E. MENYELESAIKAN MASALAH PROGRAM
E. MENYELESAIKAN MASALAH PROGRAM LINIER
LINIER
1.1. PenPengergertiatian n PrProgograram m LinLinierier
Pro
Program gram linielinier r adaadalah lah suasuatu tu carcara a penypenyeleelesaisaian an masmasalaalah h dendengan gan menmenggunggunakanakan konsep pertidaksamaan
konsep pertidaksamaan linierlinier..
a. Pertidaksamaan linier dengan ditentukan daerah penyelesaian nya. a. Pertidaksamaan linier dengan ditentukan daerah penyelesaian nya.
Sebelum kita membahas lebih lanjut kita harus mengetahui terlebih dahulu Sebelum kita membahas lebih lanjut kita harus mengetahui terlebih dahulu tentan
tentang g perstperstidaksaidaksamaan linier dan maan linier dan juga cara juga cara menentmenentukan daerah ukan daerah penyelpenyelsaiansaian ( himpunan penylesaian).
( himpunan penylesaian).
Petidasamaan linier adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda <, >, Petidasamaan linier adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda <, >, ≤≤
dan dan ≥≥
Contoh : Contoh : 1.T
1.Tentukan himpunan entukan himpunan penyelesaian penyelesaian daridari aa. . x x < < 33 dd. . y y > > 22 b.x b.x ≤≤ 22 ee.. yy ≤≤ -1-1 c. y c. y > > - 3- 3 Jawab : Jawab : 1.a. x < 3 1.a. x < 3
. Sistem pertidaksamaan linier dengan dua variable ditentukan daerah . Sistem pertidaksamaan linier dengan dua variable ditentukan daerah
penyelesaian penyelesaian
Contoh 1 : Contoh 1 : Tunjukan
Tunjukan himpunan penyelesaian yhimpunan penyelesaian yang memenuhi syang memenuhi system pertidaksamaanstem pertidaksamaan 2x + y ≤ 6 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0, untuk x,y 2x + y ≤ 6 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0, untuk x,y∈∈ R R Jawab : Jawab : Langkah – langkah : Langkah – langkah :
Lukislah grafik 2x + y ≤ 6 dengan cara : Lukislah grafik 2x + y ≤ 6 dengan cara : i.
i. TTentukan titik potong sumbu x dan sumbu entukan titik potong sumbu x dan sumbu y dengan tabley dengan table Jika x = 0 maka y = 6 Jika x = 0 maka y = 6 Jika y = 0 maka x = 3 Jika y = 0 maka x = 3 x x 0 0 HP HP x = 3 x = 3 y y
daerah di sebelah
daerah di sebelah kanan sumbu kanan sumbu yy.. iii.Buatlah garis
iii.Buatlah garis y = 0 , yy = 0 , yang merupakan sumbu x , derah yang memenuhi adalahang merupakan sumbu x , derah yang memenuhi adalah daerah di atas sumbu x.
daerah di atas sumbu x. iv
iv.Ganbar grafik dalam .Ganbar grafik dalam koordinatkartesius sehingga terlihat himpunankoordinatkartesius sehingga terlihat himpunan penylesaiannya :
penylesaiannya : v
v. Daerah grafik yang diarsir. Uji titik ( 0,0 ) maka 2.0 + 0 . Daerah grafik yang diarsir. Uji titik ( 0,0 ) maka 2.0 + 0 ≤ 6 maka titik ( 0,0 ≤ 6 maka titik ( 0,0 )) memenuhi. memenuhi. - - - - - - + + + + ++ Contoh 2 : Contoh 2 : A.
A. Menetukan Model Matematika Dari Soal Cerita (Menetukan Model Matematika Dari Soal Cerita ( Kalimat Kalimat VVerbal erbal )) Mod
Model el matmatematematikaika adaadalalah h susuatatu u cacara ra pepenynyelelesesaiaian an mamasasalalah h dedengangan n caca me
mengungubah bah bebentntuk uk kakalilimamat t ververbal bal memenjnjadi adi susuatatu u momodel del yayang ng seselalanjnjututnyny diselesaikan dengan pendekatan matematika.
diselesaikan dengan pendekatan matematika.
