BAB I - Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma

(1)

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 1

BAB I

BENTUK PANGKAT, AKAR DAN

LOGARITMA

Dalam perhitungan para ahli, dinyatakan bahwa berat bumi adalah 5.976 juta ton. Berpa kilogramkah itu? Coba kita tuliskan: 5.976.000.000.000.000.000 kg. Dalam ilmu pengetahuan alam, banyak digunakan bilangan-bilangan yang sangat besar atau sangat kecil. Misalnya dalam pelajaran kimia terdapat tetapan avogadro yaitu 602.000.000.000.000.000.000.000; dalam ilmu fisika dikatakan muatan elektron (yang diketemukan oleh Joseph John Thompson) adalah -0,00000000000000000016 Coulomb. Jika seorang ahli fisika dalam perhitungannya melakukan kesalahan penulisan (misalnya kurang satu angka 0

atau kelabihan angka 0), maka hasil akhir perhitungannya juga salah. Dengan adanya cara penulisan bilangan berpangkat, kerepotan penulisan angka dihilangkan dan resiko kesalahan dapat diperkecil. Berat bumi dituliskan sebagai 5,976 . 1018_{kg. Tetapan avogadro sebesar 6,02 . 10}23_{dan muatan} elektron -1,6 . 10-19_{Coulomb. Masih banyak lagi penulisan berpangkat yang} akan kita pelajari dalam bab ini.

Standar Kompetensi

1. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma

Kompetensi Dasar

1.1Menggunakan aturan pangkat,akar,dan logaritma

1.2Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang melibatkan pangkat, akar,dan logaritma

(2)

A. Bentuk pangkat

Bilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat pecahan.

1. Pangkat Bulat Positif

Perkalian berulang suatu bilangan real dapat dituliskan dalam bentuk bilangan berpangkat bulat positif.

Notasi eksponen sangat berguna untuk menuliskan hasil perkalian suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri secara berurutan .

Misal : 2 x 2 x 2 ditulis 23_{berarti 2}3_{= 2 x 2x 2}

Pada bentuk 23_{, 2 disebut bilangan pokok atau basis dan 3 yang ditulis} di atas bilangan 2 disebut pangkat atau eksponen.

Keterangan :

an_{dibaca “ a pangkat n “ disebut bilangan berpangkat.} a disebut bilangan dasar atau bilangan pokok.

n disebut eksponen atau pangkat.

Contoh 1 :

Tuliskanlah bilangan-bilangan berikut dalam bentuk pangkat / eksponen 1. 4 x 4 x 4 x 4 x 4 jawab : ₄5

2. ( - 2 ) x ( - 2 ) x ( - 2 ) jawab :

 

2 3

3. 

                      

5 1 5 1 5 1 5

1 _x _x _x

jawab :

4

5 1

     

4. 81 jawab : ₃4

5. 256 jawab : ₄4

6. 30.000 jawab : ₃_x₁₀4

2. Sifat-sifat operasi bilangan dengan pangkat bulat positif

Untuk m , n __B_dan_a__R_{maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut} 1. _am _x_an__amn _Bukti_:

am_{x a}n₌

 

 

 

 

 

 

 

 

... faktor

m

a x ... x a x a x a x a x ... x a x a x a

=

faktor ...

a x ... x a x a x a

= a … Definisi Bilangan berpangkat bulat positif

Jika a adalah bilangan real dan n bilangan bulat lebih dari satu , maka pangkat ke – n dari a ditulis an_{dan didefinisikan sebagai hasil}

perkalian n faktor masing-masing a yaitu : an₌

faktor n

a x .... x a x a x a

(3)

Amarhadi

2. _am_:_an__amn_{; m > n} Bukti_: am_{: a}n₌

                ... faktor m a x ... x a x a x a : a x ... x a x a x a = faktor faktor faktor ... a x ... x a x a x a ) a x ... x a x a x a x ) a x ... x a x a x a ( = faktor

3.

 

_an m __amn Bukti :

( am₎n₌

faktor n

m m

m

m _x_a _x_a _x _..._x_a a = ... ... ... mfaktor ) a x .... a x a x a ( x ... x ) a ... x a x a x a ( x ) a x ... x a x a x a ( = faktor x ... ) a x ... x a x a x a (

= a…

4. _mm

m b a b a _     

 Bukti :

faktor m m b a x ... x b a x b a x b a b a_ _

     = ... ... b x ... x b x b x b a x ... x a x a x a = _...... b a

5.



_a_x_b



m __am_xbm Bukti_: ( ab)m ₌

faktor m ab x ... x ab x ab x ab = ... faktor m b x ... x b x b x b ( x ) a x ... x a x a x a (

= am_{x b}… = a…_b…

Contoh 2 :

Tuliskan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk pangkat

1. 

 2 3 6 5 6 8 y x y

x 5 2 6 3 3 3

3 4 3

4_x _y __ _x _y

(4)

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 4 2.

 



y x y x 3 2 2 4

2 _x _y _xy

y x

y

x _ 43 21_ 3

2 4 4 4

3.

    













  2 2 2 2 2 3 2 3 6 4 4 4 2 y x xy y x y x 2 2 2 2 2 2 3 6 6 16 4 16 y x y x y x y x  







₈ ₂



11 1 22 2 8 2 4 2 2 4 2 2   

 x y

y x y x y x

3. Sifat-sifat operasi bilangan dengan pangkat bulat negatif dan nol

Pada sifat 2 : am_{: a}n_{= a}m-n_{untuk m > n dan a}



_0.  Bagaimana jika m = n .

Kita tahu bahwa ₂₅25 = 1 dan 25 = 52 Seandainya sifat 2 berlaku maka : ₂₅25 = ₂2

5

5 _{= 5}_{2- 2}_{= 5}₀_{= 1}

 Bagaimana jika m < n

Perhatikan sifat : am_{: a}n_{untuk a}



₀ Seandainya berlaku untuk m = 0 diperoleh : am_{: a}n_{= a}0_{: a}n_{pada bilangan a}0_{= 1 untuk a}



₀ maka a0 : an = 1 : an

a0-n = 1 : an a-n_{= 1 : a}n a-n₌ _n

a1

Dari ilustrasi di atas lakukan kegiatan berikut untuk membuktikan sifat pankat bulat negatif dan nol

1. Jika _a_0 ,maka_a0 _1 Bukti_:

2. Jika n _n

a a a

B

n dan 0maka   1 Bukti :

Contoh 3 :

Tuliskan bilangan-bilangan berikut dengan pangkat bulat positif 1.

16 1 2

1 24 ₄  2.









4 4

4 81 1 3 1 3 x x x     

Latihan Kompetensi 1

(5)

Amarhadi

2. Sederhanakan 2 4 4 3 3 2 3 2 4 3 .                  s q r p s r q p 7. 3 4 1 4 1 10 4 1 3 2 5 2                                              y x : y x

3. Sederhanakan _₁2 _₂1

  b a b a

8. Tentukan nilai dari 4 4 3 3 2

c ab

T  ,

untuk a = 100 , b = 8

1_{dan c = 0,01}

4. Sederhanakan _₁1 _₂1     a b b a

ab 9. Sederhanakan

 

   

_



 

 





           2 2 2

2 3 . 3 3

3 1

5. Buktikan ₃

3 3 3 3 3 1 1                      y x y x y x y

x 10. Sederhanakan

   

6 2 0 5 3 2 ₈

8 _ ._ _



 _ 

TUGAS 1

1. Sederhanakan 2₅ ₅3 12 18 y x y x   

 6. Tulis dalam satu suku

32 1 16 1 8 1 4 1 2

1 _ _ _ _

2. Sederhanakan



_x2_ _y2



2

(6)

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 6 3. Sederhanakan 1 2 3 4 3 7 2 .                        b a b

a 8. Sederhanakan 

      2 2 4 4 b a b a 4. Sederhanakan















         

  2

5 2 4 2 3 2 2 4 2 4 y x y x xy y

x 9. Sederhanakan  

     1 1 1 1 x y y x xy

5. Sederhanakan

   

    3 5 2 2 2 3 4 2 2 2 2 2

10. Sederhanakan 

                  3 2 1 3 . 1 . 1 _ab b a

B. Bentuk Akar

Kita telah membahas dan memberi arti pula pada bilangan dengan pangkat bulat, misalnya 7-9_{, 9}3_{, 5}0_{dan sebagainya. Sekarang dapatkah kita memberi} arti dan definisi yang baik terhadap bilangan 3

1 2 1 7 1 100 3

5 , ,  dan bilangan-bilangan lain yang serupa dengan itu. Jawabnya bisa! Bilangan tersebut disebut

bilangan berpangkat rasional.

