Modul Matematika Bisnis 1
BAB I
PE
NDAHULUAN
ILUSTRASI
Akhir Maret lalu, PT Indosat mendapat kado istimewa. Departemen Kehakiman dan Hak Asasi Manusia bersama dengan Badan Koordinasi Penanaman Modal (BKPM ) mengesahkan status baru PT Indosat sebagai perusahaan asing. Perubahan status terjadi setelah 42 % saham pemerintah senilai 627 dollar AS di Indosat dilego ke Singapore Technologies Telemedia. Gejolak besar dari perubahan status yang diwarnai oleh penolakan sebagian besar karyawan atas divestasi ini ditambah adanya serangan dari pesaing dekatnya yaitu PT TELKOM. Indosat tidak lagi mendominasi 70% pasar SLI setelah lewat 017 Telkom berhasil mengambil 15% pangsa pasar SLI. Pendapatan Indosat dari SLI pada kuartal pertama tahun2003 turun dari Rp545 milyar menjadi Rp 522,3 milyar. Pemain baru PT Gaharu dan PT Atlatas juga mulai menganggu pasar Indosat. Indosat mulai kelabakan. (Modal No 7/I-Mei 2003 ).
A. PENDAHULUAN
Dari ilustrasi di atas terlihat bahwa, ketika jajaran direksi atau manajemen suatu perusahaan memutuskan untuk mengambil langkah pengembangan usahanya maka terdapat banyak faktor internal dan eksternal yang harus dipertimbangkan. Secara umum berbagai faktor tadi diindentifikasi dan diklasifikasi agar hanya faktor – faktor yang mempunyai relevansi kuat dengan tujuan atau target yang akan dicapai yang mempunyai porsi pemikiran yang lebih besar. Terdapat berbagai ilmu atau teori pendukung antara lain ilmu ekonomi mikro, ekonomi makro, manajemen, psikologi, statistik, ekonometrika , ekonomi lingkungan, akuntansi dan juga matematika.
Matematika merupakan salah satu mata kuliah alat, yaitu mata kuliah
Modul Matematika Bisnis 2 keputusan. Sebagai contoh teori ekonomi menyatakan bahwa apabila harga naik , maka jumlah permintaan akan turun dengan asumsi variabel – variabel
yang lain ceteris paribus , tetap. Teori ekonomi tidak menjelaskan secara
numerik ( ukuran angka ) seberapa besar kenaikan jumlah permintaan akan mempengaruhi harga dan seberapa besar kenaikan harga yang terjadi. Dalam kasus ini, matematika dapat membantu menguraikan berbagai permasalahan ekonomi yang terkadang sulit diterjemahkan dengan penjelasan – penjelasan yang sifatnya verbal. Model matematis yang baik dan bisa untuk menjelaskan permasalahan – permasalahan ekonomi harus mempunyai beberapa ciri sebagai berikut :
a. Secara teoritis bisa diterima b. Mampu untuk menjelaskan
c. Akurat dalam taksiran dan estimasi dari hasil parameter d. Kemampuan untuk digunakan sebagai prediksi
e. Sederhana
Ketika bicara mengenai hubungan antara kuantitas dan harga, Secara
matematis kita akan menuliskan dalam bentuk fungsi Q = f ( P ) yaitu
Kuantitas dipengaruhi oleh Harga. Dengan nilai – nilai numerik dalam harga, kita dapat memperhitungkan kuantitasnya. Atau dengan kata lain, matematika berusaha untuk mengkuatitatifkan beberapa masalah yang bersifat kualitatif sehingga lebih mudah untuk dipahami, diprediksikan atau diestimasikan, untuk selanjutnya digunakan sebagai acuan dalam pengambilan keputusan.
Matematika akan membantu eksplorasi dan eksposisi dari ide – ide ekonomi. Adalah hal yang tidak mudah untuk mengkuantitatifkan variabel – variabel ekonomi yang sifatnya kualitatif, kemudian menunjukkan korelasi antar variabel agar dapat diukur. Hubungan – hubungan ini diwujudkan dalam bentuk model – model ekonomi yang berusaha untuk mempermudah sistem – sistem yang kompleks.
Secara umum, model – model matematika merupakan sesuatu yang merepresentasikan kondisi ekonomi ke dalam hitungan yang dapat
Modul Matematika Bisnis 3 dimengerti secara awam. Misalnya pertumbuhan ekonomi meningkat 20%, menunjukkan bahwa perekonomian tahun ini 20 % lebih baik dibandingkan tahun sebelumnya. Yang dimaksud dengan model adalah : penyederhanaan
atau simplifikasi dari dunia nyata dengan memasukkan variabel – variabel
yang dianggap penting dan kemudian mencari hubungan antarvariabel. Model yang baik bukanlah model yang rumit dan kompleks. Bisa jadi suatu model mempunyai tingkat akurasi yang tinggi meskipun merupakan model yang sederhana. Syarat utamanya adalah model tersebut mampu mengcover atau mampu memasukkan sebanyak mungkin variabel yang relevan.
