TEORI-TEORI PENDUKUNG
Untuk lebih memahami isi dari tulisan ini dibutuhkan beberapa penge-tahuan tentang konsep, formula, dan definisi yang berhubungan dengan rancangan jaringan distribusi. Secara keseluruhan konsep, formula dan definisi berdasarkan tulisan Anton J. Kleywegt (2006).
Daganzo (1978) menganggap permintaan banyak asal ke banyak tujuan se-bagai suatu sistem yang responsif, misalnya taksi paling banyak satu kali per-mintaan per waktu dan bus yang memungkinkan beberapa perper-mintaan yang akan diangkut per waktu. Daganzo memodelkan tiga algoritma yang membahas ten-tang rute danapproximate expressionsyang diperoleh dari waktu tunggu rata-rata dan waktu setiap kali pelanggan naik ke dalam kenderaan.
Operasi distribusi berlangsung berulang kali dalam jangka waktu. Dimisalkan,
O adalah titik asal dan D adalah titik tujuan. Diberikan beberapa asumsi:
1. Setiap pengiriman dilakukan melalui satu terminal dari titik asal ke titik tujuan.
2. Dalam satu periode waktu tertentu, pengiriman dimulai dari terminal (barang-barang tetap diambil dari daerah asal) ke tujuan dan kembali lagi ke ter-minal dimana kenderaan berada, dengan kata lain barang dipindahkan dari titik asal O yang ditetapkan ke himpunan tujuan D.
Daganzo dan Hall (1993) membahas perkiraan biaya rute kenderaan un-tuk melakukan pengambilan dan pengiriman barang, dimana pengiriman telah selesai sebelum pengambilan dilakukan. Diasumsikan pengambilan dan pengiri-man terdistribusi merata pada wilayah yang telah dipartisi menjadi approximate rectangles dan tidak terikat pada jumlah rute pengambilan.
Blumenfeld (1985) menjelaskan ekspresi biaya pada kasus-kasus sebagai berikut:
1. Pengiriman langsung dari satu asal ke satu tujuan. 2. Pengiriman langsung dari banyak asal ke satu tujuan. 3. Pengiriman langsung dari satu asal ke banyak tujuan. 4. Pengiriman langsung dari banyak asal ke banyak tujuan.
5. Pengiriman dari banyak asal ke banyak tujuan dengan semua beban berge-rak dan dimana rute tidak dianggap.
6. Pengiriman dari banyak asal ke banyak tujuan dengan beberapa beban ber-gerak langsung dari asal ke tujuan.
Berikut akan diberikan beberapa definisi yang diperlukan untuk meminimal-kan biaya.
Diberikan sebuah himpunan berhingga jalur-jalur (Ω). Misalkan ∃ω ∈ Ω dengan probabilitas atau bobot sebesar p(ω). Himpunan Ω menunjukkan proba-bilitas distribusi yang masuk atau dapat diperoleh dari probaproba-bilitas yang masuk dengan sampling atau dapat juga merupakan perbedaan prediksi jalur pada peri-ode waktu.
Diberikan sebuah pertidaksamaan:
∀ω ∈Ω,qij(ω)≥0
yaitu menunjukkan jumlah barang per periode waktu yang harus pindah dari titik asal i ∈ O ke tujuan j ∈ D pada ω. Setiap kenderaan memiliki kapasitas yang sama Qv.
Himpunan terminal yang ada dinotasikan denganXE, dan terminal potensial oleh XP. Dari pernyataan tersebut, dapat dibuat suatu persamaan:
DiberikanCm yang menunjukkan perbedaan biaya per periode waktu antara terminalm yang beroperasi dengan terminalm yang tidak beroperasi.
Diberikandij menunjukkan biaya untuk memindahkan kenderaan dari titik
asal i ke titik tujuan j, dengan asumsi biaya berpindahnya kenderaan tidak ter-gantung pada beban yang dibawa.
Notasi Cv menunjukkan biaya per periode waktu untuk setiap kenderaan berdasarkan tiap terminal, baik kenderaan yang digunakan atau tidak, dan cv
untuk setiap kenderaan yang digunakan selama periode waktu, tidak tergantung oleh jarak yang ditempuh oleh kenderaan.
Hall (1993) menganggap desain banyak asal ke banyak tujuan sebagai angku-tan jaringan distribusi di area lokal, seperti daerah metropoliangku-tan. Area tersebut memiliki satu gerbang terminal yang terletak di pusat, dimana semua pengiriman ke dan dari lokasi tersebut akan melewatinya. Berikut akan diberikan beberapa definisi mengenai terminal yang berpotensi untuk dibuka pada semua jalur.