1. Pangkat Rasional

Definisi pangkat rasional

 Misalkan a dan b bilngan real, n bilangan bulat positif , n ≥ 2 dan bn_{= a} maka b dinamakan akar pangkat n dari a dan dinyatakan dengan

n

n _a

a  1

, n ≥ 2; dibaca akar pangkat n dari bilangan a

Untuk n = 2, a2  a

1

; pangkat tidak ditulis dan dibaca akar a  Jika m , n bilangan bulat dan aReal, maka

 

_n m n m

n m

a a

(7)

Amarhadi

Contoh 4 :

Tuliskan dalam bentuk akar yang sederhana

1. 5 5 2 2

a

a 

2. 3 3 2

2 7 21

2

a a

a _  

     

3. 3

3 3 3 1

3 4

3 1 27

4 27

4 _ _ _

     

2. Bilangan Irasional dan Bentuk Akar

Sebelum membahas lebih jauh bentuk akar, mengingat kembali tentang bilangan rasional dan bilangan irasional yang telah dibahas sebelumnya.

Bilangan Real

Bilangan Irasional Bilangan Rasional

Bilangan Pecahan Bilangan Bulat

Bilangan rasional didefinisikan sebagai bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk _ba dengan a, b bilangan bulat dan b 0.

Berdasarkan definisi tersebut, bilangan rasional dapat dibedakan menjadi dua macam yaitu bilangan bulat dan bilangan pecahan, sedangkan bentuk akar merupakan bagian dari bilangan irasional.

Perhatikan barisan bilangan berikut ini :

2 , 4 , 6 , 8 , 9 , 12 , 16, 20, 25, 36.

2

, 6, 8,

12

, 20 merupakan bentuk akar, karena bilangan-bilangan tersebut tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan _ba dan

mempunyai nilai masing-masing sebagai berikut :

(8)

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 8 Bilangan irasional dapat diartikan sebagai bilangan pecahan desimal tak terbatas dan tak berulang

4_, 9_, 16_, 25_, 36_{bukan bentuk akar karena bilangan-bilangan} tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan bulat, seperti :

4_{= 2,000...} 9_{= 3,000...} 16_{= 4,000...}

25_{= 5,000...} 36_{= 6,000...}

Bilangan rasional dapat diartikan sebagai bilangan pecahan desimal tak terbatas tetapi berulang

Contoh 5 :

Tunjukkan bahwa bilangan 0,666... = 2/3

Penyelesaian :

Misalkan : x = 0,666...

- - - ( kedua ruas dikalikan dengan 10 )  10x = 6,666 ...

 10 x = 6 + 0,666 ...  10 x = 6 + x

 10 x – x = 6  9 x = 6

 x = 6/9 = 2/3

Kerjakan soal berikut ini seperti contoh di atas

Tunjukkan bahwa bilangan 0,242424... = 8/33

Misalkan : x = 0,242424...

- - - (kedua ruas dikalikan dengan 100)  .... = 24 , ...

(9)

Amarhadi

Contoh 6 :

Pada bangun persegi di bawah ini, diagonal manakah yang merupakan bentuk akar, jika diketahui

a. panjang sisi 3 cm

b.

panjang sisi 2 2 cm

Penyelesaian

:

C D

A B

a. AD = ( 3)2( 3)2 = 33

= 6

Panjang diagonal ini merupakan bentuk akar

b. AD = ...

= ...

...

3. Bentuk akar atau Radikal

Pernyataan yang berbentuk n_a _{yang berarti akar pangkat n bilangan a.} bilangan positif n adalah indeks atau tingkat akar dari radikal dan bilangan a adalah bilangan yang diambil akarnya (radikan), serdangkan lambang n tanda akar. Apabila n = 2 maka indeksnya dihilangkan, sehingga a memiliki arti 2_a _.

Definisi

Jika n bilangan asli dengan n > 1 dan a  R, maka akar pangkat n bilangan a ditulis n_a _{didefinisikan sebagai berikut:}

 n_a _{adalah akar pangkat n yang positif dari a, dengan a > 0}

(10)

4. Mengubah bentuk akar ke bentuk pangkat dan sebaliknya

Pada bagian ini akan dibahas bagaimana cara mengubah bentuk akar ke dalam bentuk pangkat dan sebaliknya.

Contoh 7 :

Nyatakan bilangan berpangkat di bawah ini dalam bentuk akar

a. ₆52 _b.₅_a32 _c._x232

Penyelesaian :

a. 5 2

6 ₌5 26 ₌536_c._x232_{= x}2_. 3 2

x ₌x23 2x

b. ₅_a32₌ 3 2

5

a =

3 2_a5

Contoh 8 :

Nyatakan dalam pangkat rasional pecahan positif

a. 5 23 b. a36 2a c. b1 b3 d. 3

81 1 9 1

Penyelesaian :

a. 5 23 = ₃52

b. a36 2a = a3_x 6 2

a = _a331

c. b1 b3 = b–1_x 2 3

b = _b21

d. 3

81 1 9

1 _{= 3}_{– 2}_x ₃1

811   

 _{= 3}_{– 2}_x

 

₃₄1₃₌₃31₃₌ 3 1 3

3 1

1. Manakah diantara bilangan di bawah ini yang merupakan bentuk akar, berikan alasan.

a. 10 c. 0,9 e. 3₀_,₈ _g.3₀_,₀₈ b. 125 d. ₉6 f. 31000 h. 3

64 8

2. Nyatakan bilangan pangkat di bawah ini dalam bentuk akar

a. ₃12 _c._a143 _e.8131 g. 5 4

7y

b. ₅32 _d. 21

8 1

)

(11)

Amarhadi

3. Nyatakan bentuk akar di bawah ini dalam pangkat pecahan a. 3₂ _c.3₃₆ _e.₂5_a3 _g._p24_p

b. 4 ₉ _d.3₁₆ _f._x5 3_x _h. 3 81

9 1

4. Nyatakan bentuk akar di bawah ini dalam bilangan berpangkat dengan bilangan pokok 2

a. 516 c. 25 4 e. 3

32

1 _g. _{3 4} 2 1

b. 3 32 d.

2

1 _{f. 4}₄

8

1 _h. 2 1 4 1

5. Nyatakan x dalam bentuk pecahan murni untuk setiap soal di bawah a. x = 0,777...

b. x = 0,252525...

c. x = 0,135135135...

6. Nyatakan bilangan desimal 2,525252 … ke dalam bentuk bilangan rasional pecahan

b a

7. Nyatakan bentuk pangkat di bawah ini dalam bentuk akar a. (x2y2)31 e.

3 2

2 2

2



       

y

x

b. a65b31 f. 2

1 3 1

1 2

  

 

  

 

      

 

 

b

a

c.

2 1

3 2 x

g. _x21₍_x32₊_x21₎

d. 31

1 2

       



b

a _h.x21_{( 2 +}y21₎

8. Nyatakan dalam bentuk pangkat pecahan positif a. ( x 2 – 1 )1/ 4 ( x2 – 1 )3/ 4 c.

3 3 2



x x

b. x



3 x1



d. 4 36 5 1 3 1

x x

c. x

1



3 _x__x



_f. ₄ ₂₃ 2

   

 

x x

(12)

5. Menyederhanakan bentuk akar

Dalam perhitungan sering menemukan bentuk akar bilangan besar yang bukan merupakan bilangan prima, pada bagian ini akan dibahas bagaimana cara menyederhanakan bentuk akar yang dimaksud tadi.

