , berarti fungsi gelombangnya hanya fungsi koordinat saja dan tidak bergantung waktu.

Hubungan antara  dan  adalah:

(x,t) = eiEt/(x) (3-30) Fungsi gelombang disebut fungsi stasioner, jika:

3.5 Partikel Dalam Kotak 3 Dimensi

Fungsi Gelombang Partikel Dalam Kotak Tiga Dimensi Fungsi gelombang sebuah partikel dalam satu dimensi yang panjang kotaknya a dengan energi potensial dalam kotak = 0, yaitu:

(x) = x a a n sin 2 1/2       

Bisa jadi a = b = c atau tidak.

dengan (x) adalah fungsi gelombang untuk arah x. Analog dengan ini maka untuk arah y dan arah z yang panjang kotaknya berturut-turut adalah b dan c, fungsi gelombangnya adalah:

(y) = y b b n sin 2 1/2        (z) = z c c n sin 2 1/2       

Fungsi gelombangnya dalam tiga dimensi, yaitu:

(x , y , z) = z c abc    n sin y b n sin x a n sin 2 . 2 . 2 1/2       (3-32)

dengan n = 0, 1, 2 ... dan seterusnya.

Karena n untuk arah masing-masing tidak harus sama, maka persamaan (3-32) sebaiknya ditulis:

(x , y , z) = z c abc z y x  _{y sin} n  b n sin x a n sin 8 1/2       (3-33)

Jika kotaknya berbentuk kubus, jadi a = b = c, maka persamaan (3-33) dapat ditulis:

(x , y , z) =

3/2

n

n n

2

sin x sin y sin

a a a y z z _z a          (3-34)

Energi Partikel Dalam Kotak Tiga Dimensi dan Pengertian Degeneracy

Untuk menentukan energi Partikel Dalam Kotak Tiga Dimensi maka yang perlu kita lakukan adalah memasukkan (x, y, z) ke dalam persamaan Schrodinger bebas waktu.

Dengan memasukkan V = 0 akan kita peroleh:

E = _         _{2 2}2 2 2 2 2 8 c n b n a n m h _x y _z (3-35) Jika kotak berbentuk kubus, jadi a = b = c, maka, persamaan (3-35) boleh ditulis:

E = ₂



2 2 2



2 8ma nx ny nz h   (3-36)

Terdapat kebiasaan orang menyatakan n_x , n_y dan n_z sebagai indek  untuk mengetahui state dari fungsi gelombang yang bersangkutan.

Sebagai contoh:

Jika n_x = 1 ; n_y = 1 dan n_z = 1, maka fungsi gelombang dan energinya (kotaknya berbentuk kubus)

₁₁₁ dengan energi E = ₂ 2 8ma

h

.3

Jika n_x = 2 ; n_y = 1 dan n_z = 1, maka fungsi gelombang dan energinya (kotaknya berbentuk kubus) ₂₁₁ dengan energi E = ₂ 2 8ma h . 6

Jika n_x = 1 ; n_y = 2 dan n_z = 1, maka fungsi gelombang dan energinya (kotaknya berbentuk kubus) 121 dengan energi E = ₂ 2 8ma h . 6

Jika n_x = 1 ; n_y = 1 dan n_z = 2, maka fungsi gelombang dan energinya (kotaknya berbentuk kubus) ₁₁₂ dengan energi E = ₂ 2 8ma h . 6

dan seterusnya sehingga kita dapat membuat tabel energi sebagai berikut:

Fungsi Gelombang Energi Fungsi Gelombang Energi 111  222  211 6 Eo 123  121 6 Eo 132 14 Eo 112  213 14 Eo 221 9 Eo 231 14 Eo ₁₂₂ 9 E_o _ 14 E_o 212 9 Eo  14 Eo 113  dan seterusnya 311 11 Eo 131 11 Eo Catatan:

Dalam rangka kepraktisan maka E_o = h2/8ma2

Dari tabel di atas tampak bahwa ada fungsi-fungsi gelombang berbeda yang energinya sama.

Contoh yang energi levelnya 6E_o ada 3 fungsi yaitu

₁₁₂ , _dan₂₁₁ .

Energi level 9E_o dan 11E_o juga dimiliki oleh 3 fungsi gelombang,

energi level 14E₀ terdiri atas 6 fungsi gelombang.

Beberapa fungsi gelombang berbeda tetapi energinya sama disebut degenerate.

Sedang banyaknya fungsi gelombang untuk energi level tertentu disebut tingkat degenerasi.

Jadi tingkat degenerasi untuk energi level 6E_o adalah 3 dan disebut three fold degeneracy.

Jika tingkat degenerasinya = 6 seperti pada energi level 14 E_o maka ia disebut six fold degeneracy.

