y = x 5 y = x Pengamiran Asas Pengamiran adalah melalui proses songsang kepada pembezaan. x n dx = axn+1 n +1 + c, n 1 y = 1 x

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

Pengamiran Asas

• Pengamiran adalah melalui proses songsang kepada

pembezaan.                             xndx

∫

=ax n+1 n+1+c, n≠ −1

y

=

x

5

y

=

x

5

+

5

y = 1 x y= x3+2x2+x+4 y = x3+2x2 −5x+4 y= 1 4x 4 +3x3−4x+5

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

Kamirkan setiap ungkapan yang berikut terhadap x

1                     2   3                     4   x3(8−5x)

∫

dx _x(x− 2 x)

∫

dx (2x−1)(x−1) dx

∫

x4 +7x x3 dx

∫

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

Kamirkan setiap ungkapan terhadap x

1                     2   3                     4   (4x 3 −3x 2x3 )dx

∫

∫

(2x−1)2 dx (2x−1)3 dx

∫

∫

(3x+5)5 dx

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

Kamirkan setiap ungkapan terhadap x

1                     2   3                     4   6(2−7x)3dx

∫

∫

6(2x−1)7 dx 5 (x+1)4 dx

∫

∫

_(3x18₋₅₎3 dx

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

Mencari nilai pemalar _c dala kamiran tentu

dy

dx =2x+2

Diberi bahawa dan y=6 apabila x= -1,cari y dalam sebutan x.

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

dy dx = x 2 (4x−3)

Diberi bahawa dan y=5 apabila x= 2, cari y dalam sebutan x.

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

d2y dx2 =4x 3 +1 dy dx =3

Diberi bahawa dan , y=½   apabila x= -­‐1, cari

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

d2y dx2 =3−2x dy dx =−1

Diberi bahawa dan , y=3   apabila x= -­‐2, cari

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

dy dx =2x+2 x2 d 2 y dx2 +(x−1) dy dx +y=8

Diberi bahawa dan y=6 apabila x= -1,cari y dalam

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

dy dx = 4x−3 x2 d 2 y dx2 −(x+2) dy dx + y=34

Diberi bahawa dan y=9 apabila x= -1,cari y dalam

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

Diberi bahawa , ungkapkan y dalam sebutan x 4x+3dy

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

Menentukan Persamaan Lengkung dari Fungsi Kecerunan

SPM 2004, K2, S5

Fungsi kecerunan untuk lengkung yang melalui titik (1, -12)

ialah 3x2 _{– 6x .}

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

Fungsi kecerunan untuk lengkung yang melalui titik A(-1,7) ialah

3x2  _+2x-­‐1.

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

Fungsi kecerunan untuk lengkung yang melalui titik pegun A (3,5)

ialah kx  +  6. Cari

a)  nilai k

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

Fungsi kecerunan untuk lengkung yang melalui titik putaran B(-2,6)

ialah kx2  _{-­‐12. Cari}

a)  nilai k

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

Diberi bahawa

a)  Cari nilai x apabila y adalah maksimum

b)  Diberi bahawa y=4 apabila x=2, cari nilai maksimum y.

dy

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

Fungsi kecerunan satu lengkung ialah -3x – 6 dan nilai maksiumnya ialah 4. Cari persamaan lengkung itu.

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

Fungsi kecerunan satu lengkung ialah 2x + k dengan k

adalah pemalar . Diberi bahawa lengkung mempunyai titik pusingan pada titik (1, 6). Cari

a)  nilai bagi k

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

Fungsi kecerunan satu lengkung kx2_{-6x, dengan k ialah}

pemalar. Garis lurus y-9x+5=0 ialah tangen kepada lengkung pada titik (-1, -9). Cari,

a)  nilai bagi k

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

Fungsi kecerunan satu lengkung kx2_{-x, dengan k ialah}

pemalar. Garis lurus y-5x+7=0 ialah tangen kepada lengkung pada titik (1, -2 ). Cari,

a)  nilai bagi k

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

y+1 9 x+2 =0

Fungsi kecerunan satu lengkung kx2_{-6x, dengan k ialah}

pemalar. Garis lurus ialah tangen kepada lengkung pada titik (-1, -9). Cari,

a)  nilai bagi k

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

y+ 1 5x+3=0

Fungsi kecerunan satu lengkung kx2_{-x, dengan k ialah}

pemalar. Garis lurus ialah tangen kepada lengkung pada titik (1, -2 ). Cari,

a)  nilai bagi k

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

Fungsi kecerunan satu lengkung px2_{-4x, dengan p ialah}

pemalar. Garis lurus y+x-5=0 adalah selari dengan tangen kepada lengkung pada titik (1, 3 ). Cari,

a)  nilai bagi p

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

Rajah menunjukkan lengkungyang mempunyai fungsi

kecerunan dengan p sebagai pemalar. Titik (4,2) pada tangen ke lengkung melalui (0,-2). Cari

a)  kecerunan kepada tangen

b)  nilai bagi p

c)  persamaan lengkung itu

1

2 x+ p

•  (4, 2)