Untuk menyederhanakan atau menjabarkan akar, terlebih dahulu kita harus memahami sifat-sifat berikut:

a) n na a e) mn n m

n m

a a

a _ 

b) n_a_n_b_n_ab _f)

 

n_a p_n p_a c) m_a_n_a_mn_amn _g)n m_a _mn_a d) n _nn

b a b

a _ _h)n m_a _np mp_a

Contoh 9 :

Sederhanakan bentuk akar di bawah ini a. 48 d. 112b8

b. 125 e. 354x8 c 96a5 f. 3192y10

Penyelesaian :

a. 48 = 16 x 3 b. 125 = .√25 x 5..

= 16 x 3 = . √25.. x . √5..

= 4 3 = .5√5..

c. 96a5 = 16a4x 6a d. 112b8 = ...

= 16a4 x 6a = ... x ...

= 4a2 6a = ...

e. 354x8= 327x6x 2x2 f. 3192y10 = ...

= 327x6 x 32x2 = ... x ...

(13)

Amarhadi

1. Sederhanakan bentuk akar di bawah ini

a. 20 f. 147 k. 2 40

b. 45 g. 150 l. 5 90

c. 63 h. 180 m. 8 200

d. 98 i. 245 n. 7 216

e. 108 j. 432 o. 11 320

2. Sederhanakan bentuk akar yang terdefinisi di bawah ini a. a5 d. 12s4 g. 27x2y5 b. 2p7 e. 6a3b h. 64x7y2 c. 8x4 f. 32a8y5 i. 80p8q11 3. Sederhanakan bentuk akar di bawah ini.

a. 4₆₂₅3 _d.15₃₂_a10_b5_c25 b. ₍₁₀₀_x2_y4₎5 _e.3 ₄_.₀₉₆_x12_y27 c. 8_x2_y6 _f.5 3₅30_a40_b25

4. Segitiga ABC siku-siku di A dengan panjang AB = 4 cm, dan Panjang AC = 6 cm, tunjukkan bahwa panjang BC = 2 13 cm

5. Luas sebuah persegi panjang adalah 72 cm2 , jika panjangnya tiga kali lebarnya, hitunglah panjang diagonalnya.

6. Operasi aljabar pada bentuk akar

 Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar hanya dapat dilakukan, jika bentuk akar-akarnya sejenis.

 m a n a 



mn



a dengana0

 m a n a 



mn



adengana0  ax b abdengana0danb0

Contoh 10 :

Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk akar di bawah ini :

a. 3 5 + 4 5 c. 6 7 – 4 7

b. 2 3 + 7 3 d. 5 2 + 2 2 – 4 2

Penyelesaian :

Bentuk akar dari tiap-tiap soal di atas sejenis ( memenuhi syarat ) berarti dapat dijumlahkan atau dikurangkan

a. 3 5 + 4 5 = ( 3 + 4 ) 5 = 7 5

b. 2 3 + 7 3 = ( ... + ... ) ... = ...

c. 6 7 – 4 7 = ( ... – ... ) ... = ...

(14)



Untuk di ingat :

a + b



a  b dan a – b



a  b

 Operasi Perkalian Bentuk Akar

Seperti telah di sebutkan sebelumnya bahwa

a x a = axa = a2 = a , untuk a  R dan a > 0 maka a x b = axb = ab, untuk a,b  R dan a,b > 0

Hasil perkalian bentuk akar diartikan sebagai perkalian bilangan-bilangan di bawah tanda akar.

Perkalian bentuk akar : p x q

1. p a x q b = pq ab

a x b

2. p a ( q b  r c ) = pq ab  pr ac

3. ( a + b)( c + d ) = ac + ad + bc + bd

4. ( a+ b)2_{= (}_a₊_b_{) + 2} ab

( a+ b) = (ab)2 ab

5. ( a – b)2 = (a + b ) – 2 ab

( a – b) = (ab)2 ab , dengan a > b

Contoh 11 :

Tentukan hasil perkalian bentuk akar di bawah ini a. 5 x 2 e. 2 3 x 5 2 x 4 3 b. 2 7 x 3 2 f. ( 2 + 7)( 5 + 3) c. 5 2( 2 + 3) g. ( 5 + 2)2

d. 3 3(4 2– 2 5) h. ( 3 – 2)2

Penyelesaian :

a. 5 x 2 = 5x 2 = 10

(15)

Amarhadi

c. 5 2( 2 + 3) = 10 + 5 6

d. 3 3(4 2– 2 5) = 12 6 – 6 15

e. 2 3 x 5 2 x 4 3 = ( 2 x 5 x 4 x 3 ) 2 = 120 2

f. ( 2+ 7)( 5 + 3) = 10+ 6+ 35 + 21

g. ( 5 + 2)2_{= ( 5 + 2 ) + 2} ₁₀_{= 7 + 2} ₁₀ h. ( 3 – 2)2 = ( 3 + 2 ) – 2 6 = 5 – 2 6

Contoh 12 :

Nyatakan dalam bentuk operasi jumlah atau kurang untuk setiap bentuk akar di bawah ini

a. 152 26 c. 94 2

b. 18 2 72

Penyelesaian :

13

a. 15 2 26 26

syarat 2 +

Jumlah hasil kali 15

15 2 26 = ( 13 +

2

)

...

b. 18 2 72 72

... +

18

182 72 = ( ..2√3. – .. √6. )

... c. 94 2 = 9 2 8 8

... +

9 4 2 = ( 2√2... + .1.. )

Latihan Kompetensi 4

1. Sederhanakan operasi penjumlahan dan pengurangan di bawah ini. a. 5 2 + 2 e. 8 10 + 3 10 – 10 10

b. 4 7 + 3 7 f. 3 6 – 2 5 – 6 + 7 5

c. 5 5 – 2 5 g. 5 2 – 2 5 – 9 2 + 7 5

d. 6 3 – 3 h. 6 3 + 4 2 – 2 3 – 6 2

2. Sederhanakan bentuk akar di bawah, kemudian tentukan hasil jumlah dan kurangnya

a. 4 3 + 3 27 d. 3 45 + 4 20 – 5 125

(16)

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 16 c. 128 + 5 50 f. 2 512 – 243 + 4 32 + 5 27

3. Sederhanakan bentuk perkalian akar di bawah ini a. 3 ( 2 + 2 3 ) h. 2 x 8 x 3 x 27 b. 6 ( 3 – 2 2 ) i. 63 x 7 x 28 x 112

c. 8 ( 6 – 3 ) j. ( 6 + 3 )( 6 – 2 ) d. 15 ( 3 + 5 ) k. ( 5 + 3 )(3 5 – 2 3 ) e. ( 7 – 5 )2 _{l. (} 2_{– 2} ₃₎₍ 2_{+ 2} ₃₎ f. ( 10 + 6 )2 _{m. (2} ₃_{+ 5} ₂₎₍₂ ₃_{– 5} ₂₎ g. (2 3 – 5 2)2 _{n. (3} 8_{+ 2} 7₎₍₃ 8_{– 2} 7₎

4. Nyatakan dalam bentuk operasi jumlah atau kurang untuk setiap bentuk akar di bawah ini

a. 186 5 b. 325 28 c. 3 13 4 3

 Merasionalkan penyebut bentuk akar

Salah satu cara untuk mempermudah perhitungan pada operasi pembagian apabila penyebutnya berbentuk akar yaitu dengan cara merasionalkan penyebut.

