Metode Clapeyron

METODE

CLAPEYRON

Pustaka: SOEMADIONO. Mekanika Teknik: Konstruksi

Statis Tak Tentu. Jilid 1. UGM.

Pemakaian Dalil 3 Momen Clapeyron

Jika suatu batang datar sendi-rol diberi muatan/beban di atasnya,

maka batang tersebut akan melendut ke bawah. Sehingga pada

tumpuan sendi A akan terbentuk sudut sebesar α

_a

terhadap

horisontal sedangkan pada tumpuan rol B terbentuk sudut α

_b

.

Sudut α

_a

dan α

_b

disebut sudut belahan akibat beban luar.

A B

Jika pada suatu konstruksi statis tak tertentu yang mempunyai

banyak tumpuan menerima beban-beban luar di atasnya, maka

sudut belahan akibat beban tsb (α) akan ditutup/ditiadakan oleh

momen-momen yang timbul pada tumpuan-tumpuan tsb karena

kekuatan batang tsb, sehingga batang akan kembali pada

kedudukan semula.

Arah momen dibuat sedemikian rupa sehingga menutup sudut

belahan α.

Sudut belahan akibat momen disebut sudut β.

Prinsip:

Sudut belahan akibat beban luar = sudut belahan akibat momen

α = β

A _{B C D}

M_{A M}

Berapa nilai α ….????

Berapa nilai β ….????

Penentuan rumus sudut belahan akibat beban luar (α )

Contoh:

L_/ 2 L/2 A B P

Ingat kembali materi Defleksi dan Rotasi balok statis tertentu di MR II. Sudut belahan α adalah sudut rotasi Θ di MR II.

Bisa dicari dengan MBS atau MLM.

Analog dengan ΘA didapat :

b B a A L L A

EI

PL

EI

PL

dx

EI

x

L

x

P

dx

EI

x

L

x

P

dx

EI

Mm

α

θ

α

θ

θ

⇒

=

⇒

=

+

−

=

=

∫

∫

∫

16

16

)

1

)(

2

(

)

1

1

)(

2

(

2 2 2 0 2 0

Rumus-rumus Sudut Belahan Akibat Beban Luar (α )

Analog dengan cara di atas, Diperoleh:

Di tumpuan jepit A, timbul sudut belahan akibat momen yang bekerja, disebut β_a.

β_a = sudut belahan akibat momen primer + akibat momen induksi 1 1 1 1 6 . 3 . EI L M EI L M_{A B} a = +

β

Penentuan rumus sudut belahan akibat momen (β )

A _{B C D}

M_{A M}

B M_C

Di tumpuan B, timbul sudut belahan β_b1 dan β_b2.

1 1 1 1 1 6 . 3 . EI L M EI L M_{B A} b = +

β

2 2 2 2 2

6

.

3

.

EI

L

M

EI

L

M

_{B C} b

=

+

β

Di tumpuan C ………bagaimana ? EI₁ EI₂ EI₃ L1 L2 L3

Tahapan

:

_{Tentukan arah putaran momen sedemikian rupa sehingga arahnya dapat}

meniadakan sudut belahan akibat beban luar (α).

_{Dari arah putaran momen yang telah kita buat itu harus dipenuhi hukum}

statika : ΣM = 0 pada setiap titik buhul.

_{Pada tiap titik buhul, buat persamaan sudut belahan: α = β}

_{Dari persamaan yang ada, dapat diperoleh nilai momen pada}

masing-masing tumpuan (M_A, M_B, dll)

_{Penggambaran bidang momen: merupakan superposisi}

dari-•Bidang M dengan asumsi beban yang ada terletak di atas batang sendi-rol biasa.

•Momen dari persamaan belahan, digambar dengan tanda yang berlawanan dengan hasil perhitungan.

Pemakaian M. Clapeyron : Konstruksi Batang Datar

Catatan:

Pada konst. Statis tak tertentu, tumpuan rol yang terletak di

bagian dalam berfungsi sebagai jepit, sehingga timbul momen:

A _{B C D}

M_{A M}

B M_C

Tumpuan rol B dan C berfungsi sebagai jepit  punya momen

Tumpuan rol D tetap sebagai rol  tidak punya momen

Pengaruh Zetting (perubahan tempat vertikal)

Jika suatu konstruksi statis tak tertentu, ada tumpuannya yang

mengalami zetting, maka pada tumpuan yang mengalami zetting

serta tumpuan (jepit) di sebelahnya akan terjadi sudut belahan.

Akibat adanya sudut belahan akibat zetting tsb menimbulkan momen

reaksi untuk menghilangkan/menutup sudut belahan tsb, sehingga

timbul momen tambahan pada tumpuan yang mengalami zetting dan

tumpuan (jepit) di sebelahnya.

Misal.

Tumpuan B mengalami zetting ke atas sebesar z. Akibatnya sudut di B bertambah besar dengan (γ₁ + γ₂)  B’ , sementara sudut di C bertambah

kecil dengan γ₃  C’

Di B’ terjadi sudut belahan positif = (z_B/L₁ + Z_B/L₂) Di C terjadi sudut belahan negatif = - z_B/L₂

Di A (sendi) ; tidak terjadi sudut belahan.

Zetting (perubahan tempat vertikal), selain berakibat pada tumpuan itu sendiri juga berpengaruh pada tumpuan jepit di sebelahnya.