•  ( 0 ,- 2) x

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

Kamiran Tentu Jika

∫

f (x)dx = F(x)+c, maka f (x)dx = F(b)− F(a) a b

∫

1               2   3               4   2x dx 1 2

∫

= 8x dx 1 2

∫

= ( 2 x3)dx 1 3

∫

= (4x−3x2)dx 1 3

∫

=

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

1                 2   3                 4   (2x+3)2dx 0 1

∫

= 16(2+4x)3dx 0 1

∫

= 24 (3x−5)3 dx= 2 3

∫

6(x+2)−3dx= 0 1

∫

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

Aplikasi untuk Kamiran Tentu (I)

Diberi bahawa Cari nilai untuk f (x)dx= 4 , g(x)dx = 6

1 3

∫

1 3

∫

. a) b) c) d) f(x)dx 3 1

∫

2+ f(x) ! " #$dx 1 3 ∫ 3f(x)−1 2 " # $ % & 'dx 1 3

∫

3 2 f(x)+2g(x)−1 " # $ % & 'dx 1 3 ∫

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

Diberi bahawa Cari nilai untuk f (x)dx= 4 , g(x)dx = 6

1 3

∫

1 3

∫

. a) b) [kx−g(x)]dx =10 3 1

∫

2 f(x)−kx " # $%dx 1 3 ∫

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

Diberi bahawa ,dengan k > -1, cari nilai bagi k. (2x−3)dx= 6

−1

k

∫

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

Diberi bahawa , dengan k>0, cari nilai bagi k. (2x−1)dx=

0

k

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

Diberi bahawa cari nilai untuk . _dxd _xx2

−1 " # $ % & '= g(x)

(

2x − g(x)

)

2 3

∫

dx

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

Diberi bahawa cari nilai untuk . d

dx x x−1 " # $ % & '= f (x)

(

_{4x + f (x)}

)

2 3

∫

dx

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

Diberi bahawa dan cari nilai untuk a) b) c) g(x)dx=3 2 4

∫

g(x)dx= 5 4 7

∫

g(x)dx− g(x)dx 7 4

∫

2 4

∫

[g(x)+2x]dx 2 7

∫

3g(x)dx 4 7

∫

+ 2g(x)dx 4 7

∫

TIPS

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

Diberi bahawa y=(3x2_-2)4

a)  Buktikan bahawa fungsi kecerunan ialah 24x(3x2-2)3

b)  Seterusnya, cari nilai untuk x(3x2 −2)3dx

0 2

∫

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

Diberi bahawa a)  Butikan bahawa

b)  Seterusnya, cari nilai untuk

y= 2x 2 3x−2 dy dx = 2x(3x−4) (3x−2)2 x(3x −4) (3x−2)2 0 1

∫

dx

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

Pengamiran sebagai Penghasiltambahan Luas

y

x

y = 2x2₊₃

Rajah menunjukkan sebahagian

daripada lengkung y=2x2_+3.

Satu rantau yang dibatasi oleh

lengkung, paksi-x dan garis lurus x=1 dan x=3. Cari luas rantau itu.

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

Rajah menunjukkan sebahagian

daripada lengkung y=3x – x2_.

Satu rantau yang dibatasi oleh lengkung dan paksi-x. Cari luas rantau itu.

y

x

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

y   x  

Rajah menunjukkan sebahagian daripada lengkung

Satu rantau yang dibatasi oleh lengkung, paksi-x dan garis lurus x=2 dan x=3. Cari luas rantau itu.

y

=

3

(2

x

−

1)

2

y= 3 (2x−1)2

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

y   x   y=  x3_-­‐x2_-­‐2x   0                                    2  

Rajah menunjukkan sebahagian

daripada lengkung y= x3_-x2_{-2x. Cari luas}

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

y   x   y=  6x  –  3x2                        4  

Rajah menunjukkan sebahagian

daripada lengkung y= 6x – 3x2_{. Cari luas}

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

y   x  

Rajah menunjukkan sebahagian

daripada lengkung x= y2_{-4y +3}

Satu rantau yang dibatasi oleh

lengkung dan paksi-y. Cari luas rantau itu.

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

y   x   y2_{=  4(x-­‐1)}  

Rajah menunjukkan sebahagian

daripada lengkung y2_{= 4(x-1)}

Satu rantau yang dibatasi oleh

lengkung, paksi-x, paksi-y dan garis lurus y=4. Cari luas rantau itu.

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

y   x  

Rajah menunjukkan sebahagian

daripada lengkung y=x3 _{+ 2.}

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

(SPM 06, K1,S20)

Rajah menunjukkan lengkung y = f(x) memotong paksi-x pada x=a

dan x=b.