Sebagai ilustrasi :

Tanpa menggunakan kalkulator atau alat bantu hitung lainnya, tentukan hasil bagi dari

2

1 _{, jika} ₂_{= 1,4142}

Untuk menjawab pertanyaan tersebut, lakukan pengerjaan sbb :

Cara 1  menggunakan operasi pembagian bilangan

2 1 ₌

4142 ,1

1 _{= ...}

Cara 2  dengan merasionalkan penyebut

2 1 ₌

2 1 _x

2 2

= ½

2

= ½ (1,4142) = ...

Cara manakah yang paling sederhana menurut anda ?

Merasionalkan Penyebut :

1. Bilangan Berbentuk

b a

Untuk merasionalkan penyebut b

a _{, kalikan dengan} b b

Contoh 13 :

Rasionalkan penyebut untuk setiap bilangan berikut ini :

a.

3

6 _b. 5 2

3 _c. 3 5

(17)

Amarhadi

Penyelesaian :

a.

3 6 ₌

3 6 _x

3 3₌

3 3

6 _{= 2} ₃

b.

5 2

3 ₌ 5 2

3 _x 5 5₌

10 5

3 ₌ ₅

103

c.

3 5₌

3 5_x

3

3₌ ₁₅

3 3 5

3 1



x

b a

c

 atau a b c



Bentuk a + b dan a – b masing-masing penyebut dari bilangan tersebut dikatakan saling sekawan atau konjugat.

Bentuk sekawan dari suatu bilangan : a. 5 + 4 3 adalah 5 – 4 3

b. 7 2 – 3 adalah 7 2 + 3 c. 3 + 7 adalah 3 – 7

d. 5 2 – 4 5 adalah 5 2 + 4 5 dan seterusnya

Contoh 14 :

Rasionalkan penyebut bilangan pecahan berikut ini :

a.

5 3

2

 b. 4 2 3 6

 c. 2 5 4 2



Penyelesaian : a.

5 3

2

 = 3 5 2

 x 3 5 5 3

 

=

5 9

5 3 2

  )

(

=

4 5 3 2(  )

=

2 5 3 ) ( 

b.

3 2 4

6

 = 4 2 3 6

 x 4 2 3 3 2 4

 

=

) (

3 4 16

3 2 4 6

 

= 6₁₆(4_2₁₂3)

= 3



2 3



4 ) 3 2 ( 2 . 6 4

) 3 2 4 (

6  _ _

 

(18)

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 18 c. 4 5 2 2

 = 2 5 4 2

 x 2 5 4 4 5 2   = 16 20 4 5 2 2   ) ( = 4 2 4 10 2 

= ₂1 10  2

b a

c

 atau a b c



Contoh 15 :

Rasionalkan penyebut bilangan pecahan berikut ini :

a.

5 3

4

 b. 2 2 3 5



Penyelesaian : a.

5 3

4

 = 3 5 4

 x 3 5 5 3   = 2 5 3 4   ) (

= 2( 3  5)

= 2 5 2 3

b.

3 2 2

5

 = 2 2 3 5

 x 2 2 3 3 2 2   = 12 2 3 2 2 5   ) ( = 10 15 2 10  

= 10 15

5 1 101 



1. Rasionalkan penyebut untuk setiap bilangan pecahan di bawah ini a.

2

6 _f.

2 3 2 _k. 5 3 4  b. 3

7 _g.

12 6 _l. 5 2 5 5  c. 5 6

3 _h.

20

5 _m.

3 7 2  d. 96

5 _i.

72 63 _n. 6 3 2 2  e. 3

(19)

Amarhadi

2. Rasionalkan penyebut untuk setiap bilangan pecahan di bawah ini

a. 2 6 2 6   _c. 5 2 5 3 2 

 _e.

2 1 1 2  b. 3 5 3 5   _d. 2 6 5 3 2 3 

 _f.

3 1 1 3 2  

3. Rasionalkan penyebut bentuk akar di bawah ini a. 3 2 1 4 

 b. ₄ ₂ ₃ ₃

13

 

TUGAS 2

1. Sederhanakan bentuk akar di bawah ini

a.

3 3

4 ₂

3 ₂1

4 ₂ 3 2 4 1 1 3 1 2 3 2 1 3 2 4 y y x y y x . x ) ( ) ( ( x )        

b. ₁ ₃ ₁₃ ₄ ₃ _ 21

     _ _ 

c. _

                   2 13 2 13 2 13 2 13

2. Tentukan nilai x yang memenuhi bentuk akar di bawah ini a. x 2 2 2 x

b. x 1 1 1x c. x = 3 ₃₆3 ₃₆3 ₃₆3 _x

d. x = ( 2 32 5)( 2 32 5)( 102 3) e. 12_x2 _ 20_x _ 41 _ 12_x2 _ 20_x _ 4 _ 9

3. Diketahui nilai a = 2 2 , b = 2  2 dan c = a + b . Buktikan bahwa nilai c = _a ₂

4. Tentukanlah nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan : 2 9 4 3 4 3 2

2__x__y _ __x _ _y __x__y _ __y _ x

_x2__x__y _ ₄3 __x_ _y2__x__y _ 3₄ __y _1

(20)

C. Bentuk Logaritma

1. Pengertian Logaritma

Dalam pasal terdahulu kita telah memahami definisi perpangkatan. Bentuk umum dari suatu bilangan berpangkat adalah an_{, a disebut bilangan pokok} dan n disebut pangkat. Jika bilangan pokok dan pangkat sudah ditetapkan, maka nilai dari bilangan berpangkat itu dengan segera dapat ditentukan. Sebagai ilustrasi:

 23_{= 8}

 27

 

3 3 3

1 3 3 1

 

 102_{= 100 dan seterusnya.}

Sekarang persoalannya dibalik, yaitu apabila bilangan pokok dan hasil bilangan berpangkat sudah di ketahui, maka pangkat dari bilangan pokok itu dapat pula ditentukan.

Sebagai ilustrasi:

 2 16, mencari pangkat dari bilangan 2 yang hasilnya 16. Pangkat itu sama dengan 4

 9 3, mencari pangkat dari bilangan 9 yang hasilnya 3. Pangkat itu sama dengan

2 1

 10 1000, mencari pangkat dari bilangan 10 yang hasilnya 1000. Pangkat itu sma dengan 3, dan seterusnya.

Persoalan mencari pangkat dari suatu bilangan pokok jika hasil perpangkatannya sudah diketahui seperti di atas dapat dilakukan dengan memakai notasi logaritma (disngkat: log) sebagai berikut:

 2 16, ditulis 2_{log 16 = ... dan nilai}2_{log 16 = 4}  9 3, ditulis 9_{log 3 = ... dan nilai}9_{log 3 =}

2 1

 10 1000, ditulis 10_{log 1000 = ... dan nilai}10_{log 1000 = 3} Jelaslah bahwa logaritma adalah invers dari perpangkatan.

Definisi

Misalkan y adalah bilangan positif (y > 0) dan a adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 (0 < a < 1 atau a > 1).

y b x y

log x

b _ _ _

b disebut basis/bilangan pokok (0 < b < 1 atau b > 1) atau (b > 0 dan b ≠ 1) y disebut numerus (y > 0)

x disebut hasil logaritma nilainya dapat bernilai positif, nol dan negatif.



Untuk diingat :

Jika b = 10, bilangan pokok tidak ditulis. Jadi 10_{log 2 ditulis log 2.} Sebagai akibat dari definisi di atas:

a) blogbn_n b) blogb1

(21)

Amarhadi

Contoh 16 :

Hitunglah nilai tiap logaritma berikut ini. a. 7_{log 49} _d.5_{log √5}

b. 3 3

1

log e. 2_log4

c. 2_{log 1} _f.2_{log 2√2}

Penyelesaian

a. 7_{log 49 = 2, sebab 7}2_{= 49} _d.5_{log √5 =}

2

1_{, sebab}₅₂1_ ₅

b. 3 3

1

log = -1, sebab 3 3 1_ 1_

   

  _e. 2_log₄

= 4, sebab

 

244

c. 2log 1 = 0, sebab 20 = 1 f. 2log 2√2 =

2 3

, sebab 22 2 2

3 

Contoh 17 :

Misalkan x_{log 5 = 0,7; tunjukan bahwa}_x_₅7 3₅ _.