Model ekonomi dapat berbentuk model matematis maupun non matematis. Model nonmatematis biasanya berupa statement ( pernyataan – pernyataan ). Sementara apabila merupakan model matematis maka akan terdiri atas persamaan – persamaan yang di dalamnya memuat variabel, konstanta, koefisien dan parameter. Variabel adalah sesuatu yang nilainya dapat berubah – ubah dalam suatu masalah tertentu, yang terdiri atas
variabel endogen yaitu variabel yang nilainya ditentukan di dalam model dan
variabel eksogen yaitu nilainya sudah ditentukan di luar model. Variabel
dalam suatu persamaan biasanya dituliskan dalam huruf akronimnya. Misalnya P untuk Price ( harga ), C untuk Cost ( biaya ), R untuk Revenue (
pendapatan ) dan sebagainya. Hal ini dimaksudkan untuk mempermudah
persamaan persepsi antar pengguna matematika ekonomi.
Unsur lain dalam matematika ekonomi adalah konstanta yaitu suatu bilangan tunggal yang nilainya tidak berubah – ubah dalam suatu masalah tertentu. Konstanta mempunyai sifat sama dengan variabel eksogen yang nilai sudah ditetapkan terlebih dulu di luar model. Yang ketiga adalah
parameter yaitu suatu nilai pada masalah tertentu yang mungkin akan
menjadi nilai pada suatu masalah lainnya.
Modul Matematika Bisnis 4
♦ Pertama persamaan definisi, yaitu merupakan dua buah persamaan yang
mempunyai maksud/ arti yang sama. Misalnya Pendapatan sama dengan kuantitas dikalikan harga.
TR = P x Q
♦ Kedua Persamaan perilaku, yaitu yang menunjukkan bahwa perubahan
satu variabel dalam suatu persamaan disebabkan oleh adanya perubahan variabel yang lain. Misalnya hubungan antara pendapatan nasional dengan output/ kuantitas produksi barang, bahwa naiknya pendapatan nasional disebabkan oleh kenaikan output yang diproduksi suatu negara.
♦ Ketiga persamaan keseimbangan , yaitu dua buah persamaan yang
menunjukkan prasyarat untuk pencapaian keseimbangan. Misalnya, dalam keseimbangan pasar, kuantitas yang ditawarkan harus sama
dengan kuantitas yang diminta.
Qd = Qs
Model persamaan juga dapat merupakan gabungan antara beberapa
persamaan. Misalnya ketika kita berbicara tentang jumlah uang yang
beredar di mana permintaan uang sama dengan penawaran uang dan permintaan uang itu sendiri merupakan persamaan definisi dari permintaan uang untuk bertransaksi, permintaan uang untuk berjaga – jaga dan permintaan uang untuk spekulasi. Apabila kita tulis dalam model persamaan maka :
Md = Ms
Md = M tr + Mpre + M spe
Mtr + Mpre + Mspe = Ms
Di mana Md = Money demand
Ms = Money supply
Mtr = Money for transaction
Mpre = Money for precautionary
Modul Matematika Bisnis 5 B. MATEMATIKA MURNI dan MATEMATIKA EKONOMI
Matematika sebagai sebuah ilmu sering dibedakan menjadi
matematika murni (pure mathematics ) dan matematika terapan ( aplicated
mathematics). Dalam ilmu ekonomi kita banyak menggunakan matematika
sebagai ilmu terapan, sehingga matematika murni merupakan dasar bagi pelaksanaan matematika ekonomi terapan, karena tanpa memahami matetamtika murni maka akan sangatlah sulit untuk dapat memahami matematika terapan. Misalnya saja deret dan banjar kita gunakan untuk memprediksikan produksi atau penjualan di masa mendatang. Fungsi kita gunakan untuk memahami suatu bentuk permintaan dan penawaran. Akar pangkat untuk menyelesaikan kasus keuangan dan bunga serta anuitas.
Namun dalam kasus – kasus matematika ekonomi harus dipilih topik – topik matematika murni mana saja yang bisa digunakan misalnya fungsi, kalkulus, deret dan matriks. Ada suatu hal yang cukup istimewa bagi matematika bisnis yaitu kaitannya dengan fungsi Quantitas
Q = f ( P )
dimana penggambaran Harga ( P ) sebagai variabel bebas berada pada sumbu vertikal, seharusnya apabila menurut matematika murni maka P berada pada sumbu horisontal karena merupakan variabel independent (bebas ). Selain itu, dalam matematika murni terdapat bilangan – bilangan yang sifatnya baik negatif maupun positif, tapi dalam matematika ekonomi dan bisnis positif dan negatif cenderung hanya digunakan untuk menunjukkan arah pergerakan dari suatu variabel.