Diambil variabel keputusanum yang menunjukkan terminalm yang terbuka
untuk semua jalur, yaitu:
um := 1, jikam ∈χ terbuka 0, jika lainnya (2.1)
Variabel keputusan integernm
v menyatakan jumlah kenderaan yang ditugaskan ke
terminalm.
Untuk setiap jalurω∈Ω, akan diputuskan cara untuk memindahkan setiap pengiriman dari asal ke tujuan melalui terminal terbuka. Artinya, untuk setiap pasangan asal-tujuan (i,j) ∈ O × D dengan qij > 0, akan ditentukan terminal
terbuka yang digunakan dalam pengiriman dan akan diputuskan masalah rute yang akan dipakai.
Diberikan variabel keputusan biner zm
ij (ω) yang menunjukkan pengiriman
dari i ke j melalui terminalm, yaitu:
zijm :=
1, jika terminalm ∈χ digunakan dalam perpindahan pengiriman dalam ruteω ∈Ω
0, jika lainnya
(2.2)
zm
ij menunjukkan bahwa penugasan terminal dari asal ke tujuan bervariasi sesuai
rute. Jika pengangkutan dari asal ke tujuan melalui terminal harus sama untuk semua rute, maka syarat perlu variabel zm
ij tidak bergantung padaω.
Pada bab ini hanya untuk menentukan bahwa τ(O0,D0,Q0,d0,n
v)
menun-jukkan biaya optimum dari masalah rute dengan jumlah kenderaan tertentu pada suatu terminal.
Dimisalkan, O0 ⊂ O untuk daerah asal dan D0 ⊂ D untuk daerah tujuan.
Diberikan beberapa asumsi:
1. Jumlah yang harus dijemput dan dikirimkan diberikan oleh
Q0 ∈R(1+|O0|+|D0|)
+ (dimana untuk setiap asali ∈ O0,Q0 menunjukkan kuan-titas yang akan diambil dari terminal dan disampaikan dij).
2. Biaya perpindahan kenderaan antara terminal, asal dan tujuan diberikan oleh d0 ∈R(1+|O|0+|D0|)2
.
3. nv adalah kenderaan dengan kapasitas Qv masing-masing.
Berdasarkan asumsi di atas, dapat diperoleh beberapa persamaan dari fungsi τ dan bergantung pada variabel keputusan pada Persamaan (3.2), yaitu :
∀m ∈ X dan zm(ω)∈ {0,1}|O×|D| diambil, Om zm(ω) := i ∈ O :P j∈Dzijm(ω)>0 (3.3) Dm zm(ω) := j ∈ D :P i∈Ozijm(ω)>0 (3.4)
Qm i zm(ω), ω :=P j∈Dm(zm(ω))qij(ω)zijm(ω), untuk i ∈ Om(zm(ω)) (3.5) Qm j zm(ω), ω :=P i∈Om(zm(ω))qij(ω)zijm(ω), untuk j ∈ Dm(zm(ω)) (3.6) Qm zm(ω), ω := Qm i zm(ω), ω :l ∈ Om zm(ω) ∪ Dm zm(ω) (3.7) dm zm(ω), ω := dij :i,j ∈ Om zm(ω) ∪ Dm zm(ω) ∪ {m} (3.8) Dari Persamaan (3.3)-(3.8) diperoleh fungsi objektif yang memberikan ren-cana biaya minimum dari distribusi untuk rute yang diberikan oleh terminal ter-buka ω yang ditentukan oleh u, ukuran armada angkutan yang ditentukan oleh nv, dan rute dari asal ke tujuan yang ditentukanq(ω).
Fungsi objektif: min u,nv{ P m∈X(cmum +Cvnvm) + P ω∈Ωp(ω)V(u,nv, ω)} (3.9) dengan u ∈ {0,1}|X | dan n v ∈N|X | dimana, V(u,nv, ω) := min Z(ω) X m∈X τ Om(zm(ω) ,Dm(zm(ω)), Qm(zm(ω), ω)dm(zm(ω)),nm v (3.10) dengan kendala, P
m∈Xzijm(ω) =I{qijω>0} , untuk semua i ∈ O,j ∈ D (3.11)
zm
ij (ω)≤um , untuk semua i ∈ O,j ∈ D,m ∈ X (3.12)
zm
ij (ω)∈ {0,1} , untuk semua i ∈ O,j ∈ D,m ∈ X (3.13)
Pada Persamaan (3.7) jumlah yang harus dijemput dan ditunjukkan dalam periode waktu pada ruteω ditentukan oleh daerah asal dan daerah tujuan qij(ω).