Contoh : Contoh :
Seorang pembuat paku membuat jenis paku dari bahan yang tersedia yaitu 5,5 kg Seorang pembuat paku membuat jenis paku dari bahan yang tersedia yaitu 5,5 kg A dan 2 kg bahan B. Paku jenis I tiap buah memerlukan 200 gram bahan A dan 75 A dan 2 kg bahan B. Paku jenis I tiap buah memerlukan 200 gram bahan A dan 75 gram bahan B sedangkan paku jenis II tiap buah memerlukan 150 gram bahan gram bahan B sedangkan paku jenis II tiap buah memerlukan 150 gram bahan jenis A
jenis A dan 50 dan 50 gram bahan jenis gram bahan jenis B.B.
Jika pengusaha menjual paku I dengan harga Rp 500,00 dan paku II dengan harga Jika pengusaha menjual paku I dengan harga Rp 500,00 dan paku II dengan harga Rp 350,00 maka hitunglah berapa buah paku I dan paku II yang harus dibuat agar Rp 350,00 maka hitunglah berapa buah paku I dan paku II yang harus dibuat agar penghasilan pengusaha maksimum?
penghasilan pengusaha maksimum? 3 3 (6,0) (6,0) ((3,0)3,0) 0 0
Paku jenis II = y Paku jenis II = y Tabel
Tabel B
Baarraanngg BBaahhaan n AA BBaahhaan n BB P
Paakku u jjeenniis s II 22000 0 ggrraamm 775 5 ggrraamm P
Paakku u jjeenniis s IIII 11550 0 ggrraamm 550 0 ggrraamm JJuummllaahh 55..55000 0 ggrraamm 22..00000 0 ggrraamm
Berdasarkan table sebelumnya didapat persamaan sebagai berikut : Berdasarkan table sebelumnya didapat persamaan sebagai berikut :
200x + 150y ≤ 5.500 200x + 150y ≤ 5.500 75x + 50y ≤ 2.000 75x + 50y ≤ 2.000 x ≥ 0 x ≥ 0 y ≥ 0 y ≥ 0
Sedangkan fungsi objektifnya adalah z = 500x + 350y Sedangkan fungsi objektifnya adalah z = 500x + 350y Kita sederhanakan dulu persamaan diatas
Kita sederhanakan dulu persamaan diatas 200x + 150y ≤ 5.500 200x + 150y ≤ 5.500 ⇔⇔4x + 3y ≤ 1104x + 3y ≤ 110 75x + 50y ≤ 2.000 75x + 50y ≤ 2.000 ⇔⇔ 3x + 2y ≤ 803x + 2y ≤ 80 x ≥ 0 x ≥ 0 y ≥ 0 y ≥ 0 ⇔
⇔Mencari dearah penyelesaian untuk system pertidaksamaan di atasMencari dearah penyelesaian untuk system pertidaksamaan di atas
4x + 3y ≤ 110 4x + 3y ≤ 110 x x 00 2 2 55 55 y y 3 3 110 110 00 3x + 2y ≤ 80 3x + 2y ≤ 80 x x 00 3 3 80 80 y y 4400 00 ⇔
⇔Titik potong garis 4x + 3y = 110 dan 3x + Titik potong garis 4x + 3y = 110 dan 3x + 2y = 80 adalah2y = 80 adalah
4x 4x + + 3y 3y = = 110 110 x2 x2 8x + 8x + 6y 6y = = 220220 3x 3x + + 2y 2y = = 80 80 x3 x3 9x 9x + + 6y 6y = = 240240 - - x x = = -20-20 x x = = 2020 untuk x = 20 untuk x = 20 3x + 2y = 80 3x + 2y = 80 ⇔⇔3.20 + 2y = 803.20 + 2y = 80 2y = 80 – 60 2y = 80 – 60 y =
y = 2020 = 10 maka titik potong (20,10)22 = 10 maka titik potong (20,10)
⇔
⇔
⇔Daerah Daerah himpunan penyelesaian himpunan penyelesaian adalah OABC, sadalah OABC, sedangkan titik –tiedangkan titik –titik tik
optimumnya adalah O(0,0), A(80/3,0), B(20,10), dan