C. SISTEM BILANGAN
Dalam matematika murni terdapat pembagian bilangan nyata dan bilangan khayal. Perbedaan utama dari bilangan nyata dan khayal adalah bahwa bilangan nyata mempunyai sifat pembedaan yang jelas antara positif dan negatif sementara bilangan khayal tidak jelas sifatnya, misalnya akar dari suatu bilangan negatif. Dalam matematika ekonomi dan bisnis, hanya
Modul Matematika Bisnis 6 bilangan nyata yang digunakan. Skema bilangan bisa digambarkan sebagai berikut :
Gambar 1.1
Bilangan rasional merupakan perbandingan antara dua buah bilangan
bulat, baik berupa angka bulat (integer) maupun pecahan (fraction ) atau
desimal, sedangkan bilangan irrasional tidak dapat dinyatakan sebagai perbandingan antara dua buah bilangan bulat . Perbedaan bilangan rasional dan irrasional terletak pada angka di belakang koma atau angka desimalnya. Untuk bilangan rasional adalah apabila angka desimalnya berupa nol atau merupakan angka yang berulang sementara untuk bilangan irrasional adalah bilangan yang angka desimalnya tidak berulang atau tidak berakhir dengan nol.
Selain pembagian bilangan di atas, bilangan bisa digolongkan menjadi :
♦ Bilangan asli yaitu semua bilangan positif , tidak termasuk nol
♦ Bilangan cacah yaitu bilangan positif termasuk nol
♦ Bilangan prima yaitu bilangan yang hanya akan habis bila dibagi dirinya
sendiri.
Bilangan Nyata
Bilangan Rasional Bilangan Irrasional
Bilangan Pecah Bilangan Bulat
Modul Matematika Bisnis 7 C.1. Operasi Bilangan
Bilangan – bilangan nyata mempunyai kaidah - kaidah tertentu apabila dioperasikan. Operasi penjumlahan dan perkalian bilangan nyata mempunyai kaidah – kaidah sebagai berikut :
1. Kaidah Komutatif
Dalam menjumlahkan dua bilangan a dan b perubahan urutan antara keduanya tidak akan mengubah hasil penjumlahan, demikian juga dengan perkalian
2. Kaidah Asosiatif
Dalam menjumlahkan tiga bilangan atau lebih a, b, c perubahan cara pngelompokan tidak akan mengubah hasil demikian juga untuk perkalian
3. Kaidah Pembatalan
Jika jumlah a dan c sama dengan jumlah b dan c, maka a sama dengan b. Demikian juga untuk perkalian dengan syarat c bilangan nyata bukan nol
4. Kaidah Distributif
Dalam pengalian bilangan a terhadap jumlah ( b + c ), hasil kalinya adalah sama dengan jumlah hasil kali ab dan hasil kali ac.
.a + b = b + a .a x b = b x a . ( a + b) + c = a + ( b + c ) . ( a x b) x c = a x ( b x c ) .a + c = b + c maka a = b .a x c = b x c ( c ≠ 0 ) maka a = b .a ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c )
Modul Matematika Bisnis 8 5. Unsur Penyamaan
Unsur penyamaan dalam penjumlahan dan pengurangan adalah bilangan nol ( 0 ), sedang unsur penyamaan dalam perkalian (pembagian ) adalah satu ( 1 ).
D. HIMPUNAN
Himpunan adalah suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah obyek, yang disebut anggota atau elemen atau unsur. Konsep himpunan adalah suatu konsep yang paling mendasar bagi ilmu matematika modern pada umumnya dan bidang ilmu ekonomi dan bisnis khususnya. Karena dalam bidang ekonomi dan bisnis terutama dalam hal pembentukan model digunakan sehimpunan / sekolompok data observasi dari lapangan. Penulisan himpunan dilambangkan dengan huruf besar sementara obyeknya dilambangkan dengan huruf kecil. Penulisan secara matematisnya adalah:
♦ p ∈ A berarti bahwa obyek p merupakan elemen /unsur dari himpunan A.
Jika setiap anggota dari himpunan A juga merupakan anggota dari himpunan
B, maka A disebut himpunan bagian (subset) dari B. Notasinya :
♦ A ⊂ B, berarti bahwa A merupakan himpunan bagian dari B.
Dua buah himpunan dikatakan sama dan sederajat apabila semua anggota himpunan yang satu juga merupakan anggota bagi himpunan bagian yang lain, notasinya ditulis
♦ A = B
Pernyataan ingkaran terhadap p ∈A , A ⊂ B, dan A = B dilambangjan
sebagai berikut :
p ∉ A artinya obyek p bukan merupakan anggota dari himpunan A
A ⊄ B artinya A bukan merupakan himpunan bagian dari B
.a + 0 = a
Modul Matematika Bisnis 9
A ≠ B artinya himpunan A tidak sama dengan himpunan B
Lambang – lambang dalam teori himpunan adalah sebagai berikut Tabel 1.1
Lambang – lambang dalam Teori Himpunan dan Artinya No Lambang Arti Contoh Penggunaan
1 ∈ Anggota X ∈ A : Obyek x adalah anggota dari
himpunan A
2 ⊂ Himpunan
bagian
A ⊂ B : A adalah himpunan bagian dari
B
3 ∪ Gabungan
(union )
A ∪ B : Gabungan antara A dan B
4 ∩ Irisan
(intersection)
A ∩ B : Irisan antara A dan B
5 _ Selisih A – B : Selisih antara A dikurangi B
6 A Pelengkap A
Untuk menyelesaikan permasalahan operasi himpunan seperti ini sering digunakan bantuan diagram Venn.