Penyelesaian

x_{log 5 = 0,7}__x0,7_{= 5}  10 5

7 

x

 7

10 7 10

10 7

5

          x x

 7

3

5 5 

x

 x57 35

1. Carilah nilai tiap logaritma berikut ini. a.

16 1

2_log _d. 3_log₂₇ _g.

216 1

6_log

b. 3_{log 243} _e.4_{log √2} _h.16_{log 2} c. 5log 125 f. 10log 0,1 i.

3 1

81_log

2. Jika a_{log 3 = -0,3; tunjukan bahwa} 3₉

81 1



a

3. Jika





2 1 2 3

2 1

 

a

log , tunjukan bahwa 2

2 1



(22)

2. Sifat-sifat Logaritma

Setelah kita memahami definisi logaritma, untuk mempermudah perhitungan, sekarang akan mengkaji sifat-sifat logaritma. 1) blog(x.y)blogxblogy

0 y 0, x 1, b , 0 b

dengan    

Bukti :

Misalkan : x = bm_{dan y = b}n

y log n b y x log m b x b n b m      

o m + n = blogx_blogy

o x.ybmnmnblog(x.y)

Jadi, blog(x.y)blogxblogy 

6) bnlogxn blogx

 Bukti : x log x log n n x log b b n bn  

2) logx logy

y x

log b b

b _ _

dengan b> 0, b



1, x > 0 dan y >0

Bukti :

Misalkan x = bm_{dan y = b}n

y log n b y x log m b x b n b m      

o m - n= blogxblogy

o m n m_n

b b y x b b y

x    

y x log n m b y

x _ m n_ _ _b

 

Jadi, logx logy y

x

log b b

b _ _ _

7) alogb.blogc.clogd_alogd

Bukti : d log a log d log c log d log b log c log a log b log d log . c log . b log a c b a     

Jadi, alogb.blogc.clogd_alogd_

3) blogxp _p.blogx

0 x 1, b , 0 b

dengan   

Bukti :

Misalkan x = bm __m_b_log_x

p b mp p p m p x log mp b x ) b ( x       p b b_log_x _log_x .

p 



Jadi, blogxp_p.blogx _

8) aalogx x



Bukti :

Misal: a_{log x = m, maka a}m _{= x} Karena a_{log x = m}

x a a a x log m x log a a    

(23)

Amarhadi

4) b log b log x log x

log p_p _x

b _ _ 1

Bukti :

Misalkan b_log_x__m__x__bm

b log x log m b log m x log b log x log p p p p m p p      b log x log x log _pp

b _

 

9)

 





n

mr x log x

log

m _a _x

a r a

n a

 

Bukti :

Misalkan alogxr_p _ _log_x n r p_ a Sehingga :

 

_am anlogxr__amp _

 

_ap m

n mr m a n r x x log

a _ 

       

5) logx

n m x

log m b

bn  Bukti : x log n m b log n x log m b log x log x log b n m m bn   

Jadi, logx

n m x

log m b

bn

 

Contoh 17 :

1. Diketahui log20,3010 danlog30,4771 maka nilai

 

2 3 2 3 03010 04771 07781

6 log x log log , , ,

log      

2. Diketahui log p

log log log log log log log maka p

log 3 3 3

2 3 22 3 2 3 4 9 9 3 8 2 8 2 2 2 8 8 8 4 8

3   

 



3. Sederhanakan :5_log27_x3_log5_5_log33_x3_log5_35_log3_x3_log5_3

Contoh 18 :

Misalkan 2_{log 3 = a dan}3_{log 5 = b. Nyatakan logaritma}5_{log 4,5 dalam} bentuk a dan b

Penyelesaian

2_{log 3 = a}_

a log2 1

3 _ _dan₃_{log 5 = b}_₃_{log 5 = b}

ab a ba log log log log log log log log log log , log 1 2 1 2 5 2 3 2 5 2 9 5 2 9 10 45 5 4 3 3 3 3 3 3 3 2 9 3 5 5 5            Jadi, ab a ,

log45 2 1

(24)

1. Sederhanakan!

a. 3_log4₂1_3_log6 _d.2_log_x3_2_log_x

b. 5_log320_5_log4 _e.4_log₍_a_₂₎_4_log₍_a2_₄₎ c. 6_log9_6_log2_26_log6 _f._log₄₈_₂_log₂__log₃

2. Jika alogp_x_,a_log_q__y_dana_log_r__z_{, nyatakan logaritma-logaritma berikut} ini dalam x, y dan z.

a. alogpqr _e.

       

4 2

2

r q

p log a

b. a_log



_p3_qr2



_f.

  

 

  

 

4_q3 _r3

p log a

c. a_log_ _p_q23 2_r _ _g.a_log



_apqr2



d. _

    

q pr log

a _h.

       

pr a log a 3. Sederhanakan.

a. 2_{log 24 –}8_{log 27} _e.



5_log₉



9_log₂₅



b. 3log 45 – 9log 25 f.





_   

 

25 1 3 3 5_log _log

c. 2_{log 12 +}4_log

9

16 _g.



3_log₃₆



6_log₂₇



d. 3log 36 + 9_log

16

1 _h.



_log₄



_log₁₀



4. a. Jika a dan b adalah bilangan-bilangan real positif yang lebih besar dari 1, tunjukan bahwa logb alogb 0

1

a _ _

b. Hitunglah : i)

6 6

5 0

2

log log

, ii) b log

b log

a 1 2

c. Tunjukan bahwa logq a

log a log p q

p 

5. a. Jika p, q dan r adalah bilangan-bilangan real positif yang lebih besar dari 1, tunjukan bahwa qlogprlogqplogr 1

b. Hitunglah nilai dari 2_log10_ 6_log4__log216

6. Carilah nilai x pada persamaan-persamaan berikut: a. x_{log 32 = 5} _c.x_{log 6 = 0,7}

b. x_{log 8 = 1,5} _d.x_{log 3 = -0,5} 7. Carilah nilai x pada persamaan berikut

9 3 2 4 3 5_ _log_x __log_x __log _x _

x log

8. Diketahui 8_{log 3 = a, nyatakan tiap bentuk berikut ini dalam a} a. 2_{log 3} _c. _

    

3 1

32_log

(25)

Amarhadi

9. Misalkan diketahui plog q = 6, rlog p = 4, p, q dan r bilangan-bilangan real positif p ≠ 1, r ≠ 1. Hitunglah nilai dari



 



3

1 20

qr log

p _.

10.Misalkan diketahui 2_{log 3 = m dan}2_{log 5 = n, nyatakan tipa bentuk berikut ini dalam} m dan n.

a. 6log 50 b. 18log 20

3. Menentukan Logaritma dan Antilogaritma Suatu Bilangan

Dalam pembahasan di atas telah kita menentukan nilai logaritma menggunakan definisi dan sifat-sifat logaritma. Tetapi tidak mudah menentukan nilai suatu logaritma jika:

i) 2_{log 3 = x}_₂x_{= 3, tidak mudah mencari nilai x walaupun sudah diubah} kedalam bentuk bilangan berpangkat

ii) 5_{log 7 = y}_₅y_{= 7, tidak mudah mencari nilai y walaupun sudah diubah} kedalam bentuk bilangan berpangkat

Untuk menjawab persoalan i)dan ii) di atas diperlukan cara lain. Ada dua cara untuk menentukan logaritma bilangan seperti di atas, yaitu:

 dengan menggunakan grafik fungsi y = ax_,  dengan memakai tabel logaritma.

 dengan menggunakan kalkulaor scientifik  dengan menggunakan Ms excel

Dalam buku ini hanya akan dibahas cara menentukan logaritma dengan menggunakan tabel logaitma.

 Logaritma Bilangan Antara 1 Sampai 10 dengan Menggunakan Tabel

Logaritma.