A _{C D} B EI₁ EI₂ EI₃ A’ _{C’ D’} B’ EI₁ EI₂ EI₃ z γ_b1 γ_b2 γ_c1

(a)

(b)

L₁ L₂ L₃

Persamaan : Sudut belahan akibat zetting = Sudut belahan akibat momen       ₊ +       = + + = + 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 . 6 . 3 . 3 EI L M EI L M EI L M L z L z _{B B C} b b b b γ β β γ 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 . 3 . 3 . 6 EI L M EI L M EI L M L z _{B C C} c c c +       + = − + = β β γ Di tumpuan B: Di tumpuan C:

Jika ada beban luar yang bekerja, persamaan menjadi:

Sudut belahan akibat beban luar + zetting = Sudut belahan akibat momen

Bagaimana jika tumpuan B mengalami zetting ke bawah sebesar z ? Bagaimana dengan persamaannya ….??

Pemakaian Dalil 3 Momen Clapeyron pada

Portal Statis Tak Tertentu

Ada 2 macam portal statis tak tertentu, yaitu

1. Portal Tak Bergoyang



_{Portal Tak Bergoyang}



_{Portal Bergoyang}

Setelah portal dibebani, titik-titik buhulnya tetap pada tempatnya (tidak bergerak). Sendi A menyebabkan konstruksi tsb tidak bisa dipengaruhi penggoyangan.

Misalnya. Titik C. Perputaran sudut

sedemikian sehingga sudut antara batang datar dan tiang tetap 90o.

Setelah portal dibebani, titik-titik buhulnya bergrak ke arah horisontal pada batang datarnya (Misal. B  B’).

Titik buhul pada batang datarnya merupakan suatu jepitan yang dapat berputar dan dapat bergerak mendatar karena pengaruh

Portal Statis Tak Tertentu Tidak Bergoyang

Sendi A menyebabkan konstruksi tsb tidak bisa dipengaruhi penggoyangan.

Asumsi:

_{Karena adanya beban luar, zetting, atau pengaruh suhu pada portal, maka}

titik-titik buhul batang datar akan timbul sudut belahan.

_{Dengan adanya sudut belahan tsb berarti batang datar diputar pada titik}

buhulnya. Untuk mempertahankan sudut antara batang datar dan tiang tetap 90o

maka tiang-tiangnya akan melengkung.

_{Batang-batang pada portal mempunyai kekuatan tarik / tekan , maka}

akibatnya timbul momen yang tugasnya menutup sudut belahan (akibat beban, zetting, dan suhu).

Langkah

2

pengerjaannya:

_{Menentukan arah momen pada konstruksi portal:}

Pada batang datar : arah momen menutup sudut belahan

Pada tiang bag. atas : arah momen menyebabkan kelengkungan batang

Pada tiang bag. Bawah : arah momen berkejaran dengan arah momen pada tiang bagian atas.

_{Pers.kesetimbangan : ΣM di titik buhul = 0}

Contoh. Titik buhul B : M₁ – M₂ + M₃ = 0 Titik buhul C : M₄ – M₅ = 0

_{Memenuhi persamaan belahan:}

Sudut belahan akibat beban luar + zetting +suhu = Sudut belahan akibat momen

_{Perjanjian tanda sudut belahan karena momen:}

Jika arah putaran momen memperbesar sudut  tanda (+) Jika arah putaran momen memperkecil sudut  tanda (-)

_{Perjanjian tanda penggambaran Bidang Momen:}

Pada batang datar : tanda penggambarannya berlawanan tanda dengan hasil perhitungan.

Pada tiang atas : (s.d.a)

Pada tiang bawah : tanda penggambarannya sesuai dengan tanda hasil perhitungan.

Portal Statis Tak Tertentu Bergoyang

Setelah beban bekerja, titik buhul A berpindah ke A’, dan titik buhul B berpindah ke B’.

Ada 2 cara untuk menyelesaikan konstruksi portal bergoyang, yaitu:

_{Cara A: Anggap portal bergoyang/bergeser sebesar δ. Maka dengan}

persamaan belahan biasa kita bisa mencari besarnya momen-momen dan δ .

_{Cara B: Mula-mula anggap δ=0, kemudian kita lakukan perhitungan dengan}

persamaan belahan biasa, sehingga didapat: M₁’, M₂’, dst. Kemudian dicari gaya horisontal P₁=M₁’/h, dst. Maka gaya horisontal P₁ dikerjakan pada portal (tanpa beban lainnya) sehingga didapat M₁”, M₂”, dst. Maka momen yang sebenarnya adalah : M₁ = M₁’ + M₁” , M₂ = M₂’ + M₂”, dst.

A’

A _{B B’}

δ δ

CARA A

_{Jika tinggi tiang = h, dan pergeseran sebesar = δ , maka sudut belahan yang}

terjadi adalah = δ / h. Perjanjian tanda:

Jika δ memperbesar sudut, maka δ / h bertanda (+) Jika δ memperkecil sudut, maka δ / h bertanda (-)

_{Persamaan belahan:}

Sudut belahan akibat beban + zetting + suhu = sudut belahan akibat momen + pergeseran.

_{Pers.kesetimbangan : ΣM di titik buhul = 0}

ΣH = 0

_{Penentuan arah momen  sama dengan portal tak bergoyang}