Analisis Persamaan Dirac untuk Potensial Pöschl-Teller Trigonometrik pada Kasus Spin Simetri Bagian Radial menggunakan Metode Iterasi Asimtotik

(1)

Prosiding Pertemuan Ilmiah XXIX HFI Jateng & DIY, Yogyakarta 25 April 2015 ISSN : 0853-0823

Analisis Persamaan Dirac untuk Potensial Pöschl-Teller Trigonometrik

pada Kasus Spin Simetri Bagian Radial menggunakan Metode Iterasi

Asimtotik

Dya Qurotul A’yun*, Suparmi, Cari

Universitas Sebelas Maret, Jalan Ir. Sutami 36A Kentingan, Surakarta 57126 * e-mai: [email protected]

Abstrak – Persamaan Dirac untuk potensial Pöschl-Teller Trigonometrik pada kasus spin simetri bagian radial diselesaikan dengan menggunakan metode Iterasi Asimtotik atau Asymptotic Iteration Method (AIM). Penyelesaian persamaan Dirac dengan menggunakan metode AIM dilakukan dengan mereduksi persamaan differensial orde dua menjadi persamaan diferensial tipe Hipergeometri dengan melakukan subtitusi variabel. Energi relativistik sistem dihitung menggunakan software Matlab 2011. Penelitian ini dibatasi untuk kasus spin simetri bagian radial.

Kata kunci: Persamaan Dirac, potensial Pöschl-Teller Trigonometrik, metode Iterasi Asimtotik, spin simetri.

Abstract – The Dirac equation for Pöschl-Teller Trigonometric potential on a spin symmetric case of radial is exactly solved using asymptotic iteration method (AIM). The Dirac equation solution using an AIM is done by reducing the second order differential equation into a differential equation with substitution variables of type Hipergeometri. The relativistic energy is calculated using Matlab 2011.This study is limited to the case of spin symmetry radial section.

Keywords: Dirac equation, Pöschl-Teller Trigonometric potential, Asymptotic Iteration Method (AIM), spin symmetry. I. PENDAHULUAN

Perkembangan IPTEK yang semakin maju mendorong peneliti fisika melakukan inovasi penelitian yang terkait dengan mekanika kuantum [1]. Fungsi gelombang dan tingkat energi suatu partikel mampu mendeskripsikan besarnya energi, momentum partikel, dan perilaku partikel sebagai gelombang. Persamaan Dirac menjadi sangat penting untuk menjelaskan mengenai model atom yang memiliki banyak elektron [2].

Pada tahun 1928, Dirac meneliti persamaan gelombang kovarian relativistik dari persamaan schrodinger dan energi relativistiknya. Dari hubungan energi relativistik akan didapatkan persamaan Dirac [3]. Pada kasus tertentu persamaan Dirac mendeskripsikan gerak sebuah partikel spin ½ yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan nuklir dan fisika energi tinggi [4].

Penyelesaian persamaan Dirac dengan menentukan energi dan fungsi gelombang suatu partikel yang dipengaruhi oleh potensial [5]. Spin dan pseudospin simetri pada Hamiltonian Dirac telah ditemukan beberapa tahun lalu. Dalam kerangka persamaan Dirac, spinsimetri dihubungkan dengan pembahasan meson [6]. Konsep spin dan pseudospin simetri diperkenalkan pada teori nuklir dan digunakan untuk menjelaskan ciri deformasi dan super deformasi inti, dan untuk membuktikan sebuah skema kulit model kopling yang efektif [7].

Dalam beberapa tahun terakhir, persamaan Dirac telah banyak diteliti. Analisis persamaan Dirac dengan menggunakan metode SUSY, Nikorov-Uvarov, dan Polinomial Romanovki telah selesai diteliti. Paper ini menggunakan metode yang berbeda dengan penelitian yang telah dilaksanakan. Paper ini membahas penyelesaian persamaan Dirac untuk potensial Pöschl-Teller Trigonometrik pada kasus spin simetri bagian radial

menggunakan metode Iterasi Asimtotik atau Asymptotic Iteration Method (AIM).