Untuk keprluan perhitung perhitungan, telah dibuat daftar atau tabel matematika. Daftar atau tabel matematika memuat hasil logaritma suatu bilangan dengan bilangan pokok 10. Sebelum menggunakan tabel matematika ada baiknya kita pahamiterlebih dahulu beberapa hal berikut:

1) Dalam tabel logaritma yang ditulis hanya bilangan desimal yang menyatakan hasil logaritma dari suatu bilangan. Bilangan desimal ini disebut mantis (dari kata mantisse).

2) Lajur-lajur dalam tabel logaritma terdiri atas:

 Lajur pertama (disebut lajur N), dari atas ke bawah memuat bilangan-bilangansecara berurutan dari 0 sampai dengan 1000.

 Baris judul pada lajur kedua sampai dengan lajur kesebelas, dari kiri ke kanan berturut-turut diisi dengan angka-angka 0, 1, 2, 3 ....8, 9.

(26)

Lajur N

→

Lajur 0

→

Lajur 1

→

Lajur 2

→

Lajur 3

→

Lajur 4

→

Lajur 5

→

Lajur 6

→

Lajur 7

→

Lajur 8

→

Lajur 9

→

Baris Judul

→ N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Mantis atau bagian desimal dari logaritma

(27)

Amarhadi

Contoh 19:

Dengan menggunakan tabel logaritma, carilah nilai tiap logaritma berikut ini.

a) log 4,6 d) log 1,013

b) log 1,21 e) log 1,238

c) log 3,69 f) log 1,495

Penyelesaian

a) log 4,6 = ....

logaritma tiap bilangan antara 1 sampai 10 mempunyai nilai antara 0 dan 1, maka kita dapat menuliskan log 4,6 = 0,....

angka didepan tanda koma disebut indeks atau karakeristik, yaitu bagian bulat dari logaitma suatu bilangan. angka-angka di belakan koma adalah bagian desimal atau mantis dari logaritma suatu bilangan itu. mantis ini dapat ditentuka dari tabel logaitma pada baris ke-4 lajur 6, diperolh 6628. jadi, log 4,6 = 0, 6628

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0 3010 4771 6021 6990 7782 8451 9031 9542

1 0 0414 0792 1139 1461 1761 2041 2304 2553 2788

2 3010 3222 3424 3617 3802 3979 4150 4314 4472 4624

3 4771 4914 5051 5185 5315 5441 5563 5682 5798 5911

4 _{6021 6128 6232 6335 6435 6532} ₆₆₂₈ _{6721 6812 6902} 5 6990 7076 ,716 7243 7324 7404 7482 7559 7634 7709

6 7782 7853 7924 7993 8062 8129 8195 8261 8325 8388

7 8451 8513 8573 8633 8692 8751 8808 8865 8921 8976

8 9031 9085 9138 9191 9243 9294 9345 9395 9445 9494

9 9542 ,959 9638 9685 9731 9777 9823 9868 9912 9956

10 0000 0043 0086 0128 ,017 0212 0253 0294 0334 0374

b) Tulis dulu  log 1,21 = 0,...

bagian desimalnya ditentukan dari tabel loigaritma, yaitu baris ke-12 lajur 1, diperoleh 0828

jadi, log 1,21 = 0,0828

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

.

9 9542 ,959 9638 9685 9731 9777 9823 9868 9912 9956

10 0000 0043 0086 0128 ,017 0212 0253 0294 0334 0374

11 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755

12 0792 0828 0864 0899 0934 0969 1004 1038 1072 1106

13 1139 1173 1206 1239 1271 1303 1335 1367 1399 ,143

(28)

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 28 c) Tulis dulu  log 3,69 = 0,...

bagian desimalnya ditentukan dari tabel loigaritma, yaitu baris ke-36 lajur diperoleh 5670

jadi, log 3,69 = 0, 5670

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

.

31 4914 4928 4942 4955 4969 4983 4997 5011 5024 5038

32 5051 5065 5079 5092 5105 5119 5132 5145 5159 5172

33 5185 5198 5211 5224 5237 5250 5263 5276 5289 5302

34 5315 5328 5340 5353 5366 5378 5391 5403 5416 5428

35 5441 5453 5465 5478 5490 5502 5514 5527 5539 5551

36 5563 5575 5587 5599 5611 5623 5635 5647 5658 5670 37 5682 5694 5705 5717 5729 5740 5752 5763 5775 5786

38 5798 5809 5821 5832 5843 5855 5866 5877 5888 5899

39 5911 5922 5933 5944 5955 5966 5977 5988 5999 6010

40 6021 6031 6042 6053 6064 6075 6085 6096 6107 6117

. .

d) log 1,013 = 0,0056

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

100 0000 0004 0009 0013 0017 0022 0026 0030 0035 0039

101 0043 0048 0052 0056 0060 0065 0069 0073 0077 0082

102 0086 0090 0095 0099 0103 0107 0111 0116 0120 0124

103 0128 0133 0137 0141 0145 0149 0154 0158 0162 0166

104 0170 0175 0179 0183 0187 0191 0195 0199 0204 0208

105 0212 0216 0220 0224 0228 0233 0237 0241 0245 0249

106 0253 0257 0261 0265 0269 0273 0278 0282 0286 0290

107 0294 0298 0302 0306 0310 0314 0318 0322 0326 0330

108 0334 0338 0342 0346 0350 0354 0358 0362 0366 0370

109 0374 0378 0382 0386 0390 0394 0398 0402 0406 0410

110 0414 0418 0422 0426 ,043 0434 0438 0441 0445 0449

e) log 1,238 = 0,0927

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

.

122 0864 0867 0871 0874 0878 0881 0885 0888 0892 0896

123 0899 0903 0906 0910 0913 0917 0920 0924 0927 0931

124 0934 0938 0941 0945 0948 0952 0955 0959 0962 0966

125 0969 0973 0976 0980 0983 0986 0990 0993 0997 2,1

126 1004 1007 1011 1014 1017 1021 1024 1028 1031 1035

(29)

Amarhadi

f) log 1,495 = 0,1746

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

147 1673 1676 1679 1682 1685 1688 1691 1694 1697 1700

148 1703 1706 1708 1711 1714 1717 1720 1723 1726 1729

149 1732 1735 1738 1741 1744 1746 1749 1752 1755 1758

150 1761 1764 1767 ,177 1772 1775 1778 1781 1784 1787

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

 Logaritma Bilangan Lebih dari 10

Untuk menghitung logaritma yang lebih dari 10 gunakan pertolngan sifat-sifat logaritma.

Nilai logaritma suatu bilangan yang lebih dari 10 dapat ditentukan dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut.

Langkah 1:

Nyatakan bilangan yang akan ditentukan nilai logaritmanya itu dalam notasi baku a x 10n

Langkah 2:

Gunakan sifat logaritma Log (a x 10n_{) = log a + log 10}n

 log (a x 10n) = n + log a Langkah 3:

Oleh karena 1 ≤ a < 10 maka log a dapat dicari dari tabel logaritma. Nilai log a yang diperoleh dari tabel loigaritma tadi dijumlahkan dengan n. Hasil penjumlahan itu merupakan nilai logaritma dari bilangan yang dimaksudkan.