Jadi interpretasi yang dapat diambil dari Formulasi (3.10)-(3.13) yaitu un-tuk mengantarkan barang-barang yang diperoleh dari periode waktu sebelum-nya dan kemudian untuk mengambil dan selanjutsebelum-nya membawa barang-barang tersebut untuk diangkut ke terminal yang akan disampaikan pada perode waktu berikutnya. Jika rute daerah asal ke daerah tujuan bervariasi setiap minggu,
ma-ka jumlah total barang yang di jemput pada minggu tertentu tidak sama dengan jumlah total yang sama di antar pada minggu yang lainnya.
Berdasarkan penjelasan di atas dan Formulasi (3.3)-(3.13) dapat didefinisi-kan fungsi τ. Fungsi τ merupakan kemungkinan beberapa kenderaan untuk me-ngunjungi daerah asal atau daerah tujuan selama periode waktu, dan pengiriman akan selesai sebelum pengambilan dilakukan dalam satu rute.
Dengan menetapkan daerah asalO0, daerah tujuan D0, jumlah barang yang
akan diambil dan dikirimkan ditunjukkan oleh Q0, biaya berpindahnya
kendera-an kendera-antara daerah asal, daerah tujukendera-an dkendera-an terminal ykendera-ang dilewati diberikkendera-an oleh d0, dan n0
v kenderaan dengan kapasitas Qv. Dimisalkan 0 menyatakan terminal.
Diberikan V0 := {0} ∪ O0 ∪ D0 yang menyatakan himpunan titik-titik. Karena
pengiriman harus diselesaikan sebelum pengambilan yang dilakukan pada rute, maka himpunan feasible arc pada rute adalah
A0 :={(i,j)∈(V0)2
\ O0 × D0 :i 6=j
Diberikan variabel keputusan sebagai berikut:
vk :=
1, jika kenderaan k digunakan 0, lainnya
xijk :=
1, jika kenderaan k berpindah pada arc (i,j) 0, lainnya
aik ≥0, jumlah barang yang diambil pada i jikai ∈ O0 atau jumlah barang
Dari definisi fungsiτ dan penjelasan di atas, diperoleh: τ(O0,D0,Q0,d0,n v) := min x,v,a P (i,j)∈A0 Pn0 v k=1dij0xijk +cv Pn0 v k=1vk (3.14) dengan kendala, P
{j:(j,i)∈Axjik =P{j:(j,i)∈A}xijk , untuk semua i ∈ O0∪ D0,k ∈ {1, ...,nv0} (3.15)
aik ≤(P{j:(j,i)∈A}xijk)Qv , untuk semua i ∈ O0∪ D0,k ∈ {1, ...,nv0} (3.16) P
i∈D0aik ≤ Qvvk , untuk semua k ∈ {1, ...,nv0} (3.17) P
i∈O0aik ≤ Qvvk , untuk semua k ∈ {1, ...,nv0} (3.18) Pn0 v k=1aik =Q0i , untuk semua i ∈ O0 (3.19) Pnv0 k=1ajk =Q0j , untuk semua j ∈ D0 (3.20) P
{(i,j)∈A:i,j∈S}xjik ≤ |S| −1 , untuk semua k ∈ {1, ...,nv0},S ⊂ O0
atau S ⊂ D0,|S| 6= 2 (3.21)
vk ∈ {0,1} , untuk semua k ∈ {1, ...,nv0} (3.22)
xijk ∈ {0,1} , untuk semua (i,j)∈ A,k ∈ {1, ...,nv0} (3.23)
aik ≥0 , untuk semua i ∈ O0∪ D0,k ∈ {1, ...,nv0} (3.24)
Fungsiτ yang diberikan dalam Formulasi (3.14)-(3.24), fungsi objektif (3.9) beserta kendalanya (3.11)-(3.13) dapat diformulasikan sebagai bentuk two-stage mixed integer linear program.
Laporte (1988) membahas tentang masalah optimasi yang menggabungkan kedua sarana lokasi dan rute kenderaan serta memberikan gambaran dari kedua algoritma branch and bound yang tepat, dan heuristic untuk sejumlah masalah sarana lokasi yang spesifik khusus kasus komoditas tunggal yaitu semua pengiri-man dianggap sebagai produk yang sama, sehingga pengiripengiri-man barang diambil dari asal tetapi tidak memiliki tujuan. Namun, Laporte juga tidak mempertim-bangkan pengiriman pada rute yang sama. Selanjutnya, Laporte, dkk (1989) kembali mengusulkan integer programming models of stochastic untuk masalah lokasi rute dan ukuran kenderaan.