3.6 Kombinasi linear Fungsi-Fungsi Degeneracy dan Himpunan Linearly Independent

Teoremanya adalah sebagai berikut:

Jika terdapat n buah fungsi gelombang yang saling independen yaitu ₁, ₂ ...._n yang mempunyai energi yang sama yaitu misal W. sehingga berlaku:

H ₁ = W ₁; H ₂ = W ₂ ;

maka sembarang kombinasi linear dari fungsi-fungsi tersebut juga mempunyai energi level W. Teorema di atas akan kita buktikan.

Jika kita mempunyai n buah fungsi gelombang yaitu

₁, ₂ …._n dan kombinasi linear dari fungsi-fungsi tersebut kita sebut , maka hubungan antara 

dengan ₁, ₂ . . . _n adalah:

 = c₁₁ + c₂₂ + . . . c_n_n (3-38) Kita harus membuktikan bahwa energi level  juga W yang dalam bahasa mekanika kuantum kita harus membuktikan bahwa H  = W . Bukti: H  = H (c₁₁ + c₂₂ + . . . c_n_n ) = H c₁₁ + H c₂₂ + . . . H c_n_n = c₁ H ₁ + c₂ H ₂ + . . . c_n H _n = c₁ W₁ + c₂ W₂ + . . . c_n W_n = W (c11 + c22 + . . . cnn ) = W  (terbukti)

Sebagai contoh, fungsi gelombang stasioner ₁₁₂ ,

₁₂₁ dan ₂₁₁ untuk partikel dalam kotak berbentuk kubus adalah degenerate dengan energi level 6E₀

dengan demikian maka kombinasi linearnya yaitu c₁₁₁₂ + c₂₁₂₁ + c₃ ₂₁₁ juga mempunyai energi yang sama yaitu 6Eo.

Karena c₁ , c₂ dan c₃ adalah sembarang bilangan konstan, maka kita dapat membuat kombinasi linear yang tak terhingga banyaknya, yang berasal dari ketiga fungsi gelombang tersebut. Meskipun kita dapat membuat kombinasi linear yang tak terhingga banyaknya namun secara aktual kita hanya tertarik pada kombinasi fungsi eigen yang linearly independent. Suatu himpunan n fungsi f1, f2 . . . . fn adalah linearly independent jika c₁. f₁ + c₂ f₂ . . . + c_n fn = 0 hanya dapat dipenuhi manakala c1 = c2 = . . . . cn = 0. Dengan perkataan lain himpunan fungsi akan linearly independent jika tidak ada salah satu fungsipun dari himpunan tersebut yang merupakan kombinasi linear dari fungsi yang lain.

Contoh:

Suatu himpunan fungsi terdiri atas f1 = 3x ; f2 = 5x2x dan f3 = x2 adalah bukan linearly independent karena c1 f1 + c2 f2 + c3 f3 = 0 dapat dipenuhi oleh c1 = 1/3; c2 = 1 dan c3 = 5. Padahal disebut linearly independen jika c1 = c2 = c3 = 0.

3.7 Persyaratan-persyaratan fungsi gelombang dalam Mekanika Kuantum

Fungsi gelombang pada dasarnya adalah fungsi matematik, tetapi harus diingat bahwa tidak semua fungsi matematik adalah fungsi gelombang.

Persyaratan-persyaratan yang harus dipenuhi oleh fungsi gelombang adalah

1) kontinus.

2) Harga



 * d harus eksis (dapat dihitung) Bagi partikel yang berada dalam bound system, maka * d adalah probabilitas, untuk mengevaluasinya kita harus mengintegralkan. Jika integral tersebut eksis, maka dikatakan bahwa  adalah quadratically integrable, dan ini merupakan syarat yang kedua bagi fungsi gelombang partikel dalam bound system.

Dengan logika terbalik, maka dapat dinyatakan fungsi gelombang yang tidak quadratically integrable adalah fungsi gelombang untuk

partikel dalam unbound system atau pada partikel bebas.

3) Fungsi  harus bernilai tunggal karena * harus bernilai tunggal

Kita telah tahu bahwa * adalah probabilitas kerapatan partikel, karenanya ia harus bernilai tunggal (singled valued). Akan sangat membingungkan jika diperoleh dua harga berbeda dalam perhitungan probabilitas menjumpai partikel pada titik tertentu. Sebagai tambahan, biasanya juga disyaratkan bahwa selain  harus kontinus, turunan-turunannya juga harus kontinus.