optimumnya adalah O(0,0), A(80/3,0), B(20,10), dan C(0,110/3)C(0,110/3)
⇔
⇔ Nilai fungsi obyeknya adalah : Nilai fungsi obyeknya adalah :
Untuk O(0,0) Untuk O(0,0) ⇔⇔z = 500.0 + 350.0 = 0z = 500.0 + 350.0 = 0 UntukA(80/3,0) UntukA(80/3,0) ⇔⇔z = 500.80/3 + 350.0 = 13.000z = 500.80/3 + 350.0 = 13.000 UntukB(20,10) UntukB(20,10) ⇔⇔z = 500.20 + 350.10 =z = 500.20 + 350.10 =13.50013.500 UntukC(0,110/30 UntukC(0,110/30⇔⇔z = 500.0 + 350.110/3 = 12.000z = 500.0 + 350.110/3 = 12.000 ⇔
⇔Jadi agar mendapat penghasilanJadi agar mendapat penghasilanmaksimum yaitu Rp 13.500,00maksimum yaitu Rp 13.500,00 makamaka
pengusaha harus membuat 20 buah paku I dan 10 buah paku II. pengusaha harus membuat 20 buah paku I dan 10 buah paku II.
C.
C. MenentuMenentukan Nilai Optikan Nilai Optimum dari Sistmum dari Sistem Pertidaem Pertidaksamaan Lksamaan Linierinier.. D.
D. GariGaris Selis Selidik dedik dengan Pngan Prsamrsamaan ax + baan ax + by = k y = k
Un
Untutuk k memenennentutukakan n ninilalai i opoptitimumum,m,seselalain in dedengangan n memencncarari i titititik k – – titititik k yayangng koordinat – koordinatnya memenuhi syarat yang diberikan, dapat juga dilakukan koordinat – koordinatnya memenuhi syarat yang diberikan, dapat juga dilakukan dengan menggunakan garis – garis sejajar itu mempunyai persamaan ax + by = k dengan menggunakan garis – garis sejajar itu mempunyai persamaan ax + by = k ,dengan k
,dengan k ∈∈ R dan ax + by merupakan bentuk obyektif. Kerena garis – garis yangR dan ax + by merupakan bentuk obyektif. Kerena garis – garis yang
sejajar itu di gunakan untuk menyelidiki nilai optimum,maka garis – garis itu sejajar itu di gunakan untuk menyelidiki nilai optimum,maka garis – garis itu disebut
disebut garis selidik. garis selidik.Agar himpunan garis – garis sejajar ax + by = k mudahAgar himpunan garis – garis sejajar ax + by = k mudah dilukis, maka mulailah dengan melukis garis yang melalui tttik pangkal , yaitu dilukis, maka mulailah dengan melukis garis yang melalui tttik pangkal , yaitu jika k = 0. Kemudian, garis – garis ax + by = k untuk k = 1,2,3,4, ……dilukis jika k = 0. Kemudian, garis – garis ax + by = k untuk k = 1,2,3,4, ……dilukis
dengan penggaris. dengan penggaris.
Contoh : Contoh :
Tentukan nilai maksimum dari 3x + 2y yang memenuhi : Tentukan nilai maksimum dari 3x + 2y yang memenuhi :
x + y ≤ 5 ; x x + y ≤ 5 ; x ≥ 0 ;y ≥ 0≥ 0 ;y ≥ 0 B(20,10) B(20,10) 0 0 4x + 3y = 110 4x + 3y = 110 A(80/3,0) A(80/3,0) y y x x C(0,110/3) C(0,110/3) 3x + 2y = 80 3x + 2y = 80
Jadi nilai maksimum adalah 15 Jadi nilai maksimum adalah 15
x + y =5 x + y =5 3x + 2y = k 3x + 2y = k 2 2 3x + 2y = k 3x + 2y = k 1 1 3x + 2y = k 3x + 2y = k 33 y y x x