Diberi bahawa luas kawasan berlorek

ialah 5 unit2_{, cari nilai untuk}

x y O a b y = f(x) 2 f (x)dx a b

∫

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

x y O a b y = g(x) 3g(x)dx b a

∫

Rajah menunjukkan lengkung y = f(x) memotong paksi-x pada

x=a dan x=b.

Diberi bahawa luas kawasan

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

Rajah menunjukkan lengkung y = f(x)

x y

O 5

4

Cari luas kawasan berlorek jika f (x)dx

0 4

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

Rajah menunjukkan lengkung y = f(x)

x y O y = f(x) 6 8 f (x)dx 0 8

∫

Diberi bahawa luas kawasan

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

(SPM 01)

Rajah menunjukkan sebahagian lengkung.

x y O 2 (4, 8) ●

a)  Lorekkan pada rajah yang diberi

yang mewaliki rantau bagi

b)  Cari nilai bagi

x dy

2 8

∫

y dx + x dy 2 8

∫

0 4

∫

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

Rajah menunjukkan sebahagian lengkung.

x y O 10 (6, 2) ● x dy 2 10

∫

a)  Lorekkan pada rajah yang diberi

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

Rajah menunjukkan lengkung y=x2_{+5 dan tangen kepada}

lengkung adalah pada titik A(1, 6).

a)  Cari persamaan tangen pada

titik A

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

Pengamiran sebagai Penghasiltambahan Isipadu

y

x

y = 2x2₊₃

Rajah menunjukkan sebahagian

daripada lengkung y=2x2_{+3. Satu rantau}

yang dibatasi oleh lengkung, paksi-x dan garis lurus x=1 dan x=3. Cari isipadu janaan jika rantau tertutup ini dikisarkan melalui 360° pada sekitar paksi -x.

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

y   x  

Rajah menunjukkan sebahagian daripada lengkung

Satu rantau yang dibatasi oleh lengkung, paksi-x dan garis lurus x=2 dan x=3. Apabila rantau tertutup ini diputarkan sekitar 360° pada paksi-x, hitung isipadu janaan

tersebut.

y

=

3

(2

x

−

1)

2

y= 3 (2x−1)2

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

y   x   y=  x3_-­‐x2_-­‐2x   0                                    2  

Rajah menunjukkan sebahagian

daripada lengkung y= x3_-x2_{-2x. Apabila}

rantau tertutup ini diputarkan sekitar 360° pada paksi-x, hitung isipadu janaan

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

y   x   y=  x3_-­‐x2_-­‐2x   0                                    2  

Rajah menunjukkan sebahagian

daripada lengkung y= x3_-x2_{-2x. Apabila}

rantau tertutup ini diputarkan sekitar 180° pada paksi-x, hitung isipadu janaan

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

y   x   y=  6x  –  3x2                        4  

Rajah menunjukkan sebahagian

daripada lengkung y= 6x – 3x2_{. Apabila}

rantau tertutup ini diputarkan sekitar 360° pada paksi-x, hitung isipadu janaan

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

y   x   y2_{=  4(x-­‐1)}  

Rajah menunjukkan sebahagian

daripada lengkung y2_{= 4(x-1)}

Satu rantau yang dibatasi oleh

lengkung, paksi-x, paksi-y dan garis lurus y=4. Apabila rantau tertutup ini diputarkan sekitar 360° pada paksi-y, hitung isipadu janaan tersebut.

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

y   x  

Rajah menunjukkan sebahagian

daripada lengkung y=x3 _{+ 2.}

Apabila rantau tertutup ini diputarkan sekitar 360° pada paksi-y, hitung

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

y   x  

Rajah menunjukkan sebahagian

daripada lengkung y=x3 _{+ 2.}

Apabila rantau tertutup ini diputarkan sekitar 180° pada paksi-y, hitung

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

Rajah menunjukkan sebahagian lengkung.

x y O 2 (4, 8) ●

a)  Lorekkan pada rajah yang diberi

yang mewaliki rantau bagi

b)  Apabila rantau tertutup ini

diputarkan sekitar 360° pada paksi-y, hitung isipadu janaan tersebut.

x dy

2 8

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

Rajah menunjukkan sebahagian lengkung.

x y O 10 (6, 2) ● x dy 2 10

∫

a)  Lorekkan pada rajah yang diberi

yang mewaliki rantau bagi

b) Apabila rantau tertutup ini

diputarkan sekitar 360° pada paksi-x, hitung isipadu janaan tersebut.

w

w

w

.ig

eta

.co

m.

my

 

Rajah menunjukkan lengkung y=x2_{+5 dan tangen kepada}

lengkung adalah pada titik A(1, 6).

_{Apabila rantau tertutup ini}

diputarkan sekitar 360° pada paksi-y, hitung isipadu janaan tersebut