Fungsi gelombang yang memenuhi persyaratan-persyaratan di atas disebut well behaved. Jadi suatu fungsi disebut well behaved jika:

(1) kurvanya dan kurva turunannya kontinus, (2) bersifat quadratically integrable dan

Soal-Soal Bab 3:

1. Jika g = A f, tentukanlah g jika: a) A = d/dx dan f = cos (x2 + 1) b) A = 5 dan f = sin x

c) A = ( )2 dan f = sin x d) A = exp dan f = ln x

e) A = d2 / dx2 dan f = ln 3x

2. Nyatakanlah entitas berikut, termasuk fungsi atau operator ? a) A f(x) b) B A f(x) c) A B f(x) d) f(x) A e) [A , B] f) f(x) A B jfg(x)

3) Jika D = d/dx buktikan bahwa (D + x ) (D  x ) = D2  x2  1

4) a. Buktikan bahwa untuk sembarang operator berlaku (A + B)2 = (B + A)2.

5) Apakah artinya, jika sebuah operator berpangkat nol ?

6) Buktikanlah commutator identitas [ A , B] =  [B , A]

7) Tentukanlah: a) [ sin z, d/dz ]

b) [d2/dx2, ax2 + bx + c ] c) [d/dx, d2/dx2 ]

8. Manakah di antara fungsi-fungsi berikut yang merupakan fungsi-eigen dari d2/dx2 ?

a) ex b) x2 c) sin x d) 3 cos x

e) sin x + cos x

Tentukan nilai eigennya, jika fungsinya adalah fungsi eigen.

9. Tentukan operator momentum untuk besaran fisik berikut:

10. Evaluasilah commutator berikut: a) [x , p_x ]

b) [x, p_x2 ] c) [x , p_y ]

d) [x , H ] dengan H adalah operator Hamilton; e) [x y z, p_x ]

11. Sebuah elektron berada dalam kotak tiga dimensi dengan a = 1 nm, b = 2 nm dan c = 5 nm. Tentukan berapa probabilitasnya agar pada pengukuran posisinya akan dijumpai elektron pada batas-batas 0 < x < 0,4 nm ; 1,5 nm < y < 2 nm dan 0 < z < 5 nm ?

12. Apakah fungsi gelombang partikel dalam kotak tiga dimensi, merupakan fungsi eigen terhadap operator-operator berikut:

a) p_x b) p_x2 c) p_z2 d) _x

13. Jika  tak ternormalisasi, dan A adalah suatu bilangan konstan yang membuat A menjadi

ternormalisasi, maka tentukan A dinyatakan dalam .

(Catatan: A disebut faktor normalisasi)

14. Dalam mekanika kuantum istilah state tidak sama dengan istilah energi level. Untuk partikel dalam kotak berbentuk kubus tentukan ada berapa state dan ada berapa energi level yang terletak pada rentang E < 15 h2/8ma2 ?

15. Jika h2/8ma2 disebut Eo, tentukan berapa tingkat degeneracy dari energi level:

a) 3 Eo b) 12 Eo c) 27 Eo ?

16. Mana di antara himpunan berikut yang merupakan himpunan fungsi independen secara linear (Linearly independent function?

a) x ; x2 ; x6

b) 8, x , x2 , 3x21 ; c) sin x , cos x d) sin x , cos x , eix

1. Gantilah ungkapan mekanika klasik berikut dengan operator mekanika kuantum yang sesuai T =

2 2 mv

p = mv, dalam ruang 3 dimensi

momentum angular komponen y: L_y = zp_x -zp_z Petunjuk: T = m p_x 2 2 p = mv x p =  i  dx d  -i  dx d . i i  i  dx d T =  ₂ 2 2 2 dx d m  T=  2 2 2m   2 = ₂ 2 x   + ₂ 2 y   + ₂ 2 z  

2. Pasangkan fungsi eigen dalam kolom B dengan operatornya dalam kolom A. Berapakah harga eigen dari masing-masing fungsi eigen?

1 (1-x2) ( ₂ ) 2 dx d x dx d _ 4x4 – 12x2 + 3 2 2 2 dx d 5x4 3 dx d x e3x + e-3x 4 dx d x dx d 2 2 2  x 2 – 4x + 2 5 dx d x dx d x ₂ (1 ) 2   4x 3 – 3x v-i,ii-iii,i-ii,iv-v

3. Partikel bermasa m bergerak dalam box 1 dimensi sepanjang L dengan batas pada x = 0 dan x = L. Jadi V(x) = 0 utk 0 ≤ x ≤ L dan V(x) = ∞ selainnya. Fungsi eigen ternormalisasi Hamiltonian utk sistem ini adalah _n(x) =

L x n Sin L  2 2       , dengan E_n = ₂ 2 2 2 2mL n   , dimana bilangan kuantum n = 1,2,3,…

Asumsikan bahwa partikel berada dalam keaaan eigenstate