II. METODE ITERASI ASIMTOTIK (AIM)

Metode iterasi asimtotik digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial homogen linear orde kedua yaitu





      _       _         ) ( ) ( ) ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( ) ( ln 1 1 1 ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( z f x z s z y z z f x z s z y z z y z y z y dzd k k n k k k n k k n k n k n     (1)

dengan0(x)0dan turunan pertama menunjukkan

hubungan dengan x, parameter lain yaitu n diartikan sebagai sebuah bilangan kuantum radial [8]. Variabel

) (

0 x

s dan



0(x) cukup mudah diturunkan. Untuk

memperoleh sebuah solusi umum pada persamaan ini, persamaan (1) yang bergantung terhadap x didiferensialkan, diperoleh yn '''1(x)yn ('x)s1(x)yn(x) (2) dengan ) ( ) ( ) ( ) ( 2 0 0 0 1 x



x s x



x



   (3) s1(x)s0('x)s0(x)0(x) (4)

(2)

dengan λ0(x) ≠ 0 dan s0(x) merupakan fungsi dari C∞

(koefisien persamaan diferensial). Metode iterasi asimtotik dapat diaplikasikan secara langsung pada beberapa permasalahan jika sebuah fungsi gelombang diketahui terlebih dahulu dan memenuhi kondisi batas nol (0) dan tak hingga (∞) [9].

Persamaan (1) dapat dengan mudah diiterasikan sampai (k+1) dan (k+2), k = 1,2,3, . . sehingga diperoleh

yn(k1)(x)



k1(x)yn('x)sk1(x)yn(x) (5) ) ( ) ( ) (' ) ( ) ( ) 2 ( _x _x _y _x _s _x _y _x ynk 



k n  k n (6) dengan

k(x)'k1(x)sk1(x)0(x)k1(x)

(7) sk(x)s'k1(x)s0(x)k1(x)

(8)

yang disebut recurrence relation. Dari rasio (k+1) dan (k+2), didapatkan persamaan





      _       _         ) ( ) ( ) ( ) (' ) ( ) ( ) ( ) ( ) (' ) ( ) ( ) ( ) ( ln 1 1 1 ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( z f z z s z y z z f z z s z y z z y z y z y dzd k k n k k k n k k n k n k n     (9)

Untuk k cukup besar, jika

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 _z z z s z z s k k k k _       ₍₁₀₎

yang merupakan aspek metode asimptotik, kemudian di- subtitusikan



₍ ₎



(₍)₎ ln 1 ) 1 ( z z z y dzd k k k n   _  (11)













              dz z z z C dz z z C z y k k k k n ) ( ) ( exp ) ( ) () ( exp ) ( 0 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 (     (12)













  z f z C z z dz z yn (' )



( ) ( ) 1exp



( )



0( ) (13)





_                          



1 2 2 2 0 2 2 1 1 1 ) ( 2 ) ( exp . ) ( exp ) ( dz dz z z C C dz z z y z z z n    (14) 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) (  1  1  k z k z sk z k z sk z (15) k = 1,2,3,……    _ 

_

x n n n z C s z_z dz y 1 1 1 2exp (₍ )₎ ) ( _ (16)

III. HASIL DAN PEMBAHASAN

Dalam persamaan Dirac untuk kasus spin simetri berlaku bahwa selisih antara potensial vektor V(r) dan potensial skalar S(r) adalah konstan, dan jumlahnya sama dengan potensial yang mempengaruhi sistem.

Persamaan Dirac untuk sebuah partikel tunggal dengan massa M pada sebuah potensial skalar S(r) dan potensial vektor V(r) dapat dinyatakan dalam ђ = c =1.







_c

_

._p_

_

_Mc2__S(_r)



_

(_r)_



_E__V(_r)



_

(_r) ₍₁₇₎

dengan M massa relativistik partikel, E energi total, dan operator momentum linear. Nilai α dan β dinyatakan dalam persamaan    00       _0 ₀  (18)     II00        ₀I 0_I  (19)

dengan σ matriks Pauli, I matriks identitas 2×2

     0 1 1 0 1



,







 



0 ₀

2

_i

i



,       ₀1 0₁ 3



(20)

dan spin Dirac dapat dituliskan sebagai

                ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( _~        l jm nk l jm nk Y rr G i Y rr F r r r (17) dengan Fnk(r) )(rF nk

komponen spin Dirac upper dan Gnk(r)

)(rG nk

komponen pseudospin Dirac lower. l(



,



)

jm

Y

),(lj mY

adalah spin harmonik bola dan

),( ~  lj mY ) , ( ~





l jm Y adalah pseudospin

harmonik bola, l bilangan kuantum orbital biasa dan bilangan kuantum pseudo-orbital, m proyeksi momentum sudut pada sumbu z.