Contoh 20:

Carilah nilai dari tiap logaritma berikut. a) log 67,5 d) log 65.600 b) log 482,6 e) log 423.800 c) log 7.452 f) log 5.452.000

Penyelesaian

a) log 67,5 = log (6,75 x 101₎

 = log 6,75 + log 10

 = log 6,75 + 1

 = 0,8293 + 1 = 1,8293 Jadi, log 67,5 = 1,8293

d) log 65.600 = log (6,56 x 104₎

 = log 6,56 + log 104

 = log 6,56 + 4

 = 0,8619 + 4 = 4,8619 Jadi, log 65.600 = 4,8619 b) log 482,6 = log (4,826 + log 102₎

 = log 4,826 + 2

 = 0,6836 + 2 = 2,6836 Jadi, log 482,6 = 2,6836

e) Log 423.800 = log (4,238 + 105₎

 log 4,238 + log 105)

 log 4,238 + 5

 = 0,6272 + 5 = 5,6272 Jadi, log 423.800 = 5,6272 c) log 7.452 = log (7,452 x 103₎

 = log (7,452 + log 103)

 = log 7,452 + 3

 = 0,8723 + 3 = 3,8723 Jadi, log 7.452 = 3,8723

f) Log 5.452.000 = log (5,452 + 106₎

 = log 5,452 + log 106

 = 0,7366 + 6

 = 6,7366

(30)

 Logaritma Bilangan Antara 0 dan 1

Nilai logaritma bilangan-bilangan antgara 0 dan dapat ditentukan dengan menggunakan langkah-langkah yang sama seperti dalam hal menentukan logaritma bilangan-bilangan yang lebig dari 10. Untuk lebih jelasnya simak contoh berikut.

Contoh 21:

Carilah nilai dari tiap logaritma berikut ini. a) log 0,67) c) log (0,00362) b) log (0,0451) d) log (0,000124)

Penyelesaian

a) log (0,67) = log (6,7 x 10-1)

 = log 6,7 + log 10-1

 = log 6,7 – 1

 = 0,8261 – 1 = -0,1739 Jadi, log 0,67 = -0,1739

Nilai log 0,67 lebih sering ditulis dalam bentuk 0,8261 – 1, karena dapat dengan mudah diperlihatkan bagian bulat (karakteristik) dan mantisnya.

b) log (0,0451) = log (4,51 x 10-2)

 = log 4,51 + log 10-2

 = log 4,51 – 2

 = 0,6542 – 2

Jadi, log (0,0451) = 0,6542 – 2

c) log (0,00362) = log (3,62 + 10-3₎

 = log 3, 62+ log 10-2

 = log 3,62 – 3

 = 0,5587 – 3

Jadi, log (0,00362) = 0,5587 – 3

d) log (0,000124) = log (1,24 + 10-4₎

 = log 1, 24+ log 10-4

 = log 1,24 – 4

 = 0,0934 – 4

(31)

Amarhadi

 Menentukan Antilogaritma Suatu Bilangan Menggunakan Tabel

Logaitma

Pada pasal ini kita akan demonstrasikan bagaimana menentukan antilogaritma suatu bilangan menggunakan tabel logaritma.

Misalkan log x 2,5. Berapakab nilai x



Perlu kita ingat bahwa:

Jika 0 < log x < 1, maka 1 < x <10 Jika 1 < log x < 2, maka 10 < x < 102

Jika 2 < log x < 3, maka 102_{< x < 10}3_{... dst}

Contoh 22:

Tentukan nilai x menggunakan tabel logaritma a) log x = 0,9912 c) log x = 4,718 b) log x = 2,34 d) log x = 5,2146

Penyelesaian

a) log x = 0,9912

mantisa 9912  diperoleh 9,80 pada lajur N diperleh 98

pada lajur 0 samapai 9 diperoleh 0

log x = 0,9912 karakteristiknya 0, berarti 1 < x < 10

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

. .

90 9542 9547 9552 9557 9562 9566 9571 9576 9581 9586

91 9590 9595 1,96 9605 9609 9614 9619 9624 9628 9633

92 9638 9643 9647 9652 9657 9661 9666 9671 9675 ,968

93 9685 9689 9694 9699 9703 9708 9713 9717 9722 9727

94 9731 9736 9741 9745 ,975 9754 9759 9763 9768 9773

95 9777 9782 9786 9791 9795 1,98 9805 9809 9814 9818

96 9823 9827 9832 9836 9841 9845 ,985 9854 9859 9863

97 9868 9872 9877 9881 9886 ,989 9894 9899 9903 9908

98 9912 9917 9921 9926 ,993 9934 9939 9943 9948 9952

99 9956 9961 9965 9969 9974 9978 9983 9987 9991 9996

100 0000 0004 0009 0013 0017 0022 0026 ,003 0035 0039

101 0043 0048 0052 0056 ,006 0065 0069 0073 0077 0082

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Jadi, log x = 0,9912  x = 9,80 b) log x = 2,34

mantisa 3400  diperoleh 2,188

karakteristik dari log x = 2,34 adalah 2, berarati 102_{< x < 10}3 maka x = 2,188  102_{= 218,8}

(32)

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 32 c) log x = 4,718

karakteristik dari log x = 4,718 adalah 4, berarti 104_{< x < 10}5 maka x = 5,224  104 _{= 52.240}

Jadi, log x = 4,718  x = 52.240 d) log x = 5,2146

karakteristik dari log x = 5,2146adalah 5, berarti 105_{< x < 10}6 maka x = 1,639 105_{= 163.900}

Jadi, log x = 5,2146 x = 163.900

Contoh 23:

Tentukanlah bilangan yang logaritma-logaritmanya adalah

a) 0,415 – 1 c) -1,52

b) 0,29 – 3 d) -4,6315

Penyelesaian:

a) Misalkan log y = 0,415 – 1 mantisa 4150  diperoleh 2,600

karena karakteristiknya -1, didapat dari 10-1₍₁₀-1_{< y < 1)} maka y = 2,600  10-1 = 0,26

Jadi, log y = 0,415 – 1  y = 0,26 b) Misalkan log y = 0,29 – 3

karena karakteristiknya -3 didapat dari 10-3₍₁₀-3_{< y < 10}-2₎ maka y = 1,95  10-3_{= 0,00195}

Jadi, log y = 0,29 – 3  y = antilog (0,29 – 3 ) = 0,00195 c) Kita tulis dulu -1,52 = -1,52 + 2 – 2 = 0,48 - 2

misalkan log y = 0,48 – 2 mantisa 4800  diperoleh 3,02

karena karakteristiknya -2 didapat dari 10-2 (10-2 < y < 10-1) maka y = 3,02  10-2_{= 0,0302}

Jadi, log y = -1,52  y = 0,0302

d) Kita tulis dulu -4,6315 = -4,6315 + 5 -5 = 0,3685 -5 mantisa 3685  diperoleh 2,336

karena karakteristiknya -5 didapat dari 10-5₍₁₀-5_{< y < 10}-4₎ maka y = 2,336 10-5 = 0,00002336

Jadi, log y = -4,6315  y = 0,00002336

Latihan Kompetensi 8

1. Dengan menggunakan tabel logaritma. Carilah nilai logaritma-logaritma berikut.

a) log 3 g) log 3,61

b) log 6 h) log 1,68

(33)

Amarhadi

2. Dengan memekai tabel logaritma, carila nilai a pada setiap persamaan di bawah ini.

a) log a = 0,316 d) log a = 0,94 b) log a = 0,415 e) log a = 0,8791 c) log a = 0,49 f) log a = 0,9298

3. Dengan menggunakan tabel logaritma, carilah loagritma-logaritma berikut

a) log 12,3 g) log 83.260

b) log 16,6 h) log 137.500

c) log 32,5 i) log 854.400

d) log 147,5 j) log 6.819.000

e) log 252,6 k) log 47.800.000

f) log 3.051 h) log 841.000.000

4. Dengan menggunakan tabel logaritma, carilah logaritma-logaritma berikut ini.

a) 0,15 g) 0,058

b) 0,18 h) 0,0642

c) 0,2 i) 0,006

d) 0,25 j) 0,00063

e) 0,268 k) 0,000632

f) 0,05 l) 0,0000841

5. Diketahui log 3,02 = 0,48, carilah logaritma-logaritma berikut. a) _log3



₃_,₀₂



2 _{g) log 302.000}

b) log (3,02)4 _{h) log 0,302}

c) log 30,2 i) log 0,0320

d) log 302 j) log 0,00320

e) log 3.020 k) log 0,000320

f) log 30.200 l) log 0,0000320

6. Carilah bilangan yang nilai logaritma-logaritmanya sebagai berikut.

a) 0,2 g) 4,235

b) 0,43 h) 0,416 - 1

c) 1,632 i) 0,531 - 2

d) 2,42 j) 0,624 - 4

e) 2,56 k) -4,325

f) 3,841 l) -2,931

4. Penggunaan Logaritma dalam Perhitungan

Sekarang kita akan membicarakan penggunaan logaritma untuk memepermudah perhitungan yang melibatkan bilangan besar yang memerlukan operasi aljbar yang rumit seperti ketika menghitung

 mengalikan dan membagi bilangan

 menghitung pemangkatan dan pebarikan akar suatu bilangan

(34)

 Mengalikan dan Membagi Bilangan.