Berikut akan diberikan contoh dari masalah yang akan dibahas dan dapat diselesaikan dengan software yang tersedia. Diberikan 5 titik asal, 5 titik tujuan, 3 calon terminal dan 1 jalur. Contoh tersebut dapat diselesaikan dengansoftware
yang tersedia, tetapi jika diberikan 6 titik asal, 6 titik tujuan, 3 calon terminal dan 1 jalur, maka contoh tersebut tidak dapat diselesaikan dengan softwareyang tersedia. Hal tersebut diakibatkan karena memori komputer tidak cukup untuk menyelesaikan masalah Branch and Bound.
Dari contoh tersebut, untuk merancang jaringan distribusi dengan pola banyak asal ke banyak tujuan maka fungsi objektif pada Formulasi (3.9) akan diperbaiki dengan menyederhanakan masalah rute kenderaan pada Formulasi (3.11)-(3.13).
Selanjutnya akan dijelaskan faktor-faktor yang penting dalam rancangan jaringan distribusi. Faktor-faktor yang diperlukan dalam merancang jaringan distribusi yaitu:
1. Pilih jumlah terminal. 2. Tentukan lokasi terminal.
3. Tentukan jumlah lokasi pada setiap terminal.
Berdasarkan faktor-faktor di atas, Formulasi (3.9) dapat dituliskan kembali menjadi min N∈z∗ min u∈{0,1}|X |: P m∈X um=N min nv∈N|X | { P m∈X (cmum +Cvnvm) + P ω∈Ω p(ω)V(u,nv, ω)} = min N∈z∗f(N) (3.26) dimana, f(N) := min N∈z∗u∈z∗|X |min:P m∈X um=Nnvmin∈N|X | { P m∈X (cmum +Cvnvm) +P ω∈Ω p(ω)V(u,nv, ω)} (3.27) dengan z∗ ={1,2, ...}.
op-timisasi bergantung pada N. Oleh karena itu, akan diberikan suatu pendekatan untuk memilih jumlah N terminal, yaitu pendekatan yang bergantung pada N.
Dimisalkan lokasi yang paling mungkin dipilih sebagai terminal (biasanya lokasi dengan nilai cm paling kecil) memiliki biaya tetap yang sama cm ≈ c.
Kemudian P
m∈X(cmum) pada fungsi objektif (3.9) diganti dengan cN. Jumlah
kenderaan yang dibutuhkan P
m∈Xnvm dapat diperkirakan dengan data rute dan
kapasitas kenderaan. Misalnya, max
ω∈Ω
P
i∈O
P
j∈D
qij(ω)/Qv maka biaya total kenderaan
tetap P m∈X
Cvnvm tidak tergantung pada jumlah N terminal yang dipilih.
Pemili-han jumlah kenderaan yang optimalnm
v dari setiap terminal masing-masing akan
diselesaikan pada bagian berikutnya.
Selanjutnya pendekatan yang tersisa dari fungsi objektif, yaitu min N∈{1,2,...}u∈{1,2,...}|X |min:P m∈Xum=N min nv∈N|X | P ω∈Ω p(ω)V(u,nv, ω), dengan, ¯ V := P ω∈Ω p(ω) ˆV(N, ω).
Maka diperoleh formulasi pendekatan dari fungsi objektif, yaitu min
N∈{1,2,...}{
ˆ
f(N) :=cN + ¯V(N)} (3.28)
Newell (1973) menjelaskan penggunaan metode continuous approximation (CA) untuk memberikan pemahaman tentang perilaku kualitatif berbagai masalah optimasi diskrit serta menemukan solusi masalah tersebut. Kemudian, Dasci dan Verter (2001) mengembangkan sebuahcontinuous approximation(CA) yang dibu-tuhkan untuk ukuran area layanan atau ekuivalen terhadap kepadatan terminal yang akan dipilih pada setiap titik di wilayah tersebut. Selanjutnya, Ouyang dan Daganzo (2006) mengusulkan sebuah algoritma untuk mengkonversi ukuran area pelayanan sebagai fungsi dari titik di dalam suatu daerah untuk solusi dengan lokasi terminal diskrit. Ouyang dan Daganzo juga mengevaluasi perbedaan an-tara biaya yang dihasilkan oleh metode continuous approximation (CA) dengan biaya yang dihasilkan oleh algoritma mereka.
Selanjutnya, Ahuja (1993) dan Bazaara (1977) juga memberikan referensi tentang teori rancangan distribusi.