Dengan subtitusi persamaan (21) ke persamaan (17), diperoleh



( )



( ) ) (r M E r F r F r k drd _ nk   nk  nk    _ ₍₂₂₎



( )



( ) ) (r M E r G r G r k drd _ nk   nk nk    _ ₍₂₃₎

(3)

Setelah eliminasi

F

nk

(r

)

dan

G

nk

(r

)

dari persamaan

(22) dan (23), diperoleh dua persamaan diferensial yang mirip dengan persamaan Schrödinger untuk komponen

)

(r

F

nk dan komponen

G

nk

(r

)

sebagai









( ) ( )



( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 2 2 2 r F r E M r E M r F r k dr d x r E M dr r d r F r k k dr d nk nk nk nk nk nk                _              _  ₍₂₄₎









( ) ( )



() ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 2 2 2 r G r E M r E M r G r k dr d x r E M dr r d r G r k k dr d nk nk nk nk nk nk                _              _  ₍₂₅ ) dengan ) ( ) ( ) (r  V r  S r  (r)V(r)S(r) (26) ) ( ) ( ) (r  V r  S r  (r)V(r)S(r) (27)

IV. ANALISIS PERSAMAAN DIRAC UNTUK POTENSIAL PÖSCHL-TELLER TRIGONIO-METRIK PADA KASUS SPIN SIMETRI BAGIAN RADIAL

Persamaan Dirac untuk kasus spin simetri ditandai dengan 0)( dr rd 0 ) (   drr

d _dan

_

_(r

₎

_{= konstan = C, sehingga} persamaannya menjadi [10]







(

)



(

)

0 )1

(

2 2 2





























_F

_r

r

E

M

x

C

E

M

r

k

dr

d

nk nk nk ₍₂₈₎

Dimisalkan V(r) adalah potensial Pöschl-Teller Trigonometrik yang didefinisikan sebagai

r B r A r V( )_sin2_ _cos2_ (29)

dan juga dimisalkan 1/r2

≅

_α2_/sin2_{αr maka diperoleh}

bentuk persamaan















0 cos ) ( ) 1 ( sin1 2 2 2 2 2                          nk nk nk nk nk F E M C E M r B C E M A C E M r drd      ₍₃₀₎ Dengan A C E M As(1)(  nk  ) (31)

Bs  B(M _E2nk C) (32)

E'(MEnk _C2)



MEnk



(33)

dan subtitusi variabel cos2_{αr = s pada persamaan (30)}

dengan ∞ < s < ∞, didapatkan 0 4' 4 ) 1 ( 4 2 1 ) 1 ( 2 ₂      _ _                nk s s s nk nk F E s B s A s F s s F s s (34)

Untuk memecahkan persamaan (34) digunakan persamaan

Fnks(1s) f(s) (35)

Setelah manipulasi persamaan (34) dan (35), didapatkan









) ( ) 1 ( 4 ' ) (' ) 1 ( 2 1 2 1 2 2 ) (' ' 2 s f s s E s f s s s s f s      _ _               _          (36)

Persamaan (36) merupakan persamaan diferensial orde dua, dengan __4



2_2



s

B dan . __4



2_2



s

A

Dengan membandingkan persamaan (1), dapat ditulis λ0(s)

dan s0(s), kemudian dapat dihitung λk(s) dan sk(s).



₍₁



₎ 2 1 2 1 2 2 ) ( 0 _s _s s s        _        



₍₁



₎ 4 ' ) ( 2 0 _s _s E s s s    





2 2 2 1 ) 1 ( 2 1 2 2 1 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 1 2 2 1 2 ) (                    _        _                 _        _  s s s D s D s s s      (37)

(4)

Prosiding Pertemuan Ilmiah XXIX HFI Jateng & DIY, Yogyakarta 25 April 2015 ISSN : 0853-0823                    _        _             ) 1 ( 2 1 2 2 1 2 ) 1 ( ) 1 ( ) ( ₂ ₂ 1 s s s D s D s D sD s s  

Kombinasi persamaan (37) dengan persamaan (15) memberikan 0 0 1 1 0 s   s









 

                    _ _ _ _ _                  2 2 2 2 2 1 ) 1 ( 4 ' ) ( 1 2 2 ) 1 ( 4 s s s s E x s s E s s       0 1 2 2 1 s   s









 



 



 

                    _ _ _ _ _                     _ _ _ _ _                  3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 1 ( 4 ' 4 4 4 ) 1 ( 4 ' ) ( 1 2 2 ) 1 ( 4 ' s s s s E x s s s s E x s s E s s s           (38) 0 2 3 3 2 s   s









 



 



 



 



 

                    _ _ _ _ _                     _ _ _ _ _                     _ _ _ _ _                  4 4 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 3 ) 1 ( 4 ' 9 6 6 ) 1 ( 4 ' 4 4 4 ) 1 ( 4 ' ) ( 1 2 2 ) 1 ( 4 ' s s s s E x s s s s E x s s s s E x s s E s s s s              

sehingga eigenvalues adalah









 









 

_                                  n n n n s s n Ds s n n x s sn n Ds s n x s s D E ) 1 ( 1 2 2 ) 1 (1) 1 ( 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( ' 2 1 1 2     ₍₃₉₎ n = 0,1,2,3,…