Ingat kembali sifat logaritma:

log (a  b) = log a + log b

b log a log b a

log  

    

Contoh 23:

Dengan menggunakan logaritma, hitunglah: a) 4,321  6,571 c)

63 5

82 7 56 4

, , , 

b)

645 2

214 3

,

, _d)

342 24 5

800 65



, .

Penyelesaian

a) Misalkan y = 4,321  6,517 log y = log (4,321  6,517) log y = log 4,321 + log 6,51 log y = 0,6356 + 0,8140 log y = 1,4496

log y = 1 + 0,4496

log y = log 101_{+ log 2,816; antilog 0,4496 = 2,816} log y = log (10  2,816)

log y = log 28,16 y = 28,61

Jadi, 4,321  6,571 = 28,16

b) Misalkan y =

645 2

214 3

, ,

log y = log 3₂,_,₆₄₅214

log y = log 3,214 – log 2,645 log y = 0,5070 – 0,4224 log y = 0,0846

log y = log 1,215; antilog 0,0846 = 1,215 y = 1,215

Jadi,

645 2

214 3

,

, _{= 1,215}

c) Misalkan y =

63 5

82 7 56 4

, , , 

log y = log 4,56₅_,₆₃7,82

log y = log 4,56 + log 7,82 – log 5,63 log y = ( 0,659 + 0,8932 ) – 0,7505 log y = 1,5522 – 0,7505

log y = 0.8017

log y = log 6,334 ; antilog 0,8017 = 6,334 y = 6,334

Jadi,

63 5

82 7 56 4

, ,

(35)

Amarhadi

d) Misalkan y =

342 24 5

800 65



, .

log y = log _

  

 

342 24 5

800 65

, .

log y = log 65,800 – ( log 5,24 + log 342 ) log y = 4,8182 – ( 0,7193 + 2,5340 ) log y = 4,8182 – 3,2533

log y = 1,5649 log y = 1 + 0,5649

log y = log 10 + log 3,672 ; antilog 0,5649 = 3,672 log y = log (10  3,672)

log y = log 36,72 y = 36,72 Jadi,

342 24 , 5

800 . 65

 = 36,72

 Pemangkatan dan Penarikan Akar Bilangan

Gunakan sifat log an_{= n log a, sehingga operasi dapat disederhanakan} menjadi benuk perkalian antara pemangkatan dan logaritmanya. Unruk lebih jelasnya simak pembahasan berikut ini:

Contoh 24:

Dengan menggunakan logaritma, hitunglah:

a) (0,043)4 _c)3₆₄₂

b) (2,86)3 __(0,436)4 _d)

64 , 3

345 , 0 3 , 84 

Penyelesaian

a) Misalkan x = (0,043)4 log x = log (0,043)4

log x = 4  log 0,043

log x = 4 ( log 4,3 + log 10-2₎ log x = 4 (0,6335 – 2)

log x = 4  ( -1,3665 ) log x = – 5,466

log x = 0,534 – 6

log x = log 3,4198 + log 10-6 log x = log (3,4198  10-6₎ log x = log ( 0,0000034198 )

x = 0,0000034198

Jadi, (0,043)4_{= 0,0000034198 = 3,4198}_₁₀-6

b) Misalkan x = (2,86)3 __(0,436)4 log x = log [(2,86)3 __(0,436)4_]

log x = log (2,86)3_{+ log (0,436)}4 log x = 3 log (2,86) + 4 log (0,436) log x = 3 ( 0,4564 ) + 4 ( -0,3605 ) log x = 1,3692 – 1,442

log x = –0,0728 log x = 0,9272 – 1

(36)

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 36 log x = log ( 0,84657 )

x = 0,84657

Jadi, x = (2,86)3 __(0,436)4_{= 0,84657}

c) Misalkan x = 3₆₄₂ log x = _log3₆₄₂ log x = _log



₆₄₂



1₃ log x =

3

1_{log 642}

log x = 3

1 ( 2,8075 ) = 0,9358 log x = log 8,626

x = 8,626 Jadi, 3_{642 = 8,626}

d) Misalkan x =

64 , 3 345 , 0 3 , 84 

log x = log

64 , 3 345 , 0 3 , 84 

log x =

log 2

1 64 , 3 345 , 0 3 , 84       

log x = log x =

2

1 [ ( log 84,3 + log 0,345 ) – log 3,64 ] log x =

2

1 [ 1,9258 + (0,5378 – 1) – 0,5611 log x = 0,4513

log x = log 2,827 x = 2,827 Jadi, 64 , 3 345 , 0 3 , 84  = 2,827

Latihan Kompetensi 9

1. Hitunglah !

a) 3,45  2,64 e) 8,37  4,21 l)

92 , 0 86 , 0 79 , 0 

b) 8,73  11,38 f) 137  56,2 m)

5 , 36 73 , 6 52 , 4 

c) 5,98  1846 h) 2.400  54,72 n)

85 , 0 078 , 0 145 , 0 

d) 0,158  0,672 i) 0,58  3,92 0)

629 385 428 210 58 , 4   

e) 48,6  0,738 j) 4,57  0,342 p)

28 , 0 54 , 62 065 , 0 148 246 , 6   

f) 0,056  0,0625 k) 0,0041  0,0648 q)

(37)

Amarhadi

2. Hitunglah tiap perpangkatan dan bentuk akar di bawah ini!

a) (4,72)3 g) ₅_,₆₇

b) (51,6)3 _h)3₈_.₉₆₀

c) (1,004)4 _i) ₀_,₆₈₄₂

d) 4,86  (0,65)3 _j)

53 , 6 0352 , 0 e) 6 , 14 ) 64 , 0 ( 8 ,

61 _ 2

k) 73 , 0 32 , 0 042 , 0 521 , 0   f) 2 81 , 2 64 , 7 82 , 5        l) 56 , 4 246 64 , 12 3 , 57   3. Hitunglah!

a) (3,93)3 _ 3₀_,₇₆₂ _c)





648 437 25

, 4 3

b) (0,214)3 _₀₆₇₁_ 3₅_,₃₄ _d)





3 3 3 782 , 0 30 526 264 , 0  

4. Hitunglah luas dari:

a) Lingkaran dengan jari-jari 6,54 ( = 3,14) b) Persegi dengan panjang sisi 5,82 cm

5. Volume sebuah tabung ditentukan dengan rumus v = r2_{t ( = 3,1; r = jari-jari} bidang alas, dan t = tinggi tabung)

a) Hitunglah V, jika r = 12,36 dan r = 6,85 b) Hitunglah t, jika V = 86 dan r = 3,42 c) Hitunglah r, jika V = 74 dan t = 2,86.

D. Persamaan pangkat dan bentuk akar sederhana

Persamaan pangkat dan bentuk akar dengan bilangan pokok yang sama selalu memiliki penyelesaian.

Untuk a  R dan a ≠ 0, berlaku _af(x)__ag(x)_{jika dan hanya jika f(x) = g(x)} Jika pada persamaan eksponen bilangan pokoknya berbeda maka langkah pertama dalam menyelesaikannya adalah menyamakan bilangan pokok tersebut.

Contoh 25 :

1. Diketahui :

 

8x2 _16_{, tentukan nilai x yang memenuhi}