Subtitusi persamaan (39) ke persamaan (33) memberikan eigenvalues energi























_                                     n n n n nk nk s s n Ds s n n x s sn n Ds s n x s s D E M C E M ) 1 ( (1 ) 2 2 ) 1 (1) (1 ) ( 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 1 1 2 2      (40)

sedangkan untuk fungsi fn(z) adalah

   _ 

_

s n n n C S _ss ds f 1 1 1 2exp _ ₍( ₎) (41)

sehingga dapat dituliskan total fungsi radial    _  

_

s n n nk s s C S _ss ds F 1 1 1 2exp ₍( ₎) . ) 1 ( _   ₍₄₂₎

Hasil energi yang diperoleh umtuk kasus spin simetri dapat dilihat pada Tabel 1.

(5)

Tabel 1. Spektrum energi potensial Pöschl-Teller Trigonometrik untuk kasus spin simetri dengan M = 1; Cs = 5; A = 1; κ = 8 dan α = 0,01. Untuk B = l _Enk l n k 1 0 -1 4,999136 2 0 -2 4,999322 3 0 -3 4,999427 4 0 -4 4,998497 5 0 -5 4,998549 1 1 -1 4,998736 2 1 -2 4,999008 3 1 -3 4,999161 4 1 -4 4,998264 5 1 -5 4,998339

Dari hasil energi pada Tabel 1, dapat digambarkan grafik energinya seperti pada Gambar 1.

Gambar 1. Hasil perhitungan spektrum energi untuk kasus spin simetri pada n tertentu.

IV. KESIMPULAN

Persamaan Dirac untuk potensial Pöschl-Teller Trigonometrik pada kasus spin simetri bagian radial dapat diselesaikan dengan menggunakan metode Iterasi Asimtotik (AIM). Spektrum energi relativistik sistem dihitung menggunakan software Matlab 2011.

UCAPAN TERIMA KASIH

Penelitian ini didukung oleh Hibah Penelitian Utama (PUT

UNS) 2014 dan DIKTI No. kontrak

351/UN27.11/PN/2014 PUSTAKA

[1] Suparmi, Mekanika Kuantum II, Jurusan Fisika Fakultas MIPA, Universitas Sebelas Maret Surakarta, 2011. [2] Suparmi, Mekanika Kuantum I, Jurusan Fisika Fakultas

MIPA, Universitas Sebelas Maret Surakarta, 2011.

[3] Greiner, W. 2000. Relativistic Quantum Mechanics Third Edition. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, New York. [4] M. Hamzavi., A. A. Rajabi. Spin and Pseudospin

Symmetries with Trigonometric Pöschl-Teller Potential including Tensor Coupling. Advances in High Energy Physics., vol. 2013, no. 196986.

[5] Oktay Aydoğdu, Ramazan Sever. Exact Pseudospin Symmetric Solution of The Dirac Equation for Pseudoharmonic Potential in the Presence of Tensor Potential. Few-Body Syst., Issue 47, 2010, pp. 193-200. [6] M. Hamzavi., S.M. Ikhdair., K.-E.Thylwe. Spin and

Pseudospin Symmetries in Relativistic Trigonometric Pöschl-Teller Potential with Centrifugal Barrier. International Journal of Modern Physics E, vol. 21, no. 12, 2012.

[7] Xu-Yang Liu, Gao-Feng Wei, Xin-Wei Cao. Spin Symmetry for Dirac Equation with the Trigonometric Pöschl-Teller Potential. Int J Theor Phys. no. 49, 2010, pp. 343-348.

[8] Rostami, A. Asymptotic Iteration Method: A Powerful Approach for Analysis of Inhomogeneous Dielectric Slab Waveguides. Progress in Electromagnetics Research, vol. 4, 2008, pp. 171-182.

[9] Ozer. O.. Solution of a Novel Quasi-Exactly Solvable Potential via Asymptotic Iteration Method. Progress of Theritical Physics, vol. 121, no. 3, 2008, pp. 437-443. [10] Soylu, A. Bayrak, O. Boztosun, I. 2007. An approximate

solution of Dirac Hulthén problem with pseudospin and spin symmetry for any k state. Journal of Mathematical Physics 48.

Tanya-jawab: Pramudita Anggraita

Persamaan Dirac untuk atom dengan banyak elektron? Dya Quratul A’yun

Persamaan Dirac melibatkan spin, berbeda dengan persamaan Schrödinger yang digunakan pada sistem atom dengan banyak elektron, yang tidak melibatkan spin, sehingga tidak ada hubungan antara penggunaan persamaan Dirac dengan banyaknya elektron pada atom tertentu.

Richard T.R.H. (UKRIM):

Apa arti lambang ?

Dya Quratul A’yun S adalah batas atas integrasi.